2021年 中考数学 培优专题 图形的变化(含答案)

2021 中考数学培优专题图形的变化

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是( )

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移，得到四边形A1B1C1D1，已知A(-3，5)，B(-4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为()

A.(1，2)

B.(2，1)

C.(1，4)

D.(4，1)

3. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

4. 如图，△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为()

A.124°

B.115°

C.130°

D.106°

5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是

A．B．

C．D．

6. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()

A．A2P的中点B．A1B2的中点

C．A1O的中点D．PO的中点

7. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB

8. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于1 2

AB的长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是( )

A．PA＝PB B．OA＝OB

C．OP＝OF D．PO⊥AB

9. 如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是

A．B．

C．D．

10. 图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形都是由△ABC进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称变换得到的是()

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)

11. 如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是

A．B．

C．D．

12.

如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )

A．90°－αB．αC．180°－αD．2α

二、填空题（本大题共12道小题）

13. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=.

14. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.

15.

如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.

16. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为.

17. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.

根据上表，猜想正n边形有条对称轴.

18. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝5.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝__ ______．

19. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).

20.

如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则

点A′的坐标为____________．

21.

如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C 与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过

程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．

22. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图3，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2020的坐标为________．

23. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B 在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．

24.

如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应

点B1落在直线y＝－

3 3

x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落

在直线y＝－

3 3

x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．

三、作图题（本大题共2道小题）

25. 如图，已知等腰顶角．

(1)在AC上作一点D，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨)；

(2)求证：是等腰三角形．

26. 如图，已知△ABC.

(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;

(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.

四、解答题（本大题共6道小题）

27. 如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D 分别在OE 和OF 上，现将△OEF 绕点O 逆时针旋转角α(0°<α<90°)，连接AF ，DE (如图K32-②).

(1)在图②中，∠AOF= ;(用含α的式子表示) (2)在图②中，猜想AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论.

①

②

28.

[材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为?

????

x1＋x22，y1＋y22.

[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．

(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，

可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．

29. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.

(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;

(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.

30.

如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．

(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)

(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．

31. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线

段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB

于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

32. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD.

求证：BD2＝AB2＋BC2.

2021 中考数学培优专题图形的变化-答案

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 【答案】 A 【解析】物体的左视图是光线从左往右而得到的正投影．此几何体的左视图的正方形是两排，左边一排是两层，右边一排是一层．故选A.

2. 【答案】B[解析]由A(-3，5)，A1(3，3)可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，

∵B(-4，3)，∴B1的坐标为(2，1).

3. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.

4. 【答案】C[解析] 连接AD，如图.

∵点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，

F，

∴∠EAB=∠BAD，∠F AC=∠CAD.

∵∠B=62°，∠C=53°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°.

∴∠EAF=2∠BAC=130°.

故选C.

5. 【答案】B

【解析】三视图的左视图，应从左面看，故选B

6. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．

7. 【答案】C[解析] ∵P A+PB=BC，而PC+PB=BC，∴P A=PC.∴点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.

8. 【答案】 C [解析] 由作图可知，EF垂直平分AB，因此可得OA＝OB，PO⊥AB，由线段垂直平分线的性质可得PA＝PB，但不能得到OP＝OF.

9. 【答案】D

【解析】从正面看易得第一层有4个正方形，第二层有一个正方形，如图所示：

故选D．

10. 【答案】A

11. 【答案】C

【解析】从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行是一个正方体．如图所示：

故选C．

12. 【答案】C [解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.

∵∠EDB＋∠ADB＝180°，

∴∠C＋∠ADB＝180°.

由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.

∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.

二、填空题（本大题共12道小题）

13. 【答案】[解析]∵α+β=∠B，

∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°，

∴△AEF是直角三角形，

∵AE=AB=3，AF=AC=2，

∴EF==.

14. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，

∴AE2=AD2+DE2=18，

∴AB=AE==3.

15. 【答案】20 [解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，

∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.

16. 【答案】4+2[解析]在题图③中，由折叠的性质可知∠A=45°，AD=DF，∴FC=2，∠AFC=45°，∴CG=2，

∴FG=2，∴△GCF的周长为4+2.

17. 【答案】解:如图.

故填3，4，5，6，n.

18. 【答案】 5 [解析] 由勾股定理，得AC＝AB2＋BC2＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝ 5.又AB′＝AB＝2 5，∴AE＝EB′＝5，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.

19. 【答案】③

20. 【答案】

(－a ，－b ＋2) [解析]

如图，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点A′作A′D′⊥y 轴于点D′，则△ACD ≌△A′C D′，∴A′D′＝AD ＝a ，CD′＝CD ＝－b ＋1，∴OD′＝－b ＋2，∴点A′的坐标为(－a ，－b ＋2)．

21. 【答案】①②③

22. 【答案】(1，－3)

[解析] 由题意可得点P 2(1，－1)，P 3(－1，3)，P 4(1，－3)，

P 5(1，3)，P 6(－1，－1)，P 7(1，1)，可知6个点一个循环，2020÷6＝336……4，故点P 2020的坐标与点P 4的坐标相同，为(1，－3)．

23. 【答案】

．思路如下：如图，等边三角形EFG 的高＝AB ＝t ，计算得边长

为．

.

3x ，解得x ＝－3

3[解析] 将y ＝1代入y ＝－

39＋3 【答案】24. x 与x 轴所夹的锐角是30°.

3

3

，OA ＝2，且直线y ＝－3AB ＝∴ 10

O 8＝O 8O 6＝O 6O 4＝O 4O 2＝O 2由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO .3＋1＝3＋3＝2＋12O 10＝O .3)＝18＋6 3＝6×(3＋12OO ∴ .

3＝9＋3 12OO 1

2

的纵坐标＝12点O ∴

三、作图题（本大题共2道小题）

25. 【答案】

(1)如图，点D 为所作．

(2)∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰三角形．

26. 【答案】

解:(1)如图所示.

(2)证明:如图，连接OA.

∵l1是AB的垂直平分线，

∴OA=OB.

同理，OA=OC.

∴OB=OC.

四、解答题（本大题共6道小题）

27. 【答案】

解:(1)90°-α[解析]∵△OEF绕点O逆时针旋转角α，∴∠DOF=∠COE=α，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠AOD=90°，∴∠AOF=90°-α.

故答案为90°-α.

(2)AF=DE.

证明:∵四边形ABCD为正方形，

∴∠AOD=∠COD=90°，OA=OD，

∵∠DOF=∠COE=α， ∴∠AOF=∠DOE.

∵△OEF 为等腰直角三角形，∴OF=OE.

在△AOF 和△DOE 中，

∴△AOF ≌△DOE (SAS)， ∴AF=DE.

28. 【答案】

解：(1)(1，－1) (－6，－5) (2)12

(3)设点D 的坐标为(x ，y)．

若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，

∴?????1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，

解得?????x ＝1，y ＝－1；

若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，

∴?????－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，

解得?????x ＝5，y ＝3；

若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，

∴?????3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，

解得?

????x ＝－3，y ＝5.

综上可知，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．29. 【答案】

解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠BAC=25°.

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°.

∴∠EDA=90°-25°=65°.

(2)证明:∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC.

又∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD.

∴AE=AC，DE=DC.

∴点A，D都在线段CE的垂直平分线上.

∴直线AD是线段CE的垂直平分线.

30. 【答案】

解：(1)∵△OEF绕点O逆时针旋转角α，

∴∠DOF＝∠COE＝α.

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠AOD＝90°，

∴∠AOF＝90°－α.

故答案为90°－α.

(2)猜想：AF＝DE.

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.

∵∠DOF＝∠COE＝α，

∴∠AOF＝∠DOE.

∵△OEF为等腰直角三角形，

∴OF＝OE.

在△AOF和△DOE中，

????

?OA ＝OD ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，

∴△AOF ≌△DOE(SAS)， ∴AF ＝DE.

31. 【答案】

(1)①如图2，当E 在OA 上时，由可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝

．

②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入可知，点D 的坐标为(2b －

2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入

可知，点E 的坐标为

，AE ＝

，BE ＝

．此时

S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝

．

(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．

设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得

．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为．

图2 图3 图4

考点伸展

把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．

图5 图6 图7

32. 【答案】

证明：如图，将△ADB 绕点D 顺时针旋转60°，得到△CDE ，连接BE ，

则∠ADB ＝∠CDE ，∠A ＝∠DCE ，AB ＝CE ，BD ＝DE.

又∵∠ADC ＝60°，∴∠BDE ＝60°，

∴△DBE 是等边三角形，

∴BD ＝BE.

又∵∠ECB ＝360°－∠BCD －∠DCE ＝360°－∠BCD －∠A ＝360°－(360°－∠A

DC －∠ABC)＝90°， ∴△ECB 是直角三角形，

.

2＋BC 2＝AB 2，即BD 2＋BC 2＝CE 2BE ∴