第2讲 跨越——从算术到代数
第二讲 跨越——从算术到代数
“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”
用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．
例题
【例1】观察下列等式
9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……
这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．
注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。 【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )．
九涨价3％ B ．涨价1．64％ C 涨价1．2％ D ．降价1．2％ (“TRUIY 信利杯”竞赛题)
思路点拨 设此商品2001年的价格为a 元，把相应年份的价格用a 的代数式表示，由计算作出判断．
例3】 计算
)2001
13121)(2002
1211()2001
131211)(2002
13121(+
+++
++
-+
+++
+
++
思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．
【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后，共得到多少张纸片?
(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题)
思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．
【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？
思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．
注：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键．
② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题． ③ 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关
系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”．
学力训练
1．给出下列算式： l 2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，…… 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： ． (福州市中考题) 2．已知：3
223222
?
=+
，8
338
332
?
=+
，15
4415
442
?
=+
，……，若b
a b
a ?
=+
2
1010
(b a 、为正整数)，则a+b= ． (2003年武汉市中考题)
3．若（m 十n ）人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要 天． (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)
4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 ． (河南省竞赛题)
5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天． A ．
b
a +1 B ．
b
a
11+
C.
b
a a
b + D ．
ab
1
6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )．
A ．增加10％
B ．减少10％
C ．不增不减
D ．减少1％
(河南省中考题)
7．如图，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )． A ．bc-ab+ac+c 2 B ．ab-bc-ac+c 2 C ．a 2 +ab+bc-ac D ．b 2-bc+a 2-ab
河北省中考题)
8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )．
A ．S 1＞S 2
B ．Sl C ．S 1=S 2 D ．无法比较 9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下： 1＝12， 1+3=4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16=42， 1+3+5+7+9＝25＝52， (1)请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么? (2)计算： ①1+3+5+7+9+1l+13+15+17+19； ②11+13+15+17+19+21+23+25． (3)已知1+3+5+…+(2n一1)=225，求整数n的值． 10．从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟． (1)判断a与b的大小； (2)求a与b的的比值． (江苏省竞赛题) 11.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S． 按此规律推断出S与n的关系式是．(2001年广西中考题) 12．如图，将面积为2a的小正方形与面积为2b的大正方形放在一起(b>a>0)，用b a、表 示三角形ABC的面积为． (“希望杯”邀请赛试题) 13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为． 14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地面砖块； (2)第n个图案中有白色地面砖块．(2003年南昌市中考题) 15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )． A．162738,t950 B．2345678910 C．3579111300 D．4692581470 (江苏省竞赛题) 16．给出两列数：l，3，5，?，9，…，2001和1，6，1l，16，21，…，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( )． A．199 B．200 C．201 D．202 (重庆市竞赛题) 17．—种商品每件进价为a 元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )． A ．0.125a B ．0.15a C ．0.25a D ．1.25a (山东泰安市中考题) 18．如果用a 名同学在b 小时内搬运c 块砖，那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )． A ． b a c 2 2 B ． ab c 2 C ． 2 c ab D ． 2 2 c b a 19．已知n n a a 1111+ = + (n=l ，2，3，…2002)．求当11=a 时，20032002433221a a a a a a a a ++++ 的值． 20．在——次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司的赞助款购头一批奖品，若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)， 22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：%100?=消费支出总额 食品消费支出总额n ， 根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元． 求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? (2)设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （rn 为正整数）．请用rn 的代数式表示该乡平均每户当年的思格尔系数m n ，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)． (3)按这样的发屉，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)． 参考答案 第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断． ▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈L R ()3 2121[,,,],1,2,,,1n n i i i B W a a a a i n a =??=∈==???? ∑L L R ； ()33121[,,,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =?? =∈==????∏L L R ；， () {}342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈=L L R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设4 44113 2145 3 33222354245613 D =，则212223A A A ++= 0 ；2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320 01300 000320 1 3 n D = L L L L L L L L L L L 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X 线性代数选择题道（含答案） 1.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 3.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 4.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则 必有（） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 5.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 6.下列矩阵中，（）不是初等矩阵。 A. 001 010 100 ?? ?? ?? ?? ?? B. 100 000 010 ?? ?? ?? ?? ?? C. 100 020 001 ?? ?? ?? ?? ?? D. 100 012 001 ?? ?? - ?? ?? ?? 从算术到代数的跨越初一年（上）数学用字母替代数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家波利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 从算术到代数的跨越，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段，也是小学生向中学生的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等，这些知识对学生是基本的，它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础．所不同的是，代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象——符号，这是代数不同于算术的典型特征．在代数中，用字母替代数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，学生要学习符号的意义、进行符号之间的运算（形式变换）和转换、用符号进行表示、用符号解决问题．在此过程中，学生还要学习许多新的概念，如代数式、方程、不等式、变量、参数、函数、图象等，而且他们还需要懂得代数的结构．因此，代数的内容和方法对学生提出了更高的要求，是学生所面对的又一次挑战．学生从算术到代数的跨越，是从对数的思考向对符号的思考 的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃． 用字母替代数使得数学更具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 【例1】某商品2015年比2014年涨价5％，2016年又比2015年涨价10％，2017年比2016年降价12％，则2017年比2014年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％ C．涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨：设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断． 解：设此商品2014年的价格为a元， 因为2015年比2014年涨价5％， 所以2015年的价格为a×（1+5％）=1.05a元， 因为2016年又比2015年涨价10％， 所以2016年的价格为1.05a×（1+10％）=1.155a元， 因为2017年比2016年降价12％， 所以2017年的价格为1.155a×（1-12％）=1.0164a元， 所以（1.0164a-a）÷a×100％=1.64％， ▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈R ()3 2121[,, ,],1,2, ,,1n n i i i B W a a a a i n a =? ? =∈==????∑R ； ()33121[,, ,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =? ? =∈==????∏R ；， () {}342[1,, ,],2,3, ,n i D W a a a i n =∈=R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则A x b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设444113 2145 3 33222354245613 D =，则21222 3A A A ++= 0 ； 2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320 1 3 n D = 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X 第二讲 跨越——从算术到代数 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题 【例1】观察下列等式 9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律． 注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。 【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． 九涨价3％ B ．涨价1．64％ C 涨价1．2％ D ．降价1．2％ (“TRUIY 信利杯”竞赛题) 思路点拨 设此商品2001年的价格为a 元，把相应年份的价格用a 的代数式表示，由计算作出判断． 例3】 计算 )2001 13121)(2002 1211()2001 131211)(2002 13121(+ +++ ++ -+ +++ + ++ 思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算． 【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后，共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题) 思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键． 【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？ 《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 从算术思维到代数思维 从算术思维过渡到代数思维,是学生学习数学过程中极为重要的转变阶段,也是小学与 初中数学教学衔接时面临的一个重要问题。一、算术思维与代数思维从数学思维的角度来看,算术思维的运算过程是程序性的,着重的是利用数量的计算求出答案的过程。这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点,甚至是直观的。代数思维的运算过程是结构性的,侧重的是关系的符号化及其运算,是无法依赖直观的。如“小明用24元钱买了5支相同的自动铅笔,还剩4元。每支铅笔多少元?”解法一:24-4=20(元),20÷5=4(元);解法二:先假设每枝铅笔的价格是x元,并依题意列出式子24-5x=4,再求出x值。解法一中,学生运用的是算术思维;解法二中,学生运用的是代数思维。在算术思维中,表达式是一种思考的记录,是直接联结题目与答案的桥梁。在代数思维中,表达式不再只是直接联结问题与答案之间的过程记录,同时也充当一个问题转译的角色。因此,从代数思维的角度来看,解情境问题的过程被分成两部分,即列式与求式子的解。一旦具体情境问题通过列式被转译成代数式(方程式),其运算过程即演变成一种与原问题情境无关的符号运算,运用的是具. 从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。 在小学教学的诸概念中，方程是一个抽象的概念，方程，其含义是指含有未知数的等式。它的刍形在各年级均有类似的式子反映，一年级的２＋（）＝５8－（）＝３可以理解为方程的起步，只是解法上没有特别的规 二、选择题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设 A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则* A 等于 （ C ） (A)a . (B) 1a . (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解 1 *n A A -=. 2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设 A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ） (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关. (C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r n A = 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 1 1 n 1 4 2 n i 福建师范大学网络教育学院 《高等代数选讲》 期末考试 A 卷 学习中心 专业 学号 姓名 成绩 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D) (A ) )( AB )k = A k B k ； (B ) - A = - A ； (C ) (C ) A 2 - B 2 = ( A - B )( A + B ) ； (D ) (D ) AB = B A 。 2. 设 A 为m ? n 矩阵， B 为n ? m 矩阵，则（ A ）。 ( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ； (B ) 若m < n ，则 AB = 0 ； (C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ； (D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ； 3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）． ( A ) W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3} ( B ) W = ? , a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑ a = ? 2 ?[a 1 , a 2 , n i ? ? 3 i i =1 n 1? ； ? ? (C ) W 3 = ?[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏ a i = 1? ；， ( D ) ? W = {[1, a , , a ] i =1 ? a ∈ R 3 , i = 2, 3, , n } 4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ， - = (1, 0, 0)T ， a + = (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（ C ）. 2 3 1 2 n n (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1 -=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 从算术思维到代数思维的过渡 小学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的。这个过渡对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战,而且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养。 正如吴正宪老师说的，“揪着今天，你得想着明天，老师心中得一定有整个小学数学阶段中对知识网络和知识的发展很清晰，这样才能自觉地帮助学生，奠定好基础，为学生后续发展最准备。”那么如何培养学生从算术思维过渡到代数思维呢？从吴正宪老师的讲座“从算术思维到代数思维的过渡”找到了答案！ 吴老师站在我们一线老师的阵营，讲到了我们一线老师最头痛也是最需要解决的问题。她以怎样引导学生认识方程为例，讲述了数学教学中如何从算术思维过渡到代数思维。首先，她向我们提出了三个问题： 能顺利辨认方程的样子就是认识方程了吗？ 能流利地说出方程的定义就是理解方程思想了吗？ 方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？深刻理解方程的意义？ 那什么是方程呢？数学教科书说“含有未知数的等式叫做方程”。作为老师，让学生记住这句话，应该不是一件难事。但是真正建立方程思想却需要一个漫长的体验、理解、感悟的过程。在教学中，作为 一线教师，我们深深的体会到：学生往往片面认为含有字母的等式才是方程。于是，找字母、找等号成了学生判断方程的标准。难道未知数等价于字母吗？ “核桃质量+20=50”，“20+□=100”…… 这些就不是方程吗？式子中的“文字”、“符号”都是学生在接受用字母表示数之前很重要的认知基础。学生为什么在学习方程时更多的偏向于字母呢？偏重于字母就说明学生的认知已经达到更高的 抽象层面了吗？从学生不接受等式中的文字和图形符号，可以推断学生对用字母表示数理解还比较片面，对代数思想没有达到较深刻理解的地步。既然学生对参与在等式中的字母感受得还不够，我们也可以推测，学生在一些情境中寻求等量关系列方程显得困难是相对必然的现象了。 所以，作为全国小学数学名师，在教学方程时，他给我们提出了三点建议： 1、准确把握内容定位，正确理解其价值。 2、有效开发教学资源，为学生从算术思维向代数思维的过渡做好铺垫和孕伏。 3、方程思想的建立不是一蹴而就的，需要用心地做好过渡。 具体到教学《认识方程》一课时，她也给我们提出了三点建议： 1、让抽象的直观起来。充分利用天平模型，帮助学生理解等式性质。 从算术到代数 （先阅读，再看例，最后尝试练习） 完成时间：建议两天 知识纵横 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)?可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。 例题 【例1】(河南省中考题)观察下列等式： 9-1=8, 16-4=12, 25-9=16, 36-16=20, …… 这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________. 思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,?发现一般规律. 解:(n+2)2-n2=4(n+1) 【例2】(竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,?2002?年比2001年降价12%,则2002年比1999年( ) A.涨价3% B.涨价1.64% C.涨价1.2% D.降价1.2% 思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B. 【例3】 (竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片,?以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问: (1)经5次分割后,共得到多少张纸片? (2)经n次分割后,共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? 思路点拨从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键. 解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16?张纸片. (2)经n次分割,共得到(1+3n)张纸片. (3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,?所以不可能经若干次分 《线性代数》题库及答案 一、选择题 1．如果D=33 32 31232221 131211 a a a a a a a a a ，则行列式33 32 31 232221 13 1211 96364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r n＝2 S2＝4 n＝3 S3＝8 S4＝12 … 第一讲从“算术”到“代数” 【知识要点】 代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？（引自百度百科） 这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。 【例题精选】 例1、下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为S n．那么，按此规律，用含有n的式子表示S n为． 从图形变化规律来看。每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。 ()4 4 22 2- = - - =n n n S。 例2、计算： ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? + + - ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? + + + 1998 1 3 1 2 1 1999 1 2 1 1 1998 1 2 1 1 1999 1 3 1 2 1 例3、设n是自然数，定义n!=1?2?3?…?n，若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。 例4、已知两个三位数 def abc，的和def abc+能被37整除。证明六位数abcdef也能被37整除。 高代选讲心得 说起数学，这是让我引以为豪的学科。从初中开始就喜欢数学，是那种没有理由的喜欢，因此当了六年的数学科代表。大学也选择了数学与应用数学专业，目标是当数学老师，估计这辈子跟数学是分不开的了。 高等代数是我进入大学所学的第一门专业课，高等代数是数学专业本科生最重要的一门基础课，它和数学分析、解析几何统称为数学专业的三门基础课程。从中学数学到高等数学，实际上是由具体的、粗浅的数学结构上升到了严谨的公理化体系的论述，由形象思维上升到抽象思维，由特殊到一般，由简单到复杂，由低级到高级。高等代数为后面我学习近似代数、拓扑学等学科奠定了基础。刚接触这门课的时候，觉得很难很抽象，就以做题目为例，凡是涉及到数字计算的还可以做，一到脱离数字的证明题就无从下手。经过三年的大学学习，特别是这次学完高等代数选讲，让我获益匪浅。具体可以从下面这几大方面来说： 一、高等代数选讲这门学科自身的魅力 首先是矩阵，用陈老师的话来说，就是“很漂亮”。学完高等代数选讲，会发现矩阵、矩阵的行列式、矩阵的秩、逆、转置以及特征值、特征向量可以解决很多数学问题。比如线性方程组可以表示成矩阵和列向量的乘积，通过该系数矩阵的秩和增广矩阵的秩以及未知数的个数的关系可以判断该线性方程是无解、有唯一解还是有无穷多解。他们彼此之间不是独立的，是相互联系的。比如求矩阵A的逆可以利用伴随矩阵*A和行列式A的逆来求。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域，在力学、物理、科技等方面都有广泛的应用。 其次是等价关系。给定的集合中的元素之间的关系若满足反身性、对称性和传递性，则称该关系为等价关系。等价关系是高等代数中一个非常重要的关系，比如矩阵的相似、合同以及相抵关系都是等价关系、线性映射的同构也是一个等价关系。再联想初中、高中，我们所熟悉的全等三角形也可以看做是一个等价关系。 然后是线性空间。在高等代数选讲的前言中讲到，这本书分三个层次学习线性空间。第一个层次研究线性空间的元素之间的线性关系。在这本书的第四章，涉及到线性相关、线性无关、极大无关组、基和维数等。从线性空间的元素之间 线性代数复习题 一、选择题 练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 B A 、a - B 、10a - C 、10a - D 、2a -或2a + 练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为 C A 、1k - B 、n k - C 、(1)2 n n k -- D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为 A A 、1=i 2=j B 、2=i 1=j C 、2=i 3=j D 、3=i 2=j 4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______ A 、1544223153a a a a a B 、2132411554a a a a a C 、3125431452a a a a a D 、 1344324155a a a a a 练5、行列式103100204 199200395301300600 等于___A______ A 、2000 B 、2000- C 、1000 D 、1000- 练6、行列式0001 0020 0300 4000等于 A A 、24 B 、24- C 、0 D 、12 练7、根据行列式定义计算2121 11()3 21111x x x f x x x -=中4x 的系数是 B A 、1 B 、2、 C 、2- D 、1- 练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时， 说明方程解的个数是 C A 、1 B 、0 C 、无穷多个 D 、无法判断 练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知 数的个数是n 个，则 C A 、n m < B 、n m > C 、m n = D 、无法比较和m n 从算术到代数（一） 算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系： ①部分数与总数的关系； ②两数差的关系； ③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立： 交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a 结合律：（a+b）+c=a+（b＋c） （a×b）×c=a×（b×c） 分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c. 另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的. 代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v 等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下： 线性代数选择填空试题 及答案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 一． 填空题（每小题3分，共15分） 1. 设 451231 2 1231 22,x x x D x x x x = = 则的系数 2. 设1 243 2 0 201 3,,,A R(A)=B ?? ???=?????? 是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 2 3. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B 则= 288 4. 齐次线性方程组1231231 230 0 , 0 ,x x x x x x x x x λλλ++=??++=??++=?只有零解则满足 λ=0或2 5. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n 二． 选择题（每小题3分，共15分） 1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B ) (a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量1 122 00 2 (,, ,,),,,T T A E B E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B ) (a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T αα 3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C ) (a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c) 00A B ==或 (d) 0A B += 维向量组12,, ,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)
(完整版)奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案
线性代数选择题(考试用题)
从算术到代数的跨越 初一年(上)数学
奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案
第2讲 跨越——从算术到代数
线性代数期末考试试题
从算术思维到代数思维
线性代数真题987-203选择题
线性代数试题及答案。。
福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)
线性代数选择 填空 计算题
从算术思维到代数思维的过渡
从算术到代数(含答案)
《线性代数》题库及答案
第1讲 从“算术”到“代数”
高代选讲心得
线性代数复习题(选择填空题)
从算术到代数(一)
线性代数选择填空试题及答案