浅谈线性空间与欧式空间.
2014
年三会一课会议记录示例
1
月
10
日
支部委员会
内容：
1
、传达镇党委工作会议精神。
2
、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时
解决村民反映的突出问题。
3
、总结
2012
年各项工作
……
..
，讨论
2013
年重点工作，
制定
2013
年初步工作计划
………
，下一步及时召开党员大会进行讨论。
4
、讨论村内
环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。
2
月
3
日
支部委员会
内容：
1
、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。
2
、传达镇党委政府
春节安全工作会议精神，
进一步强调社会平安稳定工作。
3
、
安排发放计生明白纸。
4
、
春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。
3
月
1
日
党员大会
内容：商议村内重大建设项目及工作计划
一、
（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。
二、
（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况今天我们商议的事是：
（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、
购置器械、整理农田、修理自来水等。再详细介绍一下项目内容、投资情况）
。如修
村内大街，长
米，宽
米，需建设资金
万元，经村两委讨论决定，建设资金
为村集体收入资金（或群众共同出资，每人
元）
。
三、党员讨论结果
经村党员大会讨论举手表决：同意通过。参加会议
人，同意
人，不同意
人，
弃权
人。党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。
四、
（支书姓名）总结。同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，
一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目
的建设。
3
月
1
日
上党课内容
:
（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实
际情况，检查的时候也可信）
一、
（支书姓名）主持会议
今天，镇领导
…
（填写联系本村的副科级领导）
到我村来为大家上党课，让我们用热
烈的掌声欢迎领导讲话。
二、镇领导讲话
一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和
党员队伍建设的重要性和紧迫性。
二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强
基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。
三是如何发挥党员先锋模范作
用。我们村党组织和全体党员都要积极投身活动，实现组织和党员全覆盖。本着有利
于党组织开展活动、有利于党员参加、有利于创先争优活动取得实效的原则，巩固和
拓展学习实践科学发展观活动成果结合起来，精心设计特色鲜明、务实管用的载体，
精心组织实施好创先争优活动。
第十章 双线性函数与辛空间
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε3) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2 ，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε3）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ） 1 - ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
第八章欧氏空间
第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
线性空间与欧几里得空间
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
第十章双线性函数与辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足 1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =, 式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=. 2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合： s s k k k αααβ+++= 2211 那么 )()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++= 例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数 n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1) 就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数. 实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε. 第i 个 n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成 n n x x x X εεε+++= 2211. 设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 1 1 )()()(εε 令 ,21,)(n i f a i i ，，， ==ε 则 n n x a x a x a X f +++= 2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 , 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)( 是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数. 例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为 ][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=, 即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α： n n x x x εεεα+++= 2211 都有 ∑∑====n i i i n i i i f x x f f 1 1 )()()(εεα. (2) 因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数 n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品
第10章双线性函数与辛空间 10.1复习笔记 一、线性函数 1．定义 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 （1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β）， （2）f（kα）＝kf（α）， 式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数． 2．性质 （1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）． （2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）． 3．矩阵的迹 A是数域P上一个n级矩阵．设 则A的迹
Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn 是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数． 4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n． 二、对偶空间 1．L（V，P）的加法和数量乘法 （1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数： f＋g称为f与g的和． （2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数． 2．L（V，P）的性质 （1）对V中任意向量α，有
而对L（V，P）中任意向量f，有 （2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基． 3．对偶空间 （1）定义 L（P，V）称为V的对偶空间．由 决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质 （1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1． （2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素． （3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射． 结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
向量空间与线性变换
第7章向量空间与线性变换 7-1.下列向量组中，哪些是向量空间4R 的基，为什么？ （1）T )1,1,1,1(1=α，T )0,1,1,1(2=α，,)0,0,1,1(3T =αT )0,0,0,1(4=α； （2）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,2,0(2-=α，,)0,0,1,0(3T -=αT )1,0,3,1(4--=α； （3）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,1,1,1(4=α； （4）T )0,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,0,0,0(4=α.7-2. 把向量组T ),,(1101=α，T )1,0,1(2=α，T )0,1,1(3=α化为3R 的标准正交基.7-3.已知T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,1(3-=α是向量空间3R 的基，求向 量T )1,3,2(--=η在该基下的坐标． 7-4.已知T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,3(3=α与(),0,0,11T =ε(),0,1,02T =ε()T 1,0,03=ε都是向量空间3R 的基，求基321,,ααα到基321,,εεε的过渡矩阵．7-5.在向量空间3R 中取两组基 T )1,2,1(1=α，T )0,1,3(2-=α，T )0,0,1(3=α与 (),3,0,11T =β(),1,1,12T =β()T 4,1,13-=β. （1）求基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵； （2）设ξ在基321,,ααα下的坐标是T )1,3,2(-，求ξ在基321,,βββ下的坐标．7-6.令][3x F 表示数域F 上一切次数3≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间. （1）求这个向量空间的一个基和维数； （2）证明微分运算D 是一个线性变换. 7-7.在上一题中，求微分运算D 在所取基下的矩阵.7-8.在3 R 中，T 表示向量投影到xOy 平面的线性变换，即()T xi yj zk xi yj ++=+ .
第一章 线性空间与线性变换概述
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
(完整word版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
第十章 双线性函数
第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ① f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V ② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=- (2) 如果是βs ααα ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++= 2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++= 2211)( 定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，而n a a a ,,,21 是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1 = 2 线性函数空间 设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，() p k p V f ∈∈?,,τ 则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称() p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n εεε,,,21 为V 的一组基，定义 )(j i f ε=?? ?≠=i j i j 0 1 ，则n f f f ,,,21 是() P V ,τ的一组基。称 n f f f ,,,21 为n εεε,,,21 的对偶基。 定理 () P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是() P V ,τ 的一组基 定理 设 n εεε,,,21 及 1η,2η, n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与 n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 。如果由n εεε,,,21 到1η,2η, n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1')(-A
欧式空间中线性变换和正交变换的关系
欧氏空间中线性变换和正交变换的关系 摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论 关键词：欧式空间 线性变换 正交变换 线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。 定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满足： （1）V ∈+βα，（关于加法封闭） （2）αββα+=+，（交换律） （3）） （）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元） （5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元） （6）V k ∈?α（关于数乘封闭） （7）αα=?1 （8）αα）（）（kl l k = （9）αααl k l k +=+）（ （10）βαβαk k k +=+）（ 则称V 为数域P 上的线性空间。 定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。 定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有 （1）()()()A A A αβαβ+=+ （2）()()A k kA αα?= 则称A 为V 上的线性变换。 定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，
欧氏空间与双线性函数
欧氏空间与双线性函数 基本概念 1. 欧几里得空间 设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角 非零向量βα，的夹角 βα，规定为 βα，=arccos β αβα） ，（, 0≤ βα，≤π 5. 向量正交 如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵 ，，21εε.n ε，???是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，， ???=2,1,,称
()nn ij A α=为基n εεε，，，???21的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T =。 n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果 E A A T =。 10. 欧氏空间同构 实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足 （1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k = （3 ）；，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。 酉空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0 则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0 则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补 子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足 ))(())((βσαβασ，，=
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间与欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间得定义 设V 就是一个非空集合,K 就是一个数域,在集合V 得元素之间定义了一种代数运算, 叫做加法;这就就是说,给出了一个法则,对于V 中任意两个元素α与β,在V 中都有唯一得一个元素γ与她们对应,成为α与β得与,记为βαγ+=。在数域K 与集合V 得元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一得一个元素δ与她们对应,称为k 与α得数量乘积,记为αδk =,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V 称为数域K 上得线性空间。 加法满足下面四条规则: 1)αββα+=+;交换律 2))()(γβαγβα++=++;结合律 3)在V 中有一个元素0,对于V 中任一元素α都有αα=+0(具有这个性质得元素0 称为V 得零元素); 存在零元 4)对于V 中每一个元素α,都有V 中得元素,使得0=+βα(β称为α得负元素)、存 在负元 数量乘法满足下面两条规则: 5)αα=1; 存在1元 6)αα)()(kl l k =、 数得结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则: 7)αααl k l k +=+)(; 数得分配律 8)βαβαk k k +=+)(、 元得分配律 在以上规则中,l k ,表示数域中得任意数;γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 得n m ?矩阵,按矩阵得加法与矩阵得与数得数量乘法,构成数 域K 上得一个线性空间,记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数(连续实函数),按函数得加法与数与函数得数量乘法,构成一个实数 域上得线性空间。 例3． n 维向量空间n K 就是线性空间。 例4． 向量空间得线性映射得集合(,)m n K Hom K K 就是线性空间。 二.简单性质 1.零元素就是唯一得。 2.负元素唯一。 3.00=α,00=k ,αα-=-)1(。 4.若0=αk ,则0=k 或者0=α。 三、同构映射 定义:设,V V '就是数域K 上得线性空间、 (,)K A Hom V V '∈就是一个线性映射、如果A 就 是一一映射,则称A 就是线性空间得同构映射,简称同构。线性空间V 与'V 称为同构 得线性空间。 定理 数域P 上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们有相同得维数。 同构映射得逆映射以及两个同构映射得乘积还就是同构映射。 ?同构 线性空间分类?维数
第七章 线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .
线性空间的性质
学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2011级 姓名魏云 论文题目线性空间的性质 指导教师韩英波职称副教授成绩 2013年3月16日
学年论文成绩评定表
目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (1) 1 线性空间的概念 (2) 2 线性空间的相关理论 (3) 2.1 线性空间的一些简单性质 (3) 2.2 向量的线性关系 (3) 2.3 基、维数、坐标 (6) 3 两个特殊的子空间 (7) 3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7) 3.2 酉空间的介绍 (8) 4 线性空间的同构 (8) 4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8) 4.2 同构映射的性质 (9) 参考文献 (10)
线性空间的性质 摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质. 关键词：线性空间；基；维数；同构 The properties of linear vector space Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties. Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism 前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题. 1.线性空间的概念
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题 双线性函数与辛空间)
第10章 双线性函数与辛空间 1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知 f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3， 求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）． 解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到 f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3． 2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1． 解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到 f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2． 3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基， a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3． 试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）． 解：可利用定理3．计算 由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是 a1，a2，a3的对偶基，则
即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3． 4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使 f（a）≠0，i＝1，2， (5) 证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有 a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2， V …，s． 5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使 f（a i）≠0，i＝1，2，…，s． 证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向 量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0． 6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义
(完整word版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档.docx
高等代数（ II ）期末考试试卷及答案（ A 卷） 一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、线性空间 P x 的两个子空间的交 L 1 x I L 1 x 2、设 1 , 2 ,..., n 与 1 , 2 ,..., n 是 n 维线性空间 V 的两个基， 由 1 , 2 ,..., n 到 1 , 2 ,..., n 的过渡矩阵是 C ，列向量 X 是 V 中向量 在基 1, 2 ,..., n 下的坐标，则 在基 1 , 2 ,..., n 下 的坐标是 3、设 A 、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是 4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为： 1, , 2 1 , 则其特征矩阵 E A 的标准形是 5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、 （ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射；（B ） 的核是 V 的充要条件是 是满射；
（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射； （D）的值域是V的充要条件是是满射。 3、（）矩阵A可逆的充要条件是： A A0; B A是一个非零常数； C A是满秩的； D A是方阵。 4、（）设实二次型f X AX（ A为对称阵）经正交变换后化为： 1 y1 2 2 y22...n y n2，则其中的 1 , 2 ,...n 是： A1; B 全是正数； C 是A的所有特征值； D 不确定。 5、（）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“2”，则A的若当 标准形是： 200200200 A 0 2 0; B 1 2 0; C 120; 002002012 D以上各情形皆有可能。 三、是非题（每小题 2 分，共 10 分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“ ”）1、（）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且V1I V20 则V V1 V2。 2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是E A 与 E B 等价。 4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
华中科技大学《高等代数》2015年期末考试题及答案
华中科技大学 高等代数2015年期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下