最新青岛二中自主招生数学试题及答案

青岛二中2016年自主招生（数学）试题

初中学校 姓名 考号

1．化简

2016

201514

313

212

11++

+++

++

+Λ.

2．二中学生气象小组预测：“五一”假期中，三天的降水概率依次为%30，%40，%60.请问这

三天不经历降水的概率是多少？

3．一次函数的图象过抛物线1222--=x x y 与772

-+-=x x y 的两交点，求一次函数的解析式. 4．二中3D 实验室加工一圆柱体，从其内部挖掉一个等高的小圆柱，得到一个新的几何体，其三视图如图所示，俯视图中⊙2O 与⊙1O 的弦AB 相切，且

,//21AB O O （如右图），若该几何体的体积为π160，求

弦AB 的长.

5．解方程2

3||2||+=-+x x x .

6．自行车选手甲、乙、丙三人同时从A 点出发沿着AB ，BC ，CA 三条直线段行进，选手甲在这三条直线上行进的速度分别为12，10，15(h km /)，选手乙在这三条直线上行进的速度分别为15，15，

10(h km /)，选手丙在这三条直线上行进的速度分别为10，20，12(h km /).若三名选手同时到达终点

A ，求ABC ∠的大小.

7．若干学生参加二中模联测试，参加测试学生得分均为60到100的整数(含60和100).已知此次测试平均分为80分，其中恰有5人得分为100分.试计算参加测试学生人数的最小值.

（阅读预备知识，完成相应题目） 第8题预备知识：二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴交点的横坐标分别为)(,2121x x x x <.

0>a 时，则00221221<++<<>++>++<<<++>

8．求使得2

4

2222+--+x x x x 为正整数k 的所有实数x 的值.

第9题预备知识

：圆的切线与过切点的弦所形成的角（弦切角），等于其所夹弧对的圆周角（如图21∠=∠）.

9．在ABC

?Rt 中，AB 为斜边，其内切圆分别与边BC ，AB ，

CA 切于1A ，1B ，1C ，线段F C 1是111C

B A ?

的高.

（1）求111C A B ∠与BAC ∠的关系；

（2）求111C B A ∠的度数；

（3）证明：点F 在BAC ∠的平分线上.

10．已知边长为1的正方形ABCD ，将AB 边)2(≥n n 等分，点M 是离点A 最近的一个分点，正方形ABCD 截去以AM 为边长的正方形后，余下部分的面积记为n S ，记n S S S S ???=Λ32.

（1）当2016=n 时，求S 的值；

（2）若函数)0(≠=k kx y 的图象与点)2

1

,(-S n 所在反比例函数图象交于B A ,两点，过点A 作x 轴平行线与过点B 作y 轴平行线交于点P ，则ABP ?的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

11．ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，函数)(2

1

2)(2c b a x ab x c b a y -++

-++=的最小值为0，且B A cos ,cos 是关于x 的方程08)52()5(2

=-+--+m x m x m 的两根.

（1）求证：ABC ?是直角三角形；（2）求实数m 的值；

（3）若此三角形外接圆面积为

4

25π

，求ABC ?内接正方形的边长. 12．已知点)3,2(--A ，)0,1(B ，)3,0(-C

C 1

A 11

F

C B

A

2

110

俯视图

主视图

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线顶点D 和抛物线与x 轴另一交点E 的坐标；

（2）若在线段OC 上有一动点M （不在端点），分别以点O 、C 为圆心，OM 、MC 为半径作圆，在⊙O 与⊙C 上各有一动点P 、Q ，求EQ EP +的范围；

（3）若从点D 向y 轴上某点G 出发，再从点G 向x 轴上某点H 出发，再由点H 到达点A ，求所走路径长度的最小值.

2016自主招生考试（数学）评分标准

1.（本题满分6分）

解:原式=）（）（）（）（2015-20163-42-31-2++++Λ

1-14121-2016==

2.（本题满分6分）

解:Θ三天的降雨概率依次为6.0,4.0,3.0 ∴三天不降雨的概率依次为4.0,6.0,7.0

∴168.04.06.07.0=??=P

3.（本题满分6分）

解:设抛物线交点分别为),(11y x A 、),(22y x B

????-+-=--=7

71222

2x x y x x y ???-==1111y x 或???==32

22y x 设一次函数解析式为)0(≠+=k b kx y ，则

???

?=+-=+321b k b k ?

??-==54

b k ∴一次函数的解析式为54-=x y

4.（本题满分6分）

解:设大圆半径为R ，小圆半径为r

底S V 10160==πΘ， πππ1622=-=∴r R S 底，即1622=-r R

8222=-=∴r R AB

5.（本题满分10分）

解:当x<-2时,2

3

|22|23|2|23||2||+=+?+=---?+=-+x x x x x x x x 257

2322->-=?+=--?x x x ,无解.

当x ≥-2时,2

3

2+=x .1=x ;

故原方程解为1=x .

6.（本题满分10分）

解:设c AB =，a BC =，b CA =，

由题意可知

12

2010101515151012b

a c

b a

c b a c +

+=++=++ 化简得??

???==????=-+=+-c b c a c b a c b a 454302022 则222b c a =+， 090=∠∴ABC .

7.（本题满分10分）

解:设n 名学生参加测试,恰有5人得100分,n -5人最少每人60分,总分最少

20060)5(601005+=-+?n n ,平均分最少

80200

6020060≤+=+n n n 得10≥n . 当5人得100分, 5人每人得60分时,平均分=8010800

10605500==?+.故n 最小=10.

8.（本题满分12分）

解: k x x x x =+--+2

4222

2为正整数,得042)2()2(2

=+++--k x k x k , 若2=k ,则2=x ,

2≠k ,则2,103647)4(8)2(222=?≥++-=--+=?k k k k k ,

当1=k 时,解0632

=-+x x 得2

333±-=x .

综上得2,2

33

3±-=

x . 9.（本题满分12分）

解：(1)设α=∠111C A B ，β=∠BAC ，在11C AB ?中，因为11AC AB =， 所以?=∠+180211C AB β，又α=∠11C AB ，所以?=+1802αβ (2)由预备知识可知，11111C B A A CC ∠=∠ 因为11CA CC =，且?=∠9011CA C 所以?=∠4511A CC ，即?=∠45111C B A （3）由（2）知?=∠45111C B A ，且F B F C 11⊥ 所以11C FB ?为等腰直角三角形，所以F B F C 11= 又11AB AC =，AF AF =，所以F AC 1?≌F AB 1? 所以AF B AF C 11∠=∠，所以点F 在BAC ∠的平分线上.

10.（本题满分14分）

解：（1）由题意，得2

222)

1()1(111n

n n n n n S n +?-=-=-= 2

2222232)

1()1(342231)11()311()211(n

n n n S S S S n +?-?????=-??-?-=???=ΛΛΛ n

n n 21

2121+

=+=

当2016=n 时，4032

2017

20162121=

?+=

S . （2）由题意，得点)21,(-S n 所在的反比例函数表达式为x

y 21

=，图象在第一、三象限，且关于原点

对称，函数)0(≠=k kx y 图象过原点，也关于原点对称，若函数图象有交点，则0>k ，不妨设在第一象限的交点为),(00y x A ，则第三象限交点为),(00y x B --，),(00y x P -，所以02y AP =，02x BP =，

00221y x BP AP S ABP ?=?=

?，

又因为点),(00y x A 在x

y 21

=图象上，所以0021x y =，即1200=?y x ，所以ABP ?的面积为定值1. 11.（本题满分14分）

解：（1）因为0>++c b a ，所以二次函数的图象开口向上，又最小值为0，所以0=?，即

0)(2

1

)(4)2(2=-+?++-c b a c b a ab

0])[(2422=-+-c b a ab ，0)2(24222=-++-c b ab a ab

222c b a =+，所以ABC ?为直角三角形.

（2）依题意，得??

??

?

+-=

?+-=+58

cos cos 552cos cos m m B A m m B A 由?=∠+∠90B A ，所以A B sin cos =

所以??

??

?

+-=

?+-=+58

sin cos 552sin cos m m A A m m A A 又因为c

b

A c a A ==cos ,sin ，所以1cos sin 22=+A A

故有1cos sin 2)cos (sin 2

=?-+A A A A

所以1)5

8(2)552(2=+--+-m m m m

所以080242=+-m m ，解得201=m ，42=m

又因为058

cos cos >+-=?m m B A ，所以4=m 舍去，所以20=m . （3）因为0,4252>=R R ππ，所以2

5

=R ，52==R c ，

当20=m 时，01235252=+-x x ，解得541=x ，5

3

2=x 不妨设54cos =A ，5

3

cos =B ，则5,4,3===c b a ①AC AD BC DE =

，解得7

12=DE

②过C 作高CH 交AB 于H ，则5

12

=?=AB BC AC CH

因为CDE ?∽CBA ?CH CK AB DE =

，解得37

60

=DE 所以ABC ?内接正方形边长为712或37

60

.

12.（本题满分14分）

解：（1）设二次函数解析式为)0(2

≠++=a c bx ax y ，由题意得：

??

????????-===?-==++-=+-32130324c b a c c b a c b a 322

-+=∴x x y

可得：)4,1(--D ，)0,3(-E

（2）做直线EC EO ,，按照与点E 的近远分别交⊙O 于21,A A ，交⊙C 于21,B B 点

2211EB EA EQ EP EB EA +≤+≤+∴，

又OC EO EC EB EA -+=+11，OC EO EC EB EA ++=+11

62323+≤+≤∴EQ EP

（3）过点D 作关于y 轴的对称点)4,1(/

-D ，过A 点作关于x 轴的对称点)3,2(/

-A .

连接/

/

D A 交x 轴于点H ，交y 轴于点G ，此时线段/

/

D A 的长度即为所求路径最小值.

即58/

/

=

D A

A