关于原点对称的关系

关于原点对称的关系

新年到啦~祝大家新年快乐！！

其实点差法很多人也知道，参考书上一般也有，不过最后一道例题可以尝试一下~

前几天有个网友在一个评论里提到了这个性质，所以我准备写篇文章专门说一下。

例1 已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ，

A_1(-a,0) ， A_2(a,0) 分别是椭圆的左右顶点， P 是椭圆上的动点，求证： k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值。

解设 P(x_0,y_0) ，

\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 ， y_0^2=b^2-

\frac{b^2}{a^2}x_0^2

k_{PA_1}=\frac{y_0}{x_0+a} ， k_{PA_2}=\frac{y_0}{x_0-a} ，相乘得：

k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-

a^2}=\frac{b^2-\frac{b^2}{a^2}x_0^2}{x_0^2-a^2}

=\frac{-\frac{b^2}{a^2}(x_0^2-a^2)}{x_0^2-a^2}=-

\frac{b^2}{a^2} ，为定值

我们成功证明了 k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值，其实在这里可以考虑椭圆的特殊情况：圆。

在圆上， a=b ，定值恰好是 -1 ，也就是 PA_1\bot PA_2 ，恰好就是圆的一个重要性质：直径所对的圆周角为90°。

直径所对的圆周角为直角

但是圆的这个性质对于直径也是成立的，也就是任何穿过圆心的弦。

那么对于椭圆，对于关于原点的任意两个对称点，是否有相同的结论？

例2 已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上两点A_1(x_0,y_0) ， A_2(-x_0,-y_0) 关于原点对称， P 是椭圆上的动点，求证： k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值。

这里用的是差法，即代换点，做差。

设 P(x_1,y_1) ，则得到以下两组方程：

\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 ，

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 ，作差得：

\frac{x_1^2-x_0^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_0^2}{b^2}=0 ，即

\frac{x_1^2-x_0^2}{a^2}=-\frac{y_1^2-y_0^2}{b^2} ，

\frac{(x_1+x_0)(x_1-x_0)}{a^2}=-\frac{(y_1+y_0)(y_1-y_0)}{b^2}

\frac{(y_1+y_0)(y_1-y_0)}{(x_1+x_0)(x_1-x_0)}=-

\frac{b^2}{a^2}

所以 k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=-\frac{b^2}{a^2} ，为定值

其实对于双曲线，也有类似的结论：

例3 已知双曲线 C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 上两点A_1(x_0,y_0) ， A_2(-x_0,-y_0) 关于原点对称， P 是双曲线上的动点，求证： k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值。

解设 P(x_1,y_1) ，则得到以下两组方程：

\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1 ，

\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1 ，作差得：

\frac{x_1^2-x_0^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_0^2}{b^2}=0 ，即

\frac{(y_1+y_0)(y_1-y_0)}{(x_1+x_0)(x_1-

x_0)}=\frac{b^2}{a^2}

所以 k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{b^2}{a^2} ，为定值这个结论看上去好像没什么用，其实有一些题目可以用到：

例4 已知点 A(-1,1) ， B 与 A 关于原点对称，动点 M 满足： k_{MA}\cdot k_{MB}=-\frac{1}{3} ，求 M 点的轨迹方程。

分析题来源于一道大题的第一步，其实就是椭圆结论的概括。

看到题目可以清楚轨迹是椭圆，然后采用直译法，也就是直接表示 k_{MA}\cdot k_{MB}=-\frac{1}{3} ，再解出轨迹方程即可。

在这里就不给出解答了。

下面这道题是厦门高二质检考到的一道题，可以分为两大步骤，两个步骤都有很多不一样的方法可以做，但是不一样的方法花的时间差别很大，大家可以尝试一下~

给出的是最快的解答。

例5 已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 的右焦点 F ，A 在椭圆上，且△OAF是等边三角形。延长 AO 、AF 交椭圆于 M 、 N ，求直线 MN 的斜率。

分析利用条件△OAF是等边三角形可以得到椭圆的离心率，又发现 A 、 M 关于原点对称，利用结论求解会比较方便。

解先求出椭圆的离心率：取左焦点 F' ，连接 AF'

因为 |OA|=|OF|=|OF'| ， \angle AFO=60°

所以△AFF'是直角三角形， |AF|=c ， |AF'|=2a-c

由勾股定理： (2a-c)^2+c^2=(2c)^2 ，得 2c^2+4ac-4a^2=0

两边除以 2a^2 得： e^2+2e-2=0 ，解得 e=\sqrt{3}-1

所以 -\frac{b^2}{a^2}=e^2-1=3-2\sqrt{3}

因为 A 、 M 关于原点对称， k_{NA}\cdot k_{NM}=-

\frac{b^2}{a^2}=3-2\sqrt{3}

又因为直线 NA 的倾斜角是120°， k_{NA}=-\sqrt{3}

所以 k_{MN}=\frac{3-2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}