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三角形的简单证明与计算

一.与三角形有关的角度计算

在下面的问题屮，我们只需用到以下关于角度的定理：

（A）三角形的内角和定理，外角和定理；

（B）等边对等角（由线段相等关系导向角度相等关系的重要定理！）;

（C）（凸）多边形的内角和定理，外角和定理；

根据条件识图：如右图，直线DF与△ABC的边AB交于D,与BC交于E, 与

AC的延长线交于F,若ZABC与ZADF的角平分线相交于G, ZACB 与ZAFD的角

平分线相交于H,求证：ZG=ZH.

例2、看似无关的角度Z间可能具有简单的数量关系！

如图，DC平分ZADB. EC平分ZAEB, ^ZDAE= u , ZDBE= P , 则ZDCE= .（用

a、0表示）

分析：当我们根据某个定理写出一个角度关系式时，其中所包含的往往

不仅是要研究的角度，还有一些不会出现在最终结果里的角度，这提示

我们要进行消元处理！

例1、一些以往见过的典型问题：两条角平分线的交角

(b) ____________________ ； (c) ____________________

B

例3、以尽量简短的方式揭示数量关系!

如右图，线段AD、BC交于点O, ZBAD与ZBCD的平分线交于点P,试探

究ZP、ZB、ZD三者之间的数量关系.

分析：三个量Z间可能具有的关系包括彼此相等、某个量是另外两个

量之和、某个量是另外两个量的平均数……等等，准确的画图和度量

可以帮助我们推测出“平均数关系”是最有可能的.

现在，请你用尽量少的式子（一个定理产生一个与角度有关的关系式）证明自己的推测!

提升练习习题1

如图，在ZVIBC中，Z^ = 80°，点D、E、F分别在边AB. BC、CA

上，BD=BE, CE=CF,求ZDEF的度数.

习题2

在△A3C中，AB=AC, D是A3边上一点，AD=CD=BC,求△4BC三个内角的度数.

习题3

/XABC中，ZCAB—ZB=90° , ZC的平分线与AB交于厶,

ZC的外角平分线与BA的延长线交于N, CL=3,求CN=2

习题4

如图，CD是Rt△斜边AB±的高，ZA的平分线4E交CD 于H,交

ZBCD的平分线CF于G.求证：HF// BC.

习题5 如图，已知ZVIBC, AA'平分其外角ZBAE,交CB延长线于/T 点，平分其外角/CBD,交AC 延长线于点，若AA f=AB =BB',则ABAC的度数是多少？

习题6

如图(a),在AABC屮，AB=AC,过A点作线段AD=AC.

（1）若已知ZB4C=40°,求ZB DC =2

（2）请你推测ZBAC与ZBDC的数量关系，并证明自己的结论.

（3）___________________________________________________________________ 如图，E为正方形ABCD外一点，AE=AD,根据你的发现，ZBED= _________________________

D

(b)

二、作为基本语言的全等证明

全等是论证过程中最可靠的表述方式之一，很多看似合理却难以说清楚的问题，只要选择合适的全等三角形（有时还要主动去将它们构造出来），就可以给岀清晰的论证.

1、在三角形全等判据中，“边角边”是最基本的，其他儿条可以看作是它的推论.

命题1一1在厶ABC中，若AB=AC,则ZABC=ZACB?

分析：由于只能使用“SAS”判据，我们不得不走一条“迂回”的路.分别延长

AB、AC至￡＞、E,使得BD=CE,通过两次“SAS”全等完成证叽

命题1一2 在厶ABC中，若ZABC=Z4CB,则AB=AC.

分析：在只能用“SAS”的前提下，这条定理的证明是用命题1—1结合“大边对大角”用反证法來实现的，我们会在下学期具体讨论它的证明.

命题1一3三角形全等的“SSS”判据.

已知：AB=A X B, AC=A l C, BC=BC（令一对相等的边重合）. 求证：△ABC竺

△A|BC.

命题1一4三角形全等的“ASA”和“AAS”判据.（写出已知、求证，画图并完成证明）

命题1-5三角形全等的“HL”判据.

分析：根据勾股定理，已知直角三角形的两边即可求出第三边，因此由“SSS”可以证明“HL” 正确，下面我们用“SAS”证明勾股定理.为此，我们用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，再用两种方式表示其面积.

A

已知：ZBC中，ZACB=90Q ,记三边长分别为a、b和c.

求证:a + b2 = c2.

证明：以a+b为边长作正方形MNPQ〈四条边都相等，四个角都是直角），在各边上

取点S、T、U、V,使得SN= TP=UQ=VM=a, SM=TN=UP=VQ=b,

命题1—6关于“两边一角”的补充: 如图，AABC 与△DEF, AB=DE, AC=DF, ZACB=ZDFE=a ( 90° < CT <180° ).

求证：

C E F

2、用全等语言来论证一些直观合理、逻辑上不容易解释的命题.

命题2—1平行线的判据：同位角相等，两直线平行.

根据平行公理：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行.利用尺规作图可以作出相等的同位角（这一作图根据的是全等判据___________ ）,现在我们来证明：同位角相等时, 所得到的直线就是公理中所说的那条直线.

已知：如图，直线＜3与直线A和?2分别交于点A、B, Z1 = Z2.

求证:h//l2.

分析：用反证法.假设直线厶和“相交于点P （不妨设卩点位于厶右侧），则

可形成△ABP.但是Z1与Z2的补角也是相等的同位角，因此人左侧也可以交

出一个△AB0由此导出矛盾.

证明：设直线和乙相交于点户（不妨设P点位于＜3右侧），在厶左侧截AQ=BP,连接BQ.

则在ZVIBP与△B4Q中,

AB = BA（公共边）

＜Z2 = Z3（已证）

BP = AQ（己作）

??? /\ABP^/\BAQ（_____ ）

??? Z4=Z5 （_______________ ）

又???Zl + Z4=180°（ _______________ ）, Z1 = Z2 （已知）

???Z5+Z2=180°（_________________ ）,即Q、B、P三点共直线.

由此，与公理“ _______________________________ ”矛盾，否定前提假设，则有1}//12.

命题2-1两条平行线之间所夹的垂线段长度都相等.

已知：如图，直线/i〃b A、B为b上任意两点,AP丄/i，BQ丄几求证：

AP=BQ.

（提示：连接AQ）

命题2-2若两直线之间所夹的垂线段长度相等，则它们互相平行.

已知：如图，A 、B 为直线厶同侧两点，AP 丄/i ，BQ 丄h ? 求证：AB//1\.

利用命题2—1和2-2,结合面积方法，可以得到下面两个主要定理:

Ari AT

命题2—3在心眈中，若- = ^DE//BC .

如果将平行四边形定义为“两组对边分别平行的四边形”，那么两

组对边分别相等的四 边形是否也是四边形呢？该如何说明？

命题 2-5：如图，在四边形 ABCD 中，若 A 〃=CD, AD=BC.贝i AB//CD t AD//BC.（或 者说，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

An AP 命

题2-4在3C 中，若DE 〃BC,则

A B

命题2-6直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

（我们曾在习题中见过该证明的“半成品”，现在自己写出已知、求证，画图并完成证明）

由此可以导出下面这个有趣的结果（请你给出证明）：命题2—7直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

命题2—8若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角为30。?

三、三角形综合练习

1、如图，在ZSABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且

AN=2NC, CM与BN相交于点K.若ABCK的面积等于1,则厶ABC的面积是多少？

2、如图，已知C是的屮点，CD=CE, ZDCA=ZECB. 求证：ZDAE=kEBD.

3、如图，求Z1 + Z2+ Z3 + Z4+ Z5 + Z6+ Z7 的度数.

4、如图，在线段AB同侧做直角△4BC和直角△ABD 求证：ZADC=

ZABC.

（提示：作边上的中线，并使用命题2—6）

*5、在ZVIBC中，ZB=100° , ZC的平分线交边AB于E, 在边

AC上取点Q,使得ZCBD=20。,连接QE则Z CED的度数是

多少？

客6、AABC中，ZA=2ZB, CD是ZACB的平分线. 求证：

BC=AC+AD.

*7、在厶ABC中，AB=AC, ZABC=40° , BD 是ZB 的平分线，延长至E，使DE=AD.求ZECA的度数.

*8、在△ABC的3个顶点处分别作外角平分线，其交点构成△PQR. 证明：PC丄QR.

最后一个证明使你联想到什么新的结果？请你试着就“三角形的心（内心、外心、旁心、重心）”等问题进行尝试和探索，看看能否得到一些有趣的结果？