1.1数域
数域上整体类域论的应用
数域上的整体类域论 一概述 本文主要阐述Magma程序中关于代数数论中经典理论类域论的方面的程序. 主要内容来自悉尼大学Claus Fieker教授写的Applications of the Class Field Theory of Global Fields. 本文假设读者已经熟悉Magma的基本应用. 整体类域论提供了代数数域的有限abelian扩张的一种描述. 我们用Magma将这个过程完整描述出来, 给学习和使用类域论的读者提供参考. 二建立数域 一个数域是有理数域Q的一个有限扩张. 让我们首先来建立一个代数数域. 一个代数数域是一个有理数域的有限扩张, 因此我们首先定义有理数域. >Q:=Rational(); 其次, 一个代数数域需要有一个多项式不可约来定义, 因此我们先定义多项式环. >Qt
复数及数域的扩充知识点
第三章 复数及数域的扩充 1．概念： (1) z =a +bi ∈R ?b =0 (a,b ∈R )?z=z ?z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数?b ≠0(a ,b ∈R )； (3) z =a+b i 是纯虚数?a =0且b ≠0(a,b ∈R )?z ＋z ＝0（z≠0）?z 2<0； (4) a +b i=c +di ?a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )； 2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ； (2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ； (3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2 222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论： (1) i i 2)1(2±=±； (2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i (3) z z z z z 111= ?=?= ⑷;11;11i i i i i i -=+-=-+ 4．运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m mn n m n m n m ∈=?==?+ 5．共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2121)( z z z z = ；⑷z z =。 6．模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶||||||2121z z z z =；⑷n n z z ||||=； 考点：复数的运算 ★1．复数z= （为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 ★2、设i 是虚数单位，复数 i ai -+21为纯虚数，则实数a 为 (A)2 (B) -2 (C) 21- (D)2 1 ★3、若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 ★4．复数 512i i =- A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+ 22i i -+i
11数环和数域(答案)
数环和数域 13 1．5 数环和数域 1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。 证明：法一（正面证明）： {}0≠S 0,≠∈?∴a S a S 为数环 ∴加法具有封闭性 ∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ） ∴ S 有无限多个元素 法二（反证法）： 假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个 {}0≠S 0,≠∈?∴a S a S 为数环 ∴加法具有封闭性 ∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾 ∴ 假设不正确，即： S 有无限多个元素 2． 证明：{} Q b a bi a F ∈+=,是数域。 证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴ Q bi a ∈=+0 ∴ F 为复数集C 的非空子集 又对F di c bi a ∈++?,有： F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())(( ∴ F 为数环 又对0,,≠+∈++?di c F di c bi a 有： 022≠+d c 及 F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2 222
数环和数域 14 所以F 的除法封闭 所以F 为数域。 3． 证明：? ?? ?? ?∈=Z n m m S n ,2是一个数环。S 不是一个数域。 证明：（1）S 为数环的证明： S ∈= 02 1 1 ∴ S 为复数集的非空子集 又对任意的 2,1,,,2,22 12 1=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±= ± +2 11 22 1 222222121 S m m m m n n n n ∈=?+21212222 121 ∴ S 为数环 （2）S 不是数域的证明： S ∈== 2 2 1 5,1 1 但S ?5 1 ∴S 对除法不具封闭性 ∴ S 不是数域 4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个 数环的并是不是数环？ 证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S ∴ 10S ∈，20S ∈ 令21S S S ?=
第一节 数域
§1 数域（number field ） 教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念. 教学重点：数域概念及其证明. 教学难点：数域概念. 数的发展过程 复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法???→????→???→???→? 1.数域的概念 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的. 定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域. 如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域. 显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域. 例1 所有具有形式 2b a + 的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即 },2{)2(Q b a b a Q ∈+=. 证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.
)2(,Q y x ∈?,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有 )2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±, )2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=?. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的. 设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而 ,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad b a bd ac b a b a b a d c b a d c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q b a bc ad Q b a bd a c ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域. 把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个. 例2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a π πππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数. 例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域. 例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域. 证明 ,,P b a ∈?有P b a P b a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P b a a b b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.
数域的判定资料
题目：数域的判定 研究问题：数域 方法：定义法 例题： 例1.证明两个数域之交是一个数域 设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0, 则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域. 例2.证明两个数域“之并”未必是数域. 如： A={x|x=a+b√2,a,b∈Q} B={x|x=a+b√3,a,b∈Q} 看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域 例3.判断下列说法是否正确。 （1）自然数集N及整数集Z都不是数域。 解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。 （2）奇数集不是数域。 解：对的 例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。 方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约. 用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式. 由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式. 依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n. 而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1. 且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1. 因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n. 多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n), 于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾. 所以f(x)不可约. 例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵 由已知,存在可逆矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE 所以 A = Q(aE)Q^-1 = aQQ^-1 = aE
关于数域(系)扩充的有趣探究
关于数域（系）扩充的有趣探究 摘要：实数的完备性虽然在高等数学和数学分析教学上是有些麻烦，因为这是相当“概念”的东西，但是细细探究其中也不乏趣味。一代数学大师陈省身在2002年国际数学家大会上曾为青少年数学爱好者题词：“数学好玩”。本文就是希望从实数完备性及数域扩充方面谈谈“趣味数域”，激发高校大学生对更高深数学的学习兴趣及研究兴趣。 关键词：实数完备性数域扩充实数自然数 在小时候我们学数系都从数手指头开始，这就是自然数系，在自然数系 N 之后，有正有理数系（分数），然后推广到负数，因此有了整数全体，从整数再推广就是所有的有理数，这要如何介绍呢？一开始先有自然数，然后有分数，分数就是因为除不尽而产生的，也可说是为了要解如 5x=3 的方程式而产生，负数的出现是因为要解如 x+7=2的方程式，亦即是要作 2-7=-5 的运算，因为要使运算成为可能就必须慢慢地把数系扩展，不扩展就没有办法，这是发展整个数系的一个动机。在运算上，从加减乘除一直做到有理数就完备了，因为加减乘除在有理数中都可以自由运算下去。 再下去的说法，大家都晓得。「为什么会出现 R 是因为 X＾2 =2 这个方程式在有理数系中没有解，可见有理数系是不够用的，所以出现了无理数」；当然也因为X＾2+1=0 在实数系中不够解，所以出现了 i ，因此我们可以扩展到复数系。在从 N 扩展到有理数系 Q 是为了要使四则运算不受限制，解方程式是一个很重要的主题。但由 Q 再扩展下去是否还是为了解方程式的理由 其实无理数的出现，不只是为了代数上的动机，其实在数学上还有其它种种理由配合起来的。在初中，你可能用纯粹代数的理由来扩展数系，到了高中就不是了！到了高中，扩大数学的题材，研究种种的函数，如三角函数，指数、对数函数……等，这是一个主题：但在高中，还有一个重要的主题，即解析几何，是笛卡尔与费马所发明的坐标几何：用坐标的方法来做几何问题，所有几何问题都用坐标来解。他们这个办法与今天所谈的题目有密切的关系，它是数与图形的配合，就是代数与几何结合在一起。在平面解析几何中用两个数 (x,y) 来表一点，立体解析几何用三个数 (x,y,z) 来代表一点，将来可以推广到 n 维空间，但最基本的还是在一维空间的图形，即一直在线的坐标化，因为两维、三维……均可类推，这一维空间的情形牵涉很广，如测量问题，即几何与代数的联系，这非常重要，它与实数的完备