偶函数关于原点对称。

偶函数是指函数 f(x) 满足 f(x)=f(-x)，也就是说，当 x 取负数时，函数值与 x 取正数时相同，即对于任意 x，f(x) 与 f(-x) 相等。这个性质称为偶对称性或者点对称性，因为它意味着函数图像关于原点对称。

偶函数是数学中非常重要的一类函数，它具有很多优良的性质和应用，如：

1. 偶函数在对称轴两侧取值相等，因此可以简化计算。例如，对于一个偶函数 f(x)，需要计算它在 [-1,1] 区间的定积分，可

以利用偶对称性得到：

∫[−1,1]f(x)dx=2∫[0,1]f(x)dx

这个性质有时称为对称性的保形性，因为它确保了函数的形状在对称轴两侧是相同的。

2. 偶函数在余弦变换、傅里叶级数等数学问题中具有重要的应用。在这些问题中，偶函数可以看做是一个独立的基函数，它可以用来分解其他函数。例如，任何连续的周期函数都可以表示为偶函数和奇函数的和，这是傅里叶级数的一个基本性质。

3. 偶函数在物理、工程、经济等领域中也有广泛的应用。例如，在天文学中，偶函数可以用来描述对称的天体模型；在物理学中，偶函数可以用来描述偶极子分布；在经济学中，偶函数可以用来分析消费习惯等问题。

总之，偶函数是数学中非常重要的一个概念，具有提高计算效率、简化问题求解、描述自然现象等方面的优势。了解和掌握偶函数的概念、性质和应用，对于深入理解数学和其他相关领域的知识都非常重要。

函数周期性与对称性

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期例如：求11() ()(),(),()()1() f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+= += +的周期二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -= 函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或者 (2)()f x a f x +=- 函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b 1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （） 2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+=则=)5(f （） A ．0 B ．1 C ． 2 5 D ．5 3．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则 f(2011)=( ) A 、2005 B 、2 C 、1 D 、0 4．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（） (A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f << 5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{ x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1 ()()1 f x g x x -= -，则()f x 等于 A.1 12-x B.1 222 -x x C . 1 2 2-x D. 1 22-x x 6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,4 3 (-成中心对称，且满足f (x ) =1)1(),2 3 (=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（） A ．–2 B ．–1 C ．0 D ．1

函数对称点判断

函数对称点判断函数对称点判断是一种常见的数学问题，它在许多学科领域中都有着广泛的应用。本文将从对称点的概念入手，介绍如何利用函数来判断对称点。同时，我们也将探讨一些实际应用中常见的对称点问题。一、对称点概念对称点是指在平面直角坐标系中，一点关于某个对称中心的对称点。其中，对称中心可以是坐标轴、直线或点。对称点在不同学科领域中有着不同的名称和概念，比如在物理学中，对称点也被称为“平衡点”，在化学中，对称点则是指“中心对称原子”。在函数中，对称点的判断通常涉及到对函数的奇偶性进行分析。具体来说，如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。此时，函数图像关于y轴对称。如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。此时，函数图像关于原点对称。基于函数的奇偶性，我们可以判断函数的对称点。对于偶函数，其对称点为y轴，即(0,0)。对于奇函数，其对称点为原点，即(0,0)。三、实际应用函数对称点判断在实际应用中有着广泛的应用。下面我们将介绍几

个常见的应用案例。 1. 物理学中的平衡点物理学中的平衡点指的是一个物体在某个力的作用下，保持静止的位置。对于一个物体在平衡点处，其所受的合力为零。因此，平衡点在物理学中也被称为“力的平衡点”。在物理学中，对称点的概念被广泛应用于平衡点的判断。比如，一个物体在直线运动中，如果其速度-时间图像关于时间轴对称，则其平衡点为速度为零的点。 2. 化学中的对称性在化学中，对称性是很重要的概念。化学分子的对称性可以影响其性质和反应。通过对分子的对称性进行分析，可以预测分子的一些性质和反应。在化学中，对称点的概念通常被用来描述分子的对称性。比如，分子的中心对称原子就是分子的对称点之一。通过对分子的对称点进行分析，可以确定分子的对称群，并进一步预测分子的一些性质和反应。 3. 信号处理中的滤波器设计滤波器是信号处理中的重要工具，它可以对信号进行滤波和去噪。

高一数学函数奇偶性知识点归纳

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 3、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 4、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f (||)()f x f x ?=； )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单

高中数学函数奇偶性专题复习总结

【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+；（9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0() 1k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==-常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：22 1(1)x x x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????+-=±????两个点的函数四、关于函数的奇偶性的6个结论。两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

函数的奇偶性定义

?函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。函数的周期性：（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f （x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的。（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 ?奇函数与偶函数性质：（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件． 2、函数的周期性令a,b均不为零，若：（1）函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a| （2）函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a| （3）函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a| （4）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|2a| （5）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|4a|

与函数奇偶性有关的结论

【与函数奇偶性有关的结论】 1.若一个函数具有奇(偶)性，其定义域必关于原点对称. 判断函数的奇偶性的解题步骤：首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则必为非奇非偶的函数.在定义域关于原点对称的前提下，再看其是否符合奇(偶)函数的定义式. 2.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称;反之，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 3.若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0；偶函数对于定义域内任意a 的值满足f(|a|)=f(a). 4.已知函数f(x)是奇函数在某一区间上的解析式，求其在关于原点对称的另一区间上的解析式的方法为，将原函数中的所有自变量x 都用-x 代换,化简后再各项变号（即-f （-x ））, 当x=0时若有意义，还要注意f(0)=0.而偶函数只需将所有x 都用-x 代换化简后即可. 5.设F(x)=af(x)+b,若f(x)为奇函数，则对于定义域内的任意x 值，都有F(-x)+F(x)=2b. 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)g(x)=2211x x -+-. (2)h(x)=(x+1)x x +-11. (3)f(x)=|2|212 ---x x . 解:(1)由于此函数的定义域为{1,-1}关于原点对称，又g(x)=0, ∴ 此函数既是奇函数又是偶函数. (2)此函数的定义域为(-1,1]，不关于原点对称，∴ 此函数既不是奇函数又不是偶函数. (3)此函数的定义域由不等式组???≠--≥-0 |2|2012x x 确定，解得{x|-1≤x ≤1且x ≠0}关于原点对称，化简得f(x)=x x 21-，易知f(x)是奇函数. 说明: (1)本例中的(2)易错误地变形为h(x)=21)1)(1(x x x -=+-,从而误认为其为偶函数. (2)例中的(3)易错误地变形为???????≠<-≠≥--=,0,21,4,241)(22 x x x x x x x x x f 从而误认为是非奇非偶的函数. 例2.(1)设函数f(x)= ax 7+bx 5+cx+5，其中a ，b ，c 为非零常数，若f(-7)=7，则f(7)=( ). A.7. B.3. C.-7. D.-17. (2)若定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x >0时，f(x)=x 2-x+1，求f(x)的表达式. (3)若f(x)，g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.又 1 1)()(2+-=+x x x g x f ，求f(x)的表达式. (4)已知偶函数f(x)在(-∞，0)上函数值随自变量的增大而减少.若f(a)≥f(2)，求实数a 的取值范围. 解:(1)令g(x)= ax 7+bx 5+cx,则易知y=g(x)是奇函数，∴ f(x)=g(x)+5,由上述5的结论知， f(7)+f(-7)=10.又∵ f(-7)=7，∴f(7)=3.故应选B. (2)∵ f(x)是奇函数且当x ＞0时，f(x)= x 2-x+1，∴ 当x <0时，f(x)=-f(x)=-x 2-x-1. 由于f(x)的定义域为R ，∴ f(0)=0.故?????<---=>+-=.0, 00,01)(22x x x x x x x x x f (3) ∵ f(x)、g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ f(-x)=-f(x),

函数奇偶性归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

函数的奇偶性知识点

函数的奇偶性知识点函数的奇偶性是函数的一种特殊性质。如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就是偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就是奇函数。奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。因此，判断函数的奇偶性需要确定函数的定义域是否关于原点对称，并判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系。奇函数具有一些特殊的性质，例如定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，图像关于原点对称，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，以及在函数的定义域内，一定有f(0)=0.而偶函数也有类似的性质，例如定义域关于原点对称，f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，图像关于y轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，以及如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么有f(x)=0. 判断函数的奇偶性需要判断定义域是否关于原点对称。这是因为，如果x是定义域内的一个元素，那么－x也一定是定

义域内的一个元素，所以函数y=f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称。如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，那么这个函数一定不具有奇偶性。因此，判断函数的奇偶性需要先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，再根据奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断。如果首先求得定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数。判断函数的奇偶性一般按照定义严格进行。步骤如下：首先考查定义域是否关于原点对称；其次考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x)。如果f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；如果f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；如果f(-x)=f(x)，且f(-x)=-f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；如果f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数。对函数奇偶性的定义进行理解，首先奇偶性与单调性有所不同。奇偶性是函数在定义域上的对称性，而单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势。奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，因此是函数的“整体”性质。只有对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），才能说f(x)是奇（偶）函数。

高中数学判断函数奇偶性的常见方法

高中数学判断函数奇偶性的常见方法由于函数的奇偶性在高中数学研究函数的性质和图像上起着非常重要的作用，因此广大同学应该熟练掌握函数的奇偶性. 下面介绍高中阶段判断函数奇偶性的常见方法. 一、定义法设的定义域关于原点对称，若，即，则称是定义域上的偶函数；若，即，则称是定义域上的奇函数. 根据定义，判断一个函数是否为奇偶函数，首先必须满足定义域关于原点对称，否则该函数为非奇非偶函数. 当定义域关于原点对称，再去检验与的关系，若关系不明朗，可以等价判断是否等于零. 例1.判断下列函数的奇偶性. 对于任意的底数，（2）（3）都是奇函数，可以作为常见常考的结论；（4）在作函数图像时用处很大，比如为偶函数，图像关于轴对称. 二、图像法由奇偶函数的定义可知，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 所以根据函数的图像，我们可以识别一个函数是否为奇偶函数. 例2．函数的图象可能是( ) 解：由定义知是奇函数，则其图像关于原点对称，且当时，，故选C. 例3．判断常数函数（）的奇偶性. 解：由常数函数的图像，当时，是偶函数；当时，既是奇函数，也是偶函数. 三、图像平移法 1.设，函数关于直线对称函数是偶函数； 2.设，函数关于点对称函数是奇函数. 显然由函数图像之间的平移变换，易得该结论. 如已知函数的图象关于直线对称，则函数的图像关于轴对称，是偶函数. 四、利用常见的小结论快速判断 1. 若，则是偶函数，如；若，则是奇函数，如. 2.设是两个奇函数，是两个偶函数，则有下面结论：（1），是奇函数，，是偶函数，即两个奇函数的和与差是奇函数，积与商是偶函数. 如，是奇函数，，是偶函数. （2），，，是偶函数，即两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数. 如，，，都是偶函数.（3），都为奇函数，即一个奇函数与一个偶函数的积与商都是奇函数，但和与差是无法判断的. 如，就是奇函数.