立体几何 解答题专项训练-2022届高三数学三轮冲刺复习

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题06立体几何解答题理

06 立体几何（解答题） （理科专用） 1．【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1 ,AB=2,DP=√3． (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)√5 . 5 【解析】 【分析】 （1）作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，利用勾股定理证明AD⊥BD，根据线面垂直的性质可得PD⊥BD，从而可得BD⊥平面PAD，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. (1) 证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F， 因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2， 所以四边形ABCD为等腰梯形， 所以AE=BF=1 ， 2 ，BD=√DE2+BE2=√3， 故DE=√3 2 所以AD2+BD2=AB2， 所以AD⊥BD， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD， 又PD∩AD=D， 所以BD⊥平面PAD， 又因PA⊂平面PAD， 所以BD⊥PA；

(2) 解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系， BD =√3， 则A(1,0,0),B(0,√3,0),P(0,0,√3)， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)， 设平面PAB 的法向量n ⃗ =(x,y,z)， 则有{n → ⋅AP → =−x +√3z =0 n →⋅BP →=−√3y +√3z =0，可取n ⃗ =(√3,1,1)， 则cos〈n ⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 5 ， 所以PD 与平面PAB 所成角的正弦值为√5 5 . 2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD,AD =CD,∠ADB =∠BDC ，E 为AC 的中点．

高三数学总复习专题9 立体几何(答案及解析)

高三数学总复习专题9 立体几何 方法点拨 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 （1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． （2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解． 2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． 3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤 （1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题． 4．三种空间角与空间向量的关系 （1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n θ⋅=．

（3）二面角 ①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=； ②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212 cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 6．求空间多面体的外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． （2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 经典试题汇编 一、选择题． 1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，

高三数学立体几何专项练习题及答案

高三数学立体几何专项练习题及答案 一、选择题 1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？ A. 正方体 B. 圆柱体 C. 正六面体 D. 球体 答案：C 2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？ A. 正八面体 B. 正十二面体 C. 正二十面体 D. 正二十四面体 答案：C 3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？ A. 正四棱锥 B. 圆锥台 C. 四棱锥 D. 无法确定 答案：C 4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？ A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2 B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2 C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2 D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2 答案：A 5. 求下列多面体的棱数： （1）正六面体

（2）正八面体 （3）正十二面体 答案： （1）正六面体的棱数为 12 （2）正八面体的棱数为 24 （3）正十二面体的棱数为 30 二、填空题 1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。 答案：点 2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。 答案：中点 3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两 垂直。 答案：六，相邻面 三、计算题 1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。求 棱锥体积。

解答： 底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm² 棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³ 所以，棱锥的体积为64 cm³。 2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。求四棱锥的体积。 解答： 底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm² 四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³ 所以，四棱锥的体积为400 cm³。 3. 一个正六面体的棱长为6cm。求正六面体的表面积。 解答： 六个面的面积都相等，所以一个面的面积为 S = 长 ×宽 = 6 × 6 = 36 cm²。 正六面体的表面积为6 × S = 6 × 36 = 216 cm²。 所以，正六面体的表面积为216 cm²。 四、解答题

2022年高考考点完全题数学(文)专题突破练习题 专题突破练5 立体几何的综合问题 Word版含答案

专题突破练(5) 立体几何的综合问题 一、选择题 1．已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则“a ∥b ”是“α∥β ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 D 解析 “a ∥b ”不能得出“α∥β”，反之由“α∥β”也得不出“a ∥b ”．故选D. 2.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，A 1A ＝AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5， 若规定正视方向垂直平面ACC 1A 1，则此三棱柱的侧视图的面积为( ) A.45 5 B ．2 5 C ．4 D ．2 答案 A 解析 在△ABC 中，AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 ＝5，∴AB ⊥BC . 作BD ⊥AC 于D ，则BD 为侧视图的宽，且BD ＝2×15＝255，∴侧视图的面积为S ＝2×255＝45 5. 3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 如图，既与AB 共面也与CC 1共面的棱有CD 、BC 、BB 1、AA 1、C 1D 1，共5条． 4．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四周体A ′－ BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( ) A ．A ′C ⊥BD B ．∠BA ′ C ＝90° C ．CA ′与平面A ′B D 所成的角为30° D ．四周体A ′BCD 的体积为1 3 答案 B 解析 ∵AB ＝AD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD . ∴A ′B ⊥A ′D .∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ， ∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°. 5. 如图，在三棱锥P －ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是( )

2022届高三数学(人教A版文)复习习题：第八章 立体几何 课时规范练39 Word版含答案

课时规范练39直线、平面垂直的判定与性质 基础巩固组 1. (2021山东临沂一模,文19)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD. (1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE; (2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE. 〚导学号24190773〛 2. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 3.(2021河北邯郸二模,文19)如图,四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=,点E在AD上,且AE=2ED. (1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC; (2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的,求点E到平面PBC的距离. 〚导学号24190774〛 4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点. (1)求证:AE⊥DA1; (2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG. 综合提升组

5. (2021广东江门一模,文19)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°. (1)求四棱锥F-ADEC的体积; (2)求证:平面ADF⊥平面ACF. 6.(2021山西孝义考前模拟,文19)如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD. 图(1) 图(2) (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若四棱锥P-ABCD的体积为2,求四周体BCDM的体积. 〚导学号24190775〛7. (2021北京海淀模拟,文15)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E 是侧棱PA上的动点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积. (2)假如E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE. (3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论. 创新应用组 8. (2021辽宁大连一模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点. (1)求证:PD⊥平面ABE; (2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.

【14】空间向量与立体几何【2023年高考数学复习——大题狂练解答210道】

2023年高考数学复习——大题狂练：空间向量与立体几何（15 题） 一．解答题（共15小题） 1．（2021秋•云南期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°． （1）证明：平面P AB⊥平面P AD； （2）若P A⊥PD，P A＝PD＝2，AB＝4，求点D到平面PBC的距离． 2．（2022•徐汇区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设＝，＝． （1）若||＝3，且∥，求向量； （2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．

3．（2022春•泰州期末）已知，． （1）求的值； （2）当时，求实数k的值． 4．（2022春•淄博期末）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱BB1，BC的中点． （1）证明：直线DN∥平面AMD1； （2）设平面AMD1与平面ABCD的交线为l，求点M到直线l的距离及二面角D1﹣l﹣C 的余弦值．

5．（2022春•安徽期中）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠BAC＝30°，AB＝4，E，F分别为AC，AB的中点，△PEF是由△AEF绕直线EF旋转得到，连接AP，BP，CP．（Ⅰ）求证：BC⊥平面P AC； （Ⅱ）若AP＝3，求点E到平面P AF的距离． 6．（2022•乌鲁木齐模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC．（1）证明：PB⊥BC； （2）若P A＝AB＝BC，求二面角A﹣PC﹣B的大小．

7．（2021秋•石河子校级月考）如图所示，在四棱锥D﹣ABCE中，底面ABCE为梯形，且满足AB∥CE，∠BCE＝90°，AB＝2BC＝2CE＝2DE＝2AD，平面ADE⊥平面ABCE．（1）求证：AD⊥BE； （2）求直线AC与平面BDE所成角的余弦值． 8．（2021秋•南岗区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量．

2020-2022年高考数学真题分类汇编专题05 平面解析几何+立体几何(教师版+学生版)

专题05 平面解析几何 1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194 x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则 12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式 2 12122MF MF MF MF ⎛+⎫ ⋅≤ ⎪⎝⎭ 即可得到答案． 【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==， 所以2 121292MF MF MF MF ⎛+⎫ ⋅≤= ⎪⎝⎭ （当且仅当123MF MF ==时，等号成立） ． 故选：C ． 2．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【解析】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 其到直线10x y -+=的距离：0122 11 p d -+==+，解得：2p =(6p =-舍去).故选：B. 3．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过 点 的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为 B ．直线AB 与 C 相切 C ． D ． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公

式及弦长公式可判断C、D. 【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确.故选：BCD 4．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（） A．直线的斜率为B． C．D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标

2022年山东新高考数学专项练习试题(含解析)——立体几何

一、单选题 1.已知正方形的边长为1，P、Q分别为的中点，沿将三角形折起到 的位置，则三棱锥体积的最大值（） A. B. C. D. 2.已知是两条不同的直线，是两个不同平面，下列命题中错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A. B. C. D. 4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中有（） A. B. C. D. 5.已知正三棱锥中，.底面边长为2，若该三棱锥的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积为（） A. B. C. D. 6.已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，则下列说法正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 7.在三棱锥中，．若该三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则当三棱锥体积最大时，球的表面积为（）

A. B. C. D. 8.已知在四面体中，平面平面，△是边长为的等边三角形， ，，则四面体的体积为（） A. B. C. D. 9.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 10.长方体中，和与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线和 所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 11.设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（） A. 若l，则 B. 若，则l m C. 若l//，则// D. 若//，则l//m 12.已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系（） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（）

专题19 主观题之--立体几何--《2022年新高考数学冲刺精准训练(浙江专用)》【原卷版】

专题19 主观题之--立体几何 【命题规律】 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,其中，线线垂直关系考查最多.试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;(3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,几乎每年必考,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.对于空间角的考查，主要通过选择（填空）题、解答题两种题型进行.选择（填空）题侧重应用几何方法求解，而解答题则侧重于应用空间向量方法求解. 从近几年高考命题看，立体几何考题的难度较前几年有所降低，几何体比较规则.连续三年考查线线垂直的证明及线面角三角函数值的计算. 预测2022年将保持稳定. 【冲刺训练】 1．（2022·陕西·二模（理））如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，CE AB ∥． (1)求证：CE ⊥PD ； (2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，且45CDE ∠=︒，求平面ABP 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值． 2．（2022·北京·一模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，M 为线段11A C 上一点.

(1)求证：1BM AB ⊥； (2)若直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，求点1A 到平面BCM 的距离. 3．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,15ABC AB BC PA ∠=︒===，M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥. （1）证明：AB PM ⊥； （2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值. 4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，平行六面体ABCD -SQRP 中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，PD CD AD ==，PD ⊥平面ABCD . (1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ； (2)求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.

全国通用2020-2022年三年高考数学真题分项汇编专题06立体几何解答题文

06 立体几何（解答题） （文科专用） 1．【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF//平面ABCD； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【答案】(1)证明见解析； √3． (2)640 3 【解析】 【分析】 （1）分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，由平面知识可知EM⊥AB,FN⊥BC，EM=FN，依题从而可证EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，即可知四边形EMNF为平行四边形，于是EF//MN，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL−EFGH的体积加上四棱锥B−MNFE体积的4倍，即可解出． (1)

如图所示：， 分别取AB,BC 的中点M,N ，连接MN ，因为△EAB,△FBC 为全等的正三角形，所以EM ⊥AB,FN ⊥BC ，EM =FN ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ∩平面ABCD =AB ，EM ⊂平面EAB ，所以EM ⊥平面ABCD ，同理可得FN ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN ，而EM =FN ，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以EF//MN ，又EF ⊄平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以EF//平面ABCD ． (2) 如图所示：， 分别取AD,DC 中点K,L ，由（1）知，EF//MN 且EF =MN ，同理有，HE//KM,HE =KM ，HG//KL,HG =KL ，GF//LN,GF =LN ，由平面知识可知，BD ⊥MN ，MN ⊥MK ，KM =MN =NL =LK ，所以该几何体的体积等于长方体KMNL −EFGH 的体积加上四棱锥B −MNFE 体积的4倍． 因为MN =NL =LK =KM =4√2，EM =8sin60∘=4√3，点B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN 的距离d ，d =2√2，所以该几何体的体积V =(4√2)2 ×4√3+4×1 3×4√2×4 √3×2√2=128√3+ 2563 √3= 6403 √3． 2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD,AD =CD,∠ADB =∠BDC ，E 为

高中数学试题含答案-高考大题专项(四) 立体几何

高考大题专项(四) 立体几何 1. 如图,点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ,B 的一点,直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直,且DE ∥BC ,DC ⊥BC ,DE=1 2BC=2,AC=CD=3. (1)证明:EO ∥平面ACD ; (2)求点E 到平面ABD 的距离. 2. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面ABCD ⊥平面PAD ,AD ∥BC ,AB=BC=AP=1 2AD ,∠ADP=30°,∠BAD=90°. (1)证明:PD ⊥PB ; (2)设点M 在线段PC 上,且PM=1 3PC ,若△MBC 的面积为2√7 3,求四棱锥P-ABCD 的体积.

3.(2020全国3,理19) 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1. (1)证明:点C1在平面AEF内; (2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.

4.如图,在三棱锥P-ABC中,底面是边长为4的正三角形,PA=2,PA⊥平面ABC,点E,F分别为AC,PC 的中点. (1)求证:平面BEF⊥平面PAC; ?若存在,确定点G (2)在线段PB上是否存在点G,使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为√15 5 的位置;若不存在,请说明理由. 5.

(2020河南高三质检)《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC. (1)求证:四棱锥B-A1ACC1为阳马; (2)若C1C=BC=2,当鳖臑C1-ABC体积最大时,求平面A1BC与平面A1BC1的夹角的余弦值. 6.(2020四川成都外国语学校高三月考)已知三棱锥P-ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长等于√2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P-ABC中: (1)证明:平面PAC⊥平面ABC; (2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求二面角P-BC-M的余弦值.

2022年高考数学备考中等生百日捷进提升系列 专题04立体几何解答题(理)(综合提升篇)解析版

2021中等生百日综合提升篇 专题四 立体几何解答题（理） 空间向量运算与利用向量证明平行、垂直的位置关系 【背一背重点学问】 1.用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面对量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示. 2.面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行，线线平行. 3.用向量证明线面垂直的方法有：①证明直线的方向向量与平行的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直. 4.面面垂直的证明发法：①两个平面的法向量垂直；②转化为线面垂直，线线垂直. 【讲一讲提高技能】 必备技能： 1.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ∥2l (或1l 与2l 重合)⇔ 1v ∥2v . ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数 ,x y ，使12v xv yv =+. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β⇔1u ∥2u . 2.用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2⇔1v ⊥2v ⇔1v .2v ＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u ③设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β⇔1u ⊥2u ⇔1u ·2u ＝0. 典型例题： 例1如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，0 90ADC ∠=，1PD AD AB ===， 2DC =． （1）求证：BC ⊥平面PBD ； （2）求二面角A PB C --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）56 π ． 【解析】

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题15 立体几何中球的问题(解析版)

专题15 立体几何中球的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为( ) A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π 1．答案 A 解析 设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以12343 2,2sin 60sin 60r r =，即 123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d 2d ， 故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选A ． 2．(2022·全国乙理) 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当 该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A ．13 B ．12 C D 2．答案 C 解析 设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222 ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=(当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为 22r ，又221r h +=，则2123O ABCD V r h -=⋅⋅==当且仅当 222r h =即h 时等号成立，故选C ． 3．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A ．[18，814] B ．[274，814] C ．[274，643 ] D ．[18，27] 3．答案 C 解析 ∵ 球的体积为36π，所以球的半径R ＝3，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则 l 2＝2a 2＋h 2，32＝2a 2＋(3－h )2．所以6h ＝l 2，2a 2＝l 2－h 2 ，所以正四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4a 2×h ＝23×(l 2－l 436)×l 26＝19(l 4－l 636)，所以V ′＝19(4l 3－l 56)＝19l 3 (24－l 2 6)，当3≤l ≤26时，V ′＞0，当26≤l ≤33时， V ′＜0，所以当l ＝26时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又l ＝3时，V ＝274，l ＝33时， V ＝814．所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643]．故选C ．【方法

第07讲 立体几何-2022年新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)

第07讲立体几何 一、单项选择题 1．〔2021·全国高三专题练习〕我国古代数学名著?九章算术?中“开立圆术〞曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术〞相当于给出了球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 人们还用过一些类似的近似公式.根据 3.14159π=…判断，以下近似公式中最精确的一个是〔〕 A ．d ≈ B ．d ≈C ．d ≈ D ．d ≈ 【答案】D 【分析】 根据球的体积公式可知33 2 d V π = ，将四个选项分别化简得到3d ，通过比拟近似值可得结果. 【详解】 球的体积3432d V π⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，3 632 d V V ππ ∴==. 3.14159π=⋅⋅⋅， 1.570792 π ∴=⋅⋅⋅. 记1d =31163 92716 d V ∴== ；2d =3232 1.5d V V ∴==； 3d =3331.57d V ∴= ；4d =3 4 3117 d V ∴=. 27 1.8916≈，11 1.5717≈，2716∴，1.5，1.57，117中，11 7最接近2 π. 4d ∴更精确. 应选：D. 2．〔2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末〕中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒〔cuán 〕尖顶，表达天圆地方的理念，其屋顶局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥． 此正四棱锥的侧棱长为侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，假设取30θ=︒，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．正四棱锥的底面边长为48m B ．正四棱锥的高为4m C ．正四棱锥的体积为2

2018-2022高考真题 立体几何 解答题全集 (学生版 解析版)

2018-2022高考真题立体几何解答题全集（学生版解析版）一．解答题（共60小题） 1．（2022•天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点． （1）求证：EF∥平面ABC； （2）求直线BE与平面CC1D的正弦值； （3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值． 2．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2． （1）求三棱锥体积V P﹣ABC； （2）若M为BC中点，求PM与面P AC所成角大小． 3．（2022•浙江）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N 分别为AE，BC的中点． （Ⅰ）证明：FN⊥AD； （Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

4．（2022•甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． （1）证明：EF∥平面ABCD； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 5．（2022•甲卷）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP=√3． （1）证明：BD⊥P A； （2）求PD与平面P AB所成的角的正弦值．

6．（2022•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 7．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，P A＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． （1）证明：OE∥平面P AC； （2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，P A＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值． 8．（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC 的中点． （1）证明：平面BED⊥平面ACD； （2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．

三年 (2020-2022 ) 新高考数学真题汇编 专题04立体几何

新高考专题04立体几何 【2022年新高考1卷】 1．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ． 时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 1485m ．上升到1575m ． 2.65）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯ C ．931.410m ⨯ D ．931.610m ⨯ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】 依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ． 棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ， ∴((6611 9140101801033 V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯+' (() 679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯． 故选：C ． 【2022年新高考1卷】 2．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）

A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27] 【答案】C 【解析】 【分析】 设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】 ∴ 球的体积为36π，所以球的半径3R =, 设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ， 则2222l a h =+，22232(3)a h =+-, 所以26h l =，2222a l h =- 所以正四棱锥的体积42622 411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭， 所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫ -'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<， 所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643 ， 又3l =时，27 4 V = ，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为 274 ，

2023高考数学解答题专练——空间向量与立体几何5(含解析)

一、解答题 1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，⊥ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°. (1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值； 2．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点. （1）证明：OA CD ⊥； （2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角 E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积. 3．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ＝4，PD ＝PB ，点E 在线段P A 上，PE ＝3EA ，BE ⊥AD ，点F ，G 分别是线段BC ，CD 的中点．

(1)证明：P A ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥P －EFG 的体积． 4．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C 中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =. (1)求证：1AC BC ⊥； (2)在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 5．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥ （1）证明：BF DE ⊥； （2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 6．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直且长度分别为1，2，

2022届高三数学压轴题专练——立体几何1

2022届高三数学压轴题专练——立体几何 1．如图，在三棱锥D ABC -中， 1 2 AD CD AE CE BC ====，CD AD ⊥，记二面角 D AC B --的平面角为θ． (1)若 π 3 θ=，2 BC=，求三棱锥D ABC -的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 2．如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直． (1)求异面直线AE与BD所成角的大小； (2)在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且BM x BD =， EN y EA =，试用x，y来表 示线段MN的长度； (3)在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段? 3．如图，已知四棱锥P ABCE -中，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC，且 1 AB=，2 BC=，BE=A在平面PCE内的射影恰为PCE的重心G.

（1）证明：BC AB ⊥； （2）求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值. 4．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且 AP TQ CR x AD TA CT ===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α. （1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{} ,,a b c 表示向量TD ； （2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上. 5．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =3π ，∠B 1BD = 6 π ，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===