离散数学第一章

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离散数学第一章

1.1命题及其表示法

1.1.1 命题的概念

数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表示

命题通常使用大写字母A,B,…,Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i,[10],R等,例如A1:我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。R:我是一名大学生。

1.2命题联结词

1.2.1 否定联结词﹁P

?

P P

0 1

1 0

1.2.2 合取联结词∧

P∧

P Q Q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

1.2.3 析取联结词∨

P∨

P Q Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

1.2.4 条件联结词→

P→

P Q Q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

1.2.5 双条件联结词?

P?

P Q Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

1.2.6 与非联结词↑

P↑

P Q Q

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

性质:

(1) P↑P?﹁(P∧P)?﹁P;

(2)(P↑Q)↑(P↑Q)?﹁(P↑Q)? P∧Q;

(3)(P↑P)↑(Q↑Q)?﹁P↑﹁Q? P∨Q。

1.2.7 或非联结词↓

P↓

P Q Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

性质:

(1)P↓P?﹁(P∨Q)?﹁P;

(2)(P↓Q)↓(P↓Q)?﹁(P↓Q)?P∨Q;

(3)(P↓P)↓(Q↓Q)?﹁P↓﹁Q?﹁(﹁P∨﹁Q)?P∧Q。

1.3 命题公式、翻译与解释

1.3.1 命题公式

定义命题公式,简称公式,定义为:(1)单个命题变元是公式;(2)如果P是公式,则﹁P是公式;(3)如果P、Q是公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式;(4)当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

例如,下面的符号串都是公式:

((((﹁P)∧Q)→R)∨S)

((P→﹁Q)?(﹁R∧S))(﹁P∨Q)∧R

以下符号串都不是公式:

((P∨Q)?(∧Q))(∧Q)

1.3.2 命题的翻译

可以把自然语言中的有些语句,转变成数理逻辑中的符号形式,称为命题的翻译。

命题翻译时应注意下列事项:

(1)确定所给句子是否为命题。

(2)句子中联结词是否为命题联结词。

(3)要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。

例:假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。

解:设P:上午下雨;Q:我去看电影;R:我在家里读书;S:我在家里看报。

本例可表示为:(?P→Q)∧(P→(R∨S))。

1.3.3 命题公式的解释定义

设P 1,P 2,…,P n 是出现在命题公式G 中的全部命题变元,指定P 1,P 2,…,P n 的一组真值,称这组真值为G 的一个解释或赋值,记作I ,公式G 在I 下的真值记作T I (G )。

例如,G=(?P ∧Q )→R ,则I :

P

Q

R

1 1 0

是G 的一个解释,在这个解释下G 的真值为1,即T I (G )=1。

1.4 真值表与等价公式

1.4.1 真值表

定义 将公式G 在其所有解释下所取得的真值列成一个表,称为G 的真值表。 构造真值表的方法如下:

(1)找出公式G 中的全部命题变元,并按一定的顺序排列成P 1,P 2,…,P n 。 (2)列出G 的2n 个解释,赋值从00…0(n 个)开始,按二进制递加顺序依次写出各赋值,直到11…1为止(或从11…1开始,按二进制递减顺序写出各赋值,直到00…0为止),然后从低到高的顺序列出G 的层次。

(3)根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G 的真值。 例:G=?( P →Q )∧Q

P

Q Q P → )(Q P →? Q Q P ∧→?)(

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

1

1

1.4.2 命题公式的分类 定义 设G 为公式:(1)如果G 在所有解释下取值均为真,则称G 是永真式或重言式;(2)如果G 在所有解释下取值均为假,则称G 是永假式或矛盾式;(3)如果至少存在一种解释使公式G 取值为真,则称G 是可满足式。

1.4.3 等价公式

定义 设A 和B 是两个命题公式,如果A 和B 在任意赋值情况下都具有相同的真值,则称A 和B 是等价公式。记为A ?B 。 性质定理

设A、B、C是公式,则

(1)A?A

(2)若A?B则B?A

(3)若A?B且B?C则A?C

定理设A、B、C是公式,则下述等价公式成立:

(1)双重否定律??A?A

(2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A

(3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A

(4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C)

(A∨B)∨C?A∨(B∨C)

(5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C)

(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C)

(6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B

?(A∧B)??A∨?B

(7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A

(8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0

(9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A

(10)排中律 A∨?A?1

(11)矛盾律 A∧?A?0

(12)蕴涵等值式 A→B??A∨B

(13)假言易位 A→B??B→?A

(14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A)

(15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A

(16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A

1.4.4 置换规则

定理(置换规则)设?(A)是一个含有子公式A的命题公式,?(B)是用公式B置换了?(A)中的子公式A后得到的公式,如果A?B,那么?(A)??(B)。

1.5 对偶与范式

1.5.1 对偶

定义在仅含有联结词?、∧、∨的命题公式A中,将联结词∧换成∨,将∨换成∧,如果A中含有特殊变元0或1,就将0换成1,1换成0,所得的命题公式A*称为A的对偶式。

例:公式(?P∨Q)∧(P∨?Q)的对偶式为:(?P∧Q)∨(P∧?Q)定理设A和A*互为对偶式,P1,P2,…,P n是出现在A和A*中的所有原子变元,若将A和A*写成n元函数形式,则

(1)?A(P1,P2,…,P n)?A*(?P1,?P2,…,?P n)

(2)A(?P1,?P2,…,?P n)??A*(P1,P2,…,P n)

定理(对偶原理)设A、B是两个命题公式,若A?B,则A*?B*,其中A*、B*分别为A、B的对偶式。

1.5.2 范式

定义仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式,仅由有限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。

定义仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

定理(范式存在定理)任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。

1.5.3 主范式

定义在含有n个命题变元P1,P2,…,P n的简单合取范式中,若每个命

题变元或其否定不同时存在,但二者之一必出现且仅出现一次,且第i个命题变元或其否定出现在从左起的第i个位置上(若命题变元无脚标,则按字典顺序排列),这样的简单合取式称为极小项。相应的,满足上述条件的简单析取式称为

极大项。n个命题变元P1,P2,…,P n的极小项用公式可表示为 P i* ,极大项可表示为P i*,其中,P i*为P i或?P i(i=1,2,…,n)。

定义设G为公式,P1,P2,…,P n为G中的所有命题变元,若G的析取范式中每一个合取项都是P1,P2,…,P n的一个极小项,则称该析取范式为G

的主析取范式。矛盾式的主析取范式为0。

定理任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主析取范式。

用等值演算求主析取范式步骤如下:

(1)求G的析取范式G';

(2)若G中某个简单合取式m中没有出现某个命题变元P i或其否定?P i,则将m作如下等价变换:m?m∧(P i∨?P i)?( m∧P i)∨(m∧?P i)

(3)将重复出现的命题变元、矛盾式和重复出现的极小项都消去;

(4)重复步骤(2)、(3),直到每一个简单合取式都为极小项;

(5)将极小项按脚标由小到大的顺序排列,并用∑表示。如m0∨m1∨m7可表示为∑(0,1,7)。

定义设G为公式,P1,P2,…,P n为G中的所有命题变元,若G的合取范式中每一个析取项都是P1,P2,…,P n的一个极大项,则称该合取范式为G

的主合取范式。通常,主合取范式用∏表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项,用1表示。

定理任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。

1.6 公式的蕴涵

1.6.1 蕴涵的概念定义

设G、H是两个公式,若G→H是永真式,则称G蕴涵H,记作G?H。

蕴涵关系有如下性质:

(1)对于任意公式G,有G?G;

(2)对任意公式G、H,若G?H且H?G,则G?H;

(3)若G?H且H?L,则G?L。

广义的蕴涵概念

定义设G1,G2,…,G n,H是公式,如果(G1∧G2∧…∧G n)→H是永真式,则称G1,G2,…,G n蕴涵H,又称H是G1,G2,…,G n的逻辑结果,记作(G1∧G2∧…∧G n)?H或(G1,G2,…,G n)?H。

1.6.2 基本蕴涵式

(1)P∧Q?P;(2)P∧Q?Q;

(3)P?P∨Q; (4) Q?P∨Q;

(5)?P?(P→Q);(6)Q?(P→Q);

(7)?(P→Q)?P;(8)?(P→Q)??Q;

(9)P,P→Q?Q;(10)?Q,P→Q??P;

(11)?P,P∨Q?Q;(12)P→Q,Q→R?P→R;

(13)P∨Q,P→R,Q→R?R;(14)P→Q,R→S?(P∧R)→(Q∧S);(15)P,Q?P∧Q。

1.7 其它联结词与最小联结词组

1.7.1 其它联结词

定义设P、Q为命题公式,则复合命题P ?Q称为P和Q的不可兼析取,当且仅当P与Q的真值不相同时,P?Q的真值为1,否则P?Q的真值为假。

定义设P、Q是两个命题公式,复合命题P?→

?c Q称为命题P、Q的条件否定,当且仅当P的真值为1,Q的真值为0时,P?→

?c Q

?c Q的真值为1,否则 P?→的真值为0。

1.7.2 最小联结词组

定义设S是一些联结词组成的非空集合,如果任何的命题公式都可以用仅包含S中的联结词的公式表示,则称S是联结词的全功能集。特别的,若S是联结词的全功能集且S的任何真子集都不是全功能集,则称S是最小全功能集,又称最小联结词组。

定理 {?,∧,∨,→,?}是联结词的全功能集。

定理 {?,∧,∨}是联结词的全功能集。

定理 {?,∧},{?、∨},{?,→}是最小联结词组。

定理 {↑},{↓}是最小联结词组。

1.8 命题逻辑推理理论

1.8.1 命题逻辑推理理论

定义如果G1,G2,…,G n蕴涵H,则称H能够由G1,G2,…,G n有效推出,G1,G2,…,G n称为H的前提,H称为G1,G2,…,G n的有效结论。称(G1∧G2∧…∧G n)→H是由前提G1,G2,…,G n推结论H的推理的形式结构。

1.8.2 推理规则下面给出推理中常用的推理规则。

1.前提引入规则:可以在证明的任何时候引入前提;

2.结论引入规则:在证明的任何时候,已证明的结论都可以作为后续证明的前提;

3.置换规则:在证明的任何时候,命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。

4.言推理规则:P,P→Q?Q

5.附加规则:P?P∨Q;

6.化简规则:P,Q?P;

7.拒取式规则:?Q,P→Q??P;

8.假言三段论规则:P→Q,Q→R?P→R;

9.析取三段论规则:?P,P∨Q?Q;

10.构造性二难规则:P∨Q,P→R,Q→R?R;

11.合取引入规则:P,Q?P∧Q

1.8.3 推理常用方法

1.直接证法

直接证法就是根据一组前提,利用前面提供的一些推理规则,根据已知的等价公式和蕴涵式,推演得到有效的结论的方法,即有前提直接推导出结论。

例构造下列推理的证明。

前提:P∨Q,P→R,Q→S 结论:S∨R

证明(1)P∨Q 前提引入规则

(2)P→R 前提引入规则

(3)Q→S 前提引入规则

(4)S∨R (1)(2)(3)构造性二难规则

2.间接证法

间接证法主要有如下两种情况。

(1)附加前提证明法有时要证明的结论以蕴涵式的形式出现,即推理的形式结构为:(G1∧G2∧…∧G n)?(R→C)设(G1∧G2∧…∧G n)为S,则上述

推理可表示为证明S?(R→C),即证明S→(R→C)为永真式。

用附加前提证明法证明下面推理。

前提:P→(Q→R),?S∨P,Q 结论:S→R

证明:(1)?S∨P 前提引入规则

(2)S 附加前提引入规则

(3)P (1)(2)析取三段论规则

(4)P→(Q→R)前提引入规则

(5)Q→R (3)(4)假言推理规则

(6)Q 前提引入规则

(7)R (5)(6)假言推理规则

2)归缪法定义设G1,G2,…,G n是n个命题公式,如果G1∧G2∧…∧G n是可满足式,则称G1,G2,…,G n是相容的。否则(即G1∧G2∧…∧G n是矛盾式)称G1,G2,…,G n是不相容的。

例用归缪法证明。

前提:P∨Q,P→R,Q→S 结论:S∨R

证明(1)?(S∨R)附加前提引入规则

(2)?S∧?R (1)置换规则

(3)?S (2)化简规则

(4)?R (2)化简规则

(5)Q→S 前提引入规则

(6)?Q∨S (5)置换规则

(7)?Q (3)(6)析取三段论

(8)P∨Q 前提引入规则

(9)P (7)(8)析取三段论规则

(10)P→R 前提引入规则

(11)?P∨R (10)置换规则

(12)R (9)(11)析取三段论规则

(13)?R∧R (4)(12)合取引入规则

离散数学 第1章 习题解答

习题 1. 下列句子中,哪些是命题哪些不是命题如果是命题,指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗 ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3<5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以。 ⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。 解:⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。 ⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。 解:⑴本命题为原子命题; ⑵p:天气冷;q:我穿羽绒服; ⑶p:天在下雨;q:湿度很高; ⑷p:刘英上山;q:李进上山; ⑸p:王强学过法语;q:刘威学过法语; ⑹p:你看电影;q:我看电影; ⑺p:我看电视;q:我外出;r:我睡觉; ⑻p:天下大雨;q:他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭,一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。 ⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。 解:⑴p:他吃饭;q:他听音乐;原命题符号化为:p∧q ⑵p:3是素数;q:2是素数;原命题符号化为:p∨q ⑶p:地球上有树木;q:人类能生存;原命题符号化为:p→q ⑷p:8是偶数;q:8能被3整除;原命题符号化为:pq ⑸p:停机;q:语法错误;r:程序错误;原命题符号化为:q∨r→p ⑹p:四边形ABCD是平行四边形;q:四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:pq。 ⑺p:a是偶数;q:b是偶数;r:a+b是偶数;原命题符号化为:p∧q→r 4. 将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6,则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6,则雪是白的。 ⑶如果3+3=6,则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。 解:设p:3+3=6。q:雪是白的。 ⑴原命题符号化为:p→q;该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为:p→q;该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为:p→q;该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为:p→q;该命题是真命题。 ⑸p:3是无理数;q:加拿大位于亚洲;原命题符号化为:pq;该命题是假命题。 ⑹p:2+3=5;q:3是无理数;原命题符号化为:pq;该命题是真命题。 ⑺p:两圆O1,O2的面积相等;q:两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:pq;该命题是真命题。 ⑻p:王小红心情愉快;q:王小红唱歌;原命题符号化为:pq;该命题是真命题。 习题

离散数学第1章习题答案

#include #include #include #define MAX_STACK_SIZE 100 typedef int ElemType; typedef struct { ElemType data[MAX_STACK_SIZE]; int top; } Stack; void InitStack(Stack *S) { S->top=-1; } int Push(Stack *S,ElemType x) { if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1 ) { printf("\n Stack is full!"); return 0; } S->top++; S->data[S->top]=x; return 1; } int Empty(Stack *S) { return (S->top==-1); } int Pop(Stack *S,ElemType *x) { if(Empty(S)) { printf("\n Stack is free!"); return 0; } *x=S->data[S->top]; S->top--; return 1; } void conversion(int N) { int e; Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack)); InitStack(S); while(N) { Push(S,N%2);

N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n:\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题,为什么?若是命题,判断是简单命题还是复合命题? (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽! (4)3+2>6。 (5)只要我有时间,我就来看你。 (6)x=5。 (7)尽管他有病,但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中,(3)是感叹句,因此它不是命题。(6)虽然是陈述句,但它没有确定的值,因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句,所以都是命题。其中:(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题,、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式,为什么? (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式,因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。

离散数学形考任务1-7试题及答案完整版

2017年11月上交的离散数学形考任务一 本课程的教学内容分为三个单元,其中第三单元的名称是(A ). 选择一项: A. 数理逻辑 B. 集合论 C. 图论 D. 谓词逻辑 题目2 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合,其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是(D ). 选择一项: A. 函数 B. 关系的概念及其运算 C. 关系的性质与闭包运算 D. 几个重要关系 题目3 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中,VOD点播版块中共有(B)讲. 选择一项: A. 18 B. 20 C. 19

D. 17 题目4 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程安排了7次形成性考核作业,第3次形成性考核作业的名称是( C).选择一项: A. 集合恒等式与等价关系的判定 B. 图论部分书面作业 C. 集合论部分书面作业 D. 网上学习问答 题目5 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台左侧第1个版块名称是:(C). 选择一项: A. 课程导学 B. 课程公告 C. 课程信息 D. 使用帮助 题目6 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台右侧第5个版块名称是:(D). 选择一项:

A. 典型例题 B. 视频课堂 C. VOD点播 D. 常见问题 题目7 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 ―教学活动资料‖版块是课程学习平台右侧的第(A)个版块. 选择一项: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 题目8 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台中―课程复习‖版块下,放有本课程历年考试试卷的栏目名称是:(D ). 选择一项: A. 复习指导 B. 视频 C. 课件 D. 自测 请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划,学习计划应该包括:课程性质和目标(参考教学大纲)、学习内容、考核方式,以及自己的学习安排,字数要求在100—500字.完成后在下列文本框中提交. 解答:学习计划 学习离散数学任务目标:

离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解

第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.

是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1.4将下列命题符号化,并讨论其真值。 (1)如果今天是1号,则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为:p→q 真值为:1 (2)如果今天是1号,则明天是3号。 p:今天是1号。

离散数学作业答案

第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合,B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求: (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中,能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有多少个? 能被5整除的有40个, 能被15整除的有13个, ∴能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗? (1)2是正数吗? (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了,那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r),其中p、q、r为如下命题: p:你得流感了 q:你错过了最后的考试

3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语,其中C(x)表示x有电脑,F(x,y) 表示x和y是同 班同学,个体域是学校全体学生的集合。 解: 学校的全体学生要么自己有电脑,要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解: ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章

离散数学 第2章 习题解答

第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域,就使用全总个休域,使用全总个体域时,往往要使用特性谓词。(1)-(4)中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是,将类似于(1)中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x

即用合取联结词取代蕴含联结词,这是万万不可的。将(1)中命题叙述得更透彻些,是说“对于宇宙间的一切事物百言,如果它是鸟,则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧,使(1)中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° (2)与(4)中两种符号化公式是等值的,请读者正确的使用量词否定等值式,证明(2),(4)中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 (2) 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ,此命题在(a )中为假命题,在(b)(c)中均为真命题。 (3)在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题,在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中,符号化的形式不同,考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时,应符号化为 )(x xF ? 这里,x x F :)(呼吸,没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时,应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里,x x F :)(为人,且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2.3 因题目中未给出个体域,因而应采用全总个体域。

离散数学第一章部分课后习题参考答案

第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) (0?1)∧(1∨1) 0∧10. (3)(p∧q∧r)?(p∧q∧﹁r) (1∧1∧1)? (0∧0∧0)0 (4)(r∧s)→(p∧q) (0∧1)→(1∧0) 0→0 1 17.判断下面一段论述是否为真:“是无理数。并且,如果3是无理数,则也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。 19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(q→p) (5)(p∧r) (p∧q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例) 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1

所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解: (1)主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式: (p→q)→(q p) (p q)(q p)

离散数学规范标准答案屈婉玲版第二版高等教学教育出版社课后答案

离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例) 第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)

华东师范大学离散数学章炯民课后习题第1章答案

P10 1对下面每个集合,判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解: {2}是(3),(4),(5)的元素。2是(1),(3)的元素。 3 下列哪些命题成立?哪些不成立?为什么? (1)φ∈{φ,{φ}} (2)φ?{φ,{φ}} (3){φ}?{φ,{φ}} (4){{φ}}?{φ,{φ}} 解: (1)成立 (2)成立 (3)成立 (4)成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成? (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解: (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合,B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解:A∩B 7 设A,B和C是任意集合,判断下列命题是否成立,并说明理由。

(1)若A?B,C?D,则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D; (2)若ADB,CDD,则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D; (3)若A∪B=A∪C,则B=C; (4)若A∩B=A∩C,则B=C; 解: (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11(5)设A、B和C是集合,请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解:错误!未找到引用源。A?B∪C 13试求: (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解: (1){φ} (2){φ,{φ}} (3){φ,{φ},{a},{{a}}} 15 设A是集合,下列命题是否必定成立? (1)A∈P(A) (2)A?P(A) (3){A}∈P(A) (4){A}?P(A) 解: (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A={a,b},B={b,c},下列集合由哪些元素组成? (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解: (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合,A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立?为什么? 解:不成立。

离散数学 第2章 习题解答

习题 2.1 1.将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解:设A(x):x是奇数。a:4。 “4不是奇数。”符号化为:?A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解:设A(x):x是偶数。B(x):x是质数。a:2。 “2是偶数且是质数。”符号化为:A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解:设A(x):x是山东人。B(x):x是河北人。a:老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为:A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解:设A(x):x是偶数。a:2,b:3。 “2与3都是偶数。”符号化为:A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解:设G(x,y):x大于y。a:5。b:3。 “5大于3。”符号化为:G(a,b) (6) 若m是奇数,则2m不是奇数。 解:设A(x):x是奇数。a:m。b:2m。 “若m是奇数,则2m不是奇数。”符号化为:A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解:设C(x,y):直线x平行于直线y。设D(x,y):直线x相交于直线y。a:直线A。b:直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为:C(a,b)??D(x,y) (8) 小王既聪明又用功,但身体不好。 解:设A(x):x聪明。B(x):x用功。C(x):x身体好。a:小王。 “小王既聪明又用功,但身体不好。”符号化为:A(a)∧B(a)∧?C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解:设A(x,y,z):x隔开了y和z。a:秦岭。b:渭水。c:汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为:A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人,否则她一定怕冷。 解:设A(x):x是东北人。B(x):x怕冷。a:小李。 “除非小李是东北人,否则她一定怕冷。”符号化为:B(a)→?A(a) 2.将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解:设R(x):x是实数。Q(x):x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为:(?x)(R(x)∧Q(x))

离散数学答案(尹宝林版)第一章习题解答

第一章 命题逻辑 习题与解答 ⒈ 判断下列语句是否为命题,并讨论命题的真值。 ⑴ 2x - 3 = 0。 ⑵ 前进! ⑶ 如果8 + 7 > 20,则三角形有四条边。 ⑷ 请勿吸烟! ⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗? ⑹ 如果太阳从西方升起,你就可以长生不老。 ⑺ 如果太阳从东方升起,你就可以长生不老。 解 ⑶,⑹,⑺表达命题,其中⑶,⑹表达真命题,⑺表达假命题。 ⒉ 将下列命题符号化: ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。 ⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。 ⑶ 他生于1963年或1964年。 ⑷ 只有不怕困难,才能战胜困难。 ⑸ 只要上街,我就去书店。 ⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情,小杨就看电视或听音乐。 ⑺ 如果林芳在家里,那么他不是在做作业就是在看电视。 ⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。 ⑼ 我进城的必要条件是我有时间。 ⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。 ⑾ 小王总是在图书馆看书,除非他病了或者图书馆不开门。 解 ⑴ p :逻辑是枯燥无味的。 “逻辑不是枯燥无味的”符号化为 ?p 。 ⑵ p :我看见的是小张。q :我看见的是老李。 “我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。 ⑶ p :他生于1963年。q :他生于1964年。 “他生于1963年或1964年”符号化为p ⊕ q 。 ⑷ p :害怕困难。q :战胜困难。 “只有不怕困难,才能战胜困难”符号化为q → ? p 。 ⑸ p :我上街。q :我去书店。 “只要上街,我就去书店”符号化为p → q 。 ⑹ p :小杨晚上做完了作业。q :小杨晚上没有其它事情。 r :小杨晚上看电视。s :小杨晚上听音乐。 “如果晚上做完了作业并且没有其它事情,小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。 ⑺ p :林芳在家里。q :林芳做作业。r :林芳看电视。 “如果林芳在家里,那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。 ⑻ p :三角形三条边相等。q :三角形三个角相等。

离散数学答案第二章习题解答

习题与解答 1. 将下列命题符号化: (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车, x x C :)(是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属, x x L :)(是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人, x x J :)(是职业, x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集,用函数+(加法),?(乘法)和谓词<,=将下列命题符号化: (1) 没有既是奇数,又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下: x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数,)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数,)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。

离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答

第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化: (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车, x x C :)(是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属, x x L :)(是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人, x x J :)(是职业, x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集,用函数+(加法),?(乘法)和谓词<,=将下列命题符号化: (1) 没有既是奇数,又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下: x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数,)(x E 可表示为)2(x v v =??。

离散数学第七章二元关系课后练习习题及答案

第七章作业 评分要求: 1、合计100分 2、给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)、 3、总得分在采分点1处正确设置、 1 设R={|x,y∈N且x+3y=12}、【本题合计10分】 (1) 求R的集合表达式(列元素法); (2) 求domR, ranR; (3) 求R?R; (4) 求R?{2,3,4,6}; (5) 求R[{3}]; 解 (1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】 (2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】 (3) R?R={<3,3>, <0,4>}【2分】 (4) R?{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】 (5) R[{3}]={3}【2分】 2 设R,F,G为A上的二元关系、证明: (1)R?(F∪G)=R?F∪R?G (2)R?(F∩G)?R?F∩R?G (3)R?(F?G)=(R?F)?G、 【本题合计18分:每小题6分,证明格式正确得3分,错一步扣1分】证明 (1)?, ∈R?(F∪G) ??t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义 ??t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义 ??t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律 ??t(xRt∧tFy)∨?t(xRt∧tGy) ?对∨分配律 ?x(R?F)y∨x(R?G)y 复合定义 ?x(R?F∪R?G)y ∪定义 得证 (2)?, x(R?(F∩G))y ??t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义 ??t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义 ??t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律 ??t(xRt∧tFy)∧?t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律 ?x(R?F)y∧x(R?G)y 复合定义 ?x(R?F∪R?G)y ∪定义 得证 (3)?,

离散数学 第1章 习题解答

习题1.1 1.下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3<5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。 解:⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。 ⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。 解:⑴本命题为原子命题; ⑵p:天气冷;q:我穿羽绒服; ⑶p:天在下雨;q:湿度很高; ⑷p:刘英上山;q:李进上山; ⑸p:王强学过法语;q:刘威学过法语; ⑹p:你看电影;q:我看电影; ⑺p:我看电视;q:我外出;r:我睡觉; ⑻p:天下大雨;q:他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭,一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。 解:⑴p:他吃饭;q:他听音乐;原命题符号化为:p∧q ⑵p:3是素数;q:2是素数;原命题符号化为:p∨q ⑶p:地球上有树木;q:人类能生存;原命题符号化为:?p→?q ⑷p:8是偶数;q:8能被3整除;原命题符号化为:p?q ⑸p:停机;q:语法错误;r:程序错误;原命题符号化为:q∨r→p ⑹p:四边形ABCD是平行四边形;q:四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:p?q。 ⑺p:a是偶数;q:b是偶数;r:a+b是偶数;原命题符号化为:p∧q→r 4. 将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6,则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6,则雪是白的。 ⑶如果3+3=6,则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。 解:设p:3+3=6。q:雪是白的。 ⑴原命题符号化为:p→q;该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为:?p→q;该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为:p→?q;该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为:?p→?q;该命题是真命题。 ⑸p:3是无理数;q:加拿大位于亚洲;原命题符号化为:p?q;该命题是假命题。 ⑹p:2+3=5;q:3是无理数;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。 ⑺p:两圆O1,O2的面积相等;q:两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。 ⑻p:王小红心情愉快;q:王小红唱歌;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。

离散数学答案

2015春课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1 设集合 A ={{2,3,4},5,1},下面命题为真是 A (选择题) [ A ] A.1 ∈A; B.2 ∈ A; C.3 ∈A; D.{3,2,1} ? A。 1-2 A,B,C 为任意集合,则他们的共同子集是 D (选择题) [ D ] A.C; B.A; C.B; D.?。 1-3 设 S = {N,Z,Q,R},判断下列命题是否正确(是非题) (1) N ? Q,Q ∈S,则 N ? S,否[错](2)-1 ∈Z,Z ∈S,则 -1 ∈S 。否[错] 1-4 设集合 B = {4,3} ∩?, C = {4,3} ∩{ ? },D ={ 3,4,? }, E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}, F = { 4,?,3,3}, 试问:集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A (选择题) [A ] A. C; B. D; C. E; D. F. 1-5 用列元法表示下列集合:A = { x│x ∈N 且 3-x 〈 3 }(选择题) [D ] A. N; B. Z; C. Q; D. Z+ 1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题) 按照所研究的问题来确定集合的元素。而我们所要研究的问题当然是随意的。所以,集合的定义(就是集合成分的确定)就带有任意性。 第二章二元关系 2-1 给定 X =(3, 2,1),R 是 X 上的二元关系,其表达式如下: R = {〈x,y〉x,y ∈X 且 x > y } (综合题) 求:(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。 所谓谓词表达法,即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来,如本题几例所示。有的书上称其为抽象原则。反过来,列元法则是遵照元素的性质和要求,逐一将他们列出来,以备下用,结果如下: R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}; (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}; (3)R 的性质:自反,对称,传递性质. 2-2 设 R 是正整数集合上的关系,由方程 x + 3y = 12 决定,即 R = {〈x,y〉│x,y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}, 试给出 dom(R 。R)。(选择题) [ B ] A. 3; B. {3}; C. 〈3,3〉; D.{〈3,3〉}。 2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数;以及函数的性质。最后指出 f:A→B 中的双射函数。(选择题) [ B ] (1)A = {1,2,3},B = {4,5}, f = {〈1,4〉〈2,4〉〈3,5〉}。 (2)A = {1,2,3} = B, f = {〈1,1〉〈2,2〉〈3,3〉}。 (3)A = B = R, f = x 。

离散数学章练习题及答案

离散数学练习题 第一章 一.填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01;10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题,q, s 为假命题,则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01;10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式,B为重言式,则B A∨的类型为重言式 5.设p, q均为命题,在不能同时为真条件下,p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二.将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解:) ? ?,其中p: 7是无理数;或p,其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦,又很爱钻研。 解:其中 ?p: 小刘怕吃苦,q:小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难,才能战胜困难。 解:p →,其中p: 怕困难,q: 战胜困难 q? 或q →,其中p: 怕困难, q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难,老王就帮助别人,除非困难解决了。 解:) → ?,其中p: 别人有困难,q:老王帮助别人,r: 困难解决了 p (q r→ 或:q ?) (,其中p:别人有困难,q: 老王帮助别人,r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解:q p?,其中p: 整数n是偶数,q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P:2能整除5, q:旧金山是美国的首都, r:在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解:p, q 为假命题,r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r

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