一次函数与四边形问题
一次函数与四边形问题
例1、（2009春?静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
练习1．（2010秋?常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b 的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k
的取值范围是．
2．（2012?绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2014?温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S．
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．
例2、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A ?=+-=6 32y x y x 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD =52 (1)求点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式； (3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 练习2、.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线P A 是一次函数y=x+m (m>0)的图象,直线PB 是一次函数n n x y (3+-=>m )的图象,点P 是两直线的交点,点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。 （1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠P AB 的度数； （2）若四边形PQOB 的面积是2 11，且CQ :AO =1:2，试求点P 的坐标，并求出直线P A 与PB 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、 P 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的 坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，在Rt △OAB 中，∠A =90°，∠ABO =30°，OB ，边A B 的垂直平分线CD 分别与AB 、x 轴、y 轴交于点C 、G 、D ． （1）求点G 的坐标； （2）求直线CD 的解析式； （3）在直线CD 上和平面内是否分别存在点Q 、P ，使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 得坐标；若不存在，请说明理由． O A C D B X E 反比例函数与三角形 1、如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与y= k x 相交于C 、D 两点，过C 点作 CE ⊥y 轴，垂足为E 点，S △BDE = 3 2 ，则k=__________ 2.如图，直线y=-x+b 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，与双曲线y= 2 x 相交于C 、D 两点，当S △BOC + S △AOD= S △COD 时，b= 3.如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO =90°，点A 的坐标为（1,2）。将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y =k x （x>0）上，则k 的值为 4.双曲线x y x y 2 1== 与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为 5.如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y= (k ≠0)与 △ABC 有交点，则k 的取值范围是 B A C D O Y X O A B C x y y =x x y A B O 1 S 2S 6.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()1 0y x x =>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -= y x A B O a 7.如图，已知双曲线)0k (x k y ＞= 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝ 二、反比例函数与四边形 1.如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC 2.若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为 2.如图，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += 一次函数与四边形综合题——轻舟数学 一．选择题（共1小题） 1．（2011?杭州自主招生）如图，直线PA是一次函数y=x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+m（m＞n）的图象．若PA与y轴交于点Q，且S四边形PQOB=，AB=2，则m，n的值分别是（） A．3，2 B．2，1 C．D． 1， 二．解答题（共16小题） 2．（2009春?静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求直线BD的表达式． 3．（2010秋?常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与 y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）， 并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D． （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即 图中阴影部分的面积）； （2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的 点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如 果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由． （3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交 点D始终在第一象限，则系数k的取值范围 是． 4．（2012?绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式； （3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2014?温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造?PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒． （1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标； （2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设?PCOD的面积为S． ①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值； ②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围． 一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2 ∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标； 函数、四边形综合练习 1、如图，一次函数），= 2x + 4的图像与x、y轴分别相交于点A、B.以AB为边作正方形 ABCD。 （1）求点A、B、D的坐标： （2）设点M在工轴上，如果△ ABM为等腰三角形，求点M的坐标。 2、如图，在正方形ABCD中，点P是射线BC±的任意一点（点B与点C除外），连接DP, 分别 过点C、A作直线DP的垂线，垂足为点E、F。 （1）当点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系？请证明你 的结论： （2）当点P在BC边上时，正方形的边长为2,设CE = x y AF = y o求），与x的函数关系 式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当x = l时，求EF的长。 3 3、直线），= ——X + 6与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从。点出发，同时到达4 A点，运动停止。点Q沿线段0A运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿OTBTA运动。 （1）直接写出A、B两点的坐标： （2）设点Q的运动时间为/秒，左。?。的面积为S,求出S与］之间的函数关系式。 48 （3）当5=—时，求出点P的坐标，并直接写出以点0、P、Q为顶点的平行四边形的第 四个顶点M的坐标。 4、如图，矩形ABCD中,AB=LAD=2,M是CD的中点，点P在矩形的边上沿— M 运动，试写出△APM 的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像。 5、菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且AEAF=AB. (1)如果ZB =60° ,求证：AE=AF; (2)如果Z.B = a(0° 一次函数与四边形问题 例1、（2009春?静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求直线BD的表达式． 练习1．（2010秋?常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b 的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D． （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）； （2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由． （3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是． 2．（2012?绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式； （3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3、（2014?温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒． （1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标； （2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S． ①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值； ②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围． 精锐教育1对3辅导教案 1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题； 2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系． （此环节设计时间在10-15分钟） 教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。 1． 已知点A 、B 、C 、D 可以构成平行四边形，且点A （－1，0），点B （0，3），点C （3，0），则第四个顶 点D 的坐标为_________________________； 参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）； x y B C A O x y D 2 D 3 D 1 B C A O 2．已知一次函数3 34 y x =- +的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，如果点C 在y 轴上，存在点D 使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ． 参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --； （此环节设计时间在50-60分钟） 例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标． 参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1）,设直线AC 的表达式为1y kx =+， ∴1221,2k k =+=；∴直线AC 的表达式为1 12 y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +）， ∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）． ∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴22 2 (20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-． ∴2 1260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）． ∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16，∴D （0，16）． x y B A O E A O x y B C D x y D 2 D 1 D 3 B A O 一．解答题（共3小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根． （1）求点D的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由． 参考答案与试题解析 一．解答题（共3小题） 1．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0， ∴OA=8，OB=6， 在直角△AOB中，AB===10； （2）∵BC平分∠ABO， ∴OC=CD， 设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x． ∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°， ∴△ACD∽△AOB， ∴，即， 解得：x=3． 即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）． 一次函数与四边形存在性问题 1、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合， AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。 （1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若 不存在，请说明理由． 3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。 (2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出 此时点Q的坐标． (3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、 Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写 出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动 点．过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与X?轴所形成的两个角的平分线于点E、F． （1）求证：EB=BF； （2）当O B O A 为何值时，四边形AEOF是矩形？并证明你的结论； （3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；?若不存在，请说明理由． 一次函数与四边形综合专题 1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点 （Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标； （Ⅱ）若点P的坐标为（1，t） ①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） ②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） （Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由． 2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F． （1）求直线AB的解析式； （2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°． （1）求对角线AC所在的直线的函数表达式； （2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标； （3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度． （1）求直线AB的函数关系式； （2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标； （3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，t=秒； 函数四边形综合 一、四边形性质.... 点坐标、函数解析式 1、如图，一次函数y二2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B,四边形ABCD是正方形.（1）求点A、B、D 的坐标；（2）求直线BD的表达式. 2、如图所示，在平面直角坐标系屮，一次函数尸kx+1的图象与反比例函数尸卫的图象在第一象限相交于点A, X 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C.如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式. 3、如图，正比例函数y二kx的图象与反比例函数y二丄的图象相交于A、B两点，且A的坐标为（1, 1）. x （1）求正比例函数的解析式；（2）己知M, N是y轴上的点，若四边形AMBN是矩形，求M、N的坐标. 4、如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B （ - 2, 3）, BC丄x轴于C,四边形OABC 面积为4. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标； （3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值.（直接写出结果） 5、已知，如图，直线y=2x+4与x轴交于点E,与y轴交于点A,点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD 为边，在第一彖限内做正方形ABCD. (1 )若AD=AE,试求点B的坐标； 6、如图，正比例函数y=2x与反比例函数尸上(k>0)的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂 x 足为D,过点C作CB垂直x轴，垂足为B,连接AB和CD.己知点A的横坐标为2. (1)求k的值； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形； (3)P、Q两点是坐标轴上的动点(P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点)，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标. 7、如图，反比例函数y」(n^O)的图象过点E (2, -6), 一次函数y=kx+b (k^O)的图象分别与x轴、y轴交于点B、C, 与y」的图象在第二象限交于点A,过点A作AD丄OX,垂足为D,且OB二OD二丄OC.求反比 x 2 例函数及一次函数的解析式. 72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合专题 一．二次函数与四边形的形状 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入2 23y x x =-- 得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为： P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=9 4 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A 1. 如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为_____． 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3，OC=4，则△CEF的面积是() A.6 B.3 C.12 D.4/3 3. 如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是(4，0)，∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R． (1)设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的； (2)设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式； (3)当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似(只写答案，不必说理)． 4. 在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C1(1，-1)，C2(，)， 则点A3的坐标是_____． 5. 如图，函数的图象交y轴于M，交x轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为(t，0)，△POQ的面积为S(当点P与M、N重合时，其面积记为0)． (1)试求S与t之间的函数关系式； (2)在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S=a(a＞0)的点P 的个数． 6. 如图，在平面坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P(a，b)在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN(垂足为M，N)分别与直线AB相交于点E，点F，当点P(a，b)运动时，矩形PMON的面积为定值2． (1)求∠OAB的度数； (2)求证：△AOF∽△BEO； (3)当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． y x O B A 8题图 O 30 50 300900x (kg)y (元) 一次函数、平行四边形测试卷 一、选择题（3×10=30） 1、函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 2、在平面直角坐标系中，函数1y x =-+的图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D ．一、二、四象限 3、函数2y x = -x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 4、)如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。 在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ，下列图 象中最符合故事情景的是：( ) 5、)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( ) A 20kg B 25kg C 28kg D 30kg 6、坐标平面上，点P (2,3)在直L ，其中直线L 的表达式为2x +by =7，求b =？ A 1 B 3 C 21 D 31 7、已知一次函数32-=x y 的大致图像为（ ） 8、如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（22，2 2 -） C.（－ 21，－2 1 ） D.（－22，－22） 9、P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上的两点，则下列判断正确的是( ) 成绩 o y x o y x y x o o y x B D C x y O x =4 A B C P H M 1 2、四边形OABC 是等腰梯形，OA ∥BC ，在建立如图的平面直角坐标系中，A （10，0）， B （8，6），直线x =4与直线A C 交于P 点，与x 轴交于H 点； （1）直接写出C 点的坐标，并求出直线AC 的解析式； （2）求出线段PH 的长度，并在直线AC 上找到Q 点，使得△PHQ 的面积为△AOC 面积 的 5 1 ，求出Q 点坐标； （3）M 点是直线AC 上除P 点以外的一个动点，问：在x 轴上是否存在N 点，使得 △MHN 为等腰直角三角形？若有，请求出M 点及对应的N 点的坐标，若没有， 请说明理由． 3、如图，直线L ：22 1 +- =x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点 C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。 （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线L2:y=-1/2x+6与L1:y=1/2x 交于点A ，分别与x 轴、y 轴交于点B 、C 。 （1）分别求出点A 、B 、C 的坐标； （2）若D 是线段OA 上的点，且△COD 的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线DC 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 5、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。 （1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论； （2）若OA= 3，正方形ODEF 绕点O 旋转，当点D 转到直线OA 上时，DCO ∠恰好是30°，试问：当点D 转到直线OA 或直线OC 上时，求AD 的长。（本小题只写出结论，不必写出过程） F E D C B A O 6、 如图，一次函数24y x =+的图像与x y 、轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD 。 （1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标。 一次函数综合题 1、（2012?沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）． （1）求直线l1，l2的表达式； （2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF． ①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示） ②若矩形CDEF的面积为60，请直接写出此时点C的坐标． 2、（2013?济南）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC 于点F． （1）求直线BD的函数表达式； （2）求线段OF的长； （3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由． 3、如图，一次函数24y x =+的图像与x y 、轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD 。 （1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，这样的点M 共有几个？请分别求出A ，B 为等腰三角形顶角时M 的坐标。 4、（2011?河池）已知直线l 经过A （6，0）和B （0，12）两点，且与直线y=x 交于点C ． （1）求直线l 的解析式； （2）若点P （x ，0）在x 轴上运动，是否存在点P ，使得△PCA 成为等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、如图，在平面直角坐标系中，直线L 1：62 1+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，与直线L 2：x y 2 1=交于点A 。 （1）分别求出点A 、B 、C 的坐标； （2）若D 是线段OA 上的点，且△COD 的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线DC 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 6、（2011?黑龙江）如图，直线AB 与坐标轴分别交于点A （0,2）点B （-4,，0），点C 在y 轴上，且OA ：AC=2：5，直线CD 垂直于直线AB 于点P ，交x 轴于点D ． （1）请求出直线CD 的解析式． （2）若点M 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M ，使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 函数与四边形综合类型题教案 教师姓名 辅导科目 授课时间 教材版本 教辅材料 苏 初四数学 人教版 教师选印 教学目标 1、 学会对函数综合题如何分析的一般规律。掌握二次函数与四边形综合题的解题思路及分析方法。 授课纲要及重、难点提示 通过对典型二次函数综合题的剖析，使其掌握一般的解题分析方法及技巧，提高综合分析解决问题的能力。 重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握。 教学过程 一、复习 二、典例分析 （一）、与平行四边形相关 例1．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式； （2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例1图 例3图 例2、 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ：①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 解：（1）A （-1，0），B （3，0），C （0，3），抛物线的对称轴是：x =1． （2）①设直线BC 的函数关系式为：y=kx+b ．把B （3，0），C （0，3）分别代入得： 303 k b b +=?? =?， 解得：k = -1，b =3．所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当x =1时，y = -1+3=2，∴E （1，2）．当x m =时，3y m =-+， x y D C A O B E P F M 例2图 C y x O B A M 函数与四边形综合题 1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线 段OA、OB的长（0A＜OB）是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线 段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD． （1）求点C的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、 Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由． 2、已知与是反比例函数图象上的两个 点． （1）求的值； （2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、 F. （1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； （2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长. 图1 图2 图3 解：（1）OA=6，OB=12，点C是线段AB的中点，OC=AC．作CE⊥x轴于点E．∴OE= 1/2OA=3，CE= 1/2OB=6． ∴点C的坐标为（3，6）． （2）作DF⊥x轴于点F．△OFD∽△OEC，OD/OC=2/3 ，于是可求得OF=2，DF=4． ∴点D的坐标为（2，4）． 设直线AD的解析式为y=kx+b．把A（6，0），D（2，4）代入得 6k+b=0,2k+b=4,解得k=-1，b=6 ∴直线AD的解析式为y=-x+6． （3）存在．由（2）中D的坐标可知，DA=AF=4，所以∠OAD=45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论： ①若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP． 过P作PM⊥x轴，因为∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3√2 ，OM=6-3√2 ，即P（6-3√2 ，3 √2） 所以Q的横坐标为6-3 √2-6=-3√2 ，Q1（-3 √2，3√2 ）； ②若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP． 过P作PM⊥x轴，因为∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3 √2，OM=6+3 √2，即P（6+3 √2，-3 √2）所以Q的横坐标为6+3 √2-6=3 √2，Q2（3 √2，-3 √2）； ③若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此时OAQP是正方形． 又因正方形边长为6，所以此时Q3（6，6）； ④若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此时OPAQ是正方形． （3，-3）． 又因正方形对角线为6，由正方形的对称性可得Q 4 特殊平行四边形存在性 ?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类，利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛， 再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ?精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24 =-与x轴交于点A，与y y x 轴交于点B． （1）求点A，B的坐标． x=-上的一动点，则在坐标平面是否存在点Q，使得以A，（2）若P是直线2 B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数与四边形压轴题
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