有向图拓扑排序算法的实现
数据结构课程设计
设计说明书
有向图拓扑排序算法的实现
学生姓名
学号
班级
成绩
指导教师魏佳
计算机科学与技术系
2010年2月22日
数据结构课程设计评阅书
注：指导教师成绩60%，答辩成绩40%，总成绩合成后按五级制记入。
课程设计任务书
2010—2011学年第二学期
专业：信息管理与信息系统学号：姓名：
课程设计名称：数据结构课程设计
设计题目：有向图拓扑排序算法的实现
完成期限：自2011 年 2 月22 日至2011 年 3 月 4 日共 2 周
设计内容：
用C/C++编写一个程序实现有向图的建立和排序。要求建立有向图的存储结构，从键盘输入一个有向图，程序能够自动进行拓扑排序。
设计要求:
1）问题分析和任务定义：根据设计题目的要求，充分地分析和理解问题，明确问题要求做什么？（而不是怎么做？）限制条件是什么？确定问题的输入数据集合。
2）逻辑设计：对问题描述中涉及的操作对象定义相应的数据类型，并按照以数据结构为中心的原则划分模块，定义主程序模块和各抽象数据类型。逻辑设计的结果应写出每个抽象数据类型的定义（包括数据结构的描述和每个基本操作的功能说明），各个主要模块的算法，并画出模块之间的调用关系图；
3）详细设计：定义相应的存储结构并写出各函数的伪码算法。在这个过程中，要综合考虑系统功能，使得系统结构清晰、合理、简单和易于调试，抽象数据类型的实现尽可能做到数据封装，基本操作的规格说明尽可能明确具体。详细设计的结果是对数据结构和基本操作做出进一步的求精，写出数据存储结构的类型定义，写出函数形式的算法框架；
4）程序编码：把详细设计的结果进一步求精为程序设计语言程序。同时加入一些注解和断言，使程序中逻辑概念清楚；
5）程序调试与测试：采用自底向上，分模块进行，即先调试低层函数。能够熟练掌握调试工具的各种功能，设计测试数据确定疑点，通过修改程序来证实它或绕过它。调试正确后，认真整理源程序及其注释，形成格式和风格良好的源程序清单和结果；
6）结果分析：程序运行结果包括正确的输入及其输出结果和含有错误的输入及其输出结果。算法的时间、空间复杂性分析；
7）编写课程设计报告；
以上要求中前三个阶段的任务完成后，先将设计说明数的草稿交指导老师面审，审查合格后方可进入后续阶段的工作。设计工作结束后，经指导老师验收合格后将设计说明书打印装订，并进行答辩。
指导教师（签字）：教研室主任（签字）：
批准日期：2011年2月21 日
摘要
设计了一个对有向图进行拓扑排序的算法，该算法首先用邻接表构造有向图的存储结构，然后对此有向图进行拓扑排序，输出拓扑排序的结果。本算法采用VC++作为软件开发环境，以邻接表作为图的存储结构，将图中所有顶点排成一个线性序列，输出拓扑排序结果。该算法操作简单，易于用户操作接受。
关键词：数据结构；有向图；拓扑排序
目录
1 课题描述 (1)
2 问题分析和任务定义 (2)
3 逻辑设计 (3)
3.1程序模块功能图 (3)
3.2 抽象数据类型 (3)
4 详细设计 (4)
4.1 C语言定义的相关数据类型 (4)
4.2 主要模块的伪码算法 (4)
4.2.1主函数伪码算法： (4)
4.2.2邻接表伪码算法： (4)
4.2.3拓扑排序的伪码算法： (5)
4.3 主函数流程图 (6)
5 程序编码 (7)
6 程序调试与测试 (13)
7 结果分析 (16)
8 总结 (17)
参考文献 (18)
1 课题描述
根根据设计要求运用c语言程序设计了一个对有向图进行拓扑排序的算法，该算法首先用邻接表构造有向图的存储结构，然后对此有向图进行拓扑排序，输出拓扑排序的结果。
如给定一个有向无环图如图1.1所示。在此图中，从入度为0的顶点出发，删除此顶点和所有以它为尾的弧；重复直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止。
图1.1 有向无环图
开发工具：visual c++6.0。
2 问题分析和任务定义
对一个有向无环图G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作就称之为拓扑排序。偏序集合中仅有部分成员之间颗比较，而全序指集合中全体成员之间均可比较，而由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑排序。
一个表示偏序的有向图可用来表示一个流程图，通过抽象出来就是AOV-网，若从顶点i到顶点j有一条有向路径，则i是j的前驱，j是i的后继。若（i，j）是一条弧，则i 是j的直接前驱；j是i的直接后继。
在AOV-网中，不应该出现有向环，用拓扑排序就可以判断网中是否有环，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV-网必定不存在环。
3.1程序模块功能图
图3.1程序模块功能图
3.2 抽象数据类型
ADT ALGraph
｛
数据对象：D={V|V是具有相同特性的数据元素的集合，即顶点集} 数据关系：R={
基本操作P:
CreatGraphlist(ALGraph *G)
初始条件：成对输入顶点集V中的点。
操作结果：构造图G的邻接表。
FindInDegree(ALGraph G, int indegree[])
初始条件：图G的邻接表中存在结点V。
操作结果：找到图中入度为0结点。
Initgraph()
操作结果：完成图形初始化。
TopologicalSort(ALGraph G)
初始条件：构造的有向图G已初始化。
操作结果：对于有向图G根据邻接存储表进行拓扑排序。}
4.1 C语言定义的相关数据类型
#define max_vextex_num 20 /*宏定义最大顶点个数*/
#define stack_init_size 100 /*宏定义栈的存储空间大小*/
typedef int ElemType;
typedef struct VNode /*邻接表头结点的类型*/
{
int data; /*顶点信息,数据域*/
}VNode, AdjList[MAX_VEXTEX_NUM]; /*AdjList是邻接表类型*/
typedef struct
{
AdjList vertices; /*邻接表*/
int vexnum, arcnum; /*图中顶点数vexn和边数arcn*/
}ALGraph; /*图的类型*/
typedef struct //构建栈
{
ElemType *base; /*数据域*/
ElemType *top; /*栈指针域*/
int stacksize;
}SqStack;
4.2 主要模块的伪码算法
4.2.1主函数伪码算法：
开始
{
创建及输出邻接表CreatGraphlist(&G);
输出排序后的输出序列TopologicalSort(G);
}
结束
4.2.2邻接表伪码算法：
#define MAX_VEXTEX_NUM 20
typedef struct VNode /*邻接表头结点的类型*/
{
int data; /*顶点信息,数据域*/
ArcNode *firstarc; /*指向第一条弧*/
}VNode, AdjList[MAX_VEXTEX_NUM]; /*AdjList是邻接表类型*/
typedef struct
{
AdjList vertices; /*邻接表*/
int vexnum, arcnum; /*图中顶点数vexn和边数arcn*/
}ALGraph; /*图的类型*/
开始
{
定义一个指针P
置i的初值为1
邻接表中所有头结点指针置初值
当i<=G-vexnum时自加，执行下面操作：
输出数据域里的顶点信息
使指针p指向顶点i第一条弧的头结点
输出访问顶点
使指针p指向顶点i的下一条弧的头结点
类此循环到输出最后一个顶点
}
结束
4.2.3拓扑排序的伪码算法：
开始
{
引入栈操作函数和入度操作函数
访问邻接存储表中的顶点n
If该顶点入度为0
顶点进栈
循环操作到所有顶点入栈
当栈不为空
顶点出栈
}
结束
4.3 主函数流程图
主函数流程图如图4.3所示：
图4.3 主函数程序流程图
5 程序编码
#include
#include
#define true 1
#define false 0
#define MAX_VEXTEX_NUM 20
#define M 20
#define STACK_INIT_SIZE 100
#define STACKINCREMENT 10
/*-----------------------图的邻接表存储结构------------------------*/
typedef struct ArcNode /*弧结点结构类型*/
{
int adjvex; /*该弧指向的顶点的位置*/
struct ArcNode *nextarc; /*指向下一条弧的指针*/
}ArcNode;
typedef struct VNode /*邻接表头结点类型*/
{
int data; /*顶点信息*/
ArcNode *firstarc; /*指向第一条依附于该点的弧的指针*/
}VNode,AdjList[MAX_VEXTEX_NUM]; /*AdjList为邻接表类型*/
typedef struct
{
AdjList vertices;
int vexnum, arcnum;
}ALGraph;
/*----------------------------------------------------------------*/
void CreatGraph(ALGraph *G) /*通过用户交互产生一个图的邻接表*/
{
int m, n, i;
ArcNode *p;
printf("=======================================================");
printf("\n输入顶点数:");
scanf("%d",&G->vexnum);
printf("\n输入边数:");
scanf("%d",&G->arcnum);
printf("=======================================================");
for (i=1; i<=G->vexnum;i++) /*初始化各顶点*/
{
G->vertices[i].data=i; /*编写顶点的位置序号*/
G->vertices[i].firstarc=NULL;
for (i=1;i<=G->arcnum;i++) /*记录图中由两点确定的弧*/
{
printf("\n输入确定弧的两个顶点u，v:");
scanf("%d %d",&n,&m);
while (n<0||n>G->vexnum||m<0||m>G->vexnum)
{
printf("输入的顶点序号不正确请重新输入:");
scanf("%d%d",&n,&m);
}
p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode)); /*开辟新的弧结点来存储用户输入的弧信息*/
if(p==NULL)
{
printf("ERROR!");
exit(1);
}
p->adjvex=m; /*该弧指向位置编号为m的结点*/
p->nextarc=G->vertices[n].firstarc;
/*下一条弧指向的是依附于n的第一条弧*/
G->vertices[n].firstarc=p;
}
printf("=======================================================");
printf("\n建立的邻接表为:\n");
/*打印生成的邻接表（以一定的格式）*/
for(i=1;i<=G->vexnum;i++)
{
printf("%d",G->vertices[i].data);
for(p=G->vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc)
printf("-->%d",p->adjvex);
printf("\n");
}
printf("======================================================="); }
/*----------------------------------------------------------------*/
typedef struct /*栈的存储结构*/
{
int *base; /*栈底指针*/
int *top; /*栈顶指针*/
int stacksize;
/*----------------------------------------------------------------*/
void InitStack(SqStack *S) /*初始化栈*/
{
S->base=(int *)malloc(STACK_INIT_SIZE*sizeof(int));
if(!S->base) /*存储分配失败*/
{
printf("ERROR!");
exit(1);
}
S->top=S->base;
S->stacksize=STACK_INIT_SIZE;
}
/*----------------------------------------------------------------*/
void Push(SqStack *S,int e) /*压入新的元素为栈顶*/
{
if(S->top-S->base>=S->stacksize)
{
S->base=(int *)realloc(S->base,(S->stacksize+STACKINCREMENT)*sizeof(int)); /*追加新空间*/
if(!S->base) /*存储分配失败*/
{
printf("ERROR!");
exit(1);
}
S->top=S->base+S->stacksize;
S->stacksize+=STACKINCREMENT;
}
*S->top++=e; /*e作为新的栈顶元素*/
}
/*----------------------------------------------------------------*/
int Pop(SqStack *S,int *e) /*弹出栈顶，用e返回*/
{
if(S->top==S->base) /*栈为空*/
{
return false;
}
*e=*--S->top;
return 0;
}
/*----------------------------------------------------------------*/
int StackEmpty(SqStack *S) /*判断栈是否为空，为空返回1，不为空返回0*/ {
if(S->top==S->base)
return true;
else
return false;
}
/*----------------------------------------------------------------*/
void FindInDegree(ALGraph G, int indegree[]) /*对各顶点求入度*/
{
int i;
for(i=1; i<=G.vexnum;i++) /*入度赋初值0*/
{
indegree[i]=0;
}
for(i=1;i<=G.vexnum;i++)
{
while(G.vertices[i].firstarc)
{
indegree[G.vertices[i].firstarc->adjvex]++;
/*出度不为零，则该顶点firstarc域指向的弧指向的顶点入度加一*/
G.vertices[i].firstarc = G.vertices[i].firstarc->nextarc;
}
}
}
/*----------------------------------------------------------------*/
void TopoSort(ALGraph G)
{
int indegree[M];
int i, k, n;
int count=0; /*初始化输出计数器*/
ArcNode *p;
SqStack S;
FindInDegree(G,indegree);
InitStack(&S);
for(i=1;i<=G.vexnum;i++)
{
printf("\n");
printf("indegree[%d] = %d \n",i,indegree[i]); /*输出入度*/
}
printf("\n");
for(i=1;i<=G.vexnum;i++) /*入度为0的入栈*/
{
if(!indegree[i])
Push(&S,i);
}
printf("=======================================================");
printf("\n\n拓扑排序序列为:");
while(!StackEmpty(&S)) /*栈不为空*/
{
Pop(&S,&n); /*弹出栈顶*/
printf("%4d",G.vertices[n].data); /*输出栈顶并计数*/
count++;
for(p=G.vertices[n].firstarc; p!=NULL;p=p->nextarc)
/*n号顶点的每个邻接点入度减一*/
{
k=p->adjvex;
if(!(--indegree[k])) /*若入度减为零，则再入栈*/
{
Push(&S,k);
}
}
}
if(count { printf("ERROR 出现错误!"); } else { printf(" 排序成功!"); } } /*----------------------------------------------------------------*/ main(void) /*编写主调函数以调用上述被调函数*/ { ALGraph G; CreatGraph(&G); /*建立邻接表*/ TopoSort(G); /*对图G进行拓扑排序*/ printf("\n\n"); system("pause"); /*调用系统的dos命令：pause;显示:"按任意键继续..."*/ return 0; } 6 程序调试与测试 （1） 当为有向无环图结构如图6.1所示： 图6.1 有向无环图 输出结果如图6.2为： 图6.2 有向无环图的输出结果 （2）当为有向有环图结构如图6.3所示： 图6.3 有向有环图结构 输出结果如图6.4所示： （3）输入检验图如图6.5所示： 由邻接表定义可以得到上图的邻接表如图6.6所示： 图6.6邻接表 其中一种拓扑序列： 2 7 1 3 4 6 5 将图输入到程序中结果如图6.7所示： 图6.8 检验图的输出所得结果与预计结果一致。 拓扑排序 摘要 拓扑排序是求解网络问题所需的主要算法。管理技术如计划评审技术和关键路径法都应用这一算法。通常，软件开发、施工过程、生产流程、程序流程等都可作为一个工程。一个工程可分成若干子工程，子工程常称为活动。活动的执行常常伴随着某些先决条件，一些活动必须先于另一活动被完成。利用有向图可以把这种领先关系清楚地表示出来。而有向图的存储可以用邻接表和逆邻接表做存储结构来实现。最后用拓扑排序表示出来就可以了。拓扑排序有两种，一种是无前趋的顶点优先算法，一种是无后继的顶点优先算法，后一种的排序也就是逆拓扑排序。 关键词：拓扑排序；逆拓扑排序；有向图；邻接表；逆邻接表 THE OPERATOR ORDERING PROBLEM IN QUANTUM HAMITONIAN FOR SOME CONSTRAINT SYSTEMS ABSTRACT Topological sort is the main method to solve network problems. Management techniques such as PERT and critical path method is the application of this algorithm. Typically, software development, the construction process, production processes, procedures, processes, etc. can be used as a project. A project can be divided into several sub-projects, often referred to as sub-project activities. The implementation of activities often associated with certain preconditions, some of the activities must be completed before another activity. Use has lead to the relationship of this figure can be expressed clearly. While storage can be used to map the inverse adjacency list and adjacency table to do storage structures. Finally, topological sort that out on it. Topological sort, there are two, one is the predecessor of the vertex without first algorithm, a successor of the vertex is no priority algorithm, the latter sort is the inverse topological sort. Key words:topological sort; inverse topological; have to figure; adjlink; inverse adjlink 拓扑排序 [基本要求] 用邻接表建立一个有向图的存储结构。利用拓扑排序算法输出该图的拓扑排序序列。 [编程思路] 首先图的创建，采用邻接表建立，逆向插入到单链表中，特别注意有向是不需要对称插入结点，且要把输入的字符在顶点数组中定位（LocateVex(Graph G,char *name)，以便后来的遍历操作，几乎和图的创建一样，图的顶点定义时加入int indegree，关键在于indegree 的计算，而最好的就是在创建的时候就算出入度，（没有采用书上的indegree【】数组的方法，那样会增加一个indegree算法，而是在创建的时候假如一句计数的代码(G.vertices[j].indegree)++;）最后调用拓扑排序的算法，得出拓扑序列。 [程序代码] 头文件： #define MAX_VERTEX_NUM 30 #define STACKSIZE 30 #define STACKINCREMENT 10 #define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define TRUE 1 #define FALSE 0 typedef int Status; typedef int InfoType; typedef int Status; typedef int SElemType; /* 定义弧的结构*/ typedef struct ArcNode{ int adjvex; /*该边所指向的顶点的位置*/ struct ArcNode *nextarc; /*指向下一条边的指针*/ InfoType info; /*该弧相关信息的指针*/ 数据结构课程设计 设计说明书 有向图拓扑排序算法的实现 学生姓名 学号 班级 成绩 指导教师魏佳 计算机科学与技术系 2010年2月22日 数据结构课程设计评阅书 注：指导教师成绩60%，答辩成绩40%，总成绩合成后按五级制记入。 课程设计任务书 2010—2011学年第二学期 专业：信息管理与信息系统学号：姓名： 课程设计名称：数据结构课程设计 设计题目：有向图拓扑排序算法的实现 完成期限：自2011 年 2 月22 日至2011 年 3 月 4 日共 2 周 设计内容： 用C/C++编写一个程序实现有向图的建立和排序。要求建立有向图的存储结构，从键盘输入一个有向图，程序能够自动进行拓扑排序。 设计要求: 1）问题分析和任务定义：根据设计题目的要求，充分地分析和理解问题，明确问题要求做什么？（而不是怎么做？）限制条件是什么？确定问题的输入数据集合。 2）逻辑设计：对问题描述中涉及的操作对象定义相应的数据类型，并按照以数据结构为中心的原则划分模块，定义主程序模块和各抽象数据类型。逻辑设计的结果应写出每个抽象数据类型的定义（包括数据结构的描述和每个基本操作的功能说明），各个主要模块的算法，并画出模块之间的调用关系图； 3）详细设计：定义相应的存储结构并写出各函数的伪码算法。在这个过程中，要综合考虑系统功能，使得系统结构清晰、合理、简单和易于调试，抽象数据类型的实现尽可能做到数据封装，基本操作的规格说明尽可能明确具体。详细设计的结果是对数据结构和基本操作做出进一步的求精，写出数据存储结构的类型定义，写出函数形式的算法框架； 4）程序编码：把详细设计的结果进一步求精为程序设计语言程序。同时加入一些注解和断言，使程序中逻辑概念清楚； 5）程序调试与测试：采用自底向上，分模块进行，即先调试低层函数。能够熟练掌握调试工具的各种功能，设计测试数据确定疑点，通过修改程序来证实它或绕过它。调试正确后，认真整理源程序及其注释，形成格式和风格良好的源程序清单和结果； 6）结果分析：程序运行结果包括正确的输入及其输出结果和含有错误的输入及其输出结果。算法的时间、空间复杂性分析； 7）编写课程设计报告； 以上要求中前三个阶段的任务完成后，先将设计说明数的草稿交指导老师面审，审查合格后方可进入后续阶段的工作。设计工作结束后，经指导老师验收合格后将设计说明书打印装订，并进行答辩。 指导教师（签字）：教研室主任（签字）： 批准日期：2011年2月21 日 数据结构课程辅导 ---图的最短路径、拓扑排序和关键路径 一、最短路径 由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。 上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从vi到vj可能不止一条路径，我们把 带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。 例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和 {0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。 图3-1 带权图和对应的邻接矩阵 实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。 求图的最短路径问题用途很广。例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个 拓扑排序 一问题描述 本次课程设计题目是：编写函数实现图的拓扑排序 二概要设计 1.算法中用到的所有各种数据类型的定义 在该程序中用邻接表作为图的存储结构。首先，定义表结点和头结点的结构类型，然后定义图的结构类型。创建图用邻接表存储的函数，其中根据要求输入图的顶点和边数，并根据要求设定每条边的起始位置，构建邻接表依次将顶点插入到邻接表中。 拓扑排序的函数在该函数中首先要对各顶点求入度，其中要用到求入度的函数，为了避免重复检测入度为零的顶点，设置一个辅助栈，因此要定义顺序栈类型，以及栈的函数：入栈，出栈，判断栈是否为空。 2.各程序模块之间的层次调用关系 第一部分，void CreatGraph(ALGraph *G)函数构建图，用邻接表存储。这个函数没有调用函数。 第二部分，void TopologicalSort(ALGraph *G)输出拓扑排序函数，这个函数首先调用FindInDegree(G,indegree)对各顶点求入度indegree[0……vernum-1];然后设置了一个辅助栈，调用InitStack(&S)初始化栈，在调用Push(&S,i)入度为0者进栈，while(!StackEmpty(&S))栈不为空时，调用Pop(&sS,&n)输出栈中顶点并将以该顶点为起点的边删除，入度indegree[k]--,当输出某一入度为0的顶点时，便将它从栈中删除。 第三部分，主函数，先后调用void CreatGraph(ALGraph *G)函数构建图、void TopologicalSort(ALGraph *G)函数输出拓扑排序实现整个程序。 3.设计的主程序流程 图的拓扑排序操作 一、实验内容 题目：实现下图的拓扑排序。 5 二、目的与要求 （一）目的 1、了解拓扑排序的方法及其在工程建设中的实际意义。 2、掌握拓扑排序的算法，了解拓扑排序的有向图的数据结构。 （二）要求 用C语言编写程序，实现图的拓扑排序操作。 三、设计思想 首先对有向图，我们采取邻接表作为数据结构。且将表头指针改为头结点，其数据域存放该结点的入度，入度设为零的结点即没有前趋。 在建立邻接表输入之前，表头向量的每个结点的初始状态为数据域VEX（入度）为零，指针域NXET为空，每输入一条弧< J, K > 建立链表的一个结点，同时令k 的入度加1，因此在输入结束时，表头的两个域分别表示顶点的入度和指向链表的第一个结点指针。 在拓扑排序的过程之中，输入入度为零（即没有前趋）的顶点，同时将该顶点的直接后继的入度减1。 （1）、查邻接表中入度为零的顶点，并进栈。 （2）、当栈为空时，进行拓扑排序。 （a）、退栈，输出栈顶元素V。 （b）、在邻接表中查找Vj的直接后继Vk，将Vk的入度减一，并令入度减至零的顶点进栈。 （3）、若栈空时输出的顶点数不是N个则说明有向回路，否则拓扑排序结束。为建立存放入度为零的顶点的栈，不需要另分配存储单元，即可借入入度为零的数据域。一方面，入度为零的顶点序号即为表头结点的序号，另一方面，借用入度为零的数据域存放带链栈的指针域（下一个入度的顶点号）。 四、具体算法设计 #include 编号：SY-AQ-00556 ( 安全管理) 单位：_____________________ 审批：_____________________ 日期：_____________________ WORD文档/ A4打印/ 可编辑 连续体结构拓扑优化方法及存 在问题分析 Topology optimization method of continuum structure and analysis of existing problems 连续体结构拓扑优化方法及存在问 题分析 导语：进行安全管理的目的是预防、消灭事故，防止或消除事故伤害，保护劳动者的安全与健康。在安全管理的四项主要内容中，虽然都是为了达到安全管理的目的，但是对生产因素状态的控制，与安全管理目的关系更直接，显得更为突出。 文章深入分析国内外连续体结构拓扑优化的研究现状，介绍了拓扑优化方法的发展及实现过程中存在的问题。对比分析了均匀化方法，渐进结构优化法，变密度法的优缺点。研究了连续体结构拓扑优化过程中产生数值不稳定现象的原因，重点讨论了灰度单元，棋盘格式，网格依赖性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应的解决办法。 结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和Olhof在研究中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解，必须扩大设计空间，得到由无限细肋增强的板设计。此研究被认为是近现代连续体结构拓扑优化的先驱。 目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研究，这些 研究大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网格的存在，结构拓扑优化过程中常常出现如灰度单元，网格依赖性和棋盘格等数值不稳定的现象。本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决办法。 1.拓扑优化方法 连续体结构拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法，此后许多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓扑优化数学建模方法。 1.1.均匀化方法 均匀化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。采用有限元方法进行分析，在每个单元内构造不同尺寸的微结构，微结构的尺寸和方向为拓扑优化设计变量。1988年Bendsoe研究发现，通过在结构中引入具有空洞微结构的材料模型，将困难的拓扑设计问题转换为相对简单的材料微结构尺寸优化问题。 很多学者发展了均匀化方法，Suzhk进行了基于均匀化方法结 结构拓扑优化设计现状及前景 目前, 最优化设计理论和方法在机械结构设计中得到了深入的研究和广泛的应用。所谓优化设计就是根据具体的实际问题建立其优化设计的数学模型, 并采用一定的最优化方法寻找既满足约束条件又使目标函数最优的设计方案。根据优化问题的初始设计条件, 目前结构优化技术有四大领域: 1) 尺寸优化; 2) 形状优化; 3) 拓扑与布局优化; 4) 结构类型优化。结构尺寸优化是在结构的拓扑确定的前提下, 首先用少量尺寸对结构的某些变动进行表达, 如桁架各单元的横截面尺寸、某些节点位置的变动等, 然后在此基础上建立基于这些尺寸参数的数学模型并采用优化方法对该模型进行求解得到最优的尺寸参数。在尺寸优化设计中, 不改变结构的拓扑形态和边界形状, 只是对特定的尺寸进行调整, 相当于在设计初始条件中就增加了拓扑形态的约束。而结构最初始的拓扑形态和边界形状必须由设计者根据经验或实验确定, 而不能保证这些最初的设计是最优的, 所以最后得到的并不是全局最优的结果。结构形状优化是指在给定的结构拓扑前提下, 通过调整结构内外边界形状来改善结构的性能。以轴对称零件的圆角过渡形状设计的例子。形状设计对边界形状的改变没有约束,和尺寸优化相比其初始的条件得到了一定的放宽,应用的范围也得到了进一步的扩展。拓扑优化设计是在给定材料品质和设计域内,通过优化设计方法可得到满足约束条件又使目标函数最优的结构布局形式及构件尺寸。拓扑设计的初始约束条件更少, 设计者只需要提出设计域而不需要知道具体的结构拓扑形态。拓扑设计方法是一种创新性 的设计方法, 能为我们提供一些新颖的结构拓扑。目前, 拓扑设计理论在柔性受力结构、MEMS 器件及其它柔性微操作机构的设计中得到了广泛的研究。 结构拓扑优化的发展概况 结构拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续变量结构的拓扑优化。近10 年来, 结构拓扑优化设计虽然取得了一些进展, 但大部分是针对连续变量的, 关于离散变量的研究为数甚少。由于离散变量优化的目标函数和约束函数是不连续、不可微的, 可行域退化为不连通的可行集, 所以难度远大于连续变量优化问题。在离散结构中, 桁架在工程中的应用较为广泛, 由于其重要性, 也由于其分析比较简单, 桁架结构的拓扑优化在文献中研究得最多. 结构拓扑优化的历史可以追溯到1904 年Michell提出的桁架理论, 但这一理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场, 不能应用于工程实际。1964 年Dorn、Gomory、Greenberg 等人提出基结构法( ground structure approach) , 将数值方法引入该领域, 此后拓扑优化的研究重新活跃起来, 陆续有一些解析和数值方面的理论被 提出来。所谓基结构就是一个由结构节点、荷载作用点和支承点组成的节点集合, 集合中所有节点之间用杆件相连的结构。该方法的基本思路是: 从基结构的模型出发, 应用优化算法( 数学规划法或准则法) , 按照某种规划或约束, 将一些不必要的杆件从基结构中删除, 例如截面积达到零或下限的杆件将被删掉, 并认为最终剩下的杆件 决定了结构的最优拓扑。因此应用基结构, 可以将桁架拓扑优化当作 沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：拓扑排序算法 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术（嵌入式系统方向） 班级：14010105班 学号：2011040101221 姓名：王芃然 指导教师：丁一军 目录 1 课程设计介绍 (1) 1.1课程设计内容 (1) 1.2课程设计要求 (1) 2 课程设计原理 (2) 2.1课设题目粗略分析 (2) 2.2原理图介绍 (2) 2.2.1 功能模块图 (2) 2.2.2 流程图分析 (3) 3 数据结构分析 (7) 3.1存储结构 (7) 3.2算法描述 (7) 4 调试与分析 (12) 4.1调试过程 (12) 4.2程序执行过程 (12) 参考文献 (14) 附录（关键部分程序清单） (15) 1 课程设计介绍 1.1 课程设计内容 由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。若在图一的有向图上人为的加一个表示V2<=V3的弧(“<=”表示V2领先于V3)则图一表示的亦为全序且这个全序称为拓扑有序,而由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑排序。在AOV网中为了更好地完成工程，必须满足活动之间先后关系，需要将各活动排一个先后次序即为拓扑排序。编写算法建立有向无环图，主要功能如下： 1.能够求解该有向无环图的拓扑排序并输出出来； 2.拓扑排序应该能处理出现环的情况； 3.顶点信息要有几种情况可以选择。 1.2 课程设计要求 1.输出拓扑排序数据外，还要输出邻接表数据； 2.参考相应的资料，独立完成课程设计任务； 3.交规范课程设计报告和软件代码。 拓扑排序 一、问题描述 在AOV网中为了更好地完成工程，必须满足活动之间先后关系，需要将各活动排一个先后次序即为拓扑排序。拓扑排序可以应用于教学计划的安排，根据课程之间的依赖关系，制定课程安排计划。按照用户输入的课程数，课程间的先后关系数目以及课程间两两间的先后关系，程序执行后会给出符合拓扑排序的课程安排计划。 二、基本要求 1、选择合适的存储结构，建立有向无环图，并输出该图； 2、实现拓扑排序算法； 3、运用拓扑排序实现对教学计划安排的检验。 三、算法思想 1、采用邻接表存储结构实现有向图；有向图需通过顶点数、弧数、顶点以及弧等信息建立。 2、拓扑排序算法void TopologicalSort(ALGraph G) 中，先输出入度为零的顶点，而后输出新的入度为零的顶点，此操作可利用栈或队列实现。考虑到教学计划安排的实际情况，一般先学基础课（入度为零），再学专业课（入度不为零），与队列先进先出的特点相符，故采用队列实现。 3、拓扑排序算法void TopologicalSort(ALGraph G)，大体思想为： 1)遍历有向图各顶点的入度，将所有入度为零的顶点入队列； 2)队列非空时，输出一个顶点，并对输出的顶点数计数； 3)该顶点的所有邻接点入度减一，若减一后入度为零则入队列； 4)重复2)、3)，直到队列为空，若输出的顶点数与图的顶点数相等则该图可拓扑排序，否则图中有环。 4、要对教学计划安排进行检验，因此编写了检测用户输入的课程序列是否是拓扑序列的算法void TopSortCheck(ALGraph G)，大体思想为： 1)用户输入待检测的课程序列，将其存入数组； 2)检查课程序列下一个元素是否是图中的顶点（课程），是则执行3)，否则输出“课程XX不存在”并跳出； 3)判断该顶点的入度是否为零，是则执行4)，否则输出“入度不为零”并跳出； 4)该顶点的所有邻接点入度减一； 5)重复2)、3)、4)直到课程序列中所有元素均被遍历，则该序列是拓扑序列，否则不是拓扑序列。 #include { indegree[p->adjVNode]--; if(indegree[p->adjVNode]==0) Q.push(p->adjVNode); } } if(count!=G.vexnum) returnfalse; returntrue; } int main() { Graph G; ifstream fin("in.txt"); cout<<"输入节点数和边数： "; cin >> G.vexnum >> G.arcnum; //G.vertices=new VNode[G.vexnum]; for(int i=0;i 目录 一、系统开发的背景 (1) （一）问题描述 (1) （二）任务要求 (1) （三）测试数据 (2) （四）系统模块结构设计 (2) 三、系统的设计与实现 (3) （一）系统流程图： (3) （二）主函数模块 (4) （三）图存储结构的建立 (4) 四、系统测试 (8) （一）测试界面选择的实现 (8) （二）测试拓扑排序的实现 (8) （三）测试关键活动的实现 (8) 五、总结 (9) 六、附件（代码、部分图表） (10) 拓扑排序 一、系统开发的背景 为了在科技不断进步的今天能够紧跟着时代的步伐，人们开始不断地追求方便和快捷的生活方式，在这个新鲜的时代，越来越多的新鲜事物层出不穷，为人们提供着各种方便和便利，为了更好地适应和接受这个时刻进步着的社会，我们要努力赶上。在实际工作中，经常要使用一个有向图来表示工程的施工流程或者产品生产的流程图。也就是说，一个大的工程经常被划分为若干个较小的子工程，这些子工程称为“活动”（Activity）。当这些子工程全部完成时，整个工程也就完成了。并且更要关心整个工程完成的最短时间，这就是有向权图的另一个重要应用——工程进度的关键路径问题。用图的邻接表（出边表）表示方法，实现拓扑排序和关键路径的求解过程。 二、系统分析与设计 （一）问题描述 拓扑排序可判断AOV网络中是否存在回路，使得所有活动可排成一个线性序列，使用每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面。 关键路径的工期决定了整个项目的工期。任何关键路径上的终端元素的延迟将直接影响项目的预期完成时间（例如在关键路径上没有浮动时间）。 （二）任务要求 构建AOV网络，并输出其拓扑序列结果，输出该图的关键路径和关键活动，存储结构自行选择。 14信计2015-2016（一） 数据结构课程设计 设计题目拓扑排序 设计时间2016.1.11——2016.1.15 学生姓名冯佳君 学生学号20140401105 所在班级14信计1 指导教师刘风华 徐州工程学院数学与物理科学学院 一、需求分析 1.问题描述 本次课程设计题目是：用邻接表构造图然后进行拓扑排序，输出拓扑排序序列。 拓扑排序的基本思想为： 1)从有向图中选一个无前驱的顶点输出； 2)将此顶点和以它为起点的弧删除； 3) 重复1)、 2)直到不存在无前驱的顶点； 4) 若此时输出的顶点数小于有向图中的顶点数，则说明有向图中存在回路，否则输出的顶点的顺序即为一个拓扑序列。 2.拓扑排序有向图拓朴排序算法的基本步骤如下： 1）从图中选择一个入度为0的顶点，输出该顶点； 2）从图中删除该顶点及其相关联的弧，调整被删弧的弧头结点的入度（入度-1）； 3）重复执行1）、2）直到所有顶点均被输出，拓朴排序完成或者图中再也没有入度为0的顶点（此种情况说明原有向图含有环）。 3．基本要求 (1)输入的形式和输入值的范围； 首先是输入要排序的顶点数和弧数，都为整型，中间用分隔符隔开；再输入各顶点的值，为正型，中间用分隔符隔开；然后输入各条弧的两个顶点值，先输入弧头，再输入弧尾，中间用分隔符隔开，输入的值只能是开始输入的顶点值否则系统会提示输入的值的顶点值不正确，请重新输入，只要继续输入正确的值就行。 (2)输出的形式； 首先输出建立的邻接表，然后是最终各顶点的出度数，再是拓扑排序的序列，并且每输出一个顶点，就会输出一次各顶点的入度数。 (3) 程序所能达到的功能； 因为该程序是求拓扑排序，所以算法的功能就是要输出拓扑排序的序列，在一个有向图中，若用顶点表示活动，有向边就表示活动间先后顺序，那么输出的拓扑序列就表示各顶点间的关系为反映出各点的存储结构，以邻接表存储并输出各顶点的入度。 二、概要设计 浙江大学城市学院实验报告 课程名称数据结构与算法 实验项目名称实验九图的拓扑排序问题 实验成绩指导老师（签名）日期 一.实验目的和要求 1.掌握拓扑排序概念。 2.理解并能实现拓扑排序算法（采用邻接表表示图）。 二. 实验内容 1、编写用邻接表表示有向无权图时图的基本操作的实现函数，具体包括： ①初始化用邻接表表示的有向无权图void InitAdjoin(adjlist G); ②建立用邻接表表示的有向无权图void CreateAdjoin (adjlist G, int n) （即 通过输入图的每条边建立图的邻接表）; ③输出用邻接表表示的有向无权图void PrintAdjoin (adjlist G, int n) （即输 出图的每条边）。 把邻接表的结构定义及这些基本操作实现函数存放在头文件Graph3.h中。 2、编写拓扑排序算法void Toposort( adjlist G, int n) （输入为图的邻接 表，输出为相应的拓扑序列）。 3、编写测试程序（即主函数），首先建立并输出有向无权图，然后进行拓 扑排序。 要求：把拓扑排序函数Toposort以及主函数存放在主文件test9_3.cpp中。 测试数据如下： 4、填写实验报告，实验报告文件取名为report9.doc。 5、上传实验报告文件report9.doc与源程序文件test9_3.cpp及Graph3.h 到Ftp服务器上自己的文件夹下。 三. 函数的功能说明及算法思路 包括每个函数的功能说明，及一些重要函数的算法实现思路 【结构说明】 const int MaxVertexNum =10; //图的最大顶点数 const int MaxEdgeNum =100; //边数的最大值 struct EdgeNode{ //链表边结点，表示弧 int adjvex; //存放与头结点顶点有关的另一个顶点在邻接表(数组)中的下标。 EdgeNode *next; //指向链表下一个结点 }; typedef struct VNode{ //邻接表，表示顶点 int data; // 顶点数据，顶点名称 EdgeNode *firstarc; // 指向边结点链表第一个结点 } adjlist[MaxVertexNum]; 【函数说明】 ①void InitAdjoin(adjlist G) 功能：初始化用邻接表表示的有向无权图 思路：将邻接表的所有顶点置为-1，边结点链表指针置为NULL ②void CreateAdjoin (adjlist &G, int n) 功能：建立用邻接表表示的有向无权图（即通过输入图的每条边建立图的邻接表）思路：按照输入的顶点信息，新建边结点链入邻接表中对应位置 ③void PrintAdjoin (adjlist G, int n) 功能：输出用邻接表表示的有向无权图（即输出图的每条边） 思路：按照一定的格式输出邻接表 ④void Toposort( adjlist G, int n) 功能：输入图的邻接表，输出相应的拓扑序列 思路：初始化数组d[ ]，利用数组的空间建立入度为零的顶点栈并设置栈顶指针。当入度为零的顶点栈不空时，重复执行以下步骤：从顶点栈中退出一个顶点, 并输出之；将该顶点的出边邻接点入度减一，如果出边邻接点入度减至0，则该顶点入栈，更新栈顶指针。完成整个循环后，判断输出的顶点个数是否少于邻接表的顶点个数，如果少于则说明存在回路，打印输出信息。 四. 实验结果与分析 包括运行结果截图等 【测试数据】 我们平常所使用的主流编译器,都具有多源代码文件支持.例如把一些类定义在相应的文件中,要使用到这些类时,需要包含定义这个类的文件(如C++),或引用类所在的名字空间(如JAVA),或将这个文件作为单元引用(如Object Pascal) 当我们自己要实现一个支持多源代码文件的编译器时,需要在编译某个源代码文件之前,先编译这个源代码所引用到的文件.例如有一个源文件a.src,里面定义了一个类,内容如下: class List { public void Add(Object obj) { ... } } 然后有一个源文件b.src,里面用到了List类,内容如下: using "a.src" class Test { public static main(String argv[]) { List objs = new List; List.Add(10, 20); //有语法错误 } } 在编译b.src时,如果a.src文件未被预先编译,编译器将无法识别List类,也无法判断List类是否具有成员函数Add,以及对Add的调用参数列表是否正确等.这时就需要先分析b.src引用了哪些文件,这些文件又引用到了其它哪些文件,并优先编译处于引用列表顶端的文件,并以此类推. 例如存在下面几个源代码文件A, B, C, D, E. 引用关系如下: A引用: B, C B引用: D, E C引用: B, E D引用: E E没引用其它文件,这里需要的编译顺序应该如下: E D B C A 另外,在文件引用关系中不能出现互相引用,这样会导至无法编译. 在了解了为什么要计算源代码依赖关系后,就可以开始实现具体的算法了,可以把这一步放在词法分析之后,语法分析之前来做. 因为词法分析之后,可以很容易的分析出一个源文件引用了哪些其它源文件,如果把这一步放在预处理中专门来做的话,同样需要做去注释,拆词等工作,产生了不必要的重复. 计算源代码依赖关系的算法比较简单,可以先把所有源代码文件看成一个个的顶点,一个顶点(源代码文件)如果引用了另一个顶点,就增加一条从当前顶点到被引用顶点的出边,当增加完所有顶点的出边后,正常情况下这些顶点就形成了一个有向无环图如下图:(如果出现了 实验四 图的基本存储方法及拓扑排序 班级：10级数学班姓名：裴志威学号：201008101127 实验目的： （1）熟练掌握图的基本存储方法； （2）熟练掌握图的深度优先和广度优先搜索方法； （3）掌握AOV网和拓扑排序算法； （4）掌握AOE网和关键路径。 实验内容： 拓扑排序。 任意给定一个有向图，设计一个算法，对它进行拓扑排序。拓扑排序算法思想：a.在有向图中任选一个没有前趋的顶点输出；b.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧；c.重复上述a、b，直到全部顶点都已输出，此时，顶点输出序列即为一个拓朴有序序列；或者直到图中没有无前趋的顶点为止，此情形表明有向图中存在环。 源程序代码： #include typedef struct { AdjList adjlist; // 邻接表 int n; // 图的顶点数 }ALGraph; void MatTolist(MGraph g, ALGraph * &G) { int i, j, n=g.n; ArcNode * p; G = (ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph)); for (i=0; i ABAQUS拓扑优化分析手册/用户手册 分析手册： 13. Optimization Techniques优化技术 13.1 结构优化：概述 13.1.1 概述 ABAQUS结构优化是一个帮助用户精细化设计的迭代模块。结构优化设计能够使得结构组件轻量化，并满足刚度和耐久性要求。ABAQUS提供了两种优化方法——拓扑优化和形状优化。拓扑优化（Topology optimization）通过分析过程中不断修改最初模型中指定优化区域的单元材料性质，有效地从分析的模型中移走/增加单元而获得最优的设计目标。形状优化（Shape optimization）则是在分析中对指定的优化区域不断移动表面节点从而达到减小局部应力集中的优化目标。拓扑优化和形状优化均遵从一系列优化目标和约束。 最优化方法（Optimization）是一个通过自动化程序增加设计者在经验和直觉从而缩短研发过程的工具。想要优化模型，必须知道如何去优化，仅仅说要减小应力或者增大特征值是不够，做优化必须有更专门的描述。比方说，想要降低在两种不同载荷工况下的最大节点力，类似的还有，想要最大化前五阶特征值之和。这种最优化的目标称之为目标函数（Object Function） 。另外，在优化过程中可以同时强制限定某些状态参量。例如，可以指定某节点的位移不超过一定的数值。这些强制性的指定措施叫做约束（Constraint）。 ABAQUS/CAE可以创建模型然后定义、配置和执行结构优化。更多信息请参考用户手册第十八章。 13.1.2 术语（Terminology） 设计区域（Design area）: 设计区域即模型需要优化的区域。这个区域可以是整个模型，也可以是模型的一部分或者数部分。一定的边界条件、载荷及人为约束下，拓扑优化通过增加/删除区域中单元的材料达到最优化设计，而形状优化通过移动区域内节点来达到优化的目的。 设计变量（Design variables）：设计变量即优化设计中需要改变的参数。拓扑优化中，设计区域中单元密度是设计变量，ABAQUS/CAE优化分析模块在其优化迭代过程中改变单元密度并将其耦合到刚度矩阵之中。实际上，拓扑优化将模型中单元移除的方法是将单元的质量和刚度充分变小从而使其不再参与整体结构响应。对于形状优化而言，设计变量是指设计区域内表面节点位移。优化时，ABAQUS或者将节点位置向外移动或者向内移动，抑或不移动。在此过程中，约束会影响表面节点移动的多少及其方向。优化仅仅直接修改边缘处的节点，而边缘内侧的节点位移通过边缘处节点插值得到。 设计循环（Design cycle）: 优化分析是一种不断更新设计变量的迭代过程，执行ABAQUS 进行模型修改、查看结果以及确定是否达到优化目的。 其中每次迭代叫做一个设计循环。 实验题目： 图的应用 实验目的： （1）熟练掌握图的基本存储方法； （2）熟练掌握图的深度优先和广度优先搜索方法； （3）掌握AOV网和拓扑排序算法； （4）掌握AOE网和关键路径。 实验内容： 拓扑排序。 任意给定一个有向图，设计一个算法，对它进行拓扑排序。拓扑排序算法思想：a. 在有向图中任选一个没有前趋的顶点输出；b.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧；c.重复上述a、b，直到全部顶点都已输出，此时，顶点输出序列即为一个拓朴有序序列；或者直到图中没有无前趋的顶点为止，此情形表明有向图中存在环。 设计分析： 为实现对无权值有向图进行拓扑排序，输出拓扑序列，先考虑如何存储这个有向图。拓扑排序的过程中要求找到入度为0的顶点，所以要采用邻接表来存储有向图，而要得到邻接表，则先要定义有向图的邻接矩阵结构，再把邻接矩阵转化成邻接表。 在具体实现拓扑排序的函数中，根据规则，当某个顶点的入度为0（没有前驱顶点）时，就将此顶点输出，同时将该顶点的所有后继顶点的入度减1，为了避免重复检测入度为0的顶点，设立一个栈St，以存放入度为0的顶点。 源程序代码： #include struct ANode * nextarc; // 指向下一条弧的指针}ArcNode; typedef struct { int no; // 顶点信息 int count; // 顶点入度 ArcNode * firstarc; // 指向第一条弧 }VNode, AdjList[MAXV]; typedef struct { AdjList adjlist; // 邻接表 int n; // 图的顶点数 }ALGraph; void MatTolist(MGraph g, ALGraph * &G) { int i, j, n=g.n; ArcNode * p; G = (ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph)); for (i=0; i拓扑排序
数据结构拓扑排序实验报告
有向图拓扑排序算法的实现
图的最短路径、拓扑排序和关键路径
拓扑排序课程设计报告
拓扑排序算法
连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析
拓扑优化
拓扑排序课程设计报告
拓扑排序(算法与数据结构课程设计)
C++实现图的拓扑排序
拓扑排序
数据结构-拓扑排序
【数据结构算法】实验9 图的拓扑排序问题(附源代码)
拓扑排序算法计算代码依赖关系
图的基本存储方法及拓扑排序
ABAQUS拓扑优化分析手册用户手册
拓扑排序实验报告