考研数学1——线性代数
第一章 行列式（正方形） ............................................................................................................. 2 第二章 矩 阵（长方形、正方形） ...............................................................................................3 第三章 向量组（长方形、正方形） ..............................................................................................6 第四章 向量空间R N ...................................................................................................................... 7 第五章 齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） .............................................................. 8 第六章 关于秩的等式和不等式的总结 r(A) . (9)
第七章 特征值（正方形） 1
1
1
A ()||n
n
n i
ij i i i i tr A a A ξλξλ
λ====??
→==??→=∑∑∏ (9)
第八章 相 似（正方形） ?方阵相似特征值完全相同 .................................................... 10 第九章 二次型化标准型、规范型（正方形） ........................................................................... 11 第十章 正定（正方形）T
D A D D =存在可逆矩阵，使 (12)
第一章 行列式（正方形）
AB =A B = 行列式求值
一、恒等变形，利用特殊行列式 二、展开公式
三、抽象行列式: 乘积的行列式行列式的乘积 四、逆序数法定义
不同行不同列的元素，乘以-1的逆序数次方
1122331
(1)2
12(1)3(2)1
=......=(-1)
......nn n n n n n n a a a a a a a a n ???特殊行列式：
1、主对角线三角形
2、副对角线三角形
3、 阶范德蒙行列式：
[]000
0312
22223
1
2
113
1
11111
1123
12......()......
(1)()n
j i n
i j n
n n n n n
n n
n n
x x x x a a
x x x x x x x
x x
x
x x x x b b b
b b b a n b a b b b b b b b a a ≤<≤??????=
?=+??∏
4、行和或列和相等的行列式:
(1)n=1(2)???→??→具体型行列式的计算算法
1、消零化三角形：用斜爪消去直爪（对于四种爪型）
2、加边法
3、递推法：高阶低阶
4、数列归纳法（范式行列式：证明型计算题）已知结 第一类归 纳法论反推问题 低阶高阶
：适用于两阶差
时成立
验证 (1)n=1n=2n=k (2)n 验证和时成立 时成立 假设时成立 时成立 证明时成立 则命题对任意成立 则命题对任意成立 假设证明 第二章 矩 阵（长方形、正方形） ()11**11 111,A A 1 2()AB BA AA A A E AA A A A E kEA EkA AA E A A kA A k k ???????≠=====←??→≠===充要 加减 乘：，有分配律，没有交换律但 三种特殊情况 1、 2、 3、，可逆0 性质： 1、 、除：逆 ，11* *1 1 ||1||||A A A A A A A A ???≠= == 3、 4、 1121112222** 121 **1*1*......A ...n =20,()(n n n n nn n n A A A A A A A A A A A A A A k kA k A A AA A E ??????? ?? ?? ?? ????=≠==伴（仅限方阵，每个方矩阵都有伴随） 注意： 总公式： 行列互 对于阶方矩阵 1、 随矩阵 、 3、 换2 ****1**111***111 )()()()()()()()()()n T T T T T T T A A A A A A A A A B B A AB B A AB B A ????????======= 4、 交换次序 5、 穿脱原则 []1 1 1 1()() ()() ij ij i i ij ij E E E k E k E k E k ???==??=???初：单位矩阵经过一次变换得到的矩阵：互换、倍乘、倍加 初等矩阵左乘行右乘列 性质： 互换 倍乘 矩阵 等倍加 11*1 AA =E A A 11A a b d b A A A A c d c a A ad bc ??????→?????=??→???????? ??证明： 抽象 1、定义法（针对抽象型矩阵） 利用一定可逆 分解法（穿脱法） 具体 2、的伴随法（用于二阶三阶）: = = 求的逆{}{}11A A E A|E E|A AA =E ??????→行变换 不可写等号 具体 3、初等行变换法：任何可逆矩阵一定可以通过初等行变换化成同阶单位阵 ：主对角线 带着拼一个大矩阵 最后 二阶伴随互换角注意验算 对 线 ，副号 变 11 11X AX=B X=A B XA=B X=BA AXB=C X=A CB ??????→??→??→矩阵方程：求矩阵 定义：把大矩阵分成几个小块，可把每个同型分块看做元素，可运算 基本运算： 1、加法：每个对应相加 2、数乘：乘进去 分块矩阵 1 111111111o B B o A=A =D C C DB C B B DC B D A=A =o C o C ??????????????????→????????????? ???????→?????????? 3、乘法：同矩阵乘法 4、逆. ：左乘同行右乘同列 分块二阶逆1111111111C DB C o B A=A =C D B o o C D B A=A =C o B B DC ???????????? ???????→?????????? ?? ???? ??→???? ??????? 主对角互换 副对角互换 主对角直接逆，副对角倒着逆 公式： 分块对角三阶分块阵拉普斯逆：拉A B 00 0000(1)0 n n m m mn A C A A A B B C B B A C A A A B B C A B ??==== = =?设 、 主对角线： 副对角线： 23 2300010000000100000000100 00 000 00000000000000000000 00 00000a b ac a b B c B B c a b c ad ae bf adf d e d f B B B f ?????? ??????=??→=??→=?????? ???????????? +?????????? ???=??→=??→=?? ?? ?????????规律 ： 如遇到请拆开 40B ? ??????→=?? ?? ? T T T n n n αβαβαβαβ???→???→?相乘 相乘 设是维列向量： 一个数 雉为1的阶方阵，且迹为 1 1 ()()()()E AB E BA E BA E B E AB A ??+???→+???→+=?+得到 得到 积累特殊公式： 可逆可逆 2 T 1 T 1 AA =AA =E A =1A =A n n ?????→??→正 交 矩阵 A B 0()()B A X=0 m s s n m s r A r B s ???=??→+≤??→?组成的每一列都是的解向量 ()(*)1()10()1n r A n r A r A n r A n ==?? ===???= 当 伴随的雉关系： 当 当 第三章 向量组（长方形、正方形） ??→??→??→本章解决问题 1、一个向量组里面有没有多余的人？ 相关无关 2、有多余的人，怎么表示？ 线性表示 3、表示完以后，撵走！ 极大线性无关组 4、等价的向量组 = = ααα→≠≠向量组的线性相关与线性无关： 线性相关：存在非零解 线性无关：只有零解 判别方法： 1、定义法：对于只有一个向量 的组，0 线性相关， 0，无关 2、行列式判别法：行列式 0，相关；行列式 0，无关 3、个数>维数，必相关 4、123n 123n αααααααα?????→? ??????→? ?仍然无关仍然相关 个数<维数，不确定 补充判别： 增加维度仍然无关 若、、、无关减少成员仍然无关减少维度仍然相关 若、、、相关增加成员仍然相关 部分相关，则整体相关 整体无关，则部分无关 原来相关，缩短必相关 原来无关，延长必无关 1r 3???? ???? ?? 、取自原向量组 一个向量组中的极大线性无关组满足： 2、线性无关 数量等于秩的大小 、可表示该组所有向量 []1()()(|) A ()B AB ()()P Q PAQ=B AB P P AP=B r A r B r A B r A r B ??? ??==??=?? ??一些概念： 两个向量组的维度相同，个数不限制 等价向量组可相互表示对方的任一元素 向量组等价： 经过有限次初等行列变换得到 矩阵等价： 等价有可逆矩阵，，使得 方阵相似： 相似有可逆矩阵，使得 T AB C C AC=B ? 方阵合同： 合同有可逆矩阵，使得 ???? ??→? ????? 行互换不改变方程组的解 矩阵初等行变换：行倍乘不改变列向量的相关性行倍加可求得极大线性无关组 第四章 向量空间 R N n n n 123123112233n n R .......R R ...........n n n n n ξξξξαξξξξαξξξξ∈??→++++向量空间 定义一 个不相关向量组成维向量空间记 定义二 若是中的线性无关的有序向量组，则任一向量均可被 线性表出 =a a a a a 为坐标 [][]123n 123123111212122212312312312.......n R ........................................n n n n n n n n n nn C C C C C C C C C ξξξξηηηηξξξξηηηηξξξξξξξ?? ????==?????? 其中是基，是维数基变换、坐标变换 定理一 同一个 中，和为两个基，且有关系 [][][][][][][]123123123123123123....(*)(*)..............C ..............C .......X .......n n n n n n n C ξξξξξηηηηξξξξηηηηαξξξξηηηη 则式称为到的基变换公式 矩阵称为到的 矩阵一定是可逆矩阵 定理二 同一个向量，在的坐过渡矩阵坐标为，在的[][][][][][][]123123123123123123123Y .......X .......Y .............. .......X .......Y .......Y n n n n n n n C C αξξξξηηηηηηηηξξξξαξξξξηηηηξξξξ===??→===标为 则又1T X=CY Y=C X 0αβαβ?=或向量的内积和正交 内积：两个向量的内积就是点乘，即对应相乘再相加 正交： 时，称 ， 为正交向量，即垂直向量 12T 12......0,=......1,n i j n i j i j αααααααααα≠??=? 模 为向量的长度 =1时，称为单位向量 标准正交向量组 若向量组 满足 则称为标准或单位正交向量组（规范正交基） 1211 21221212211111111111333......l cos cos (,)(,) (,)(,)1(,n αααβααβθαθαβαββαβββββββββββαβα==?==?=? 施密特标准正交化（又称正交规范化）过程 线性无关向量组 的标准正交化公式 231212211)(,) (,)(,) βαβββββββ? 第五章 齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） A ()()() ()()()()()()m n m n r AB r BA r B r A n r AB r B r A m r BA r B ??===??→==??→=雉的关系： 若可逆，则 若列满秩，，则左乘 若行满秩，，则右乘 =≠??→???→??克拉默法则： 行列式0有唯一解无解 行列式0 无穷多解 123X n ()AX=()AX=()..A .....AX=X=k r A n r A n r A n ξ ξξξξξ=? 一、解的判定(是自由度即未知数的个数) 当 时0只有0解 当 时0有非0解（无穷多个） 二、基础解系（当） 设：满足 1)是0的解 齐次方程组：0123.......AX=s =A )()X s=n r(A S k r A ξξξξξξ 2)线性无关 则是0的一个基础解系，也就是极大无关组 三、求解程序：答案 1、将化为行阶梯型 2、按列找出一个秩为 的子矩阵， 则剩余未知的为自由变量 3)-[]AX=s ()()(|)(==n r(A)A )X=k r A n r A r A B AX r A n ξβη β???→+?=??→=?→???= →解方程组 3、按照基础解系的定义反着写 2)线性无关 1)是0的解 唯一解 若有解，且反之无解 无穷多解 非齐次通解齐次通解+非齐次的一个特解 )-非齐次方程组3k k ξη=+? () A B AX=BX=AX=BX=BX= AX= ()()()mn sn A r A r B r B ?? ??? ?==??? ??? 即方程组的联立 若两个方程组（列数相同）有完全相同的解，称为同阶方程组 于是， 0，0是同解方程组 抽象型：0的解满足0，且0的解满足0 具体型同： 三秩相同 解方程组 第六章 关于秩的等式和不等式的总结 r(A) mn ==k k ()A k k+1k 0()min(,) (m n r A k r A m n r A ?=??≤≤定义： 行秩列秩秩 即存在 阶子式不为0，任意 +1阶子式全为0，则 对于，个无关向量，个向量都线性相关 有且仅有个线性无关的向量 秩的本质就是线性无关的向量个数 重要公式： 1、{}1)0()(),0 ()()()()()() 0n 1n 1n ()min (),()ma T T T m n n n n n n A O r kA r A k A r A r A r A A r AA A r A r A A r AB r A r B γ?+??? =?=?=≠???→===??→==++≤≤ 2、 3、 4、 反证法，设得出个向量无关，但是 个 维向量必相关 5、{}x (),()(|)()()()(|)()()AB=O ()(),A (),(*)1()1 0()1n n r A r B r A B r A r B r A B r A B r A r B r A r B n n n r A n A r A r A n r A n ?≤≤++≤≤+??→+≤=?? ==??? 6、两个向量组，被表出的秩不大 7、为的列数 8、对于 第七章 特征值（正方形） 0 A ξξλξ≠=????→其中 n n 11 1 A A 0A =A A ()==||=n n i ij i i n i i tr A a A ξλξξλξλξλξλλλ?====≠??→===∑∑∏特征值 的定义 对于 ， ，数 ，若 为 的特征值， 为 的属于 的特征向量 特征值性质 所有特征值加起来 迹 主对角线元素的和 所有特征值乘起来 行列式 特征值求法 1、定义法： 证明00()k 0 00A 0A ()i E A X i i E A E E A A ξξλξξξλξλξλξλξλλξ≠≠?=≠≠=??→?=??→????→??????=?≠→≠代入0注意行变换列变换和 因若不然，产生矛盾 2、特征方程法： 为特征方程 令 =0解出所有 解得基础解系，注意 0 =0 第八章 相 似（正方形） ?方阵相似特征值完全相同 1C C AC=B A B A B 1r(A)=r(B) 2A =B 3 E-A =E-B ()()m n tr A tr B A B λλ????→?????→=可得出以下结论 定义 若可逆矩阵，有性质：若、、、 特征值相同 4、 5、 111 111() () () ()* *(*) (*) f A f B A B A B f A f B A B f A f B ????????→??→6、 7、若、存在、、 1 11212121212121212A 0(......)(......)( )0 A .A n n n A λξξξξξξλλλξξλλξξλλξξ?=?≠??→⊥?=??→?≠?? →判断自己是否可以相似对角化：重要结论 正交且无关 1、对称 与不一定正交，但一定无关无关 2、普通1212n (A n ).A i i i i A A A n n n r E A A A A A A λλλξξλ?? =?? →???? ????????=?? 不确定有个不同的特征值 为实对称矩阵 为 重根， 有个线性无关的特征向量 第九章 二次型、标准型、规范型（正方形） 22 12323121323 112323(,,)43448022(,,)244243X=CY X=CDZ f x x x x x x x x x x x x x x x x x ==?+?+????? ???????→ ??? ????????? 固定格式 二次型定义及其矩阵表示：平方项写在主对角线上，混合项平分写在两边 如 标准形： 只有平方项，没有一次项规范形： 22 12323121323 2X Y Z (,,)43448,i i i i f x x x x x x x x x x x x +±→→=?+?+ 只有平方项，且只能为 1、0，且正项必须在前，可变换序号转化方法1：拉氏配方法（一定可以配出来） 如 从左边开始，找第一个配完全平方，依次如法炮制，直到配完 注意正项必须在前 12212323121323 1P 1X Z X=8CDZ =CY Y=D (,,)4344()()A ....T X PY T T T T T T P P f x x x x x x x x x x x f X AX PY APY Y P APY Y P AP Y Y Y λλξξξ?=?=??→=?+?+=?????→===、正交 转化方法2：正交变换法 如 原理： 1、求的、 2、把11....( A )P=(X=PY=PCZ ....)n n T T n f X AX Y Y ηηξηηηλ?????→==施密特正交化 单位化 规范正交基，、都是的特征向量 3、令，则 4、 第十章 正定（正方形）T D A D D =存在可逆矩阵，使 1 X 000,0,p=n T ii i T T A A f x Ax f A p n A a A A A f A A λ?>>=???≠>=>?==证明正定： 必须首先验证： 定义法： 必要条件： 正定，则主对角线元素 充要条件： 正定 正定 正定0 正惯性指数 只要有一个，均有 ，称 正定， 正定T E D A A D D ???= 顺序主子式均大0 合 存在 可 逆 矩 阵同于 ，使 []()()(|)n m A ()B AB AB ()()P Q r A r B r A B r A r B ?? ??==??=?向量组等价矩阵等，一些概念： 两个向量组的维度相同，个数不限制 等价向量组可相互表示对方的任一元素 ： ： 矩阵的秩相同 经过有限次初等行列变换得到同型矩阵，等价有可逆矩阵，价111PAQ=B n n AB A B P P AP=B=P AP P BP A B n n λ λ????? ???→←??????????→?证明特征值相同，可间接证明相似 使得 ： 方阵特征值完全相同同阶方阵，相似有可逆矩阵，使得 ： 方方阵相似方阵合同T AB AB C C AC=B A B A B A B ???阵特征值正负个数相同 同阶方阵，合同有可逆矩阵，使得、合同，必然有相同的正负惯性指数，或者相同的秩 、合同，则、的正特征值个数相同，负特征值个数相同 收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按 行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲：尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β 考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错; (2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量 2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也 相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握 第一章 行列式（正方形） ............................................................................................................. 2 第二章 矩 阵（长方形、正方形） ...............................................................................................3 第三章 向量组（长方形、正方形） ..............................................................................................6 第四章 向量空间R N ...................................................................................................................... 7 第五章 齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） .............................................................. 8 第六章 关于秩的等式和不等式的总结 r(A) . (9) 第七章 特征值（正方形） 1 1 1 A ()||n n n i ij i i i i tr A a A ξλξλ λ====?? →==??→=∑∑∏ (9) 第八章 相 似（正方形） ?方阵相似特征值完全相同 .................................................... 10 第九章 二次型化标准型、规范型（正方形） ........................................................................... 11 第十章 正定（正方形）T D A D D =存在可逆矩阵，使 (12) 2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华 2011导航领航考研冲刺班数学讲义 线性代数 邓泽华编 第二篇线性代数 一、填空题分析 填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。 1.（06-1-2-3）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，2】 2.（06-4）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵方程，?Skip Record If...?】 3.（04-1-2）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 4.（03-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?均为三阶矩阵，已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...? .【矩阵方程，?Skip Record If...?】 5.（04-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为 三阶可逆矩阵，则 ?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 6.（06-4）已知?Skip Record If...?为二维列向量，矩阵?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 7.（03-2）设?Skip Record If...?为三维列向量，若?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...? . 【向量乘积，?Skip Record If...?】 8.（05-1-2-4）设?Skip Record If...?均为三维列向量，记矩阵 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 9.（03-3-4）设?Skip Record If...?维向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?的逆矩阵为 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文范围 及内容 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社出版的，规定线性代数考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等政策，2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文如下： 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理 考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式； 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念、矩阵的线件运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价及其运算。 考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质； 3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵； 4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法； 5．了解分块矩阵及其运算； 三、向量 考试内容 向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念； 2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法； 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩； 4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系； 5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法； 四、线性方程组 考试内容 文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。 定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元 素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。 线性代数必考知识点 一、行列式 1、逆序数 一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A 跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。 一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法 在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路 线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371 [考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )． （A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵 （B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵 （C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵 （D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B 2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )． （A）A无负特征值 （B）A是满秩矩阵 （C）A的每个特征值都是单值 （D）A*是正定矩阵 3 下列说法正确的是( )． （A）任一个二次型的标准形是唯一的 （B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 4 设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T AX与X T A-1X( )． （A）规范形与标准形都不一定相同 （B）规范形相同但标准形不一定相同 （C）标准形相同但规范形不一定相同 （D）规范形和标准形都相同 5 设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )． （A）可逆矩阵 （B）实对称矩阵 （C）正定矩阵 （D）正交矩阵 6 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．（A）A，B合同 （B）A，B相似 （C）方程组AX=0与BX=0同解 （D）r(A)=r(B) 7 设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．（A）r(A)=r(B) （B）｜A｜=｜B｜ （C）A～B 历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全) 历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P 2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习 来源：智阅网 高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广，并且出题的角度和方向也比较琐屑，但是也并非无迹可寻。只要我们认真的剖析和剖析考研真题，还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。下面具体为大家剖析高等数学中极限这个大的内容，有哪些考点。 极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 而线性代数的复习，首先要做到基础过关。 线代概念很多，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。 而运算法则也有很多必须掌握：行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 其次，加强抽象及推理能力。 考研数学历年真题线性代数的考点总结考研数学历年真题线性代数的考点总结 ?线性代数章节总结 第一章行列式 主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、 直接利用公式、利用单位阵进行变形、利用相似关系。06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考 了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的 是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。 第二章矩阵 本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。本章的重点 较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以 及初等矩阵等。 其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的 相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的则是抽象矩阵求逆的 问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本 章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题则用到了 矩阵的秩的相关性质。 14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查 的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及 到了矩阵的分块。16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。 第三章向量 本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。复习的时候要注意结构和从不同角度理解。 做题重心要放在问题转换上面。出题方式主要以选择与大题为主。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有 一道考题，不是向量组的线性表出就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题，13年考查的则是向量组的等价，14年的选择题则考查了向量组的线性无关性。 15年数一第20题结合向量空间的基问题考查了向量组等价的问题。16年数数一、数三第21题与数二23题考的同样的题，第二问 考向量组的线性表示的问题。 第四章线性方程组 主要考点有两个：一是解的判定与解的结构、二是求解方程。考察的方式还是比较固定，直接给方程讨论解的情况、解方程或者通 过其他的关系转化为线性方程组、矩阵方程的形式来考。 06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程 的求解或者是解的判定问题，13年考查的第一道大题考查的形式不 是很明显，但也是线性方程组求解的.问题。14年的第一道大题就 是线性方程组的问题，15年选择题考查了解的判定，数二、数三同 一个大题里面考查了矩阵方程的问题。 16年数一第20题矩阵方程解的判断和求解，数三第20题与数 二第22题直接考线性方程解的判断和求解，数一第21题第二问解 矩阵方程。16年数一、数三第21题与数二第23题第二问直接考矩 阵方程解求解，基本都不需要大家做转换。今年数一、数三第20题、数二第22题第二问题都考了抽象的线性方程的求解问题。 第五章矩阵 矩阵的特征值与特征向量，每年大题都会涉及这章的内容。考大题的时候较多。重点考查三个方面，一是特征值与特征向量的定义、性质以及求法;二是矩阵的相似对角化问题，三是实对称矩阵的性质 2020年考研数学一大纲：线性代数 出国留学考研网为大家提供2018年考研数学一大纲：线性代数，更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2018年考研数学一大纲：线性代数 线性代数 一、行列式考试内容 行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理 考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 二、矩阵考试内容 矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩 阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求 1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵 的方法. 5.了解分块矩阵及其运算. 三、向量 考试内容 向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与 矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和 坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规 范正交基正交矩阵及其性质 考试要求 1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念. 2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系. 5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念. 6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵. 7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 四、线性方程组 考试内容 线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的 2020考研数学线性代数六大重要知识点 出国留学考研网为大家提供2016考研数学线性代数六大重要知 识点，更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2016考研数学线性代数六大重要知识点 一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法 行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法， 比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对 行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列 式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶 抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩 阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的 细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩 阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析， 备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加 以巩固。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的 理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或 者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判 定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量 第一讲基本概念 一. 关于矩阵和向量的几个问题。 1．行向量和列向量 3 问题:(3,-2,1)和-2 是不是一样? 1 2. 下列矩阵都是什么矩阵? ① 1 0 0 ②c 0 0 ③ 2 -1 1 ④0 0 1 ⑤0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 1 2 2 0 0 1 2 7 2 0 0 0 0 2 0 对角矩阵: ①②⑤ . 上三角矩阵: ①②③⑤ . 下三角矩阵: ①②⑤ . 对称矩阵: ①②⑤④⑥ . 3. 3 -1 4 例:求矩阵A= 50 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合. 0 8 -6 3 -1 4 6 1 12 17 解:2 5- 0 +3 7 10 - 0 + 21= 31 . 0 8 -6 0 8 -18 -26 二．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解. (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组:b1=b2=…=b m=0的线性方程组. n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 称矩阵 a11 a12…a1n a11 a12…a1n b1 A= a21 a22…a2n 和(A|)= a21 a22…a2n b2 ………………… a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mn b m 为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中. 三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 1.初等变换 矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类. 初等行变换: ①交换两行的位置. ②用一个非0的常数乘某一行的各元素. ③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换) 2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: ①如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上. ②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升. 1 -3 2 6 5 1 0 0 2 4 -6 3 0 0 0 -3 9 4 0 0 0 0 0 0 -3 2 6 5 2 0 0 2 4 -6 3 0 0 0 -3 9 4 0 0 0 0 0 1 -3 2 6 5 1 0 0 0 4 -6 4 0 0 0 -3 9 4 0 0 0 0 0 三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。 四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。 五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。 2019考研数学线性代数知识点总结 【行列式】 1、行列式本质——就是一个数 2、行列式概念、逆序数 考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。 3、二阶、三阶行列式具体性计算 考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。 4、余子式和代数余子式 考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。 5、行列式展开定理 考研：核心知识点，必考! 6、行列式性质 考研：核心知识点，必考!小题为主。 7、行列式计算的几个题型 ①、划三角(正三角、倒三角) ②、各项均加到第一列(行) ③、逐项相加 ④、分块矩阵 ⑤、找公因 这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。 考研：经常运用在找特征值中。 ⑥数学归纳法 ⑦范德蒙行列式 ⑧代数余子式求和 ⑨构造新的代数余子式 8、抽象型行列式(矩阵行列式) ①转置 ②K倍 ③可逆 ③伴随 ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型 (这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容) 考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。 【矩阵】 1、矩阵性质 考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。 2、数字型n阶矩阵运算 第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解] 3.1本章要点详解 本章要点 ■初等变换的概念与性质 ■矩阵之间的等价关系 ■初等变换与矩阵乘法的关系 ■初等变换的应用 ■矩阵的秩 ■线性方程组的解 重难点导学 一、矩阵的初等变换 1．初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)对调两行（对调i，j两行，记作r i?r j）； (2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）； (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）． 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换． 2．矩阵等价 (1)定义 ①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作； ②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作； ③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B． （2）矩阵之间的等价关系的性质 ①反身性A～A； ②对称性若A～B，则B～A； ③传递性若A～B，B～C，则A～C． （3）矩阵的类型 ①两个矩阵 ， 矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0． 结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵． ②标准形 矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形 此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
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