关于原点对称是奇函数还是偶函数

当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。

函数奇偶性性质

1、大部分偶函数没有反函数（由于大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数）偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数）奇X奇=偶偶X偶=偶奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.

4、对于F（x）=f[g(x)]：

若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

若g(x) 是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。

若g(x）是奇函数且f(x）是奇函数，则F[x]是奇函数。

若g(x）是奇函数且f(x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

5、奇函数与偶函数的定义域必需关于原点对称。

函数周期性与对称性

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期例如：求11() ()(),(),()()1() f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+= += +的周期二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -= 函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或者 (2)()f x a f x +=- 函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b 1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （） 2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+=则=)5(f （） A ．0 B ．1 C ． 2 5 D ．5 3．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则 f(2011)=( ) A 、2005 B 、2 C 、1 D 、0 4．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（） (A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f << 5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{ x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1 ()()1 f x g x x -= -，则()f x 等于 A.1 12-x B.1 222 -x x C . 1 2 2-x D. 1 22-x x 6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,4 3 (-成中心对称，且满足f (x ) =1)1(),2 3 (=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（） A ．–2 B ．–1 C ．0 D ．1

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

高一数学函数奇偶性知识点归纳

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 3、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 4、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f (||)()f x f x ?=； )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单

函数奇偶性六类经典题型

奇偶性类型一：判断奇偶性 [例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且 ∴奇函数（2），关于原点对称 ∴奇函数（3），关于原点对称 ∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称 ∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式 1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 答案：－－x－1

2.求函数的解析式（1）为R 上奇函数，时，，解：时， ∴ ∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时， ∴ 类型三：根据奇偶性求参数 1.若函数f(x)= xln （2 a x +a= 【解题指南】f(x)= xln （x+2 a x +2ln(y x a x =+是奇函数，利用 ()()0f x f x -+=确定a 的值. 【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-+=2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1. 2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a ) x 3 为奇函数，则a ＝______. 解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－1 3.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.1 7 B ．－1 C ．1 D ．7 解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝1 7.又f (x ) 为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝1 7. 4.若函数f(x)＝2 x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法）

高中数学函数奇偶性专题复习总结

【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+；（9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0() 1k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==-常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：22 1(1)x x x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????+-=±????两个点的函数四、关于函数的奇偶性的6个结论。两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

与函数奇偶性有关的结论

【与函数奇偶性有关的结论】 1.若一个函数具有奇(偶)性，其定义域必关于原点对称. 判断函数的奇偶性的解题步骤：首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则必为非奇非偶的函数.在定义域关于原点对称的前提下，再看其是否符合奇(偶)函数的定义式. 2.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称;反之，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 3.若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0；偶函数对于定义域内任意a 的值满足f(|a|)=f(a). 4.已知函数f(x)是奇函数在某一区间上的解析式，求其在关于原点对称的另一区间上的解析式的方法为，将原函数中的所有自变量x 都用-x 代换,化简后再各项变号（即-f （-x ））, 当x=0时若有意义，还要注意f(0)=0.而偶函数只需将所有x 都用-x 代换化简后即可. 5.设F(x)=af(x)+b,若f(x)为奇函数，则对于定义域内的任意x 值，都有F(-x)+F(x)=2b. 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)g(x)=2211x x -+-. (2)h(x)=(x+1)x x +-11. (3)f(x)=|2|212 ---x x . 解:(1)由于此函数的定义域为{1,-1}关于原点对称，又g(x)=0, ∴ 此函数既是奇函数又是偶函数. (2)此函数的定义域为(-1,1]，不关于原点对称，∴ 此函数既不是奇函数又不是偶函数. (3)此函数的定义域由不等式组???≠--≥-0 |2|2012x x 确定，解得{x|-1≤x ≤1且x ≠0}关于原点对称，化简得f(x)=x x 21-，易知f(x)是奇函数. 说明: (1)本例中的(2)易错误地变形为h(x)=21)1)(1(x x x -=+-,从而误认为其为偶函数. (2)例中的(3)易错误地变形为???????≠<-≠≥--=,0,21,4,241)(22 x x x x x x x x x f 从而误认为是非奇非偶的函数. 例2.(1)设函数f(x)= ax 7+bx 5+cx+5，其中a ，b ，c 为非零常数，若f(-7)=7，则f(7)=( ). A.7. B.3. C.-7. D.-17. (2)若定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x >0时，f(x)=x 2-x+1，求f(x)的表达式. (3)若f(x)，g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.又 1 1)()(2+-=+x x x g x f ，求f(x)的表达式. (4)已知偶函数f(x)在(-∞，0)上函数值随自变量的增大而减少.若f(a)≥f(2)，求实数a 的取值范围. 解:(1)令g(x)= ax 7+bx 5+cx,则易知y=g(x)是奇函数，∴ f(x)=g(x)+5,由上述5的结论知， f(7)+f(-7)=10.又∵ f(-7)=7，∴f(7)=3.故应选B. (2)∵ f(x)是奇函数且当x ＞0时，f(x)= x 2-x+1，∴ 当x <0时，f(x)=-f(x)=-x 2-x-1. 由于f(x)的定义域为R ，∴ f(0)=0.故?????<---=>+-=.0, 00,01)(22x x x x x x x x x f (3) ∵ f(x)、g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ f(-x)=-f(x),

奇偶函数知识点

奇偶性 (1) 偶函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x),那么f(x)就叫做偶函数. (2) 奇函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= -f(x),那么f(x)就叫做奇函数性质：一 1 奇偶函数定义域关于原点对称 2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件判断下列函数是什么函数 (1)f(x)=kx+b;k≠0 (2)f(x)=1-x 2; (3)f(x)=-x 2,x∈[-3,1] (4) f(x)=0 (5）f(x)=g(x)g(-x) （6）f(x)=g(x)-g(-x) 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 3．奇偶性的判断 4．①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系 1．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y ＝f (x )为偶函数，那么a ＝_6_______. 二、奇函数⇔图象关于原点对称偶函数⇔图象关于轴对称三定义域包含0的奇函数f(0)=0 偶函数 f(0)不一定=0 证明 f(-x)= -f(x) 代入0 f(0)=-f(0) 所以f(0)=0 Eg 若1()21 x f x a =+-是奇函数，则a = ．四、奇偶运算（0除外）奇±奇 =奇偶*偶=偶偶 ±偶 =偶奇+偶=非奇非偶奇*偶 =偶记忆方法奇为负号- 偶为正好+ 五复合函数y=f （g （x ））内偶则偶，内奇同外六单调性偶函数在x 0≥和x 0≤单调性相反奇函数在x 0≥和x 0≤单调性相同偶函数f(x)在[a,b]区间最大值为m ，最小值为n ，则在[-b,-a]区间最大值和最小值分别为m 和n 奇函数f(x)在[a,b]区间最大值为m ，最小值为n ，则在[-b,-a]区间最大值和最小值分别为-n ，-m Eg 偶函数f(x)在[1,3]区间x=1取最大值5，x=3取最小值8则在[-3,-1]最大值，最小值分别是多少

函数函数的对称性与单调性

函数函数的对称性与单调性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。在函数的研究中，对称性和单调性是两个重要的性质，它们能够帮助我们更好地理解和分析函数的行为。本文将讨论函数的对称性和单调性，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。一、对称性函数的对称性是指函数图像在某个特定条件下能够保持不变。常见的对称性包括奇函数和偶函数。 1. 奇函数奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数。这意味着函数关于原点对称，即当自变量的相反数代入函数时，函数值取相反数。奇函数的图像关于原点对称，无论是在坐标轴上还是在平面内都有对称性。例如，y=x^3就是一个奇函数。当x取任意实数时，f(-x)=-(-x)^3=-(x^3)=-f(x)，其图像关于原点对称。 2. 偶函数偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。这意味着函数关于y轴对称，即当自变量的相反数代入函数时，函数值不变。偶函数的图像关于y轴对称。例如，y=x^2就是一个偶函数。当x取任意实数时，f(-x)=(- x)^2=x^2=f(x)，其图像关于y轴对称。

对称性在数学中有广泛的应用，特别是在解方程、曲线绘制和数学模型中。通过利用对称性，我们可以简化问题的求解过程，提高计算的效率。二、单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。常见的单调性包括单调递增和单调递减。 1. 单调递增当定义域上的任意两个不同的自变量x1和x2满足x1f(x2)。换句话说，函数在定义域上的任意两个点，随着自变量增大，函数值却随之减小。在坐标系中，函数的图像从左向右逐渐下降。例如，y=1/x就是一个单调递减函数。当x1f(x2)=1/x2，其图像从左到右逐渐下降。

函数奇偶性和周期性知识要点

知识要点：一、函数的奇偶性 1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数； 2.性质： (1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数； (2) f(x),g(x)的定义域为D； (3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称； (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0； (5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数； (6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。 3.判断方法： (1)定义法 (2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数； f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。 4.拓展延伸： (1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称； (2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。二、周期性：

1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。 2.图象特点：将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。 3.函数图象的对称性与周期性的关系： (1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|) (2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)， (a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|) (3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|) 典型例题例1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=(x-1)·■ 解：函数的定义域为x∈{x|-1≤x<1} 函数f(x)=(x-1)·■为∴f(x)非奇非偶函数 (2) f(x)=loga(-x+-) 解：x∈R f(-x)=loga(x+- =loga- =-loga(-x+-)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 (3)f(x)=x·（-+-) 解：x∈{x∈R|x≠0} f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)