高考数学讲义复数.教师版

一、复数的概念

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于1-，即2i 1=-;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i 与－1的关系:

i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i. (4)i 的周期性：

41i i n +=, 42i 1n +=-, 43i i n +=-, 4i 1n =.

2．数系的扩充：复数(0)i i(0)

i(0)i(0)

a b a b b a a b b a b a =??

+=??+≠??+≠??

实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数的定义：

形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示

4.复数的代数形式:

复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.

5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数

z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0

知识内容

复数

6.复数集与其它数集之间的关系：

N Z

Q R

C 苘苘

7.两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，

c ，

d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =,b d =

二、复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是

00i 0z =+=表示是实数.

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3.

复数z a bi =+←???

→一一对应

复平面内的点(,)Z a b .

三、复数的四则运算

1.复数1z 与2z 的和的定义：

12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++

2.复数1z 与2z 的差的定义：

12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-

3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+

4.复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++

5.乘法运算规则：

设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律：

(1)()()123123z z z z z z = (2)123123()()z z z z z z ??=?? (3)()1231213z z z z z z z +=+ 7.复数除法定义：

满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数i x y +(x 、y ∈R )叫复数i a b +除以复数i c d +的商，记为：

()(i)i a b c d +÷+或者i

a b c d ++ 8.除法运算规则：

设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )，即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()i i i x y c d cx dy dx cy ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+

由复数相等定义可知???=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得???

????+-=++=.

,2222d c ad bc y d

c b

d ac x

于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222

i ac bd bc ad

c d c d

+-=

+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将i

a b c d ++的分母有理化得：原式22

i (i)(i)[i (i)]()i

i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+?-+-=

==++-+ 222222

()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad

c d c d c d ++-+-=

=++++.

∴(()(i)i a b c d +÷+=

2222

i ac bd bc ad

c d c d +-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积

为1是有理数，而()()22i i c d c d c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法

叫做分母实数化法. 9.共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的

两个共轭复数也叫做共轭虚数.

<教师备案>近年来高考对复数知识的考查都比较简单，基本都在选择的前四题或者填空题的第一\二道，新课标中，文理都要学习复数，但是只学习复数的代数形式与加法乘除运算，不再学习复数的三角形式．

题型一：复数的概念

【例1】若复数()

()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（）

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．1-

【考点】复数的概念【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无【解析】【答案】B

【例2】若复数2

(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．1-或1

【考点】复数的概念【难度】1星

【题型】选择

【关键词】2009，江西，高考

【解析】由210110

x x x ?-=?=-?-≠? 故选A

【答案】A

【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）

A ．()15，

B ．()13，

C ．(15，

D ．(13，

【考点】复数的概念【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 21z a =+02a <<，∴15z <<【答案】C

【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ．

【考点】复数的概念【难度】1星【题型】填空

【关键词】无

典例分析

【解析】

【答案】0

【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部

为．

【考点】复数的概念【难度】2星【题型】填空

【关键词】无

【解析】设1z a bi =+，则2()()z a b b a i =-+-．

【答案】1

【例6】复数3

1i +

=（） A ．12i +

B ．12i -

C ．1-

D ．3

【考点】复数的概念【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】

1i =，故4

33221112i i i i

+=+=+ 【答案】A

【例7】计算：0!

100!

i +i +i ++i

=L （i 表示虚数单位）

【考点】复数的概念【难度】2星

【题型】填空

【关键词】无

【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!

i +i +i ++i

i i (1)(1)197952i =++-+-+?=+L

【答案】952i +

【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（）

A ．z 的对应点Z 在第一象限

B ．z 的对应点Z 在第四象限

C ．z 不是纯虚数

D ．z 是虚数

【考点】复数的概念【难度】2星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

2222(1)10t t t -+=-+≠．【答案】D

【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（）

①两个复数不能比较大小；

②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =．

⑥1z =的充要条件是1

z z

=．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【考点】复数的概念【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实

数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．

【答案】B

题型二：复数的几何意义

【例10】复数i

i z -+=1)2(2

（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【考点】复数的几何意义【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】B

【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数

z z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【考点】复数的几何意义【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】A

【例12】在复平面内，复数20092

1i (1i)

+-对应的点位于（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【考点】复数的几何意义【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】本题考查了复数的概念及运算，原式=11

i -

+ 【答案】B

【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【考点】复数的几何意义【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】大小为2的角为第二象限角，故sin 20cos20><，，从而该复数在第四象限．

【答案】D

【例14】在复平面内，复数

+对应的点与原点的距离是（）

A ． 1

B ．

C ．2

D ．【考点】复数的几何意义【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】B

【例15】若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值

范围是（）

A ．1>a

B ．11<<-a

C ．1-

D ．11>-

【例16】已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为OZ uuu r ，把OZ uuu r 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ u u u r

．若

1OZ u u u r

对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（）

【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】选择

+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A ．第一象限

[(4)2(1)i]12i (12i)(12i)5

m m z m m ---=

==--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则40

10m m ->??

，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【答案】A

【例18】若3

5ππ4

4θ??∈ ???，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）

【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】选择

【关键词】2007，辽宁，高考

【解析】结合正、余弦函数的图象知，当3

5ππ4

4θ??∈ ???，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，．

【答案】B

【例19】设A B ，为锐角三角形的两个内角，

则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）

【考点】复数的几何意义【难度】3星【题型】选择

【关键词】无

【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-=

=->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A

+-=<．

【答案】B

【例20】如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（）

【解析】设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，

所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．

i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，

， B ．1111i i 2222??+-????， C

．??-????? D

．1122???

?+-??????

，【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】选择

【关键词】无

【解析】复数z 表示的点在单位圆与直线12x =

上（1322z z +=-表示z 到点102??- ???，

【例22】已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，

的最大值为_______．【考点】复数的几何意义【难度】3星【题型】填空

【关键词】无

【解析】

2i x y -+=∵ 22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，

【例23】复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线【考点】复数的几何意义【难度】3星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ?++=+-，

【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；

②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．

【例24】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：2

122

0z z <．

【考点】复数的几何意义【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r

，2OZ u u u u r 为邻边的

平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ∴，故可设1

(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2222122i 0z k k z ==-<．

也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=，

122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故2

z z 与12z z +的值．【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z

，由于2221)1)4+=，

故2

1212z z z z +=-，

故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r

，则12z z ==；12124z z z z +=-=．

【答案】；4．

【例26】已知复数12z z ，满足121z z ==

，且12z z -=

，求证：12z z +=．

【考点】复数的几何意义【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知1212z z -==，以1OZ u u u u r ，2

OZ u u u u

r 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以

12z z +=

【答案】

【例27】已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．

【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，

，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，

由

12z z += 1120PZ O ∠=?（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=?，从而121z z -=．

【答案】

【例28】已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．

【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程22

(2)14

y x -+=．

d =

又13x ≤≤，故当10x y ==，时，min 1d =；当83x y ==，时，有max d =．

【考点】复数的四则运算【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】D

【例30】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（）

()(12)(1)2a i i a ai i a i a +=-+=--是正实数，故210

120

a a a ?-=?=-?->?．【答案】D

【例31】已知复数1z i =-，则221

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】选择

【例32】设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ?=，则

z 等于（） A ．i B ．i - C ．1±

D ．i ±

【考点】复数的四则运算【难度】1星【题型】选择

【关键词】无

【解析】设()z a bi a b =+∈R ，，则242a a =?=，2282a b b +=?=±，于是

【关键词】北京师大附中，2008-2009，期中考试

+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a b += ．【考点】复数的四则运算【难度】1星【题型】填空

i i i i +++===+--+，所以0a =，1b =，1a b +=．【答案】1

【例36】若复数

12i

a ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】选择

【关键词】2005，天津，高考

【解析】由

223i (3i)(12i)6(32)i 632i 12i (12i)(12i)1255

a a a a a a

++-++-+-===+++-+．因为复数3i 12i a ++是纯虚数，所以605a +=且3205

+=+∈-，则乘积ab 的值是（） A ．15- B ．3- C ．3 D ．15

i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-．【答案】B

【例38】设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3

【例40】若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则

a ++1= 【考点】复数的四则运算【难度】1星

【例41】定义运算(,)(,)a b c d ac cd ?=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +?+-=的复数z 的所对应

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】选择

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】选择

【关键词】无

【解析】

【答案】A

【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，

则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（） A ．

13 B ．14 C ．16 D ．112

【考点】复数的四则运算【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2009，湖北，高考

【解析】因为22()()2()m ni n mi mn n m i +-=+-为实数，

所以22n m =故m n =则可以取1、2???6，共6种可能，所以11

6661

P C C =

=? 【答案】C

【例44】已知复数z 满足01,120082009

=++=z z

z ，则复数z ＝_____________

【考点】复数的四则运算【难度】3星

【题型】填空

【关键词】北京师大附中，2008-2009，期中考试

【解析】由题意知2008

(1)1z z +=-，两边取模知11z +=，令z a bi =+，有22

此时有31z =，从而20092z z =，2008z z =，且200920081z z ++=210z z ++=满足，

【例45】已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（）

66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-?=?= 【答案】B

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【例48】已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ?的最大值为（）

【解析】 12(cos i)(sin i)(cos sin 1)(cos sin )i z z θθθθθθ?=-+=++

=，

故当sin21θ=±时， 12z z ?

=．【答案】A

【例49】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．

（其中z 为z 的共轭复数）【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：

(1i)2(1i)a b ++-[]2

2(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()2

2a =+44(2)i a -++

则()2

22424(2)a b a a b a ?+=+-??-=+??

，解得42a b =-??=?或21a b =-??=-?．

---，则x y +=________．【考点】复数的四则运算【难度】2星

(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+，即(525)(5415)0x y x y i +-++-=，故525054150x y x y +-=??+-=?，解得15

x y =-??=?，故4x y +=．【答案】4

【例51】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，

． ⑴设z 是方程1

0x x

=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；

⑵若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】 ⑴∵z 是方程210x +=的根，

∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，

，，，，，．于是2421

C 3

P ==．

⑵取12z =-，则212z =-及31z =．

于是23{}z M z z z =，，或取12z =-．

（说明：只需写出一个正确答案）．

【答案】⑴13

；⑵12z =-．

【例52】解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=．

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】错解：由复数相等的定义得223

5602220x x x x x x x ?==?-+=??=?

?=-=??

或．分析：“i i a b c d a c +=+?=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉

x 是否为实数．

法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)?=---=-=-．

由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-，2(5i)(1i)

x ---==．

∴原方程的解为13i x =-，22x =．

法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，

(56)(252)i 0a b a b ab b a ?---++-+-=225602520a b a b ab b a ?---+=???-+-=??

①②，

由②得：52

21b a b +=+，代入①中解得：31a b =??=-?或20a b =??=?

，

故方程的根为123i 2x x =-=，

．【答案】123i 2x x =-=，．

【例53】已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值

范围．

【考点】复数的四则运算【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．

124(12)(1)0a a a a ->??-<

【例54】关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】误：∵方程有实根，22(2i)4(1i)450a a a ?=---=-∴≥．

解得a

a ≤ 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．

正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得

000

210

0x ax x a ?++=??

+=??，解得1a =±．【答案】1a =±

【例55】设方程220x x k -+=的根分别为α，β

，且αβ-=k 的值．

【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】若α，β为实数，则440k ?=-≥

且2

222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，

解得1k =-．

若α，β为虚数，则440k ?=-<且α，β共轭，

222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．

综上，1k =-或3k =．

【答案】1k =-或3k =．

【例56】用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，

．并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．

【考点】复数的四则运算【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】 1n =时，结论显然成立；

若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+，则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++

由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++

(cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++ cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，

从而知对1n k =+，命题成立．

综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，

．易直接推导知：

(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=

故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．

(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-

cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．

【答案】

【例57】若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解，

求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．

【考点】复数的四则运算【难度】4星【题型】解答

【关键词】无

【解析】将解代入原方程得：

11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=L ，

将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有：

12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=L ，

即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=L ，

1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=L L ，

由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．

【答案】

【例58】已知

z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】法一：

设i z x y =+（x y ∈R ，）

，则222

i (1)i

11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数，故220(0)x y x y +-=≠，

易错题训练(一)——教师版

易错题训练（一） 1．一物体作匀加速直线运动，通过一段位移Δx 所用的时间为t 1，紧接着通过下一段相同位移Δx 所用时间为t 2。则物体运动的加速度为（） A ．1212122()()x t t t t t t ?-+ B ．)()(212121t t t t t t x +-? C ． )()(2212121t t t t t t x ++? D ．)()(212121t t t t t t x ++? 2．某人骑自行车以4m/s 的速度匀速前进，某时刻在他正前方7m 处以10m/s 速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，然后以2m/s 2加速度匀减速前进，则此人追上汽车需要的时间为（） A ．7s B ．9 s C ．8 s D ．10 s 3.在水平面上有相距20cm 的A 、B 两点，一质点以恒定的加速度从A 向B 做直线运动，经0.2s 的时间先后通过A 、B 两点，则该质点通过A 、B 中点时的速度大小为（） A ．若加速度方向由A 向 B ，则大于1m/s ；若加速度方向由B 向A ，则小于1m/s B ．若加速度方向由A 向B ，则小于1m/s ；若加速度方向由B 向A ，则大于1m/s C ．无论加速度的方向如何，均大于1m/s D ．无论加速度的方向如何，均小于1m/s 4．甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，v-t 图象如图所示，图线在t =t 1时相交于P 点，P 在横轴上的投影为Q ，△OPQ 的面积为S 。在t =0时刻，乙车在甲车前，相距为d 。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t ′，则下面四组t ′ 和d 的组合可能是（） A ．t ′＝t 1 ，d =S B ．t′=113t ， 59 d S = C ．t ′112t =，12d S = D ．t ′=112t ，34d S = 5．从离地Ｈ高处自由下落小球a ，同时在它正下方H 处以速度v 0竖直上抛另一小球b ，不计空气阻力，有 A.若v 0＞gH ，小球b 在上升过程中与a 球相遇 B.若v 0＜gH ,小球b 在下落过程中肯定与a 球相遇 C.若v 0＞2gH ，小球b 和a 不会在空中相遇 D.若v 0=gH ，两球在空中相遇时b 球速度为零 6．跳伞运动员以5 m/s 的速度竖直匀速降落，在离地面h ＝10 m 的地方掉了一颗扣子，跳伞员比扣子晚着陆的时间为（扣子受到的空气阻力可忽略，g ＝10 m/s 2） A ．2 s B.2s C ．1 s D ．(2－2) s 7．在研究匀变速直线运动的实验中，算出小车经过各计数点的瞬时速度为了计算加速度，最合理的方法是（） A.依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度 B.根据实验数据画出v-t 图象，量取其倾角，由公式a =tanα求出加速度 C.根据实验数据画出v-t 图象，由图象上相距较远的两点所对应的速度、时间用公式a =Δv/Δt 算出加速度 D ．依次算出通过连续两个计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度【答案】C 8．如图所示，甲乙两个同学在直跑道上练习4×100 m 接力，

2019初三二模易错题整理 (教师答案版)

2019初三二模易错题整理 1. I will tell you my opinion on using mobile phone at school, and Jill will express ________. A. her B. hers C. she D. herself 【答案】B 2. The company started as a small business many years ago and ________ a lot since then. A. had grown B. is growing C. has grown D. was growing 【答案】C 3. Few people from China have ever received this honor, ______ ______ A. do they B. don’t they C. have they D. haven’t th ey 【答案】C 4. The headmaster has promised ________ into the matter and give us a reply in couple of days. look B. look C. looking D. looked 【答案】A 5. Sam won’t make any progress ________ he studies harder than before. A. if B. when C. because D. unless 【答案】D 6. Our monitor has won the first prize in the math contest. exciting news it is! A、How B、What C、What a D、What an 【答案】B 7. George and his team will finish the project in five weeks.（对划线部分提问） ______ ______will George and his team finish the project 【参考答案】How soon 8. Jack often helps to do some homework for the aged in his community.(改为反义疑问句) Jack often helps to do some homework for the aged in his community,_____ _____ 【参考答案】doesn’t he 9. which of the following underlined parts is different in pronunciation

四年级英语下册易错题整理

班级_____________ 姓名______________ 四年级（下）英语Unit1易错题英译互译。 1. 多少学科 6. 去上学 2. 喜欢科学课7. 我们的新课表 3. 什么课8. 上一节美术课 4. 去操场9. 多少节数学课 5. 今天下午10. 有两场足球赛一、选择题。 ( ) 1. It’s time school. A. at B. to C. for ( ) 2. Do you have PE lessons this week? A. any B. some C. a ( ) 3. It’s time play table tennis. Let’s go. A. of B. to C. for ( ) 4. Do we have Chinese lesson this morning? A. any B. some C. a ( ) 5. What do you like? I like PE. It’s fun. A. subjects B. subject C. a subject ( ) 6. Do you have English lesson on Monday? A. any B. a C. an ( ) 7. We have Art lesson and English lesson today. A. an; a B. a, an C. an, an ( ) 8. How many lessons do you have today? --- A. We have Art and Music. B. We have three. C. We like PE. 四年级（下）英语Unit2易错题二、英译互译。 1. 星期几 2 我的一天 3. 去学校 4. 在星期六下午 5. 有一节美术课 6. 今天早上 7. 好的。8. 一节溜冰课9. 真遗憾！三、按要求写单词。 1. match(复数) 2. let’s (完全形式) _ 3. here(反义词) __ 4. he’s（同音词）________ 四、选择题。 ( ) 1. ─ ______ lessons do you have this morning？─ We have four . A. What B. How many C. How much ( ) 2. ─What _do you have this morning? ─I have English and Maths. A. subject B. lessons C. lesson ( ) 3. ─ What do you like? ─ I like Art. A. subjects B. lesson C. lessons ( ) 3. I get up ___ six twenty. A. at B. on C. in ( ) 4. I an English lesson. She an English lesson too. A. has；have B. have; have C. have；has ( ) 5.We have eight _______at school, and I like En glish. It’s fun. A. lessons B. subject C. subjects ( ) 6. We don’t have lessons on Sunday. A. some B. a C. any ( ) 7. We don’t have Chinese lesson this morning. A. some B. a C. any ( ) 8. It’s time_____play basketball. Let’s go. A. of B. to C. for ( ) 9. It’s time_____ class. A.at B.to C. for ( ) 10. ─___do you have your first lesson?─____eight o’clock. A. When；At B. What；On C. How；At ( ) 11. Welcome ______ the snack bar. A. at B. to C. in ( ) 12. Who’s the boy______ the white shirt. A. with B. at C. in ( ) 13. Who’s the woman______ long hair. A. at B. in C. with 四年级（下）英语Unit3易错题二、英译互译。 1. 做我们的家庭作业 6. 谈论关于 2. 在晚上7. 在夜间 3. 在那里8. 放学后踢足球 4. 做她的家庭作业9. 今天下午 5. 吃早饭10. 看电视三、选择题。 ( ) 1. What time is it? A. It’s six. B. Six. C. At six.

教师招聘考试易错题精选

教师招聘考试易错题精选教育心理学（多选） 1.教育心理学对教学实践具有：描述，解释，预测，控制 2.皮亚杰认为影响认知发展的因素有：成熟，练习和经验，社会性经验，平衡， 3.教学应走在发展前面的两层含义是：教育在发展中起主导作用，教育创造着最近发展区， 4.学生学习的过程具有：自主性，策略性，风格性 5.程序教学的五条教学原则包括：小步子原则，积极反应原则，自定步调，及时反馈，低错误率 6.行为塑造包括：连锁塑造，逆向连锁塑造 7.班杜拉观察学习的特点包括：观察学习并不依赖于直接强化，观察学习，并不一定具有外显的行为反应观察学习具有认知性 8.班杜拉三元交互理论：环境，个体，行为 9.奥苏贝尔组织学习的原则和策略包括：逐渐分化原则整合协调，组织学习的策略先行，组织者。 10.人本主义倡导的：自我激励，自我调节的学习，情感教育，真实性评定，合作学习，开放课堂、开放学校。 11.学习的外在诱因包括：理智诱因，目标与反馈

情绪诱因：表扬与批评社会性诱因：竞赛。 12.学习动机对学习过程的影响：启动，定向，维持。 13.学习策略最基本的特征：操作性和监控性 14.齐默尔曼自我调节学习三阶段：行为表现，计划，自我反思， 15.元认知：元认知知识，元认知体验，元认知监控。 16.感性知识：感知，表象理性知识：概念，命题 17.知识学习的过程：获得，保持，应用 18.安德森心智技能形成：认知阶段，连结，自动化 19.心智技能形成的标志：对象脱离了支持物，进程压缩，应用的高效率 20.影响反馈的因素有：反馈的内容，反馈的频率，反馈的方式 21.问题包括有结构的问题，无结构的问题 22.皮亚杰认为一个人道德成熟包括：尊重准则，尊重社会公正感 23.小学生品德发展：形象性、过渡性、协调性 24.助人行为的4个特征：自愿性，利他性，无偿性，损失性 25.影响态度的内部条件：认知失调，态度定势，道德认知 26.示范行为包括：越轨行为和违法行为 27.不良行为的矫正：醒悟阶段，转变阶段，自新阶段。 28.给予奖励时应注意：要选择确定可以得到的奖励的道德行为应选择恰当的奖励物

易错题答案详解

易错题答案详解 1. A or else意为“要不然，否则”。 2. A 考查连词。根据语境用if引导条件状语从句。 3. A 本题考查考生运用介词和比较级的能力。For在这里是“就……而言”的意思，而第二个选项要抓住信息词still在此处的妙用，它是用来修饰比较级的，加上上文的cold，在此处就不难选择colder了。 4. D 本题考查不定代词的本意区别及其与语境综合运用。此处none指的是not any vinegar，也就是说，此处可以这样理解：I'm sorry to say that I didn't put any vinegar in the soup, because I forgot it. 5. B 本题考查考生在语境中灵活运用. 辨析短语用法的能力，此处seldom，if ever 是一个短语，是“从不，决不”的意思。 6. B 本题however you like相当于in whatever way you like，根据语境，不难判断出B为正确答案。 7. A 本题考查情态动词shall在主语是第二. 三人称时，作为征求意见的用法。。 8. C 考查连接词。Where引导地点状语从句。 9. C 考查时态。had planned发生called和couldn't get away之前。 10. D 考查连接代词。whosever既引导从句作介词to的宾语，又在从句中作定语。 11. A 考查冠词的用法。第一空表示泛指，而第二空构成一个短语do sb. a great service，其意思为“给某人提供好的服务”。Service在这里为抽象名词具体化。 12. C 考查动词的时态。根据句子的意思，表示发生在过去的动作对现在所产生的影响，所以应该用现在完成时。此句的意思是“由于我把所有的钱都丢失了，所以再开始说是我的过错也就没有意义了”。 13. A 考查动词短语的用法。look up的意思为“向上看”. “尊敬”. “仰望”. “查寻”. “拜访”. “好转”，在本语境中为“好转”。 14. A 考查介词表示时间的用法。during the night的意思为“在晚上的某个时间”。 15. C 考查冠词的用法，experience意思为“经验”时是一个不可数名词，当意思为“经历”时是一个可数名词。本题是他在社会中赢得了很丰富的经验，experience在此为不可数名词，社会在这里是抽象名词，所以不加冠词。 16. A 本题考查free的用法。在这里free的意思为：解除负担. 义务或限制。在本题中，free和句子的主语之间是一种逻辑上是动宾关系，所以要用过去分词形式，表示一种被动与完成。 17. B 本题是对情景交际用语的考查。“你错过了开会”，而从答语中的“我在会议结束前五分钟到达会场”，可以看出答话者认为对方讲话不够确切，毕竟答话者参加了会议，只不过迟到而已。 18. C 本题考查交际用语，表示许可时，肯定回答常用“Yes, please. / Of course, you may. / Go ahead, please. / Not at all. / Just help yourself. ”等表示。B和D选项前后矛盾。 19. C 本题考查交际用语。当对方表示感谢时，常用的答语有：You're welcome. / It's nothing. / That's all right. / Don't mention it. / It's a pleasure. / It's my pleasure. / That's nothing. / It was no trouble at all. 等。A项意思为“乐于效劳”；D项表示同意等；B项“不要紧. 没关系”。 20. C 根据句意，该空须填一个连词。Considering连词，“就……而论；照……来看”。 21. B just my luck是习语，意思为“真倒霉！”。not at all和that's all right多用于对方感谢时的应答语，“不客气”。Never mind用于对方道歉时的应答语，“没关系”。 22. A 这是一个省略句，承接上文，省略了as I had thought。

教师招聘考试易错题650道(附答案)

教师招聘考试题库1000道（附答案） 1、教育学是研究教育现象、揭示教育规律的一门科学。 2、我国春秋木年的《学记》是世界上第一部论述教育问题的专著。比古罗马昆体良的《论演况家的教育》早约三百年。其中的主要思想有：“不揠苗助长”、“不陵节而施”(体现了循序渐进的教学原则)；“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达”(反映了启发性教学原则)；“教学相长”(体现了教师主导作用与学生主体作用相统一的教学规律)。 3、捷克夸美纽斯1632年的《大教学论》是近代第一部系统论述教育问题的专著。他提出了班级授课制。 4、美国杜威的《民本主义与教育》强调“儿童中心”，提出了“做中学”的方法，开创了“现代教育派”。 5、苏联赞可夫的《教学与发展》把学生的“一般发展”作为教学的出发点与归属。 6、美国布鲁纳的《教育过程》的主要思想是结构主义和发现法的教学方法。 7、苏联苏霍林斯基的《给教师的建议》、《把整个心灵献给孩子》，其著作被称为“活的教育学”和“学校生活的百科全书”。 8、教育的概念：广义指社会教育、学校教育和家庭教育三个方面；狭义指学校教育；偏义指思想品德教育。 9、教育的社会属性有：永恒性、历史性、相对独立性。 10、我国封建社会学校的教学内容主要是：“四书”(《大学》、《中庸》、《论语》、《盂子》)；“五经”(诗、书、礼、易、春秋)。其贯穿了儒家思想。 11、遗传素质对人的身心发展不起决定作用，社会环境对人的发展起着决定性作用。但环境决定论又是错误的，因为人接受环境影响不是消极的、被动的，而是积极的能动的实践过程。 12、我国普通中学的双重任务是：培养各行各业的劳动后备力量；为高一级学校输送合格新生。 13、我国全面发展教育的组成部分是德育、智育、体育、美育和劳动技术教育。 14、“双基”是指系统的科学文化基础知识和基本技能技巧。 15、智育的任务之一是发展学生的智力，包括观察力、想象力、思维力、记忆力和注意力，其中思维能力是决定性的因素。 16、体育的根本任务是增强学生体质。 17、蔡元培于1912年最早提出美育，并主张“以美育代宗教”。 18、美育的任务：（1）使学生具有正确的审美观和感受美、鉴赏美的知识与能力；(2)培养学生表现美和创造美的能力；(3)培养学生的心灵美和行为美。 19、劳动技术教育的任务：（1）培养学生的劳动观点，养成正确的劳动态度和习惯；（2）教育学生初步掌握一些基本生产知识和劳动技能。 20、义务教育是依法律规定、适龄儿童和青少年都必须接收，国家、社会、家庭予以保证的国民教育。义务教育是一种强制性教育。 21、教师是教育工作的组织者、领导者，在教育过程中起主导作用。 22、教书育人是教师的根本任务。 23、教师劳动的特点：（1）复杂性、创造性；（2）时间上的连续性、空间上的广延性；（3）长期性、间接性；（4）主体性、示范性。 24、教师的素养：职业道德素养、知识素养、能力素养。 25、学生是教育的客体、是自我教育和发展的主体、是发展中的人。 26、我国新型师生关系的特点是：(1)尊师爱生；(2)民主平等；(3)教学相长。从根本上说，良好师生关系的建立取决于教师的教育水平。 27、教学是教师和学生共同组成的传递和掌握社会经验的双边活动。 28、教学是实现教育目的的基本途径。教学永远具有教育性。教学是学校的中心工作，学校工作心须坚持以教学为主，全面安排的原则。 29、教学过程是教学信息反馈和师生双边活动的过程，教学中教师起主导，学生是主体。教师的主导作用不是包办代替。 30、课程是学校教育的核心，是学校培养未来人才的蓝图。 31、编写学科课程标准和教材应遵循的原则：思想性和科学性统一；理论联系实际；稳定性和时代性结合；系统性和可接受性结合。 32、知识不等同于智力，掌握知识的多少并不能标志智力发展的水平。教学过程中要把掌握知识和发展智力结合起来，只重视能力培养的形式教育论(英国洛克)和只重视知识传授的实质教育论(英国斯宾塞)都是错误的。 33、赫尔巴特提出了传授知识与思想品德教育相统一的规律。 34、教学过程的基本阶段：(”激发学习动机；(2)感知教材，形成表象；(3)理解教材，形成概念，这是中心环节；(4)巩固知识；(5)运用知识，形成技能技巧。 35、主要的教学原则：(1)科学性与教育性相结合的原则；(2)理论联系实际的原则；(3)直观性原则；(4)启发性原则；(5)循环渐进原则；(6)巩固性原则； (7)因材施教原则。 36、两种对立的教学方法思想是启发式和注入式。我们应当提倡启发式，反对注入式。 37、教学的基本组织形式——课堂教学。 38、常用的教学方法： 1

复数易错题----教师版汇编

教师招聘易错题

1.如果一个学生在回答“A 比B高，B比C高，哪个更高？”时，可以轻松回答出来，表明其思维发展处于（）水平。 A.前运算阶段 B.感知运算阶段 C.具体运算阶段 D.形式运算正确率：15.6863% 答案：D 易错项：C 解析：根据皮亚杰的认知发展理论，将儿童的认知发展分为四个阶段：感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段。其中，形式运算也叫命题运算，此阶段儿童的思维超越了对具体可感知事物的依赖，发展水平已接近成人，能够解决抽象问题，解决问题的方法也更具逻辑性和系统性。思维以命题形式进行，能够根据逻辑推理、归纳或演绎的方式解决问题。题目中的学生能够回答” A 比B高，B比C高，哪个更高？”，说明学生可以根据已知条件进行推理演绎，说明这是形式运算阶段的特征。 2.对处在前运算阶段的儿童的描述，不正确的一项是（）。 A.以自我为中心 B.尚未获得物体守恒的概念

C.思维具有不可逆性 D.没有客体永久性的概念正确率：23.8235% 答案：D 易错项：B 解析：处在前运算阶段的儿童他们认知发展主要表现出的特征有：1、出现了语词或其他符号，幵始出现表象和形象图式；2、思维具不可逆性；3、认为外界一切事物都是有生命的；4、一切以自我为中心。D项中的客体永久性是在感知运动阶段儿童就获得的，因此错误。守恒概念是具体运算阶段的特征。 3.在儿童手指上涂上辣或咸的东西，以矫正儿童喜欢咬手指的习惯，只要儿童咬手指得到不愉快的体验，那么该行为就可以被纠正过来，这属于行为治疗中的（）理论运用。 A.刺激--反应学习 B.操作学习 C.社会学习 D.发现学习正确率：19.2308% 答案：B

一般现在时易错题及解析

一般现在时易错题及解析一、单项选择一般现在时 1．—Tu Youyou proves with hardships _______ great honor. —Sure. Opportunities favour the prepared mind. A．comes B．will come C．is coming D．are coming 【答案】A 【解析】考查时态。上句：屠呦呦证明了艰辛会变成伟大的荣誉。下句：当然，机会偏爱有准备的头脑。根据句意可知句子用一般现在时态，故答案为A。 2．Mr. Black, as well as the professor who________ from Beijing University, ________ to attend our school meeting. A．come; is B．comes; are C．comes; is D．come; are 【答案】C 【解析】考查主谓一致。第一个空处主语为定语从句中的who，指代单数名词professor，谓语用单数。第二个空处主语为Mr. Black，为单数，谓语用单数。故选C。 3．Wishing you the best of luck. We ________ your telephone number and will call you if anything comes up. A．have B．will have C．had D．would have 【答案】A 【解析】试题分析：考查动词的时态。句意：祝你好运。我们有你的电话号码，如果有什么事，我们会打电话给你。我们有你的电话号码是客观事实，故用一般现在时，故选A。考点：考查动词的时态 4． Temperatures________ quite dramatically at night in mountains, so put on some warm clothes before going out. A．are dropped B．drop C．are being dropped D．have dropped 【答案】B 【解析】试题分析：句意：山里的气温晚上下降得厉害，所以出门前穿上一些暖和的衣服。山里的气温到晚上骤降是自然状况，应该用一般现在时的主动语态。故选B。考点：考查谓语动词的时态和语态。 5．You’d better write down her address before you ________ it. A．forget B．are forgetting C．forgot D．will forget

【综合素质】50道易错题解析

【科目一（通用）】50道易错题科目一 1.依据《中华人民共和国教师法》，为保障教师完成教育教学任务，下列有关各级人民政府、教育行政部门、有关部门、学校和其他教育机构应当履行职责的说法，不正确的一项是（） A.提供教育教学设施和设备 B.提供必需的图书、资料及其他教育教学用品 C.对教师在教育教学、科学研究中的创造性工作给以鼓励和帮助 D.支持教师制止有害于学生的行为或者其他侵犯学生合法权益的行为【答案】A 【解析】《中华人民共和国教师法》第9条规定“为保障教师完成教育教学任务，各级人民政府、教育行政部门、有关部门、学校和其他教育机构应当履行下列职责：提供符合国家安全标准的教育教学设施和设备；提供必需的图书、资料及其他教育教学用品；对教师在教育教学、科学研究中的创造性工作给以鼓励和帮助；支持教师制止有害于学生的行为或者其他侵犯学生合法权益的行为。”A选项中没有对教育设施和设备加定语“符合国家安全标准”。 2.依据《中华人民共和国教师法》的相关规定，社会力量所办学校的教师待遇： A.由教育行政部门确定，但由举办者予以保障 B.由举办者自行确定，但由教育行政部门予以保障 C.由教育行者部门确定并予以保障 D.由举办者自行确定并予以保障【答案】D 【解析】教师法法第三十二条社会力量所办学校的教师的待遇，由举办者自行确定并予以保障。 3.根据《中华人民共和国义务教育法》规定，学校应当把（）放在首位，开展与学生年龄相适应的社会实践活动。 A.创新教育 B.素质教育 C.实践教育 D.道德教育【答案】D 【解析】《中华人民共和国义务教育法》第三十六条学校应当把德育放在首位，寓德育于教育教学之中，开展与学生年龄相适应的社会实践活动，形成学校、家庭、社会相互配合的思想道德教育体系，促进学生养成良好的思想品德和行为习惯。 4.《未成年人保护法》规定，未成年人享有生存权、（）受保护权等权利。 A.选举权 B.教育权 C.发展权 D.婚姻权【答案】C 【解析】《未成年人保护法》规定第三条未成年人享有生存权、发展权、受保护权、参与权等权利，国家根据未成年人身心发展特点给予特殊、优先保护，保障未成年人的合法权益不受侵犯。未成年人享有受教育权，国家、社会、学校和家庭尊重和保障未成年人的受教

一元二次方程易错题(有答案)教师用

一元二次方程易错题一、填空题： 1、关于x 的方程02)1()1(22=--+-x m x m ，当m 1≠± 时，它是一元二次方程，当m= 1- 时，它是一元一次方程， 2、方程x x =2的解是方程x x -=2的根是 3 、若4 12+-mx x 是一个完全平方式，则m 为 1± 4、关于x 的一元二次方程05.12=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围 k ＜16且k≠0 5、配方：=++c bx ax 2 6、已知：方程0122=+x ，那么判别式的值为 -8 7、关于x 的一元二次方程mx 2+m 2=x 2_2x+1的一个根为0，那么m 的值为 ﹣1 ． 8、已知a 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，则a 4﹣3a ﹣2的值为 0 ． 9、当m = -6 时，方程250x x m ++=的两根之差是7 10、若二次三项式432++x ax 在实数范围内不能因数分解，那么a 的取值范围是二、选择题

11、若方程（m ﹣2）x |m|+x ﹣1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ C ） A 、±2 B 、2 C 、﹣2 D 、不能确定 12、把一元二次方程2x （x ﹣1）=（x ﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ C ） A 、2，﹣3 B 、﹣2，﹣3 C 、2，﹣3x D 、﹣2，﹣3x 13、已知（x 2+y 2）2﹣（x 2+y 2）﹣12=0，则（x 2+y 2）的值是（ B ） A 、﹣3 B 、4 C 、﹣3或4 D 、3或﹣4 14、关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x+1=0有实数解，那么m 的取值范围是（ B ） A 、m≠2 B 、m≤3 C 、m≥3 D 、m≤3且m≠2 15、下列命题正确的是（ B ） A 方程2x =c -一定无实数解 B 方程),0(02≠=+a c ax 若a,c 同号，此方程没有实数根 C 方程1162-=x x 是一元二次方程 D 方程02222=+-x x 没有数学根 16、若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ B ）

教师招聘易错题整理

易错题整理 1.张磊发现在检查自己做完的试卷和作业时很难发现错误，但帮同学检查时很容易发现错误，由于( )影响。 A.认知困难 B.粗心 C.知觉的整体性 D.定势 D 定势，指重复先前的操作所引起的一种心理准备状态。在环境不变的条件下，定势使人能够应用已掌握的方法迅速解决问题。而在情境发生变化时，它则会妨碍人采用新的方法。消极的思维定势是束缚创造性思维的枷锁。 3.下列不属于教师在“问题解决”教学模式中应注意的问题的是( )。 A.必须加强学生解决问题的态度训练 B.必须注意与学科教学相结合 C.必须注重对结构良好问题进行训练 D.必须强调一般思维方法和具体问题解决技能的结合 3.【答案】C。“问题解决”教学模式又称“情境教学”指在应用知识的具体情境中进行知识的教学的一种教学策略。教学的目标是解决现实生活中遇到的问题，学习的材料是具真实性的任务，这些任务未被人为的简化处理，所以多是一些结构不良好的问题，因此教师应注意的是对结构不良好问题进行训练。 5.教师通过参观、访问、谈话、讨论、调查、指导阅读等形式对学生进行思想品德教育。这种德育方法属于( )。 A. 品德评价法

B. 榜样示范法 C. 说服教育法 D.实际锻炼法 5.【答案】C。说服法是通过摆事实、讲道理，使学生提高认识、形成正确观点的方法。说服法是对学生进行德育的基本方法，包括运用语言进行说服的方式(讲解、谈话、报告、讨论、阅读书籍报刊等)和运用事实进行说服的方式(参观、调查、访问等)。说服的方法运用很广，其他德育方法都需要综合运用说服法来提高学生的认识。故本题选C。 6.下列关于学生学习特点的表述，错误的是( )。 A.学生的学习是一个连续的过程 B.发现学习是学生学习的主要形式 C.学生的学习过程是一个主动构建的过程 D.学生的学习内容具有间接性 6.【答案】B学生的学习具有一定程度的被动性，它与人类认识客观世界的过程有所不同。人类的认识是从实践开始，发现真理、规律以形成知识和经验，而学生的学习则未必如此，他们可以从学习现有的经验、理论、结论开始，在老师的指导下，有目的、有计划、有组织地接受学习。所以说接受学习是学生学习的主要形式，能够保证在较短时间内，采用特殊有效的方法，帮助学生掌握前人经验和建构自己的认知结构。故本题选B。 7.关于操作技能和心智技能区别的表述，正确的是(多选题)。 A.操作技能的对象是具体的物质实体，心智技能的对象是观念性的 B.操作技能的执行过程是外显性的，心智技能的执行是内潜性的 C.操作技能的动作是可以合并的，心智技能的动作不能合并

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编

【高中数学】单元《复数》知识点归纳一、选择题 1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 【答案】D 【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】由题意可得：()()()() 362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-，据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP u u u v 对应的复数是 ()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．

3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】B 【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2，所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题. 4．设i 是虚数单位，则()() 3211i i -+等于( ) A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -- 【答案】B 【解析】【分析】化简复数得到答案. 【详解】 () ()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i i -----===-++ 故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

(完整版)四年级英语下册易错题整理