2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(理) 教师版
2021届高三精准培优专练
例1：已知O 为坐标原点，A ，B 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点P 在椭圆C 上且
位于第一象限，点P 在x 轴上的投影为P '，且有OP OP c OP '?
='
（其中222
c a b =-），AP 的连线与y 轴交于
点M ，BM 与PP '的交点N 恰为线段PP '的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．
32
B ．
22
C ．
23 D ．13
【答案】D
【解析】设00(,)P x y ，则0(,0)P x '，
(1,0)OP OP '='
，
由题意OP OP c OP '?
='
，得P 的横坐标为c ，
由22221c y a b +=，得2b y a =±，∴2
(,)b P c a
， ∵(,0)A a -，(,0)B a ，∴直线PA 的方程为2
()()
b y x a a a
c =
++， 令0x =，则2b y a c =+，∴2
(0,)b M a c +，∴直线BM 的方程为2()()b y x a a a c =-
-+， ∵直线PP '的方程为x c =，∴点2)
(,
))((b a c N c a a c -+， ∵N 恰为线段PP '的中点，∴22
)2(()b a c b a a c a -?=+，
整理可得3a c =，则1
3
c e a =
=． 例2：设1F ，2F 是双曲线22
22:1x y C a b
-=（a >0，0b >）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一
培优点 圆锥曲线综合
一、圆锥曲线综合
条渐近线的垂线，垂足为P ，若
1PF =，则C 的离心率为（ ）
A B ．2
C
D 【答案】C
【解析】双曲线22
22:1x y C a b
-=（a >0，0b >）的一条渐近线方程为b y x a =，
∴点2F 到渐近线的距离
d b ==，即2PF b =，
∴OP a =，2cos b
PF O c
∠=
， ∵
1PF =，∴1PF =， 在三角形12F PF 中，
由余弦定理可得2
2
2
121221222cos PF PF F F PF F F PF O =+-?∠，
∴2222222264224343()b
a b c b c c b c c a c =+-???
=-=--， 即
223a c =c =，∴c
e a
=，故选C ．
例3：已知定点3
(1,)2
A -，点M 是抛物线2:4C y x =上的动点，则MA MF （其中F 为抛物线C 的焦点）的
最大值为（ ）
A ．2
B ．
52
C D ．3
【答案】C
【解析】如图，作MN ⊥准线l 于点N ，则
1
cos MA MA MF
MN
NMA
==
∠，
设MA 的倾斜角为θ，则222222
11sin cos 1cos cos cos k NMA θθ
θθ
+===+∠（AM k k =）， 当MA 与24y x =相切时，2k 取最大值，由3(1)2:MA l y k x -=+，可得3
12y x k k
=--，
代入抛物线24y x =，得23
4(1)2y y k k
=--，
即24640y y k k -++=，0Δ=，可得21664(4)0k k -+=，解得2k =-或1
2
k =，
故2k的最大值为4，即22
()1
MA
k
MF
=+的最大值为5，即
MA
MF
的最大值为5．
一、选择题
1．已知双曲线
22
22
1(,0)
x y
a b
a b
-=>的渐近线被圆22
(2)4
x y
-+=截得的弦长等于23，则双曲线两条渐近线相夹所成的锐角为（）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
2
D．
2π
3
【答案】B
【解析】过圆心(2,0)
A作渐近线b
y x
a
=的垂线，
设垂足为B，由题意知圆心(2,0)
A到渐近线的距离431
d=-=，则易知π
6
AOB
∠=，
所以两渐近线相夹所成的锐角为π
3
．
2．如图，过抛物线22(0)
y px p
=>的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线l于点C，若2
CB BF
=，6
AF=，则抛物线的方程为（）
A．2y x
=B．23
y x
=C．26
y x
=D．29
y x
=
【答案】C
对点增分集训
【解析】作AM ，BN 垂直准线l ，垂足分别为M ，N ，
2CB BF =，即2BC BF =，可得2BC BN =，
则30BCN ∠=?，6AF AM ==，212AC AM ==， 所以F 是线段AC 中点，所以1
232
OF p AM ==
=，则26y x =．
3．已知点1F ，2F 是椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，椭圆上存在不同两点A ，B 使得122F A F B =， 则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．1(,1)3
B ．1(0,)3
C ．1(,1)2
D ．1
(0,)2
【答案】A
【解析】极限法：当,A B 重合于右顶点时，有2()a c a c +=-，此时1
3e =，
当13e >时，椭圆越扁，显然存在，故1
(,1)3e ∈．
或：如图，E 为线段1AF 中点，设(,)A m n ，则(,)22
m c n
E -，122
F A F B =， 可知12F E F B =，则3(
,)22
m c n
B +， 点,A B 在椭圆上，有22221m n a b
+=，代入222
22
2691444m cm c n a a b +++=，可得2223cm c a +=， 即有22
32a c m a c -=<，解得13e >，
又01e <<，所以1
(,1)3
e ∈．
4．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线与C 交于,P Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，
其中,P M 位于第一象限，则14
PM QN
+的值不可能为（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A
【解析】如图，设PF m =，QF n =， 由焦点弦的性质有
112
1m n p
+==，即有mn m n =+， 又1PM m =-，1QN n =-，
1414454511()1
m n m n PM QN m n mn m n +-+=+==+----++， 114(4)(
)59n m
m n m n m n
++=++≥，当2n m =时取等号， 所以
144PM QN
+≥，不可能等于3．
5．已知两点,A B 在椭圆22
163
x y +=上，若0OA OB ?=，则OA OB ?的最小值为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．【答案】B
【解析】设点A 在第一象限，直线OA 的倾斜角为θ， 则(cos ,sin )A OA OA θθ，ππ
(cos(),sin())22
B OB OB θθ±±，
点在椭圆上，则2
2
22cos sin 16
3
OA OA +
=θ
θ
，即222
cos sin 163OA
+=θθ，
同理有222
sin cos 1
63OB +=θθ，则2211111632OA OB
+=+=， 2
2
112
OA OB
OA
OB
+
≥
，所以4OA OB ≥，当2OA OB ==
时取等号，此时A ．
6．已知点(,0)F c -是的双曲线22
221(0)x y C b a a b
-=>>：的左焦点，过F 且斜率为1的直线与双曲线的渐近线
分别交于点A ，B ，若线段AB 中点为D ，且22FO FD c ?=（O 为原点），则双曲线C 的离心率e 等于（ ） A
B
C
D
【答案】A
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ， 点A ，B 在渐近线上，即22
111122x y x y a b a b
=?=，
同理222222x y a b =，所以2222
1212
22x x y y a b --=
，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=， 因为12
12
1y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，
则有0022x y a b
=，得20
20y b a x =，
如图，易知点D
在第一象限，2π
cos 4
FO FD c FD ?=??，得2FD c =， π
14AB k AFO =?
∠=
，则1))D c ，
所以20
20
2y b a x ==
=+
e =
=
二、填空题
7．已知点(,0)F c 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，点A 是原点O 关于直线1x y c b +=的对称点，
且AF x ⊥轴，则椭圆E 的离心率等于__________．
【解析】由题意可知直线:AF x c =，直线:c AO y x b =，联立得2
(,)c A c b ，
则线段AO 中点为2
(,)22c c B b
，
则有2
21122c b
+=，即b c =，所以a =，则e =．
8．设1F ，2F 是双曲线C 的左右焦点，过焦点1F 的直线与曲线C 的左支交于点A ，B ，若212AF F F =， 且113AF F B =，则双曲线C 的渐近线方程为__________． 【答案】y =
【解析】如图，设12AF =，16BF =，由双曲线的定义知21222a AF AF c =-=-， 即1a c =-，212BF BF a -=，则21224BF BF a c =+=+， 设D 为线段1AF 中点，则12AF DF ⊥，7BD =，11F D =， 由勾股定理得2
2
2
2
2
22121BF BD DF F F DF -==-，
即22
(24)49(2)1c c +-=-，解得2c =，11a c =-=，所以b =， 渐近线方程为y =．
9．已知点F 是抛物线2
1:4
C y x =的焦点，点A ，B 在抛物线C 上，满足4OA OB ?=-，
则AOF BOF S S +△△的最小值为 ．
【答案】【解析】知(0,1)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2121212121
()416
OA OB x x y y x x x x ?=+=+=-， 解得128x x =-
，1212111
()222
AOF BOF S S OF x OF x x x +=+=+≥=△△
当12x x ==
10．已知点1(,0)F c -，2(,0)F c 是离心率3
2
e =
的双曲线C 的两个焦点，直线:4340l x y c --= 与双曲线C 交于A ，B 两点，设E ，F 分别是12AF F △，12BF F △的内心，且5EF =，则双曲线C 的标准 方程是__________． 【答案】22
11620
x y -=
【解析】直线:4340l x y c --=过右焦点2(,0)F c
，3423
b e a =?=<， 所以直线l 与双曲线的右支有两个交点，
如图，设右顶点D ，EM AB ⊥，1EN AF ⊥，12EH F F ⊥，垂足分别为M ，N ，H ， 由双曲线的定义及三角形内心特点，有1212122AF AF NF MF HF HF a -=-=-=， 则可得D ，H 重合，同理，12DF F F ⊥，垂足为D ， 设直线l 的倾斜角为θ，由题意知4tan 3=θ，π
((0,))2
θ∈， 则2219cos 1tan 25==+θθ，则4sin 5=θ，由角平分线特点知2
1
(π)2
EF D θ∠=-， 22
FF D ∠=
θ
，可知2(,()tan )E a c a EF D -∠，2(,()tan )F a c a FF D --∠，
5EF =，则22()(tan tan )5c a EF D FF D -∠+∠=，
2
221tan 1252tan tan tan
22
sin 2tan
2tan 2
2
EF D FF D +∠+∠=
+=?
==θ
θ
θ
θθ，
所以2c a -=，
又32
e =，解得4a =，6c =
，b =C 的标准方程是22
11620x y -=．
三、解答题
11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交曲线C 于另
一点B ，交x 轴的正半轴于点001
(,0)()2
D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为点
E ，AE 交x 轴于点P ，且
AP BP ⊥．
（1）求证：点P ，D 关于原点对称； （2）求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2
）2?
????
． 【解析】设直线0:(0)l x my x m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)E x y -，
由2
04y x x my x ?=??=+??
，消x ，得20440y my x --=，得1212044y y m y y x +=??=-?，
（1）设(,0)P P x ，知A ，E ，P 三点共线，
又22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =-，则有2121()()0P P x x y y x x -+-=， 即2112121201212()
4()
P x y x y y y y y x x y y y y ++=
==-++，所以点P ，D 关于原点对称．
（2）因为AP BP ⊥，所以1AE k =，即
12121222
1212
4()
14y y y y y y x x y y ++==?-=--， 即21212()416y y y y +-=，得2010m x =->，则01,12x ??
∈????
，
d==
设t
?
=
??
，则2
424
2
t
d t
t t
-
==-，函数
4
2
y t
t
=-
在
?
??
上递减，
所以d
?
∈??
??
．
12．已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
经过点
，离心率e=．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点(1,0)作两条相互垂直的直线
12
,l l，分别与椭圆C交于点,P Q和,
M N四点，
若,T S分别是线段,
PQ MN的中点，判断直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是请说明理由．
【答案】（1）221
42
x y
+=；（2）是过定点，定点为
2
(,0)
3
．
【解析】（1
）由题意知
22
222
2
32
1
4
c
a
a b
a b c
?
=
?
?
?
+=
?
?
?=+
?
?
，解得
2
a
b c
=
??
?
==
??
椭圆的标准方程为221
42
x y
+=．
（2）当直线PQ，MN的斜率存在且不为0时，
设
1
:(1)
l y k x
=-，与椭圆方程联立并消去y得2222
(12)4240
k x k x k
+-+-=，
设
11
(,)
P x y，
22
(,)
Q x y，则有
2
122
4
12
k
x x
k
+=
+
，2
122
24
12
k
x x
k
-
=
+
，
线段PQ的中点2
22
2
,
1212
k k
T
k k
??
-
?
++
??
，
同理可得线段MN的中点
22
2
,
22
k
S
k k
??
?
++
??
，
当1
k=±时，21
(,)
33
T，
21
(,)
33
S±，
2
:
3
TS
l x=；
当1k ≠±时，232(1)
TS k
k k -=-，则222232:()122(1)12TS k k k l y x k k k -+
=-+-+， 即232:()2(1)3TS k l y x k -=
--，即直线ST
过定点2
(,0)3
； 当直线PQ ，MN 的斜率一个为0一个不存在时， 可知直线ST 的方程为0y =，过定点2
(,0)3
， 综上，直线ST 过定点2(,0)3
．
高三数学培优专练
高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训
教师招聘圆锥曲线经典总结
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n
圆锥曲线培优讲义
圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆 的离心率为，且过点 ．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ． （1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距 离，并证明 S =1 2∣x 1y 2?x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33, √3 3)，S =1 3，求 k 的值． （3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变 动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆()0,01:22 22 >>=+b b y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -, 椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ?中，满足 .12 7,12 1221π π = ∠= ∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程； （2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ?=?，求 22OC OB +的值. 4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率 之积为1 4 -
圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+
高三数学精准培优专题练习8：平面向量
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
高考数学培优 第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题
第四十四讲 以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题 一、选择题 1．已知椭圆 x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)，与双曲线 x 2 m 2? y 2n 2 =1(m >0,n >0)具有相同焦点 F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝π 3， 则e 12+e 22的最小值是 A ． 2+√32 B ． 2＋√3 C ． 1+2√32 D ． 2+√3 4 【答案】A 【解析】 根据题意，可知|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|?|PF 2|=2m ， 解得|PF 1|=a +m,|PF 2|=a ?m ， 根据余弦定理，可知(2c)2=(a +m)2+(a ?m)2?2(a +m)(a ?m)cos60°， 整理得c 2= a 2+3m 2 4， 所以e 12+e 22=c 2 a 2+c 2 m 2=a 2+3m 24a 2 + a 2+3m 24m 2 =1+14( 3m 2 a 2 +a 2 m 2)≥1+ √3 2 = 2+√32 ， 故选A. 2．已知点E 是抛物线C:y 2=2px(p >0)的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在ΔEFP 中，若sin∠EFP =μ?sin∠FEP ，则μ的最大值为（ ） A ． √2 2 B ． √3 2 C ． √2 D ． √ 3 【答案】C 【解析】 由题意得，准线l:x =?p 2 ，E (?p 2 ,0)，F (p 2 ,0)，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则由抛物线 定义可知PH =PF ，于是μ=sin∠EFP sin∠FEP =PE PF =PE PH =1cos∠EPH =1 cos∠PEF ，∵y =cosx 在(0,π)上为减函数，∴当∠PEF 取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而∠PEF =45°，∴μmax = √2 2 =√2,故选C.
高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)
【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议： 1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循； 复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识； 3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式； 4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现， 这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=，椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 2 M m，且与椭圆C交于相异两点,A B，且的最短距离为2，直线l经过y轴上一点(0,) =． 3 AM MB
高三数学课外培优练习
省始兴县风度数学 课外培优练习 2．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2 1A B ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值.
1．解法一：PO ⊥平面ABCD ， PO BD ∴⊥ 又,2,2PB PD BO PO ⊥==， 由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB == = （Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角， 四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥ 5,22,2BC AB CD ∴=== 又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。 5,2ED BC BE CD ∴==== E ∴是AB 的中点，且2AE = 又6PA PB ==，PEA ∴?为直角三角形，22622PE PA AE ∴= -=-= 在PED ?中，由余弦定理得 222215cos 215235 PD DE PE PDE PD DE +-∠===??? 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为215 （Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角 P AB C --的平面角 2sin 2 PO PEO PE ∴∠==，045PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045 （Ⅲ）连结,,MD MB MO ， PC ⊥平面,BMD OM ?平面BMD ，PC OM ⊥ 又在Rt POC ?中， 3,1,2PC PD OC PO ====， 233,33PM MC ∴==，2PM MC ∴= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD 解法二： PO ⊥平面ABCD PO BD ∴⊥
圆锥曲线培优
高三培优专题 圆锥曲线 一.离心率与焦点三角形 1. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点， 且，则此椭圆的离心率的取值范围为________ 2. 已知是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D,且2BF FD =u u u r u u u r , 则椭圆C 的离心率为 3.直线l 经过.双曲线22 221x y a b -=的右焦点F ，与一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐 近线交于B ，且12AF FB =uu u r uu r ，则双曲线的离心率为 4 .若椭圆22 1x y m +=（1)m > 与 双曲线221(0)x y n n -=>有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共交点，则12PF F D 的面积为 5（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重 合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 智行数学-圆锥曲线（带答案，教师专用） 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D． 2、F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（） A．B．C．2 D． 3、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) A．B．C．D． 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点，且与直线相切，则圆M方程为（） A．B． C．D． 5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是， 的等差中项，则椭圆的方程是（） A．B． C．D． 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A．B．C．D． 7、若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是（）A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆 评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是． 17、若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且 ，则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切，是 抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且. （1）求的值; （2）求点的坐标; （3）求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值； （2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个 不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围. 20、（本小题满分12分） 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线； （2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C 2018届高三文科数学培优资料（一） 圆锥曲线的方程与性质 一、知识整合 二、真题感悟： 1． (全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直 径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C 解析 由题意知：F ????p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2 ，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2 ，设以MF 为直径的圆的圆心为????52，y M 2，所以圆的方程为????x －522＋????y －y M 22＝25 4 ，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ????5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． (全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 答案 C 解析 由e ＝c a ＝5 2知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k . 所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 3． (山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23 －y 2 ＝1的右焦点的连线交C 1于 第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316 B.38 C.233 D.433 答案 D 解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为??? ?0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±3 3 x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ????33 p ，p 6. 由F 、F ′、M 三点共线得p ＝43 3 . 4． (福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3 (x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a ＝3－1. 5． (浙江)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两 点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组 ????? y ＝k (x ＋1) y 2 ＝4x . 第八讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【知识梳理】 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系 将直线l 的方程代入曲线C 的方程,消去y 或者消去x ,得到一个关于x （或y ）的方程 02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法. （1）交点个数 ①当 a =0或a ≠0,⊿=0时,曲线和直线只有一个交点； ②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点； ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点； （2） 弦长公式： 斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则 21|| AB x x - 一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用. 2.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法 【考点一：中点弦问题】 【例1】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上,求此椭圆的离心率. 【课堂练习】 （1）椭圆14 162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分,求此弦所在直线的方程. 【考点二：中点问题】 【例2】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1， .直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若过点?? ? ??1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段C D 的中点,求直线l 的方程. 【课堂练习】 （2）已知椭圆22 221x y a b +=（a >b >0）的离心率e ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ,已知点A 的坐标为（-a ,0）. （i ）若AB 5 ||=,求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB=4.求y 0的值. 【考点三：弦长问题】 【例3】已知椭圆14 :22 =+y x G .过点（m ,0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点. （Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）将AB 表示为m 的函数,并求AB 的最大值. 圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线的方程 一、单选题 1．（2020·全国课时练习）一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是（ ） A ．22 1(2)412x y x -= B ．221(2)412 x y x -=- C ．22 1412 x y -= D ．221412 y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程. 【详解】 由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-； 当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知， 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==， 故圆心P 的轨迹方程为22 1412 x y -=. 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题. 2．（2020·全国课时练习）已知点(,)P x y =P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．双曲线的一支 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义判断，即可选择. 【详解】 设(1,0),(1,0)A B -，则由已知得||PA PB -=‖∣P 到两个定点A ?B 的距离之差的绝对值等于常 ，又||2AB =2<，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】 本题考查双曲线的定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】 根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题. 4．（2020·全国课时练习）若方程22 141 y x m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m -<< B ．1m >- C ．3m > D ．1m <- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程列式可得结果. 【详解】 椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系 知识点回顾 1、椭圆、双曲线、抛物线 椭圆双曲线抛物线 定义1．到两定点F1,F2的距离之 和为定值2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹. （0 补充： 双曲线： (1)等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率 2=e . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22 22b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02 22 2=-b y a x . 抛物线： （1）抛物线2 y =2px(p>0)的焦点坐标是( 2p ,0)，准线方程x=-2 p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2 p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的 焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2 p ，开口向上；抛物线2 x =-2py （p>0）的焦点坐标是 （0,-2p ），准线方程y=2 p ，开口向下. （2）抛物线2 y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2 0p x MF +=；抛物线 2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02 x p MF -= （3）设抛物线的标准方程为2 y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2 p ，顶点到 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴 焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2 (p F 准 线 x=±c a 2 准线垂直于长轴，且在椭圆 外. x=±c a 2 准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +） 离心率 )10(<<= e a c e )1(>= e a c e e=1 二.双曲线 注意:牢记双曲线的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。 一.过焦点弦长公式的推导(注意分类,不要求记忆,但要熟练推导过程) ㈠焦点在x 轴上: 1.过左焦点且相交于同一支: 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF --=焦点弦a x x e AB 2)(21-+-= 2.过左焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF +=焦点弦a x x e AB 2)(21++= 3.过右焦点且相交于同一支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12a ex AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21-+= 4.过右焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12ex a AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21++-= ㈡焦点在y 轴上:分别同上面的情况 1.过下焦点且相交于同一支 2.过下焦点且相交于两支 3.过上焦点且相交于同一支 4.过上焦点且相交于两支 二.焦点三角形:如图 设若双曲线方程为22 221x y a b -=,21,F F 分别为它的左右焦点,),(00y x P 为双曲线上任意一点,则有: 性质1.若12F PF ,∠=θ则2 cot .2 21θ b S F PF =?;特别地,当12F PF 90∠=时,有2 21b S F PF =? 021y c S PF F ?=? 性质2.双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点。 性质3.双曲线的焦点21F PF ?中,1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β 第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O圆锥曲线经典结论总结(教师版)
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