专题07 三角形及四边形的计算与证明(解析版)

专题07 三角形及四边形的计算与证明

一、三角形

1．三角形的概念及性质

概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．

性质：（1）三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（2）三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．

2．三角形中的重要线段

（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．

（2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．

（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．

3．全等三角形的性质与判定

概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．

判定：（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；

（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；

（3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；

（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）．

4．等腰三角形

等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．

等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）；

（3）等腰三角形是轴对称图形．

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）．

5．等边三角形的性质与判定

等边三角形的性质：

（1）等边三角形的内角相等，且都等于60°；

（2）等边三角形的三条边都相等．

等边三角形的判定：

（1）三条边相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

6．直角三角形的性质与判定

（1）直角三角形的两锐角互余．

（2）直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

（5）有一个角等于90°的三角形是直角三角形．

（6）有两角互余的三角形是直角三角形．

（7）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．

（8）勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．

二、多边形

1．多边形概念

定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

2．性质

n边形的内角和为（n－2）·180°，外角和为360°．

三、平行四边形

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

2．平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边相等且平行．

（2）平行四边形的对角相等．

（3）平行四边形的对角线互相平分．

（4）平行四边形是中心对称图形．

3．平行四边形的判定

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（4）对角线相互平分的四边形是平行四边形．

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

四、矩形

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

2．矩形的性质：

（1）矩形的四个角都是直角．

（2）矩形的对角线相等．

（3）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线的交点．3．矩形的判定：

（1）有三个角是直角的四边形是矩形．

（2）对角线相等的平行四边形是矩形．

五、菱形

1．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等．

（2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．

3．菱形的判定：

（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

（2）四条边都相等的四边形是菱形．

六、正方形

1．正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形．

2．正方形的性质：

（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角．

（2）正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．

（3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

3．正方形的判定：

（1）一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

（2）一组邻边相等的矩形是正方形．

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形．

（4）有一个角是直角的菱形是正方形．

（5）对角线相等的菱形是正方形．

方法技巧

1．判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可．

2．“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁．

3．根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角．

4．牢记平行四边形的性质和判定方法，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四边形问题的速度和准确性．

5．牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用．

6．适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性，再进行相应的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径．

核心考点三角形、四边形中的相关证明及计算

纵观近近年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．

【经典示例】如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．

请参考上面的思路，证明点M 是DE 的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE =135°时，延长AD 、EF 交于点N ，求

AM

NE

的值；

（3）在（2）的条件下，若AF AB =k （k 的常数），直接用含k 的代数式表示AM

MF

的值．

答题模板

【满分答案】 （1）如题图1，

∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =CD ，AB ∥CD ， ∵四边形ABEF 为平行四边形， ∴AB =EF ，AB ∥EF ， ∴CD =EF ，CD ∥EF ， ∴∠CD M =∠FEM ，

在△CDM 和△FEM 中，∠CMD =∠FME ，∠CDM =∠FEM ，CD =EF ， ∴△CDM ≌△FEM ， ∴DM =EM ，

即点M 是DE 的中点；

（2）∵△CDM ≌△FEM ，∴CM =FM ， 设AD =a ，CM =b ，

∵∠ABE =135°，∴∠BAF =45°， ∵四边形ABCD 为菱形，∴∠NAF =45°，

∴四边形ABCD 为正方形，∴AC AD a ， ∵AB ∥EF ，∴∠AFN =∠BAF =45°， ∴△ANF 为等腰直角三角形，

∴NF =

2AF =2

a +

b +b ）=a b ，

∴NE =NF +EF =a b +a =2a b ，

∴

AM NE =

（3）∵

AM AB b a =k ，

∴b

a =k ，∴a

b ，

∴

AM

FM =b

b

+a b ．

【解题技巧】本题主要考查了三角形与四边形的综合题，解题关键是要灵活运用平行四边形和菱形的性质；全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代数法表示线段之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

模拟训练

如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =1

4

AB ． （1）求证：EF ⊥AG ；

（2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）．

（3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ??=，求△PAB 周长的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（34+． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD =AB ，∠EAF =∠ABG =90°，

∵点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =

1

4

AB ， ∴

AF AE =12，BG BA =1

2， ∴AF BG

AE BA

=， ∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF =∠BAG ， ∵∠BAG +∠EAO =90°，∴∠AEF +∠EAO =90°， ∴∠AOE =90°， ∴EF ⊥AG ；

（2）成立；理由如下： 根据题意得：AF BG =1

2

， ∵

AE AB =1

2， ∴AF BG =AE

AB

， 又∵∠EAF =∠ABG ，∴△AEF ∽△BAG ， ∴∠AEF =∠BAG ， ∵∠BAG +∠EAO =90°， ∴∠AEF +∠EAO =90°， ∴∠AOE =90°， ∴EF ⊥AG ；

（3）过O 作MN ∥AB ，交AD 于M ，BC 于N ，

如图所示：

则MN ⊥AD ，MN =AB =4，∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB =S △OAB ，∴点P 在线段MN 上， 当P 为MN 的中点时，△PAB 的周长最小，此时PA =PB ，PM =1

2

MN =2， 连接EG 、PA 、PB ，则EG ∥AB ，EG =AB =4，

∴△AOF ∽△GOE ，∴

OF AF OE EG =

=1

4， ∵MN ∥AB ，∴

AM OF EM OE ==1

4

， ∴AM =15AE =15×

2=2

5

， 由勾股定理得：PA

， ∴△PAB 周长的最小值=2PA +AB

4+．

1．（2018?广州）如图，AB 与CD 相交于点E ，AE ＝CE ，DE ＝BE ．求证：∠A ＝∠C ．

【答案】证明详见解析． 【解析】在△AED 和△CEB 中，

AE CE AED CEB DE BE =??

∠=∠??=?

，

∴△AED ≌△CEB （SAS ），

∴∠A ＝∠C （全等三角形对应角相等）．

2．（2018?广东）如图，矩形ABCD 中，AB >AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ． （1）求证：△ADE ≌△CED ； （2）求证：△DEF 是等腰三角形．

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AB ＝C D ．

由折叠的性质可得：BC ＝CE ，AB ＝AE ， ∴AD ＝CE ，AE ＝CD ．

在△ADE 和△CED 中，AD CE AE CD DE ED =??

=??=?

，

∴△ADE ≌△CED （SSS ）． （2）由（1）得△ADE ≌△CED ， ∴∠DEA ＝∠EDC ，即∠DEF ＝∠EDF ， ∴EF ＝DF ，

∴△DEF 是等腰三角形．

3．（2018?广东）已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC ． （1）填空：∠OBC ＝_________°；

（2）如图1，连接AC ，作OP ⊥AC ，垂足为P ，求OP 的长度；

（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿O →C →B 路径匀速运动，N 沿O →B →C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N

的运动速度为

1单位/秒，设运动时间为x 秒，△OMN 的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？

【答案】（1）60；（2）

7；（3）当x 8

3

=时，y ． 【解析】（1）由旋转性质可知：OB ＝OC ，∠BOC ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°．故答案为60． （2）在图1中，

∵OB ＝4，∠ABO ＝30°，

∴OA 1

2

=

OB ＝2，AB =＝

∴S △AOC 1

2

=?OA ?AB 12=?2×=

∵△BOC 是等边三角形，

∴∠OBC ＝60°，∠ABC ＝∠ABO +∠OBC ＝90°，

∴AC ==，

∴OP 2AOC S AC =

==

△． （3）①当0

3

≤

时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时在图2中，过点N 作NE ⊥OC 且交OC

于点E ，则NE ＝ON ?sin60°=

，

∴S △OMN 1

2

=

?OM ?NE 12=?1.5x 2?x ，

∴y =

x 2

．

∴x 8

3

=时，y ．

②当

8

3

作MH ⊥OB 于H （如图3）．则BM ＝8–1.5x ，MH ＝BM ?sin60°=

8–1.5x ），

∴y 1

2

=

?ON ×MH =2．

当x 8

3

=

时，y 取最大值，y 3<，

③当4

MN ＝12–2.5x ，OG ＝AB ＝，

∴y 1

2

=

?MN ?OG ＝2x ，

当x ＝4时，y 有最大值，

∵x >4，∴y 最大值

综上所述，当x 8

3

=

时，y ．

4．（2018?宜昌）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【答案】（1）65°；（2）25°．

【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，

∴∠ABC＝90°–∠A＝50°，

∴∠CBD＝130°．

∵BE是∠CBD的平分线，

∴∠CBE

1

2

∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，

∴∠CEB＝90°–65°＝25°．

∵DF∥BE，

∴∠F＝∠CEB＝25°．

5．（2018?淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

【答案】证明详见解析．

【解析】过点A作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∵∠1+∠2+∠BAC ＝180°， ∴∠BAC +∠B +∠C ＝180°， 即∠A +∠B +∠C ＝180°．

6．（2018?乐山）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC ＝BD ．

【答案】证明详见解析．

【解析】∵∠ABD +∠3＝180°∠ABC +∠4＝180°，且∠3＝∠4， ∴∠ABD ＝∠ABC ，

在△ADB 和△ACB 中，12

AB AB ABD ABC ∠=∠??

=??∠=∠?

，

∴△ADB ≌△ACB （ASA ）， ∴BD ＝BC ．

7．（2018?昆明）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．

【答案】证明详见解析． 【解析】∵∠1＝∠2， ∵∠DAC +∠1＝∠2+∠DAC ∴∠BAC ＝∠DAE ，

在△ABC 和△ADE 中，B D AB AD BAC DAE ∠=∠??

=??∠=∠?

，

∴△ADE ≌△ABC （ASA ）， ∴BC ＝DE ．

8．（2018?铜仁市）已知：如图，点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，

求证：AE ∥FB ．

【答案】证明详见解析．

【解析】∵AD ＝BC ，∴AC ＝BD ，

在△ACE 和△BDF 中，AC BD AE BF CE DF =??

=??=?

，

∴△ACE ≌△BDF （SSS ）， ∴∠A ＝∠B ， ∴AE ∥BF ．

9．（2018?柳州）如图，AE 和BD 相交于点C ，∠A ＝∠E ，AC ＝EC ．求证：△ABC ≌△EDC ．

【答案】证明详见解析．

【解析】∵在△ABC 和△EDC 中，A E AC EC ACB ECD ∠=∠??

=??∠=∠?

，

∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．

10．（2018?通辽）如图，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的

延长线于F ，且AF ＝CD ，连接CF ． （1）求证：△AEF ≌△DEB ；

（2）若AB ＝AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）证明详见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明详见解析．

【解析】（1）∵E是AD的中点，∴AE＝DE，

∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）连接DF，

∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，

∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE，

∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB，

∵AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形ADCF是矩形．

11．（2018?鄂州）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．

（1）求证：AE＝EF；

（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系式．

【答案】（1）证明详见解析；（2）2α+β＝60°．

【解析】（1）点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF

1

2

=CD，

∵∠DAB＝90°，∴AE

1

2

=BD，

∵DB＝DC，∴AE＝EF；

（2）∵AF＝AE，AE＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠DAB＝90°，点E、F分别为DB、BC的中点，

∴AE＝DE，EF∥CD，

∴∠ADE＝∠DAE，∠BEF＝∠BDC＝β，

∴∠AEB＝2∠ADE＝2α，

∴∠AEF＝∠AEB+∠FEB＝2α+β＝60°，

∴α，β之间的数量关系式为2α+β＝60°．

12．（2018?鞍山）如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．

【答案】证明详见解析．

【解析】连接AC，BD，如图所示．

∵E为AB的中点，F为BC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，∴EF

1

2

=AC，

同理HG

1

2

=AC，EH＝FG

1

2

=BD，

∵矩形ABCD，∴AC＝BD，

∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．

13．（2018?本溪）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．

【答案】（1）证明详见解析；（2）26．

【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，

∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，

∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，

∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，

∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，

∵BD＝8，∴DE==6，

∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，

∴四边形ABED的周长为：AD+AB+BE+DE＝26．