中位线与中线
环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号：
学员编号： 年 级：八年级 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：初中数学 学科教师：
课 题 中位线与中线的专题
授课日期及时段
2014 年 8月14日 15：00——17：00
教学目的
1．掌握中位线与中线的性质，同时能够将二者很好的鉴别开来。
2．能够在做题中联想到中位线及中线，并能灵活运用。
教学内容
苏步青（大陆数学家）说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然”。
【知识点回顾】
一、中位线
(一)三角形中位线
1.定义:三角形中位连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
如图，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，1
2
DE BC
。 (1)证明1：如图，延 长DE 到 F ，使EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE
∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB ∥FC
又AD=DB ∴BD ∥=CF
所以 ，四边形BCFD 是平行四边形 ∴DE ∥BC 且 DE=1/2BC
(2)证明2：如图，延 长DE 到 F ，使EF=DE ，连 结CF 、DC 、AF ∵AE=CE DE=EF
∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴AD ∥=CF ∵AD=BD ∴BD ∥=CF
∴四边形BCFD 为平行四边形
∴BC ∥=DF ∴DE ∥BC 且 DE=1/2BC (二) 梯形中位线：
1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
2.定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（三）中点四边形：
1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形；
E
B D A C
F E
D B
C
A
3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；
总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；
1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。 2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。 3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。
二、中线
1.定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
2.表示法：(1)AD 是△ABC 的 BC 上的中线.
(2)BD=DC = 2
1
BC
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
3.直角三角形斜边上中线的性质
(1)性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt △BAC 中，∠BAC=90，D 为BC 的中点，则
BC 2
1
AD =
。
(2)性质的拓展：
如图1：∵D 为BC 中点，∴BC 2
1
DC BD ==， ∴AD=BD=DC=
BC 2
1
， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
A
B C
D
（3）证明：
方法一、构造矩形完成证明：
如图，延长CD 到点E ，使DE=CD ，连接AE 和BE 。 由于AD=BD ，所以四边形ACBE 是平行四边形，
又因为∠ACB=90°，所以 ACBE 是矩形。所以CE=AB ， 由于12CD CE =
，所以1
2
CD AB =。
C
E D
B
A
方法二、构造三角形的中位线完成证明：
延长BC 到点E 使CE=BC ，连接AE 。
∵点D 是AB 的中点，点C 是BE 的中点，
∴CD 是△BAE 的中位线，∴1
2
CD AE =
. 在△ACE 与△ACB 中，
∵AC=AC ，CE=BC ，∠ACB =∠ACE=90°， ∴△ACE ≌△ACB （SAS ）。 ∴AE=AB ，∴1
2
CD AB =
。
C
E
D
B
A
【例题讲解】
1.如图， ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的点，AE=BF ，AF 与BE 相交于点M ， CE 与DF 相
交于点N.
求证：MN ∥BC. 分析：从要证明的结论可以看到MN 与BC 的关系很像三角形的中位线与三角形的第三边之间的关系。因此，应考虑证明点M 、N 分别是EB 和EC 的中点。
证明：如图，连接EF ，在
ABCD 中， AD=BC ，AD ∥BC ， N
M
F C
E D B
A
∵AE=BF ，∴DE=CF
∴四边形ABFE 和四边形EFCD 都是平行四边形。 ∴点M 、N 分别是EB 和EC 的中点。
∴MN 是△EBC 的中位线。 ∴MN ∥BC.
评析：本题借助平行四边形的性质，通过证明三角形的中位线，然后利用中位线定理证明结论。
2. 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=BD ，M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD
的中点，Q 是MN 的中点，
Q
P
O
N
M
F
C
E
D
B
A
（1）求证：PQ ⊥MN ； （2）判定△OEF 的形状.
分析：本题出现的线段中点比较多，考虑运用三角形的中位线定理解决问题。 证明：（1）如图，连接PM 和PN ，
Q
P
O
N
M
F
C
E
D
B
A
∵M 、P 分别是边AB 、BC 的中点，∴PM 是△BAC 的中位线。
∴PM ∥AC ，1
2PM AC =
。 同理，PN ∥BD ，1
2
PN BD =.
∵AC=BD ，∴PM=PN .
∵Q 是MN 的中点，∴PQ ⊥MN. （2）△OEF 是等腰三角形。
∵PM ∥AC ，PN ∥BD ，∴∠OFE =∠PMN ，∠OEF =∠PNM 。 ∵PM=PN ，∴∠PMN =∠PNM ， ∴∠OFE =∠OEF ，
∴△OEF 是等腰三角形。
评析：综合利用三角形的中位线定理和等腰三角形的性质解决问题。
【当堂练习】
一、选择题
1. 点D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，下列说法不正确的是（ ）
A 、若点D 、E 分别是A
B 和A
C 的中点，则12
DE BC =
B 、若点D 是AB 的中点，DE ∥B
C ，则点E 也是AC 的中点。 C 、若点
D 是AB 的中点，1
2
DE BC =，则DE ∥BC 。 D 、若DE ∥BC ，1
2
DE BC =
，则点D 、E 分别是AB 和AC 的中点。 2. 如图，已知，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，下列说法中不正确的是（ ）
H
G
F
C
E
D B
A
A 、四边形EFGH 是平行四边形。
B 、若AC=BD ，则四边形EFGH 是菱形。
C 、若AC ⊥B
D ，则四边形EFGH 是矩形。 D 、四边形EFGH 的形状不能确定。
3. 如图，依次取三角形三边的中点组成三角形，最大三角形的周长是20cm ，最小三角形的周长是（ ） A 、10cm B 、5cm C 、3cm D 、2cm
4. 如图，△ABC 中，AB=8cm ，AC=6cm ，点E 是BC 的中点，若AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，线段DE 的长为（ ）
A 、1cm
B 、2 cm
C 、3 cm
D 、4cm
5. 如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 的中点， BE 和CD 相交于点F ，则DF ：DC 等于（ ）
A 、1：2
B 、1：3
C 、2：3
D 、3：4
C
E
D
B
A
F
C E
D
B
A
第3题 第4题 第5题
6．梯形的上底长4cm ，下底长6cm ，则梯形的中位线长为( ) A.12cm B.5cm C.10cm D.20cm
7．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形周长为( ) A.9
B.6
C.3
D.
2
9 8．在四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ，那么顺次连结四边形ABCD 各边的中点所得的四边形一定是( ) A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
9．M 、N 、P 、Q 顺次为四边形ABCD 各边的中点，下面条件使四边形MNPQ 为正方形的条件是( ) A.四边形ABCD 是矩形
B.四边形ABCD 是菱形
C.四边形ABCD 是等腰梯形
D.四边形ABCD 中，AC⊥BD，且AC ＝BD
二、填空题
1. 如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=18°，则∠PFE 的度数是 。
P
F C
E
D
B
A
F
C E
D B
A
P F
C E
D
B A
G
第1题 第2题 第3题
2. 如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AB=7cm ， AC=5cm ，则四边形AFDE 的周长等于 。
3. 如图，矩形ABCD ，P 、G 分别是BC 和CD 上的点，E 、F 分别是AP 和GP 的中点，如果DG=3，AD=4，则EF 的长为 。
4. 顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形的形状是 。
三、解答题
1. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点， E 、F 分别是AC 和BC 的中点。 求证：CD=EF.
F C
E
D
B
A
2．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．
3．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ， 求证：EF=
1
2
BD ．
4. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D,E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点。 求证：四边形OEFG 是等腰梯形。
F
E
G
D C
B
A
5、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE
N
M
E D
C
B
A
【课后习题】
一、选择题
1、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ） A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分
2、顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）.
A ．等腰梯形
B ．矩形
C ．平行四边形
D ．菱形或对角线互相垂直的四边形
3、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）. A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm
4、如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于
（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
B A D
C E F D
O
5．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ） A. 332 B. 316 C. 310 D. 3
8
6.如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，如果中位线EF 的长为4cm ，且BC ＝3AD, 则梯形下底的长为( ) A.8cm
B.6cm
C.4cm
D.2cm
7．如图，△ABC 中，如果AB ＝30cm ，BC ＝24cm ，AC ＝27cm ，AE ＝EF ＝FB ，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )
A.70cm
B.75cm
C.80cm
D.81mc
第6题图 第7题图
二、解答题
1、过矩形ABCD 对对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点，若∠AOG ＝30o
求证：3OG=DC
G
O
F
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
2、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。
求证：∠FDA=∠FCB
D
A
F
E
C
B
3．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
4．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
5．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE 分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
构造中位线巧解圆锥曲线题
构造中位线 巧解圆锥曲线题 徐志平 （浙江金华一中 321000） 在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。 1．求点的坐标 例1. 椭圆13 122 2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。如果线段1PF 的 中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ） A. 43± B. 2 2± C. 23± D. 43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。 连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以MO 是21F PF ?的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x 2 3±=，43±=∴M y ，故选（D ）。 例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2 =x 上移动，记线段AB 的中点 为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。 解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41 -=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1 是梯形AA 1B 1B )(21 )(21111BF AF BB AA MM +=+= ，在ABF ?可以取等号） 通径∴>≥+AB AB BF AF (，2 211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离= 。 4 5 4123=-即45=M x 。 ∴显然这时弦AB 过焦点），（04 1F 。设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12 1x y = ① 22 2x y = ②，①-②得M y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--?-=-+
三角形的中位线经典习题类型大全
第 1 页 共 3 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A
(完整版)八年级数学中位线定理
8.4 中位线定理 教学目标： 1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。 2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现动手实践、自主探索、合作交流的学习过程,体会转化的思想方法。 3、通过对问题的探索研究，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。 教学重点：探索并运用三角形中位线的性质。 教学难点：运用转化思想解决有关问题。 教学过程 一、创设情境，引入新课 如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。 二、探究活动（一） 学生看书：了解三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 学生思考：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来么？请学生画出三角形的中位线。 学生活动：动手画图，与同伴交流，得出三角形的中位线有三条。 （2）请学生画出三角形的中线，并说出三角形的中线与中位线的不同教师： （3）正确理解中位线的含义：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点 三、探索中位线的性质 1、提出猜想：如右图,已知，在△ABC 中， DE 是△ABC 的中位线，ΔABC 的中位线DE 与BC 有怎样的位置和数量关系？ E D A B C
【精品】2021年八年级数学解题技巧训练7构造中位线解题的五种常用方法含答案与试题解析
2021年八年级数学解题技巧训练7构造中位线解题的五种常用 方法含答案与试题解析 一、经典试题 1．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求 证：MN=1 2（AB+AC﹣BC）． 二、技巧分类 技巧1 连接两点构造三角形的中位线 2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点． （1）求证：PM＝PN； （2）求∠MPN的度数． 技巧2 已知角平分线及垂直构造中位线 3．（2019秋?诸城市期末）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（） A．3B．9 2C．5D． 15 2 4．（2018春?吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD ⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
技巧3 倍长法构造中位线 5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， M为AF的中点，求证：ME=1 2CF． 技巧4 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=√2MN． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于 点N，求证：AN=1 3AC．
2021年构造中位线解题的五种常用方法 参考答案与试题解析 一．试题（共7小题） 1．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求 证：MN=1 2（AB+AC﹣BC）． 【专题】证明题． 【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BN为∠ABC的角平分线， ∴∠CBN＝∠ABN， ∵BN⊥AG， ∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠G+∠CBN＝90°， ∴∠BAN＝∠AGB， ∴AB＝BG， ∴AN＝GN， 同理AC＝CF，AM＝MF， ∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC， ∴MN=1 2（AB+AC﹣BC）． 2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点． （1）求证：PM＝PN；
中位线和中点四边形
中点四边形 1、如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC．BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长等于（）． A．38 B．39 C．40 D．41 2、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的 长为______________． 3、如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为____________． 4、如图，正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为____________． 5、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，M、N是BC边上的点，BM=MN=NC， 如果AM=4，AN=3，则MN=___________． AB，点E、F分别为边BC、6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1 2 AC的中点． （1）求证：DF=BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．
7、如图①，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=P A，PD=PB，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H． （1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由； （2）当点P在线段AB的上方时，如图②，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； （3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由． 8、如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E，F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P．求证：∠P AE=∠PBF．
构造中位线巧解题复习过程
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理
中位线的综合应用
中位线的综合应用 一、对教学内容和要求的理解 本节课是在九年级下复习了三角形的中位线、四边形──平行四边形、矩形、菱形、正方形之后安排的一节专题训练课的学习。具体教学内容是：学生在复习了三角形中位线定理以及特殊四边形的性质和识别后，利用这些定理展开新一轮的探究，在整个教学过程中，学生经历了提出问题──观察──猜想──证明──问题解决的科学探索过程，探究式教学贯穿始终，体会转化的数学思想在解决实际问题中的重要性。通过教师的适当引导，学生投人探究中点四边形为什么是平行四边形这一活动中，通过这个探究活动来体验知识的获得过程。 教学目标 （一）知识目标 1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；利用中位线解决问题。 2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置长短。 3、通过图形变换使学生掌握添加辅助线的方法。 （二）能力目标 1、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力； 2、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主
义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。（三）情感目标 通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。 教学重点和难点 1．重点：中点四边形的得出过程，及中位线的应用。 2．难点：适当添加辅助线证明命题。 3．课型：探究课。 教学方法：引导探究法、讨论法 教学手段 1．教具：实物投影 2．多媒体课件 课时安排：1课时 三、教学过程 （一）温故而知新 1．三角形的中位线有什么性质？ 学生回答：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 如图，若D、E分别是△ABC的边AB、AB的中点。则DE∥BC， DE=1／2BC。 (利用多媒体演示图示1) 2．下面我们要探讨四边形的中点构图的一些特性。
构造中位线巧解题
构造中位线巧解题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 的平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定 理 例3、如图5所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着 BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速 度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达？
中位线与中线
环球雅思学科教师辅导讲义 讲义编号： 学员编号： 年 级：八年级 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：初中数学 学科教师： 课 题 中位线与中线的专题 授课日期及时段 2014 年 8月14日 15：00——17：00 教学目的 1．掌握中位线与中线的性质，同时能够将二者很好的鉴别开来。 2．能够在做题中联想到中位线及中线，并能灵活运用。 教学内容 苏步青（大陆数学家）说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然”。
【知识点回顾】 一、中位线 (一)三角形中位线 1.定义:三角形中位连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，1 2 DE BC 。 (1)证明1：如图，延 长DE 到 F ，使EF=DE ，连 结CF. ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB ∥FC 又AD=DB ∴BD ∥=CF 所以 ，四边形BCFD 是平行四边形 ∴DE ∥BC 且 DE=1/2BC (2)证明2：如图，延 长DE 到 F ，使EF=DE ，连 结CF 、DC 、AF ∵AE=CE DE=EF ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴AD ∥=CF ∵AD=BD ∴BD ∥=CF ∴四边形BCFD 为平行四边形 ∴BC ∥=DF ∴DE ∥BC 且 DE=1/2BC (二) 梯形中位线： 1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 2.定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 （三）中点四边形： 1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； E B D A C F E D B C A
三角形培优训练 题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
初中数学竞赛专题中位线
初中数学竞赛专题中位线 一、内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计 算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括 作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线 截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。求证：PM ＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题） 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质 PE ＝ 21AC ＝NF ，PF ＝2 1 AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN P
用三角形中位线定理解题
用三角形中位线定理解题 三角形中位线定理是平面几何中十分重要的定理，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何命题，如： 1．证明线段的倍分关系 例1 如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F． 证明：取CF的中点H，连接DH，则DH为△CBF的中位线，EF为△ADH的中位线，故DH=1 2 BF， EF=1 2 DH. 2．证明两线平行 例2 如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为垂足．求证DE∥ BC． 证明延长AD、AE交BC与CB的延长线于M、N． 由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM；同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线． ∴DE∥MN，即DE∥BC 3．证线段相等 例3 如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD 的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．求证AP=AQ
证明取BC中点F，连接MF与NF． ∵BM=ME，BF=FC． 同理可得NF∥BD，且 又BD=CE，∴MF=NF，故∠3=∠4， 又∠1=∠4，∠2=∠3， ∴∠1=∠2，故AP=AQ． 4．证两角相等 例4 如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P． 求证：∠BAP=∠CAP． 证明连接BN并取中点Q，连接DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ=1 2 BM，EQ∥CN，且EQ= 1 2 CN， 又BM=CN. ∴DQ=EQ，故∠1=∠2， 又∵∠1=∠BAP，∠2=∠CAP， ∴∠BAP=∠CAP． 5．证比例式 例5 如图5，AD为△ABC的中线，过点C的任一直线与AD、AB分别相交于E与F，求
三角形的中位线经典习题类型大全
第 1 页 共 2 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A
八年级数学三角形中位线培优专题训练
八年级数学三角形中位线培优专题训练 一、内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度， 确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理 及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中 点。求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质 PE ＝ 21AC ＝NF ，PF ＝2 1 AB ＝ME P
PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN 例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。 分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN MP ∥AB ，MP ＝ 21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2 1 AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP ∴∠3=∠4=2 MPN -180∠ ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） ∴∠1=∠2=2 MPN -180∠ ， ∠2=∠3 ∴NP ∥AC ∴MN ∥AD 证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG 则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG ∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 N C
典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法
典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法 ?名师点金? 三角形的中位线具有两方面的性质： 一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。 典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N. 求证:MN=21(AB+AC-BC) 解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=2 1(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。 方法1：连接两点构造三角形的中位线 1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。 (1)求证PM=PN ； (2)求∠MPN 的度数。 方法2：已知角平分线及垂直构造中位线 2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。
3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。 方法3：倍长法构造三角形的中位线 4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF 方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线 5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN 方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线 6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=3 1AC
中位线的性质及练习
B C 中位线 一、 三角形中位线的性质 1、如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的关系？四边形ADEF 的周长与AB+AC 2、已知在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点，H 是EF 的中点.求证：EF ⊥GH. 3、如图所示，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，点E 是BC 的中点。 求证：（1）DE ∥AB ；（2）DE=21 (AB-AC). 变式：小明有一个解不开的迷：他任意画了三个△ABC （不全等），发现只要向图中的角平分线BG 、CF 作垂线AG 、AF ，连接两垂足F 、G ，则FG 总是与BC 平行，但他不会证明，你能解开这个迷吗？ A B C F G
B 4、 入图在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AC=BD ，求证：OM=ON. 5、O 是ΔABC 所在平面内一动点，连接OB ，OC ，并将AB ，OB ，OC ，AC 的中点D ， E ， F ， G 依次连接，如果DEFG 能构成四边形： （1）如图，当O 点在ΔABC 内部时，证明四边形DEFG 是平行四边形。 （2）当O 点移动到ΔABC 外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由。 （3）若四边形DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由。 二、 梯形中位线的性质 1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm ，这个等腰梯形的周长为（ ） A 、16 cm B 、32 cm C 、24 cm D 、40 cm 2、已知四边形ABCD 是高为10的等腰梯形，AB=DC ，AD ∥BC ，又AC ⊥BD ，求中位线EF 的长。
找中点构造三角形中位线解题(教师)
找中点构造三角形中位线解题 三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。现介绍几种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 二、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形。 ②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的，利用此定理可证明线段平行，从而可证明两角相等； 大小上：等于第三边的一半。利用此定理可证明两条线段之间的倍分关系； 三、应用举例 1、如果已知三角形两边中点，就直接连接构成三角形的中位线 例1、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、BC 、BD 的中点，H 是EF 的中点，试说明线段GH 与线段EF 的位置关系； 简析：在△ABC 中，E 、G 分别是AD 、BD 的中点，可连接EG ，则 有AB EG 2 1 =；在△BCD 中，G 、F 分别是BD 、BC 的中点，可 连接GF ，则有CD FG 2 1 =, 而AB=CD ，所以EG FG =,即△ EFG 是等腰三角形，又H 是底边EF 的中点，由等腰三角形的三线合一定理可知GH ⊥EF. 2、如果已知三角形一边中点，则可以取另一边的中点连接起来构成三角形的中位线 例2、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM= 2 1 AB 。 分析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线 定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。 H G F E D C B A
鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题1(附答案)
鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题1（附答案）一．选择题（共10小题） 1．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（） A．B．1C．2D．3 2．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（） A．邻边不等的矩形B．等腰梯形 C．有一个角是锐角的菱形D．正方形 3．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（） A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7 4．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若＝6，则△ABC的边长为（） A．B．C．D．1 5．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（） A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5 C．＜MN＜D．＜MN≤
6．（体验探究题）下列说法正确的是（） ①顺次连接四边形的中点，所围成的四边形是平行四边形 ②顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形 ③顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形是矩形 ④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形是矩形 A．1个B．2个C．3个D．4个 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为（） A．6B．2C．D．6.5 8．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB＝AC≠BC，那么△DEF为（） A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．等腰三角形D．不等边三角形 9．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC 的周长为30，BC＝12．则MN的长是（） A．15B．9C．6D．3
(完整版)初中数学_巧添辅助线__解证几何题
巧添辅助线 解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以 归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1=∠β；或把 ∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构 造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二） [例题解析] 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。 求证：∠DBC= 1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用 三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12 ∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90 ° ∴∠DBC=90° -∠C=90° -(90° - 12∠BAC)= 1 2 ∠BAC 即∠DBC= 1 2 ∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠ A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°
(完整版)平行四边形和三角形的中位线专题培优
平行四边形和三角形的中位线 (二) 1如图，过口ABCD内一点P作边的平行线EF、GH, =5，S 四边形PGAE = 3，贝y S A PBD = ______________ 2、如图，口ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点, 其 交点为P,求证：/ CPB =/ CPD . 3、已知等腰厶EAD 和等腰△ CAB, EA = ED, CA = CB，/ AED = Z ACB = a,以线段AC、AE 为边作平行四边形ACFE,连接BF、DF . (1)如图1,当a= 90°且A、D、C不在一条直线上时，求/ DFB的度数； (2)如图2,当0°< aV 90°且A、D、C不在一条直线上时，求/ DFB的度数. 4、如图1在厶OAB中，/OAB=9O0,/AOB=30 0, 0B=8.以OB为边，在△ OAB外作等边厶OBC , D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E. (1)求证：四边形ABCE是平行四边形； ⑵如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的长。 5、如图，△ ABC 中，/ ACB = 90° CD 丄AB 于D, AE 平分/ BAC，交CD 于K，交BC 于E, F 为BE上一点且BF = CE,求证：FK // AB .
1 6、四边形ABCD 中，AD // BC , (1)如图1，若E 、F 分别是 AB 、CD 的中点，求证：EF= (AD+BC) 2 1 (2) 如图，2,若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，求证：GH< (AB+CD) 2 1 (3) 如图3,连接AC 、BD ，若M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证： MN< (BC — AD) 7、如图,点P 是四边形 ABCD 的对角线 BD 的中点,E,F 分别是AB,CD 的中点，AD=BC, / CBD=45 ./ ADB=105 °，试探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。 8、如图，将△ ABC 的边AB 绕点A 顺时针旋转角 a 得到线段AD ，同时边AC 绕点A 逆时针旋 转角 a 得线段 AE ( a^ 180° — / BAC )，连接 BD 、CE ，分别作 BD 、BC 、CE 中点，M 、P 、N , 连接MP 、PN . (1) 如图 1,若 a= 60° 时，/ MPN = __________ ; (2) 改变旋转方向，如图 2,边AB 绕点A 逆时针旋转角 a 得AD ，边AC 绕点A 顺时针旋转角 a 得到线段AE ，其余条件不变，写出/ MPN 与a 之间的关系，并证明. 9、如图，在△ ABC 中，分别以 AB 、AC 为斜边作等腰 的中点，求证：PM = PN . ft Rt △ ABM 和等腰 Rt △ CAN , P 是边 BC
中位线 经典讲义
学科教师辅导讲义 年 级： 辅导科目：数学 学科教师： 教学目标 中位线 教学内容 一、知识点： ⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。 ⑵三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 2、梯形的中位线： ⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。 ⑵梯形中位线的性质 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 二、举例： 例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？ F E D C B A H G F E o D C B A
例3：已知：如图， AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。 ⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。 例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。试说明DM= 2 1AB 例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。 例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。试说明：EF ∥BC 。 例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝ 2 1 (BC －AD)。 B A F E A C M D A N