正方形 梯形经典例题
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D C
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F 正方形 梯形常见经典例题 例题讲解：
1.已知：如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的 交点，AF 、BE 交于点G ，连结CG ，求证：ΔCGB 是等腰三角形。
2.如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，且有BM ＝DM ＋CD ．
⑴求证：点F 是CD 边的中点； ⑵求证：∠MBC ＝2∠ABE ．
3．如图，已知正方形ABCD ，M 是AB 边上一点，连DM ，作MN ⊥DM 交∠CBE 的平分线于N. （1）求证：MN = MD ；
（2）连DN 交BC 于F ，求证：MN 平分∠FME ；
4.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD ∥BC ，AB=BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。
（1） 求证：BE=AD ；求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； （2） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。
5.梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是底AD 和BC 的中点， ∠B +∠C ＝90°，BC ＝18，AD ＝6，求EF 的长进而探究一般规律， 若BC ＝x ，AD ＝y ，那么 EF 为多少？
6梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，则此梯形面积为 ．
7如图，梯形 ABCD 中，AD //BC ，E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于点F ，AB ＝6cm ，EF ＝5cm ，试求梯形 ABCD 的面积.
M
F
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B
A
B
C
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N
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A D
C
B
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C
D
A
B
C
P
O m
n 练习题：
1．正方形具有而矩形不一定具有的特征是(
)
A ．四个角都是直角
B ．对角线互相平分
C ．对角线互相垂直
D ．对角线相等 2．在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD B ．AB ∥CD ，AC ＝BD C ．AO ＝BO ，∠A ＝∠C
D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)
A ．平行四边形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．菱形
4．梯形上底长为6cm ，过上底一个顶点引一腰的平行线交下底所得三角形周长为5cm ，那么这个梯形周长为( )
5．四边形四个内角的度数之比为2︰2︰1︰3，则此四边形是( ) A ．任意四边形；B ．任意梯形；C ．等腰梯形；D ．直角梯形； 6．下列命题正确的是( )
A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D ．对角线相等的四边形是等腰梯形 7．顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是( )
A ．菱形
B ．正方形
C ．矩形
D ．等腰梯形 8．若等腰梯形的两底差等于一腰长，那么它的腰与下底的夹角为 9．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角的度数是( )
A ．30o和150 o
B ．45o和135o
C ．60o和120o
D ． 都是90o
10.用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形，其中一定能拼成的图形是…（ ） A ．①②③
B ．①④⑤
C ．①②⑤
D ．②⑤⑥ 11．对角线互相垂直且相等的四边形一定是……（ ）
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．以上均不对
12．连接等腰梯形各边中点所得四边形是 13．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是…………（ ）
A ．梯形
B ．等腰梯形
C ．平行四边形
D ．等腰梯形或平行四边形
14．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，若腰BC ＝15，对角线AC ＝20，且AC ⊥BC ，
则AB ＝ ，AD ＝ ，CD ＝ ，
ABCD S 梯形 ． 15．如图，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m
上两点.
⑴请写出图中面积相等的各对三角形：____________.
⑵如果A 、B 、C 、为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点
移
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D
C B
A
动到任何位置，总有_______与△ABC 的面积相等.
16．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5cm ，BC ＝9cm ，∠C ＝60°，则梯形的腰长是 cm ． 17．已知一个梯形的面积为22 cm 2，高为2 cm ，则该梯形的中位线的长等于________cm ． 18．如图，在正方形ABCD 中，∠DAF ＝25°，AF 交对角线BD 于E 点，则∠BEC ＝( )
19.如图，E 是正方形ABCD 外一点，AE
＝AD ，∠ADE ＝75°， 求∠AEB 的度数。
20.如图，△ABC 中，点O 是AC 上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设Mn 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACH 的平分线于点F 。
⑴说明：EO ＝FO ；⑵当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形；⑶当O 是AC 上怎样的点，且AC 与BC 具有什么关系时，四边形AECF 是正方形？
21．某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，
坡角为45° (如图所示)，求挖土多少立方米．
22如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°．试说明 CD ＝BC －A D ．
23．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的
中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是…（ ）
24，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于（ ）
26、如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，对角线AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AB 交AC 的延长线于E ，EF ∥BD 交AD 的延长线于F ，下列结论：①OB=OE ；②∠AEF=2∠BAC ；③AD=DF ；④AC=CE ＋EF.其中正确的结论是
F
E
O
C
A
B D
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A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
27．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。将△ADE 沿对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF 。下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF;④S △FGC =3. 其中正确结论的个数是（ ）
A 1
B 2
C 、3
D 、4
28如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB=450
，CD=2，BD ⊥CD 。过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连结EG 、AF 。（1）求EG 的长；（2）求证：CF=AB+AF 。
29．在正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．
(1) 已知∠MAN 在如图1所示的位置时，求证 BM+DN=MN ．
(2) 请问当∠MAN 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？
请说明理由．
30梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD 的面积。
一元二次方程应用题经典题 型汇总含答案
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%) (1+x)2＝193.6， 即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答 需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得 90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.
中考数学各类经典大题集锦
25. (6分) 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元 （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元 23.(本小题满分12分)某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 千 瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过a 千瓦·时，则这个月除了仍要交10元的用电费以外，超过的部分还要按每千瓦·时 100 a 元交费. （1）该厂某户居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的a 千瓦·时，则超过的部分应交电费___*___元.（用含a 代数式表示） （2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况：
23、（12分）已知一元二次方程2 40x x k -+=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 240 x x k -+=与 210x mx +-=有一个相同的根，求此时m 的值． 22、（12分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，南沙区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿化面积不断增加（如图所示） （1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2011年的绿化面积为 公顷，比2010年增加了 公顷。 (2)为满足城市发展的需要，计划到2013年使城区绿化地总面积达到公顷，试求这两年（2011～2013）绿地面积的年平均增长率。 _ _ 60 _ 56_ 51_ 48 _ _ 2011 _ 2010 _ 2009 _ 2008
平行线的判定和性质练习题
- 平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B
代数式经典测试题及答案
代数式经典测试题及答案 一、选择题 1．若（x +1）（x +n ）＝x 2+mx ﹣2，则m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣2 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式，再将它与x 2+mx-2作比较，即可分别求得m ，n 的值． 【详解】 解：∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n ， ∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2， ∴12n m n +=??=-? ， ∴m=-1，n=-2． 故选A ． 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用． 2．下列各运算中，计算正确的是( ) A ．2a?3a ＝6a B ．(3a 2)3＝27a 6 C ．a 4÷a 2＝2a D ．(a+b)2＝a 2+ab+b 2 【答案】B 【解析】 试题解析：A 、2a ?3a =6a 2，故此选项错误； B 、（3a 2）3=27a 6，正确； C 、a 4÷a 2=a 2，故此选项错误； D 、（a+b ）2=a 2+2ab +b 2，故此选项错误； 故选B ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键． 3．下列运算正确的是（ ） A ．21ab ab -= B 3=± C ．222()a b a b -=- D ．326()a a = 【答案】D 【解析】 【分析】 主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.
解： A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误； B 3=，故B 项错误； C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误； D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ?==. 故选D 【点睛】 本题主要考查： （1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负. （2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+. 4．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（ ） A ．7500 B ．10000 C ．12500 D ．2500 【答案】A 【解析】 【分析】 用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可. 【详解】 解：101+103+10 5+107+…+195+197+199 ＝22119919922++????- ? ????? ＝1002﹣502， ＝10000﹣2500， ＝7500， 故选A ． 【点睛】 本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 5．下列各式中，计算正确的是（ ） A ．835a b ab -= B ．352()a a = C ．842a a a ÷= D ．23a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
初二数学八年级各种经典难题例题非常经典
1已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A ． B ． C ．或 D ． 1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条 3、若直线与的交点在轴上，那么等于（ ） （竞赛）1 正实数,x y 满足1xy =,那么44 114x y +的最小值为:( ) (A) 12 (B)58 16.如图，直线y=kx+6与x 轴y 轴分别交于点E ，F.点E 的 坐标为(-8，0)，点A 的坐标为(-6，0). (1)求k 的值； (2)若点P(x ，y)是第二象限内的直线上的一个动点，当 点P 运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数 关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)探究：当P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为8 27，并说明理由. 6、已知，如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,D 为AC 上一点，且∠BDC=124°，延长BA 到点E ，使AE=AD,BD 的延长线交CE 于点F ，求∠E 的度数。
7.正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。 ①直线y=43x-83 经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积； ②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式， ③若直线1l 经过点F ?? ? ??-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ?的面积. （竞赛奥数）如图，在△ABC 中，已知∠C=60°，AC ＞BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC=DC （1）证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； （2）证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；
矩形菱形正方形练习题及答案
1.矩形ABCD对角线是10cm，那么矩形的周长最大是_______，此时两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是 2.如图矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_ 3、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___ 4.如图，△ABC中，∠ACB=90度，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC 延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形； 5.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90°∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB. 6、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。求证：DE=DF 7、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______． 8．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为__。 9、菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是。 10、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。 11、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形； 12、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。 13、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
平行线的判定练习题
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 平行线的判定习题精选 一、填空题： 1．如图③∵∠1=∠2，∴_______∥________（）∵∠2=∠3，∴_______∥________（）2．如图④∵∠1=∠2，∴_______∥________（）∵∠3=∠4，∴_______∥________（） 二、选择题： 1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（） A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF 2．如图⑧，判定AB∥CE的理由是（） A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE 3．如图⑨，下列推理正确的是（） A．∵∠1=∠3，∴a∥b B．∵∠1=∠2，∴a∥b C．∵∠1=∠2，∴c∥d D．∵∠1=∠3，∴c∥d 4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6， ③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（） A．①③B．②④C．①③④D．①②③④ 三、完成推理，填写推理依据： 1．如图⑩∵∠B=∠_______，∴AB∥CD（） ∵∠BGC=∠_______，∴CD∥EF（） ∵AB∥CD ，CD∥EF，∴AB∥____（） 2．如图⑾填空： （1）∵∠2=∠B（已知） ∴AB__________（） （2）∵∠1=∠A（已知） ∴__________（） （3）∵∠1=∠D（已知） ∴__________（）（4）∵_______=∠F（已知） 第1页
第2页 1 3 2 A E C B F 图10 ∴ AC ∥DF （ ） 3.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。 ∵∠1＋∠2＝180°（ ）又∠2＝∠3（ ） ∴∠1＋∠3＝180°∴_________（ ） 四、证明题 1．如图：∠1=?53，∠2=?127，∠3=?53， 试说明直线AB 与CD ，BC 与DE 的位置关系。 2.如图：已知∠A=∠D ，∠B=∠FCB ，能否确定ED 与CF 的位置关系， 请说明理由。 3.已知：如图， ， ，且 . 求证：EC ∥DF. 4.如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°， 写出图中平行的直线，并说明理由． 5.如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ． 6.已知：如图：∠AHF ＋∠FMD ＝180°，GH 平分∠AHM ，MN 平分∠DMH 。 求证：GH ∥MN 。 F 2 A B C D Q E 1 P M N 图11
七年级数学二元一次方程经典练习题及答案
二元一次方程组练习题100道（卷一） （范围：代数： 二元一次方程组） 一、判断 1、??? ??-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 1032 6 5 23y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组? ? ?=+-=5231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为???-=--=+27651223y x y x （ ） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ） 7、方程组? ? ?=+-=+81043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组 ?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………（ ） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2 -的值为b a ………（ ） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x += （ ） 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解； （C ）三个解； （D ）无数多个解； 14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ）
高中不等式所有知识及典型例题超全
一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )(a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
矩形菱形与正方形测试题及答案
第19章 矩形、菱形与正方形测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。 （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ） A 、菱形 B 、对角线相互垂直的四边形 C 、正方形 D 、对角线相等的四边形 3、如图1，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ） A.S 1 > S 2 B.S 1 = S 2 C.S 1北师大版七年级数学上册《代数式》典型例题(含答案)
《代数式》典型例题 例1 列代数式，并求值． 有两种学生用本，一种单价是0.25元，另一种单价是0.28元，买这两种本的数分别是m 和n ．（1）问共需要多少元？（2）如果单价是0.25元的本和单价是0.28元的本分别买了20和25本，问共花了多少钱？ 例2 某城市居民用电每千瓦时（度）0.33元，某户本月底电能表显示数m ，上月底电能表显示数为n ，（1）用m 和n 把本月电费表示出来；（2）若本月底电能表显示数是1601，上月底电能表显示数为1497，问本月的电费是多少？ 例3 春节前夕，铁路为了控制客流，使其卧铺票票价上浮20％，春节期间按原价下浮10％，若某地到北京的卧铺票原价是x 元，如果在春节期间乘坐要比春节前少花多少钱，用x 表示出；当228=x 时，求这个代数式的值。 例4 22b a -可以解释为___________． 例5 一个三位数，百位数上的数是a ，十位上的数是b ，个位上的数是c ． （1）用代数式表示这个三位数． （2）把它的三位数字颠倒过来，所得的三位数又该怎样表示？ 例6 选择题 1．x 的3倍与y 的2倍的和，除以x 的2倍与y 的3倍的差，写成的代数式是（ ） A ． y x y x 3223-+ B ．x y y x 2323-+ C ．y x y x 3223-+ D ．y x y x 2223-+ 2．如图，正方形的边长是a ，圆弧的半径也是a ，图中阴影部分的面积是（ ）
A ．224a a -π B ．22a a π- C ．22a a -π D ．224a a π- 例7 通过设2003 1413121,20021413121++++=++++= b a 来计算： ).20021413121()200314131211()20031413121()200214131211(++++?+++++-++++?+++++ 例8 按给的例子，把输出的数据填上 例9 对于正数，运算“*”定义为b a a b b a +=*，求)333**（．
最新正方形经典例题与答案资料
典型例题一 例01．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使CE CD =，过E 点作AC EF ⊥交AD 于F. 求证：DF EF AE ==. 证明 连结CF . 在正方形ABCD 中，?=∠=∠90DAB D ，AC 平分DAB ∠. ∵?=∠=∠45CAB DAC ， 又∵ AC EF ⊥， ∴?=∠=∠45AFE DAC . ∴ EF AE = 在CEF Rt ?与CDF Rt ?中， CF CF CD CE ==, ∴)(HL CDF Rt CEF Rt ??? ∴DF EF = ∴DF EF AE ==. 说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视AEF ?是等腰直角三角形. 解题关键是证AEF ?是等腰直角三角形和连CF 证CEF CDF ???. 典型例题二 例02．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，CD 是ACB ∠的平分线，AC DE //交BC 于E ，BC DF //交AC 于F . 求证：四边形CEDF 是正方形. 分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是菱形，再证它有一个角等于?90. ③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角?=∠90ACB ，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法. 那么由角平分线的性质定理容易证出DF DE =. 证明：∵BC DF AC DE //,//（已知） ∴ 四边形CEDF 是平行四边形. ∵ ?=∠90ACB （已知）， ∴ 四边形CEDF 是矩形（有一个角是?90的平行四边形是矩形）.
∵ ?=∠90,//,//ACB BC DF AC DE （已知）， ∴ ?=∠=∠90DFC DEC 又∵ CD 是ACB ∠的平分线（已知）， ∴ DF DE =（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∴ 四边形CEDF 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 说明 正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成． 典型例题三 例03．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分CBE ∠交CD 于F . 求证：AE CF BE +=. 证法1 延长DC 至N ，使AE CN =，连结BN ，则CBN ABE ???. ∴ BN BE CBN ABE =∠=∠,. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴ AB CD // ∴ ABF NFB ∠=∠. ∵ CBF NBC NBF EBF ABE ABF ∠+∠=∠∠+∠=∠,，FBC EBF ∠=∠， ∴NFB NBF ∠=∠ ∴ CF CN NF BN +== ∴ CF AE BE += 证法2 如图，延长DA 到G ，使CF AG =，连结BG ，则BCF BAG ???. ∴ CF AG CFB G CBF ABG =∠=∠∠=∠,,. ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴BC AD // ∴CFB ABF ∠=∠ ∵CBF EBF ∠=∠， ∴EBF ABG ∠=∠ ∴ABE EBF ABE ABG ∠+∠=∠+∠， 即ABF EBG ∠=∠ ∴EBG G ∠=∠
七年级数学平行线及其判定典型例题
本文由：361学习网https://www.360docs.net/doc/3012948777.html, 搜集整理；小学数学教案https://www.360docs.net/doc/3012948777.html, 七年级数学平行线及其判定典型例题 例1.已知直线 l 1和l 2均过点P,且l 1∥l 3，l 2∥l 3，则l 1与l 2的关系是什么？说明理由. 分析：这一例题是平行公理的直接应用，但题干部分的几何语句与平行线的传递性的几何语句又相一致，所以学生容易犯不认真读懂题，丢掉“过点P ”的前提要求，只看后面部分就做出平行的错误判断，解决办法就是提醒学生逐字读懂题，并画图，先形成直观感知（即与先前的平行判断形成对立矛盾的感知）再联系所学的知识“经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”加以解释,所以正确结论是l 1与l 2重合. 技巧：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 例2.如图,直线AB 和CD 与直线MN 分别相交于点E 、F ，∠1=∠2,能否判定直线AB 与CD 平行？若能，请说明理由；若不能，请增加适当的条件使得AB ∥CD. 分析：本题是对平行线的判定定理的应用，具体地说，应是对三线八角概念教学的考察.学生极易将∠1和∠2理解为同位角,从而直接应用判定定理说“AB ∥CD ”,而实际上，∠1和∠2是四条线形成的角，不属于三线八角，不可以作为判定平行的依据.应引导学生观察“直线AB 和CD 被哪一条直线所截，形成同位角？”此时，自然产生可以补充条件“∠FEG=∠NFH ”,由于∠1=∠2，所以∠FEG+∠1=∠NFH+∠2，即∠FEB=∠NFD,从而利用“同位角相等，两直线平行”证明出AB ∥CD. 规律：认清图形中的角是否为三线八角中的角. A B C D E F G H 1 2 M N 例图
代数式知识点、经典例题、习题及答案(供参考)
1.2 代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式：指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式： （1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“.”来代替。（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100?a，na或n?a。 （3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（5s ）时 （4）、除法运算写成分数形式。 （5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意： （1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 （2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。 （3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。 【经典例题】 【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五
角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（ ） 【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案：D 【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的 12，故后一个矩形的面积是前一个矩形的14 ，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --????= ? ?????，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为2212n -?? ???。 【例3】按一定规律排列的一列数依次为 111111,,,,,,2310152635 …，按此规律，第7个数是 。 【解析】先观察分子：都是1；再观察分母：2,3,10,15,26，…与一些平方数1,4,9,16，…都差1,2=12+1，3=22-1，10=32+1，15=42-1，26=52+1，…，这样第7个数为 2117150=+。 答案：150 【例4】已知： 114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值为（ ） A ．6 B ．--6 C ．215- D ．27 - 【解析】由已知114a b -=，得4b a ab -=， ∴4,4, 2()242 6.2272()787b a ab a b ab a ab b a b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ∴-=-=-------∴===-+-+-+答案：A 【课堂练习】 1、（2012湖北武汉，9，3分）一列数a1，a2，a3，…，其中a1= 111,21n n a a -=+（n 为不
初二数学八年级各种经典难题例题(含答案)非常经典
1已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) 8 A. 20° B . 120° C. 20° 或 120° D. 36° 1. 一个凸多边形的每- 个内角都等于 150 ° ，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有 () A . 42 条 B . 54条 C . 66条 D .78条 3、若直线y Kx 1与y k 2x 4的交点在 k x 轴上，那么 等于( ) k A.4 B. 4 C.1 D. 1 1 1 (竞赛)1正实数x, y 满足xy 1,那么-4 =的最小值为：() x 4y 1 5 r? (A) - (B) - (C)1 (D) 2 2 8 (竞赛)在厶ABC 中，若/ A >Z B ,则边长a 与c 的大小关系是( ) i 1 A 、a > c B 、c >a CC a > 1/2c D c > 1/2a i 16.如图，直线 y=kx+6与x 轴y 轴分别交于点 E , F.点E 的 坐标为(-8 , 0)，点A 的坐标为(-6 , 0). (1) 求k 的值； (2) 若点P(x , y)是第二象限内的直线上的一个动点，当 点P 运动过程 中，试写出厶OPA 的面积S 与x 的函数 关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
1已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) 27 (3) 探究：当P运动到什么位置时，△ OPA的面积为，并说明理由 8
6、已知，如图，△ ABC中, / BAC=90 , AB=AC,D为AC上一点，且/BDC=124 , 延 长BA到点E,使AE=AD,BD勺延长线交CE于点F,求/ E的度数。 7.正方形ABCD的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴 上，且A点的坐标是（1，0）。 4 8 ①直线y=3x- 3经过点C,且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积； 3 3 ②若直线I经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线I的解析式， 3 2 ③若直线I,经过点F -.0且与直线y=3x平行,将②中直线I沿着y轴向上平移2个单位 2 3 交x轴于点M ,交直线I,于点N ,求NMF的面积. 3 斗5 6
平行线的判定与性质培优经典题(1)
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
代数式求值经典题型(含详细答案)
代数式求值 经典题型 【编著】黄勇权 经典题型： 1、x+x 1 =3，求代数式 x 2 -2 x 1的值。 2、已知a+b=3ab ，求代数式b 1 a 1+的值。 3、已知 x 2 -5x+1=0,求代数式x 1x +的值。 4、已知x-y=3，求代数式（x+1） 2 -2x+y （y-2x ）的值。 5、已知x-y=2，xy=3，求代数式x 2 -xy 6+y 2的值。 6、已知y x =2，则x y -x 的值是多少？
7、若2y 1x 1=+，求代数式：3y xy -3x y 3xy -x ++的值。 8、已知5-x =4y-4-y 2，则代数式2x-3+4y 的值 是多少？ 9、化简求值，12x x 1-x 2 ++÷）（1x 2 1+-， 其中x=13- 10、x 2-4x+1=0，求代数式：x 2 +2 x 1 的值。 【答案】 1、x+x 1 =3，求代数式：x 2 -2 x 1的值。 解：x 2 -2 x 1 =（x+x 1）（x-x 1 ） =（x+x 1 ）2x 1-x ）（ =（x+x 1 ）2 2x 12x +- =（x+x 1）4x 12x 2 2 -++ =（x+x 1）4x 1x 2 -+）（ 将 x+x 1 =3 代入式中
=3×432- =35 2、已知a+b=3ab ，求代数式：b 1 a 1+的值。 解：b 1 a 1+ =ab b a + 将a+b=3ab 代入式中 =3 3、已知x 2 -5x+1=0,求代数式：x 1 x +的值。 解：因x 2 -5x+1=0， 等式两边同时除以x 则有：x 0 x 1x x 5x x 2=+- 化简得：x-5+x 1 =0 把-5移到等号的右边，得： x 1 x +=5
正方形练习题(含答案)
1 ￡! 正方形练习题 1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A 对角线相等且互相平分 B ?对角线相等且互相垂直平分 C ?对角线互相平分 D ?四条边相 等，四个角相等 2. 如图,E 、F 分别是正方形 ABCD 勺边CD AD 上的点，且CE= DF, AE BF 相交于点0,下列结论①AE BF ;②AE1BF ;③A0= 0E ④S AOB S 四边形DEOF 中，错误的有（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 3. 如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ ABE 为等边三角形，那么/ DCE= _____ 度. 4. 如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且 CE=AC ，AE 交CD 于点F ,则/ E= _______ 度. 5. ______________________________________________________________ 如图，若P 是边长1的正方形ABCD 内一点且S A ABP =0.4,贝U S ^DCP = _________________________________ . 6. 如图，在菱形ABCD 中，/ BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点F , E 为垂足，连接DF ， 则/ CDF 的度数= 度. 8. 如图，E , F , G , H 分别为正方形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 上的点，且 1 一 AE BF CG DH - AB ，则图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 ______________________ 3 9. __________ 如图，菱形 ABCD 中/ B = 60°, A 吐 2, E 、F 分别是 BC CD 的中点，连接 AE 、EF 、AF,UA AEF 周 长为 10. _______________________________________________________________________________ 如图，已知P 是正方形ABCD 寸角线BD 上一点，且BP = BC 则/ ACP 度数是 22.5 度- __________________ . 11. 已知正方形ABCD 的边长为1,连接AC,BD ,CE 平分/ ACD 交BD 于点E,则DE = _______ 2- 1 ______ 11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE 交BC 的延长线于点F .求证: DE DF . 12. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线AC , BD 交于点O , E 是BD 延长线上的点，且 △ ACE 是 等边三角形. （1）求证：四边形ABCD 是菱形； 2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点, 7.如图，在边长为 边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，贝U DG 的长为 第10题 D 第3题 第5题 延长MD 至点E ,使