图论二分图最大匹配算法

二分图最大匹配算法

令G = （X,*,Y）是一个二分图，其中，X = {x1,x2,...xm}, Y = {y1,y2,...yn}。令M为G中的任一个匹配。

1）讲X的所有不与M的边关联的顶点标上（@），并称所有的顶点为未被扫描的。转到2）。2）如果在上一步没有新的标记加到X的顶点上，则停止。否则转到3）。

3）当存在X被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的X的顶点，比如，xi,用(xi)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到xi .现在，顶点xi 是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到4）。

4）如果在步骤3）没有新的标记被标到Y的顶点上，则停止。否则，转到5）。

5）当存在Y被标记但未被扫描的顶点时，选择Y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yi，用(yi)标记X的顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到yi.现在，顶点yi是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到2）。

也可以叙述为：

[ZZ]匈牙利算法

关键在于匈牙利算法的递归过程中有很多重复计算的节点，而且这种重复无法避免，他不能向动态规划一样找到一个“序”将递归改为递推。

算法中的几个术语说明：

1。二部图：

如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二

部图；

图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。

2。匹配：

设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。M中的

—条边的两个端点叫做在M是配对的。

3。饱和与非饱和：

若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M-饱和的，否则称v 是M-不

饱和的。

4。交互道：

若M是二分图G＝(V,E)的一个匹配。设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。

5。可增广道路：

若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。显然，一条边的两端点非饱和，则这条边也是可增广道路。

6。最大匹配：

如果M是一匹配，而不存在其它匹配M'，使得|M'|>|M|，则称M是最大匹配。其中|M|表

示

匹配M的边数。

7。对称差：

A，B是两个集合，定义

A⊕B = (A∪B)\(A∩B)

则A⊕B称为A和B的对称差。

定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。

Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于

X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有：|T(A)| >= |A|

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，其基本步骤为：

1。任给初始匹配M；

2。若X已饱和则结束，否则进行第3步；

3。在X中找到一个非饱和顶点x0，作

V1 ← {x0}, V2 ← Φ

4。若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y ∈T(V1)\V2；

5。若y已饱和则转6，否则做一条从x0 →y的可增广道路P，M←M⊕E(P)，转2；

6。由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪{y}，转4；