现代控制理论习题解答(第四章)

v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 32

2x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3

a 1 x T 1

1 b 1 2

(1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x)

x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2

(3) v(x) 10x 1

4x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3

【解】：

(1)

二次型函数不定。

⑵

二次型函数为负定。

⑶

二次型函数正定。

3-4-2

试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。

【解】：

3-4-1

第四章

控制系统的稳定性

试确定下列二次型是否正定。

1 1 1

1 1

1 1 1

4 3 ,

1 0,

3 0, 1

4 3

1 1 1

1 4

3 1

1 1

0, 3 10

10 P 1

2 1 , 10 1

10 1 2

10 1 39 0

1 4

2 1 1

0, 17

a 1 0

a 1

b 1 1 a 1b 1

c 1 4 b 1 4a 1 c 1

【解】：

(1)

设

2 2 v(x) 0.5x 1

0.5X 2

V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2

x/ °

" °)为半负定。

0 (x 0)

又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。

则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

(2)

设

2 2

v(x) 0.5X 1 0.5X 2

v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1

X 2) X 2(2X 1 3X 2)

X 12 3X 22 3X 1X 2

T 1

1.5

1 1

1 1.5

1 0,

1.5 3

1 1 1

1.5

T …

X Px

P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

(3)

0 1 1 1

(1) X

(2) x

X ； 1 1 2 3

1 1

1 0

(3) x

X (4) x

X 1 1

0 1

3-4-3

满足正定的条件为:

a i | of 1 1

b i

a i 0, 1 1

1 1 b 1

2 0

2 C 1

试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

2 2

v(x) 0.5x i 0.5x 2

v(x) X i X t x 2x 2 X, X t x 2) x 2( X t x 2)

x T Px

P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (4)

两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。

3-4-4

试确定下列系统平衡状态的稳定性。

1 3 0

x(k 1)

3 2 3 x(k)

【解】：

方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

z i 3

f(z) zI A 3 z 2 3

i 0 z

z i 0.ii73+2.6974i z 2 0.1173-2.6974i Z 3

1.2346

特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。方法二：采用第二方法，

1 3 0 G 3

2 3。 1

2 2

X i X 2

X i X i v(X i ) 0.5x i

X 2 X 2 V (X 2)

0.5X 2

所以系统不稳定。

2 0 X

V(X i )

X i X i X i

0 X 0

0 X 0 V (X 2) X 2X 2

X 2

X 0

1 0.5 0.5 P 0.5

1 0 0.5

v(k) x T (k)(G T PG P)x( k)

3 1 1 0.5 0.5 1

3 0 0.5 0 1

4.5 7 4.5

1.5 7

1.5

v(k)为正定，所以系统在原点不稳定。

定时k 值范围。【解】：

方法

采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

1 0

f (z) zI A 0 z 1

0 0

k/2

4.5 7

4.5

27.75 0

4.5

1.5 4.5 6

7 1.5 8

因为8>0,

4.5 0，所以P 正定。

0.5 0.5

1 0.5

0.75 0

0.5

1 0 0.5

0.5

0 ,所以P 正定。

v(x) x T

Px 正定。 G T PG P 3

2 0 0.5 1 0 3-4-5

因为1>0，

0.5

乙0.51 2k

z2-0.5 2k

Z3 0

0.5 2k 1 0 k 2时平衡点渐近稳定。

方法二：

v(x) x T Px 正定。

v(k) x T(k)(G T PG P)x( k)

v(k) x T (k)Qx(k)

Q I

12 4 k2

巳

P为正定，则

4 k2

0 k 2时系统渐近稳定。

3-4-6

设系统的状态方程为

X 1

0 1

X 1

，试求这个系统的李亚普诺夫函数， x 2 2

1.5 x 2

然后再求从封闭曲线 v(x) 100边界上的一点到封闭曲线 v(x) 0.05内一点的响应时间上

限。【解】：令

Q I

A T P

PA I

求矩阵P ，即

2 P 1 P|2 P 11 P 12 0 1 1 0 1

1.5 P 21

P 22

P 21 P 22

1.5

0 1

5.5

所以李氏函数为:

2 2

v(x)

(X 1 x 2 )

1 1

QP 1

I P 1 I 0

3-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。

【解】：

(1 )采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:

I P 0

2.3062，

0.6938

t t 。

ln V(X ，t) 1 , 0.05 In min V(X 0, t o )

2 100

10.955

v(x)

5.5 2

X 1 4

2 0.5x 1x 2 0.5x 2

s 2

2s 2

系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。

（2 ）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:

3-4-8

试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数

a 、

b 的取值范围（其中二者均大

于或等于零，但二者不同时为零）。

X 1 X 2 x 2

x 1 ax 2 bx 23

【解］:

f 1 f 1

x 0

X 1 X 2 0 1

0 1 T X

f 2 f 2

a 3bX 22

x 0

X 1

X 2

x 0

1 1

s 1 2

A 1 s

s as 1

结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是 a 大于0, b 任意（同时还需满足题目要

求）。

［解］:

求平衡点：

f 1 X 1 X 2 1 3X 12 1

1 1 T x

f 2 f 2

3X 22 x 0

1 1

X 1

X 2

x 0

f 1

X 1 X 2 2 2

1 3x 1 x

2 1 2x 1 x 2 f 2 f 2

2 2

1 2X 1X 2

1 X 1 3X

2 x 0

X 1

X 2 x0

s 1 A

s 1 1 1

s 1

s 2 2s 2 0

3-4-9

试证明系统

x 1 x 2

x 2

a 1x 1

a 2x 12

x 2

在a 1

a ? 0时是全局渐近稳定的。

系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。

X i X 2

x 2 0

a i x i

2 a 2X i X 2

X ie

0 0

X 2e

设

v(x) 2

0.5a i X i

0.5X 2

v(x) a 1x 1 x 1 x 2x 2 a 1x 1x 2 x 2( a ^x 2 a 2x 12

x 2)

v(x)

a 2X i X

结论a i 0， v(x)正定；a 2 0， v(x)负定，系统渐近稳定。因为时，v(x) 0.5a i X i 2 0.5X 22

，所以系统又是大范围渐近稳定。

3-4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点

X e 0处为大范围渐近稳定时，参数

a 和

b 的取值范围。 [解]:

v(x) f T (x)f(x)

大范围渐近稳定的条件是:

x 时 v(x)

X T

f i

f i X i X 2 a

i f 2 f 2 i

i 3bx 22

X i X 2

v(x)

f T (X)[J T J]f(x)

2f T (x)

3bx 22 f(x)

系统在x e

0处渐近稳定的条件是

v(x)负定。而v(x)负定的条件为:

a a 0,

i i 3bx 22

a 3abx 2 i 0

而 ||x | 时，v(x) (ax i X 2 )2 (x i X 2 bx 2 )2

所以系统大范围渐近稳定的条件是：

a 0,

a i 2

i 3bX 2

a 3abx 22 i 0

3-4-11

试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。

x i x i 2x 1 x 2 x 2

x 2

【解】：

求平衡点：

X i X 2

x 1 2x 1 x 2 x 2

0 X ie

X 2e 0

设

a ii X i a i2 X 2

V i

a 2i X i a 22X 2 V 2

v(x)

(V)T x

2 a ii X i

(a 12 a 21 )x 1x 2

2a 11x 13 x 2 2 2 2

2a 〔2 x 〔

X 2 a 22 x 2

若选

a ii

a 22

, a i2 V i

a 21 0

a 12

V 2

a 21 0

X 2

X i

满足旋度方程条件

v(x) xj(1 2X 1X 2) X 22。当 x 1 x 2

0.5时，v(x)负定

X i (X 2 0)

X 2(x i X i )

2 、宀

而 v(x)

x i dx i x 2dx 2 0.5(x f x ；)为正定。

0 0

当X i X 2 0.5时，系统在平衡点渐近稳定。

3-4-I2设非线性系统方程为

试求系统原点X e 0稳定的充分条件。【解】：

由第一法，

稳定条件为：

由克拉索夫斯基法设

f i f2 f2

A f T X0

X i X i X2

X2 X 0

f i f2

0，

X i X i X2

v(X) T X X为正定。

v(x) Fx

f l

X i X i

3-4-13

X i

X1)

2上

l i

X i

f i f2

X i X i

f i

f2)

X i

X i X2 X2

f i f2

X i X i

f i f2)

X i

X i X2 X2

时渐近稳定。

时稳定。

4()2

试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点X e 0处的稳定性。结构如题

3-4-13图所示。

(1)

题3-4-13图

【解】：

当输入为零时，非线性系统方程可以写成

e e F (e) 0

若取状态变量：

X 1 e, X 2 e ，那么系统的状态方程为:

x 1 x 2 X 2 X 2 F (e)

(1)在x e 0处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似则线性化状态方程为：

X 1 X 2

⑵取二次型函数作为系统的李氏函数，则有

(

k 1)2

时v(x)为负定，从而求得 0.382

只要非线性环节的曲线在 0.382e 和2.618e 范围内变化，原非线性控制系统就是大范围渐

近稳定的。

X 1

X 1 X 1X 2 X 2

X 2

X 1 X 2

式中X 1 , X 2分别表示两种生物的个数。为非零实数。

0, 0 , 0 , 0。

(1) 确定系统的平衡点。

(2) 在平衡点附近线性化，并讨论平衡点的稳定性。【解】：

F(e)

ke ，

X 2

X 2 X 1 v(x)

x T Px ， v(x)

T 小

x Qx

得到

1.5 0.5

0.5 2

v(x) 1.5x 1 1

x 1x 2

x ；为正定。

v(x)

3x 1 x 1 x 1x 2 x 1 x 2 2x 2x 2 2

kx 1

(2 2k)x 1x 2

；

x T

2.618时系统稳定，即

x1 x1 x1 x20

x2 x2 x1 x20 得到平衡状态：

X ie 0 X2e 0 X1e —X2e —

(2)线性化X1

X2 ( X2e)X i

X2e X i (

X1e X2

X1e)X2

对于平衡点：

X1e 0 X1 X1

X2e 0 'X2 X

特征值为：

因为0,0所以1

0，由第

0 法，系统不稳疋。

对于平衡点：

X1e —X1 X2

X2e —X2 ——X1

0 一

— 0

特征值为：

1 2

因为0 , 0 , 1，2为纯虚数，由第一法，无法确定系统的稳定性。

dX2 ( X

1)X2 X2 . dx

2(XL)dx10

dX1( X2 )X1 X2 X

d In X2In X-I X2

X con st

或(d In X2X2)(Inx1 X-I ) const

其轨迹图如图题3-4-14图所示

题3-4-14图

可见X ie 0为不稳定的平衡点。

X 2e 0

X ie

为稳定的平衡点。

X 2e

—

☆ 3-4-15试求下列非线性微分方程

的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并判断平衡点是否稳定。

X 2

【解】：

求平衡点：

线性化方程

X 1 X 2 0 x 2

cos(x 1e )x 1 x 2

对于平衡点

X 1e 2n X 2e 0

X i

x 1 x 2 X 2

sin X 1

X 1

X 2

X 1e n no, 1, 2

x 2

sin x 1 x 2

X 2e o

线性化方程为：

X1 X2

X2ax2X1

0 1

1 a

特征方程为（a） 1 0

a 0时特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。

☆ 3-4-17非线性系统状态方程为

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。X2

则X1 X2

X2 X i X2

0 1

1 1

特征方程为（1） 1 0，特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。

对于平衡点

X1e （2n 1）

X2e 0

X1 X2

X2 X1 X2

0 1

1 1

特征方程为（1） 1 0，有一个特征根在右半平面，所以系统不稳定。☆ 3-4-16非线性系统状态方程为

X1 X2

2 X2a(1 X2 ) X2

0试确定平衡状态的稳定性。

【解】：

求平衡点：

X1 X2 0 X1e 0

X2a(1 X2) X2X10 X2e 0

【解】：

X1 …f1(x)

X f (X)…、

X2 f

2(X)

X1X2

J(x) f (X)

0 1

3X12 1

v(X )X T P X，

P l1 P l2

P12 P22

v(X

)

X T Q X X T J T ( X)P PJ (X) x 令Q I，则v(x)为负定。

0 3x1P11 P12

1 1 p

2 P22 P l P12

P12 P22

0 1

3x12 1

P11

6x13 2 2X1

P P22

6x12

1 1

67 2

1 3

2 1 1

P6X12

3X1 2 6x

1 1 1

6x126x12 2

因为寿討20，

6x12—

X1 1 1

6x12

1 __ ￡_

6x12 6x12

1 6X123 2

P正定，所以系统在原点处渐近稳定。

v(x)

X2 时,

([

6x1

3 2

2歹X2(

113 2

2)(肓2)(X1 X2)

v( x) X1

12 14

X2 X1

2 6

3X2)2

所以在原点大范围渐近稳定。

☆ 3-4-18试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数。

［解］:

an X 1 a 12 X 2 V 1 a 21 X 1 822X 2

V 2

若选

an a 1(t),a 22 1,a 12 a 21 0

贝 V —也 a 12

V 2

a 21 0

X 2

X 1

满足旋度方程条件

v(x) a 2(t)X 2。

当a 2(t) 0

时，v(x)为半负定。

X 1 (X 2 0)

X 2(X 1 X 1)

而 v(x)

a 1 (t)x 1dx 1

x 2dx 2

0.5a 1 (t)x ，2 0.5x ；。

o o

则当 a 1 (t) 0 时 v(x)为正定。且当 x 时，v(x) 0.5a 1 (t)x-|2 0.5x 夕

V (X ) ( V) X anX 1X 2 a 12X 2 2

a 〔 (t) a 21

a 2 (t) a 21 X 2

2 a 1 (t)a 22X 1X 2 a ? (t)a 22X 2

a 1 (t)a 21

X 1

a 2(t) a 21

a 1 (t)a 22 X 1 X 2

(a 12

a 2 (t)a 22 )x 2

所以当：；((：)0时，系统在原点大范围渐近稳定。

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现代控制理论基础考试题西北工业大学考试题（A卷）（考试时间120分钟）学院：专业：姓名：学号：一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有极点具有______。 9.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 10.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 6.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×） 7.一个系统能正常工作，稳定性是最基本的要求。（√） 8.如果系统的状态不能测得，只要系统能观测，可以采用状态观测器实现状

现代控制理论基础考试题A卷及答案

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则一．（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&

2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??

现代控制理论习题解答(第四章)

1 v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 32 2x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3 a 1 x T 1 1 b 1 2 (1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x) x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2 2 2 2 (3) v(x) 10x 1 4x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3 【解】： (1) 二次型函数不定。 ⑵ 二次型函数为负定。 ⑶ 二次型函数正定。 3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。【解】： 3-4-1 第四章控制系统的稳定性试确定下列二次型是否正定。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 , 1 0, 3 0, 1 4 3 1 1 1 1 4 1 3 1 1 1 3 1 P 4 10 0, 3 10 0, 10 10 P 1 2 1 , 10 1 1 10 1 2 10 1 39 0 1 4 1 1 4 2 1 1 0, 17

a 1 0 a 1 b 1 1 a 1b 1 c 1 4 b 1 4a 1 c 1 【解】： (1) 设 2 2 v(x) 0.5x 1 0.5X 2 V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2 x/ ° " °)为半负定。 0 (x 0) 又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (2) 设 2 2 v(x) 0.5X 1 0.5X 2 v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1 X 2) X 2(2X 1 3X 2) X 12 3X 22 3X 1X 2 T 1 1.5 1 1 1 1.5 X x 1 0, 1.5 3 1 1 1 1.5 3 T … X Px P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (3) 0 1 1 1 (1) X X (2) x X ； 1 1 2 3 1 1 1 0 (3) x X (4) x X 1 1 0 1 3-4-3 满足正定的条件为: a i | of 1 1 b i a i 0, 1 1 1 1 b 1 2 0 2 C 1 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

(完整版)现代控制理论考试卷及答案

西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期

2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分）（1）对（2）错（3）对（4）错（5）对（6）对（7）对（8）对（9）对（10）错第二题（15分）（1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2）状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果）（1）系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&

现代控制理论第4章教学要求(第四章)

现代控制理论第4章教学要求按章节，打*号的部分为本科不要求的内容，另外在一些未打*的部分有些内容也不要求，请按下面要求的内容组织本科教学。第4 章动态系统的结构分析 4.1 引言 4.1.1 能控性与能观性物理现象——从例子谈起从物理角度理解能控性与能观性的重要性。 4.1.2 能控性与能观性的数学描述从数学角度理解能控性与能观性的状态方程特点。 4.2 连续线性系统能控性与能观性定义 4.2.1 能控性定义理解能控性的定义包含的丰富内涵。能利用定义解决与系统能控性相关的问题。 4.2.2 能观性定义理解能观性的定义包含的丰富内涵。能利用定义解决与系统能观性相关的问题。 4.3 连续线性系统能控性与能观性判据 4.3.1 定常系统的能控性判据与能控性指数掌握定常系统的Gram矩阵能控性判据。掌握Jordan标准型的能控性判据，并能依此进行相应计算。掌握能控性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。了解能控性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。了解定常系统的能控性指数，并基此减小能控性矩阵的规模。 4.3.2 定常系统的能观性判据与能观性指数掌握定常系统的Gram矩阵能观性判据。掌握Jordan标准型的能观性判据，并能依此进行相应计算。。掌握能观性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。了解能观性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。。了解定常系统的能观性指数，并基此减小能观性矩阵的规模。 4.3.3 时变系统的能控性判据了解时变系统的 Gram矩阵能控性判据。了解时变系统的能控性秩判据。 4.3.4 时变系统的能观性判据了解时变系统的 Gram矩阵能观性判据。了解时变系统的能观性秩判据。 4.3.5 时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系理解时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系。 4.4 连续线性系统输出能控性和输出函数能控性及判据 4.4.1 输出能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.4.2 输出函数能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.5 连续线性系统的对偶关系 4.5.1 定常情况下的对偶关系理解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.5.2 时变情况下的对偶关系了解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.6 定常连续线性系统的能控型与能观型 4.6.1 SISO 系统的能控标准型与能观标准型掌握SISO系统的能控标准型与能观标型以及变换方法，能计算标准型。 4.6.2 MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型了解MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型。 4.6.3 MIMO 系统的Wonham 规范型与Luenberger 规范型* 本科不要求此节内容。 4.7 连续线性系统的结构分解

哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

哈工大2010年春季学期现代控制理论基础试题A 答案一．（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有 ()2111211cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?- 对右边的质量块，有 ()221222sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?- 在位移足够小的条件下，近似写成： ()112124f kL ML Mg θθθθ=--- ()21224kL ML Mg θθθθ=--

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? 21244k k g M M L θθθ??=-+ ??? （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=，32x θ=，42x θ= 则 12 2133441344244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? 或写成 11 22334401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ? ??????????=+??? ? ????? ?????????????????? ?????-+?? ? ? ?????? ? 二．（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为= x Ax ，其中22R ?∈A 。若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得

现代控制理论-第7章

第六次课小结一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念平衡状态的概念 Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性二次型，复二次型（Hermite 型）二、 Lyapunov 稳定性理论第一方法第二方法三、线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析应用Lyapunov 方程 Q PA P A H -=+ 来进行判别稳定性四、线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。计算min η的关系式五、离散时间系统的状态运动稳定性及其判据离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用

六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题问题的提法性能指标的类型研究的主要内容七、极点配置问题问题的提出可配置条件极点配置算法

爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（）给出的系统，重写为 Bu Ax x +=& 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21Λ。利用线性状态反馈控制律 Kx u -= 将系统状态方程改写为 x BK A x )(-=& 定义 BK A A -=~ 则所期望的特征方程为 ) ())((~ 11121=++++=---=-=+-* *--*n n n n n a s a s a s s s s A sI BK A sI ΛΛμμμ 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~ 应满足其自身的特征方程，所以

现代控制理论基础考试题B卷及答案

-----好资料学习分）一．（本题满分10请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状L态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感的电流强度。2

【解答】根据基尔霍夫定律得：uLx?Rx?x??3111 ?x?Lx?Rx?3222 ?xx?Cx??213 1R1?ux?x??x?? 311LLL ?1111R?x??x?x?232x?y，输出方程为改写为LL ?222?11x?x?x? 123CC? 写成矩阵形式为更多精品文档．学习-----好资料 ?R1??1??0?????LL?????11Lxx??????111 ?1R??????u?x?0?x0?????????22LL ?????22????0xx???????33??11

???0????? ?CC???x???1?????x1y?00???2???x???3 10分）二．（本题满分单输入单输出离散时间系统的差分方程为)k2r(r?3y(k)?(k?1)??y(k2)?5y(k?1) 回答下列问题：）求系统的脉冲传递函数；（1 ）分析系统的稳定性；（2)y?(kx(k))r(kx(k)?x(k?1)?，，（3）取状态变量为求系统的状态空间表达式；112（4）分析系统的状态能观性。【解答】z变换有：1（）在零初始条件下进行????2 )z?2)?zRz(?5z?3zY(2?(Yz)z?系统的脉冲传递函数： 23R(z)z?5z?（2）系统的特征方程为20?5?z?3zD(z)? 1z?0.7?z?4.3??z，，所以离散系统不稳定。，特征根为211)(k1)?rx)?y(k)x(k)?(k?(xk 3）由，，可以得到（1211)(k??(k?1)y(k?2)?r?kx(?1)?x(k2)?r12由已知得)?1)?3x(kk(?2rk)?5x()k3?1)?y(k?r??(yk?2)r(k1)?2(k)5y(11??)x(k?5)x(k?r(k)3?)2?r(k)(x ?5(k)?3rkk3??x()2112于是有：)k3(?(?1)?3xk)5xk)?r(?(xk221又因为)?k(??(xk1)x)r(k21所以状态空间表达式为更多精品文档．学习-----好资料 ?x(k?1)x(k)101????????11??r(k)?????????x?3?3?5(x(k)k?1)?????????22 ?x(k)?????101y(k)????x(k)???2（4）系统矩阵为0101??????????，输出矩阵为0c?110?0G?cG?1，?????3?5?3?5????c10????能观性矩阵为，，系统完全能观。2Q?rank??Q????oo cG01???? 三．（本题满分10分）回答下列问题：（1）简述线性系统的对偶原理；（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系； r?2rr阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？输出（3）输入【解答】（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。 r?2rrr个独立的单输入单输出系统。输入）输出阶线性解耦系统等效于（3 四．（本题满分10分） x?x?x cos x?2211?，判

哈尔滨工业大学《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

哈工大2010 年春季学期现代控制理论基础试题B 答案题号一二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值 10 10 10 10 10 10 10 10 80 10 10 100 得分值第 1 页（共 8 页）班号姓名一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 31 211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数；（2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式；（4）分析系统的状态能观性。【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。（3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为

东北大学现代控制理论试题及答案

2008 现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ????=+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。（4分） 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方程（4分）解： 1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．解：选取状态变量1 x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….…….（1分） 12 23 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分）写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(), ()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。（3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ????==?? ??-?? &，判定该系统是否完全能观？(5分) 解： 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=???? ??????-=CA ………..……….（1分）

《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

现代控制理论第4章答案

现代控制理论第四章习题答案 4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222 123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：（1）由已知得 []1123 123 1232311 2 3231 1()3112 2111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?? ? ???=-+------???? ? ????? ? ? ??--??? ?????=--???????????? ---?? 110?=-<，211 2013 -?= =>-，31111711 3 024 1 1112 --?=--=-<-- - 因此()Q x 是负定的（2）由已知得 [][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ????=---+---+?????? --???? ????=--???? ????--???? 110?=>，211 3014 -?= =>-，3111 143160131 --?=--=-<-- 因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：

11122122a a x x a a ??= ??? 试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。即： 11 12 2122 2112211221221()0 a a I A a a a a a a a a λλλλλ---= --=-++-= 有解，且解具有负实部。即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。取Q I =，令11 121222P P P P P ??=???? ，则带入T A P PA Q +=-，得到 11 2111121122 211212 2222220100 221a a P a a a a P a a P -???? ????????+=????????????-?????? 若 112112 1122 2111221122122112 22 220 4()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠，则此方程组有唯一解。即 22 21221222211122 1222211111121122()1 ()2()A a a a a a a P a a a a A a a a a A ??++-+=-??-++++?? 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定，则要求 22 2122 111112202()A a a P a a A ++?== >-+ 22 1122122121122()()0 4() a a a a P a a ++-?==>-+

现代控制理论试题及答案研究生现代控制工程试卷

现代控制理论试题及答案一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。解 f ma =……………………………….……1分令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=&………………………………2分于是有 12x x =&………………………………..……………1分 2121 k h x x x u m m m =- -+&……….….……………….2分再令位移为系统的输出y ，有 1y x =…………………………….……….1分写成状态空间表达式，即矩阵形式，有 11 220101x x u k h x x m m m ???? ????????=+???? ????--?? ?????? &&………..……………..2分 []1210x y x ?? =???? ……………………..……….……….2分二、（8分）矩阵A 是22?的常数矩阵，关于系统的状态方程式=&x Ax ，有 1(0)1??=??-??x 时，22t t e e --??=??-??x ；2(0)1?? =??-??x 时，2t t e e --??=??-?? x 。试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。解因为系统的零输入响应是 ()(,0)(0)t t =x x Φ……………..……….……….2分所以

221(,0)1t t e t e --????=????--???? Φ，22(,0)1t t e t e --???? =????--????Φ 将它们综合起来，得 22122(,0)11t t t t e e t e e ----???? =????---?? ??Φ……………….……….2分 1 22222222122(,0)11122112222t t t t t t t t t t t t t t t t e e t e e e e e e e e e e e e e e -----------------???? =????----?? ??--????=????--??????--=??--?? Φ …………….……….2分而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程 ()()00,,d t t t t dt =A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为： 01000 22220 (,)(,) 222424t t t t t t t t t t t d t t t t dt e e e e e e e e -==--------=?? =??????-+-+=??-+-+??A ΦΦ…………….……….1分 0213?? =?? --?? …………………………………….……….1分三、（10分）（1）设系统为 ()()()011, (0)011a t t u t x b -?????? =+=?????? -?????? &x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应（7分）。 (2)已知系统[]011, 11341u y ???? =+=-?? ??-???? &x x x ，写出其对偶系统（3分）。解（1）

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。（3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完全能观？(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分）解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分）最小实现为

第七章---现场控制盘

第七章现场控制盘在海上平台，一个大的处理系统，经常包含有多个子系统，如注水系统、分子筛干燥再生系统、热油炉供热系统、丙烷制冷系统、三甘醇脱水及再生系统等。这些子系统规模较小，控制简单且相对独立，这些子系统的控制因此也常常采用现场控制PLC来实现子系统的控制，子控制系统PLC经过通讯方式与主控制系统相连，把它的数据信息传递给主控制系统，主控制系统又可将ESD信号通过硬线送到就地控制盘，实施对就地盘的关断，从而实现整个控制系统的集中管理与监视。也实现了平台控制系统的控制分散和危险分散的概念。一、现场控制盘所用的控制系统许多子系统都采用了性能好、可靠性高的A-B公司P LC的S LC500系列控制器，下面主要介绍由SLC500系列控制器组成的现场控制系统。 1. 结构 SLC500系列控制器是为小规模应用而设计的可编程控制器，该系列有两种硬件结构：一种是用于固定式控制器，电源、CPU,I/O卡等都连为一体，不能随意配置；另一种用于模块式控制器，由于该系列可提供各种各样I/O模块，可以随意地、很经济地配置其控制系统。一个SLC500系列的现场控制系统包括S LC硬件、显示终端、寻址、软件等。模块式现场控制系统的结构如图4－1所示。图7－1 模块式现场控制系统结构图 2. 硬件 SLC硬件包括安装框架、处理器模块、I／O模块、电源块等。 SLC安装框架均需要电源向处理器CPU及每个I／O槽供电。处理器模块是现场控制系统的核心部分，它负责整个控制系统的数据处理、通讯、工作方式等。在处理器模块上有一个钥匙开关，使用钥匙开关可以改变处理器的操作方式。在处理器上有三种操作模式：运行（RUN）、编程（PROG）、远程（REM）。如表7-1 162

现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统：（a ）给出这个系统状态变量的实现；（b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：（a ）模拟结构图如下：则可得系统的状态空间表达式：（b ）因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为：（1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分）（1）简述平衡状态及平衡点的定义。（2）简述状态方程解的意义。解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。解： f ma =……………………………….……1分令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分再令位移为系统的输出y ，有

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