湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2020-2021学年九年级

上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．一元二次方程x2=0的解是（）

A．x=0 B．无实数根C．1 D．x1= x2=0

2．已知二次函数y=－1

2

x2，下列说法正确的是（）

A．该抛物线的开口向上B．顶点坐标是（0，0）

C．对称轴是x=－1

2

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

3．下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A．正方形B．等边三角形C．圆D．平行四边形

4．正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为（）

A．1 B．2 C．3 D．6

5．下列事件中，是必然事件的是（）

A．射击运动员射击一次命中10环B．任意一个三角形的内角和360o

C．掷一次骰子，向上一面的点数为6 D．水加热到100℃时，水沸腾

6．已知点A(2，－3), 则它关于原点对称的点的坐标为（）

A．（2，3）B．(－2,3) C．（－2，－3）D．（3，－2）7．抛物线y=－x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．180°C．240°D．300°

9．为了估计鱼塘中的鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放入鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条有记号的鱼，那么估计鱼塘中的鱼的条数是（）条.

A．a+b+n B．bn

a

C．

an

b

D．bn

10．某商品的价格为100元，连续两次降%

x后的价格是81元，则x为（）

A．9 B．10 C．19 D．8

11．如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0

A．y=x(10－x) B．y=1

2

x(10－x) C．y=

1

2

x(10+x) D．y=

1

2

(10－x)2

12．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=－1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc ＞0；②b2﹣4ac＞0；③若点（－0.5，y1），（－2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（）

A．1 B．2 C．3 D．0

二、填空题

13．已知下列抛物线：①y=x2，②y=－2x2+1，③y=9

4

x2+2x－1，则开口最小的抛物线

是______(填写序号).

14．一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球，在每一个小球上书写一个汉字，这些汉字组成一句话：“知之为知之，不知为不知，是知也”.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次取出的小球都是“知”的概率是______.

15．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是______.

16．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=45°，,点D为AC上一动点，以BD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，则EF的最小值是______.

三、解答题

17．解方程.（1）用配方法解下列一元二次方程. x2－x－3

4

=0.

（2）两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.

18．如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC=2∠1.

（1）求证：PC是⊙O的切线.

（2）当∠1=30°，AB=4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积.

19．把分别标有数字1，2，3，4的四个小球放入A袋内，把分别标有数字－1，－2，－2，－3，5的五个小球放入B袋内，所有的小球除了标有的数字不同外，其余完全相同.

（1）学生甲从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为相反数的概率.

（2）当B袋中标有5的小球的数字变为时，（1）中的概率为1 4 .

20．如图所示，在每一个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点都在格点上.

（1）请画出△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90o后的图形△A B′C′.

（2）仅用直尺，过点A作出（1）中B′C′的垂线.说明基本画图的步骤，不要求证明（可根据需要补充网格）.

21．（1）求证：无论p为何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0总有两个不相等的实数根. （2）若方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，试求p的值.

22．已知AB为⊙O的直径.

（1）如图a，点D为AC的中点，当弦BD=AC时，求∠A．

（2）如图b，点D为AC的中点，当AB=6，点E为BD的中点时，求OE的长. （3）如图c，点D为AC上任意一点（不与A、C重合），若点C为AB的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明.

23．以40m/s的速度将小球沿与地面成约45°角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，我们不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2.

（1）请在给出的坐标系中画出函数图象.

（2）观察图象，求出小球的飞行高度不低于15m的时间范围及小球飞行的最大高度.

24．如图a，已知抛物线y=－1

2

x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交

点为B．

（1）求出抛物线的解析式.

（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC 的形状.并证明你的结论.

（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

直接开平方求解即可.

【详解】

x2=0，

开方得，x1= x2=0.

故选：D

【点睛】

考查了解一元二次方程-直接开平方法．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

2．B

【分析】

由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．

【详解】

∵y=－1

2

x2，

∴

1

2

a=-<，抛物线的开口向下，故选项A错误；

顶点坐标是（0，0），故选项B正确；

对称轴是x=0，故选项C错误；

抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故D错误.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0）．

3．D

【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可．

详解：

正方形和圆既是中心对称图形，也是轴对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．由此可得，只有选项D符合题意，故选D．

点睛：本题考查了中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．A

【分析】

先求出正六边形的边长，再利用正六边形的中心角为60°可判断由正六边形的一边和过边的端点的半径所组成的三角形为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解决问题．

【详解】

∵正六边形的周长为6，

∴正六边形的边长为6÷6=1，

又正六边形的中心角为360°÷6=60°，

所以由正六边形的一边和过边的端点的半径所组成的三角形为等边三角形，

所以它的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．

故选：A．

【点睛】

本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．

5．D

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】

射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，A选项错误；

任意画一个三角形，其内角和为360°是不可能事件，B选项错误，

掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，C选项错误；

通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．B

【分析】

根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．

【详解】

点A（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3），

故选：B．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

7．D

【分析】

求出抛物线与x轴的交点坐标，即可根据坐标求出两点间的距离．

【详解】

当y=0时，－x2+2x+3=0，

解得（x+1）（x-3）=0，

x1=-1，x2=3．

与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）．

则抛物线与x轴两交点间的距离为3-（-1）=4．

故选：D．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，令y=0，将函数转化为关于x的一元二次方程是解题的关键．

8．B

【详解】

试题分析：设母线长为R ，底面半径为r ， ∴底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr 2=πrR ， ∴R=2r ， 设圆心角为n ，有180

n R

=2πr=πR ， ∴n=180°． 故选B ．

考点：圆锥的计算 9．C 【分析】

首先求出有记号的b 条鱼在a 条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】

∵打捞a 条鱼，发现其中带标记的鱼有b 条， ∴有标记的鱼占

b a ， ∵共有n 条鱼做上标记， ∴鱼塘中估计有n÷b a

=an

b

（条）． 故选：C ． 【点睛】

此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 10．B 【解析】 【分析】

第一次降价后的价格为100(1-x%)，第二次降价后的价格为100(1-x%)(1-x%). 【详解】

由题意列出方程：100(1-x%)2=81 (1-x%)2=0.81

1-x%=±0.9 x=10或190 根据题意，舍弃x=190，则x=10， 故选择B. 【点睛】

要理解本题中“连续两次降价”的含义是，第二次降价前的基础价格是第一次降价后的价格. 11．B 【分析】

根据已知得出四边形ABCD 面积为y ，则BD=10-x ，进而求出y=1

2

x(10－x). 【详解】

设AC 的长度为x ， 则BD=20-x ， ∴y=

12AC×BD=12

x （10-x ）. 故选B. 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是知道四边形ABCD 的面积=1

2

AC×BD. 12．A 【分析】

根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】

∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0）， ∴-

2b

a

=-1，a+b+c=0， ∴b=2a ，c=-3a ， ∵a ＞0， ∴b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，

∵抛物线与x轴有交点，

∴b2-4ac＞0，故②正确；

∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，

-1.5＞-2，

则y1＜y2；故③错误，

故选：A.

【点睛】

本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题

13．③

【分析】

根据开口越小，二次项系数的绝对值越大进行判断即可.

【详解】

∵|9

4

|＞｜2｜＞|1|,

∴抛物线③的开口最小.

故答案为：③.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的开口越小，二次项系数的绝对值越大是解题的关键．

14．

25 169

【分析】

首先根据题意画出表格图，然后由表格图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球都是“知”的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

画出表格如下：（用“A”表示都是“知”，用“B”表示其他情况）

共有169种等可能结果，其中两次摸出都是“知”的有25种，

∴两次摸出都是“知”的概率是

25 169

，

故答案为：

25 169

．

【点睛】

此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．长为6m,宽为4m

【分析】

设矩形的长为xm，则宽为（20÷2-x）m，根据面积=长×宽，列出方程求解即可．

【详解】

设矩形的长是x米，则宽是（10-x）米，根据题意得：

x（10-x）=24，

解得x1=4（不合题意舍去），x2=6，

故矩形的长为6米，宽为4米．

故答案为：长为6m,宽为4m.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程中长方形面积的应用，表示出矩形两边长，进而得出面积，再解方程是解决本题的关键．

16．

【分析】

由垂线段的性质可知，当BD为△ABC的边AC上的高时，直径BD最短，此时线段

EF=2EH=2OE?sin∠EOH=2OE?sin45°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径BD，由圆周角定理可知

∠EOH=1

2

∠EOF=∠ABC=45°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知

EF=2EH．

【详解】

由垂线段的性质可知，当BD为△ABC的边BC上的高时，直径BD最短，如图，

，

连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠BAC=60°，，

∴BD=6，即此时圆的直径为6，

由圆周角定理可知∠EOH=1

2

∠EOF=∠ABC=45°，

∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=3×

2=

2

，

由垂径定理可知．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候EF的值最小，难度不大，根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．

17．（1）x1=3

2

，x2=－

1

2

，见解析；（2）1.5，6.5

【分析】

（1）根据配方法解一元二次方程的步骤解方程x2－x－3

4

=0即可；

（2）设较小的数为x，则较大的数为（8-x），根据两个数的乘积=9.75为等量关系，列出方程求出符合题意的值，并求出这两个数．

【详解】

（1)：x2－x－3

4

=0.

方程两边同×4：4x2－4x－3=0 移项得：4x2－4x=3

配方得：（2x－1)2=4

∴2x－1=±2

∴x1=3

2

，x2=－

1

2

；

(2) 设较小的数为x，则较大的数为（8-x），

由题意，得x（8-x）=9.75，

整理，得4x2-32x+39=0，

解得x1=1.5，x2=6.5＞8-6.5（舍去），

当x=1.5时，8-x=6.5．

答：这两个数分别为1.5和6.5．

【点睛】

本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．

18．（1）见解析；（2）－4 3π

【分析】

（1）连接OC，首先证明∠APC+∠AOC=180°，由PA是圆的切线可得∠OAP=90°，根据四

边形内角和可得∠OCP=90°，从而得证；（2）

【详解】

（1）证明：连结OC.

在圆O中，OA=OC，

∴∠BOC=2∠1=∠APC

∠BOC+∠AOC=180°

∴∠APC+∠AOC=180°

∵PA为⊙O的切线，

∴∠OAP=90°

又四边形内角和为360°，

∴∠OCP=90°，OC为⊙O的半径

∴PC为⊙O的切线.

（2）∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线.

∴PA=PC

∵∠1=30°,∠APC=2∠1

∴∠APC=60°，∠AOC=120°，

∴△APC为等边三角形.

连结OP，OC，则∠APO=∠CPO=30°

∵AB=4

∴OC=OA=2，

在Rt △POA 中，PO=4，，

∴S 四边形AOCP =2×12

×

2× S 扇形AOC =120360

?

?

×π×4=43π

S 阴影部分的面积43

π. 【点睛】

本题考查了切线的判定，以及扇形面积的计算．是基础题，难度不大．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 19．（1）

15

；（2）－1或－2或－3或－4 【分析】

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字互为相反数的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）由概率为1

4

，可得标有5的小球的数字变为－1或－2或－3或－4，继而可求得答案． 【详解】

(1)解：采用列表法.

表中打√的表示摸出的两球上的数字互为相反数从表中可以看出，可能出现的结果有20种，其中，两个数互为相反数的情况有4种， 所以：P(摸出两个小球上的数字互为相反数)=

15

. （2）当B 袋中标有5的小球的数字变为－1或－2或－3或－4时，（1）中的概率为14

. 【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事

件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（1）见解析；（2）见解析.

【分析】

（1）作出B，C的对应点B′，C′即可；

（2）D、E、M、N均为格点，作射线DE、MN，两射线相交于点G，连结GA，则直线GA 为所求线段B′C′的垂线

【详解】

（1）如图：

（2) D、E、M、N均为格点，作射线DE、MN，两射线相交于点G，连结GA，则直线GA 为所求线段B′C′的垂线

如图所示：

【点睛】

本题考查作图-旋转变换，作垂线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

21．（1）见解析；（2）0

【分析】

（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；

（2）将方程(x－2)(x－3)－p2=0化简为x2－5x+6－p2=0，其两根为正整数，求出两根，根据两根之积等于6－p2求解即可.

【详解】

(1)把方程(x－2)(x－3)－p2=0化为一般形式得：

x2－5x+6－p2=0

△=(－5)2－4×1×(6－p2)=4p2+1

对于任意实数p，p2≥0

∴△=4p2+1>0

∴无论p为何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0总有两个不相等的实数根.

（2）解：方程(x－2)(x－3)－p2=0化简得：x2－5x+6－p2=0

设方程的两个实数根为a和b.

则：a+b=5. 因为方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，所以，方程的根有下列两种情形：方程的两个实数根为1，4；此时ab=4

方程的两个实数根为2，3; 此时ab=6

∴当ab=4时，6－p2=4，解得：p=±;

当ab=6 时，6－p2=6，解得：p=0;

综上，方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，则p的值为0.

【点睛】

此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．

22．（1）30°；（2；（3）BD－CD

【分析】

（1）连接OC，由BD=AC证明AC DB

，进一步证明C为DB的中点，从而可证∠A=1 2

∠COB=1

2

×

1

3

×180°=30°；

（2）连结OD，BC，证明△DEF≌△BEC，分别OD，OF，BC，DF，AC以及EF的长，

在Rt△OFE中运用勾股定理即可求得

（3）连接BC，可证明∠BAC=∠BDC=45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，证明

△ACD≌△BCF，根据BD=BF+DF可得结论.

【详解】

(1) 连结OC

∵点D 为AC 的中点， ∴1

2

AD DC AC == ∵BD=AC ∴AC DB = ∴11

22

DC AC DB =

=，即点C 为DB 的中点. ∴AD DC BC == ∴∠A=

12∠COB=12×1

3

×

180°=30°. (2）连结OD ，BC.

∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠C=90ｏ

∵点D 为AC 的中点，半径OD 所在的直线为⊙O 的对称轴 ∴点A 的对应点为C

∴OD ⊥AC ，OD 平分AC,即：AF=CF ， ∵点E 为BD 的中点， ∴BE=DE ， 在△DEF 和△BEC 中

90DE BE DFE C DF BEC =??

∠=∠=???∠=∠?

∴△DEF ≌△BEC

∴CE=EF, BC=DF ∵AO=BO, AF=CF

∴OF=1

2

BC=

1

2

DF ，

又AB=6，

∴OD=3

∴OF=1, BC=DF=2

在Rt△ABC中，AB=6，BC=2,由勾股定理求得，∵点F为AC的中点，点E为FC的中点

∴，

在Rt△OFE中，，OF=1,由勾股定理求得

（3）BD、AD、CD之间的关系为：BD－CD

连接BC，

∵AB是直径，点C为AB的中点，

∴∠ACB=90°,AC=BC，

∴∠BAC=∠BDC=45°，

过点C作CF⊥CD交BD于点F，

∴△DCF是等腰直角三角形，

∴CD=CF，CD，

∵∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF，

又AC=BC，CD=CF

∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF

∵BD=BF+DF

∴CD，即BD－CD.

【点睛】

本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

23．（1）见解析；（2）1≤t≤3，20m

【分析】

（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数的图象即可；

（2）直接观察函数图象可得t的取值范围.

【详解】

（1）列表：

描点，连线得，如下图

（2）观察图象得，当1≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m.飞行的最大高度为:20m.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，主要考查了画二次函数的图象，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

24．（1）y=－1

2

x2+

3

2

x+2；（2）四边形BC′AC为矩形，见解析；（3）存在，（3，2）

【分析】

（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长度，利用勾股定理可求出AC、BC的长，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋转的性质即可找出四边形BC′AC为