解三角形题型总结
解三角形题型分类解析
类型一：正弦定理
1、计算问题：
例1、〔2021•〕在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________ 例2、∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b c A B C
++++=． 例3、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=
b ． 求角A 的大小；
2、三角形形状问题
例3、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，
1) B
A b cos cos a =试确定ABC ∆形状。 2〕假设
cos cos a B b A =，试确定ABC ∆形状。 4〕在ABC ∆中，A b B a tan tan 22=，试判断三角形的形状。
5〕在ABC ∆中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，试判断三角形的形状。 例4、〔2021年〕ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______ 类型二：余弦定理
1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角
在△ABC 中，
假设222a b c +=，则角C 是直角；
假设222a b c +<，则角C 是钝角；
假设222a b c +>，则角C 是锐角．
例 1、在△ABC 中，假设a 9,b 10,c 12,则△ABC 的形状是_________。
2、求角或者边
例2、〔2021年**高考〕在△ABC 中，假设=13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC =． 例 3、在△ABC 中，三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大角．
例 4、在△ABC 中，a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?
3、余弦公式直接应用
例 5、：在∆ABC 中，假设222a b c bc =++，求角A ．
例 6、：(2021理20)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，
且a 2＋b 22ab ＝c 2.
(1)求C ；
例7、设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设()()a b c a b c ab +-++=，则角C =
例8、〔2021年高考〕在∆ABC 中，2222+=a c b ac .
〔1〕求B ∠的大小；
〔2〕求2cos cos A C +的最大值. 类型三：正弦、余弦定理根本应用 例1.【2021 高考，理11】设ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设3a =，1sin 2B =，6
C =π，则b =. 例2.1)(2
2=-+ac
b c a ，则B 等于。 例3.【2021 高考**，理13】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积
为315，12,cos ,4b c A -==-则a 的值为. 例4.在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB=3
1，求sinA=。 例5.【2021 高考，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A C =． 例6.假设△ABC 的三个角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC
〔A 〕一定是锐角三角形. 〔B 〕一定是直角三角形.
〔C 〕一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
变：在ABC ∆中，假设7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为
例7.△ABC 的三个角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.
例8.设ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53cos =A ，13
5cos =B ,3=b 则c = 类型四：与正弦有关的解的个数
思路二：利用大边对大角进展筛选
例1：在△ABC 中，b sin A ＜a ＜b ，则此三角形有
A.一解B .两解 C.无解 D.不确定
例2：在ABC ∆中，分别根据以下条件解三角形，其中有两解的是【】
A 、7=a ，14=b ，︒=30A ；
B 、25=b ，30=c ，︒=150
C ；
C 、4=b ，5=c ，︒=30B ；
D 、6=a ，3=b ，︒=60B 。
例3：在ABC ∆中，有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a o A b =∠>==λλλ 类型五：与π=++C B A 有关的问题
例1：在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 _____________.
变：在△ABC 中，B C B C cos )sin(2sin +=，则△ABC 一定是。
例2:在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .()cos23cos 1A B C -+=.
(I)求角A 的大小;
(II)假设ABC ∆的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.
例3:△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B . 例4:在△ABC 中，a, b, c 分别为角A, B, C 的对边，且b)sinC (2c c)sinB (2b 2asinA +++= 〔Ⅰ〕求A 的大小；〔Ⅱ〕求sin sin B C +的最大值.
类型六：边化角，角化边
注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分
②怎么区分边化角还是角化边呢.假设两边都是正弦首先考虑角化边，假设sin,cos 都存在时首先考虑边化角
例1:在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ．
〔Ⅰ〕求角C 的大小；
例2在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .假设3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A
的值为
例3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
例4：(2021·全国)△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .
(1)求B ；
(2)假设A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
例5：〔2021年高考〕在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c
+=. 〔I 〕证明：sin sin sin A B C =；
〔II 〕假设22265
b c a bc +-=
，求tan B . 例6：〔2021年高考〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . b +c =2a cos B. 〔I 〕证明：A =2B ； 〔II 〕假设△ABC 的面积2=4
a S ，求角A 的大小. 例7：ABC ∆的角C B A ，，所对的边分别为c
b a ，，
. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；
〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.
类型七：面积问题
面积公式：
例1：设ABC 的角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且b=3，c=1，
△ABC 的面积为2求cosA 与a 的值；
例2:在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π=，4cos ,35A b ==。 〔Ⅰ〕求sin C 的值；〔Ⅱ〕求ABC ∆的面积.
例3：
C ∆AB 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
〔I 〕求A ；
〔II 〕假设7a =，2b =求C ∆AB 的面积
例4．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足
(1)求△ABC 的面积；(2)假设c ＝1，求a 的值．
例5：〔2021•〕在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．
〔Ⅰ〕求角A 的大小；
〔Ⅱ〕假设a=6，b+c=8，求△ABC 的面积． 例6：〔2021年全国I 高考〕ABC △的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2cos (cos cos ).C a B +b A c =
〔I 〕求C ；
〔II 〕假设7,c ABC △=332
ABC △的周长． 题型八：图形问题
例1：如下图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少.
例2.【2021 高考，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.
正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B
的值为
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
2．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
3．(2021·高考)假设△ABC 的三个角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为
A.518
B.34
C.32
D.78
5．(2021·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，假设∠C ＝120°，c ＝2a ，则()
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 大小不能确定
二、填空题
6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝
7．(2021·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .假设a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
8．△ABC 的三个角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
三、解答题
9．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .假设a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .
10．在△ABC 中，a 2＋b 2＝c 2＋ab .
〔1〕求角C 的大小；
〔2〕又假设sin A sin B ＝34
，判断△ABC 的形状． 11．(2021·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，
且S ＝34
(a 2＋b 2－c 2)． 〔1〕求角C 的大小；
〔2〕求sin A ＋sin B 的最大值．
12.【2021 高考新课标2，理17】〔此题总分值12分〕
ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．
(Ⅰ) 求sin
sin
B
C
∠
∠
；
(Ⅱ)假设1
AD=，DC=BD和AC的长．
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例:L （2013*北京）在AABC 中，a=3< b二5, sinA」，则sinB二 _________ , 3 =^— 例2、已知△磁中，ZJ = 60°, u =则————二. sin A + sinB + sinC 例3、在锐角AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=Va?. 求角A的大小： 2、三角形形状问题 例3、在AABC中，已知“,b,c分別为角A, B, C的对边， 1）2 =沁_试确左AABC形状。 h cosB 2）若匕=竺色，试确左MBC形状。 b cos A ■ 4）在中，已知n2 tanB=/72taiM,试判断三角形的形状。 5）已知在AABC■中,bsinB = csinC,且sin2 A = sin2 i?+sin2 C,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知AABC的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于 类型二：余弦定理 I 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在△遊中， 若a2+b2=c2,则角C是直角： 若a2+b2
2、求角或者边 例2、（2016年天津高考）在△磁中，若AB=Vn,BC二3, ZC = 120，则AO. 例3.在△川兀中，已知三边长d = 3, b = 4, C = V37 ,求三角形的最大内角. 例4、在△磁中,已知a=7, b=3, c=5,求最大的角和sinC 3、余弦公式直接应用 例5、：在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角凡 例6、：(2013重庆理20)在△磁中，内角儿B, Q的对边分别是a, 6, 6 且a~ + Zf + 5/2 ab—c. ⑴求G 例八设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为—b, c・若(u + b-c)(a + b + c) = ab , 则角c= 例8、(2016 年北京髙考)在AABC 中，a2+c2 =b2+>j2ac (1)求ZB的大小： (2)求>/2 cosA + cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.(2015高考广东，理11】设AABC的内角A.B.C的对边分别为a , b , c ,若"=J5, sin B = — > C =—,则b =・ 2 6 例2. «m=i,则万等于。 ac 例3・[2015髙考天津，理13】在AABC中，内角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,已知 MBC的而积为3皿，b — c = 2.cosA =—丄，则。的值为. 4
解三角形常见题型归纳
解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，
《解三角形》常见题型总结
《解三角形》常见题型总结 1。1正弦定理和余弦定理 1。1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中，已知A ：B:C=1：2:3，求a :b :c 。 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin ::1 2.6 3 2 22 A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中,已知 C=30°,求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解：∵C=30° sin sin sin a b c A B C === ∴ sinA ，b=2 °-A ）. ∴a+b=2 [sinA+sin(150°— ·2sin75°·cos(75°-A ）= 2 cos （75°—A ） ① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b 取得最大值 2 ② ∵A=180°—（C+B)=150°—B ，∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°， ∴—75°＜75°-A ＜75°,∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中,2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得： ()()22 sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A • =•, sin cos sin cos ,A A B B ∴=
解三角形题型总结
解三角形 一、知识梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA= bc a c b 22 22-+. 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB, 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2 C =sin 2B A +,sin 2C =cos 2B A +…… (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7、正余弦定理的应用： 1. 正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（a
【题型讲解】 1、 与三角函数、恒等变换的结合 【练习】 1.已知△ABC 中，125 -A tan =，则cos A = （ ） (A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 12 13- 2.在三角形ABC 中， ,135 cos ,53 -inA ==B s cosC 的值是 （ ） 6513.A B.1 6516 .C 6517 .D 3、在锐角三角形ABC 中，有（ ） A ．cosA>sin B 且cosB>sinA B ．cosA 解三角形题型大题归纳总结在几何学中，三角形是最基本的图形之一，解三角形题型则是我们在学习几何学中必然会遇到的一种题目类型。解三角形题型可以通过已知的角度、边长或者其他条件来确定三角形的未知量。本文将对解三角形题型进行大题归纳总结，以便读者对该类型题目有一个全面深入的了解。 一、已知三边求角度 当我们已知一个三角形的三边长度时，我们可以通过柯西不等式或余弦定理求解三个角度。 设三角形的三边分别为a、b和c，则可以使用余弦定理公式来求解三个角度，公式如下： cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) cosB = (a² + c² - b²) / (2ac) cosC = (a² + b² - c²) / (2ab) 二、已知两边和夹角求第三边 当我们已知一个三角形的两边和夹角时，我们可以通过正弦定理、余弦定理或者平面几何知识来求解第三边的长度。 1. 通过正弦定理求解第三边的长度： 设三角形的两边分别为a和b，夹角为C，则可以使用正弦定理公式来求解第三边c的长度，公式如下： sinA / a = sinC / c c = a * sinC / sinA 2. 通过余弦定理求解第三边的长度： 设三角形的两边分别为a和b，夹角为C，则可以使用余弦定理公式来求解第三边c的长度，公式如下： c² = a² + b² - 2ab * cosC c = √(a² + b² - 2ab * cosC) 三、已知两边和夹角的三角形的面积计算 当我们已知一个三角形的两边和夹角时，我们也可以通过已知两边和夹角的三角形的面积公式来计算三角形的面积。 设三角形的两边分别为a和b，夹角为C，则已知两边和夹角的三角形的面积S可以通过以下公式计算： S = 1/2 * a * b * sinC 四、已知三个角度求边长 当我们已知一个三角形的三个角度时，我们可以利用正弦定理或余弦定理来求解三个边长。 五、已知边长和高求面积 当我们已知一个三角形的一个边长和对应的高时，我们可以通过已知边长和高求面积的公式来计算三角形的面积。 《解三角形》题型归纳【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ． 2 (1)求cos B (2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ． 【答案】（1）cos B =15 （2）b = 2 ．17 【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B ，故sin B = 4(1- cos B) ．2 上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B = 15 17 . （2）由cos B =15 得sin B = 8 ，故S = 1 ac sin B = 4 ac ． 又S ∆ABC 17 17 = 2 ，则ac = 17 ． 2 ∆ABC 2 17 由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B) = 36 - 2⨯17 ⨯ (1+ 15 ) = 4 ．2 17 所以b = 2 ． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =. π 【答案】 3 【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1 ⇒B = π . 2 3 解三角形常见题型及技巧 1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。 变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。 变式2：sin 2a A R = ，sin 2b B R =，sin 2c C R = 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。 变式4： R C B A c b a C A c a C B c b B A b a A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin =++++=++=++=++= 2．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 （边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。 变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 。 变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边） (1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理 (2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin A a 。 (3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。 4．三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径) 5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。 2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sin A ＋ B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2 。 4.大边对大角，大角对大边（若A 不是最大角，则A 一定是锐角） 5.中线定理、角平分线定理 1)中线定理：指的是三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和。 2)角平分线定理一：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 角平分线定理二：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 【解题技巧】 解三角形中的五种类型题 类型一:求边问题:根据条件作图分析,注意正弦、余弦定理的选择 例1.在△ABC中,若b=2,B=30°,C=135°,则a=_________ 类型二:求角问题:(1)结合余弦定理的特征求角(2)正弦定理的一种变式sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c 例2.(1)在△ABC中,已知三边a、b、c满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab,则∠C=() (A) 15°(B) 30°(C) 45°(D) 60° (2)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则∠C=____________. 类型三:三角形解的个数问题:在使用正弦定理解三角形时,常会碰到多解的情况,判断取舍的依据是(1)三角形内角和定理(2)大边对大角 例3.在△ABC中,∠A=60°, a=, b=4,那么满足条件的△ABC() (A)有一个解(B) 有两个解(C) 无解(D)不能确定 类型四:判断三角形的形状问题两种思路:(1)运用正弦定理边化角,结合两角和差公式进行变形、化简(2)角化边,将角的余弦直接用公式转化为边再化简 例4.在△ABC中,若aCOSA+bCOSB=cCOSC则△ABC的形状是什么? 类型五:正弦、余弦定理应用问题:实际问题中要注意仰角、俯角,以及方位角,重在作图 例5.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°,前进38.5m后,到达B处测得塔尖的仰角为80°.试计算东方明珠塔的高度(精确到1m). 练习: 一、正弦定理的应用:正弦定理在解三角形中,对解的个数判断是难点,最有效的方法:大边对大角。正弦定理能实现边角的转换,因此设置了第二题,可以利用正弦定理求三角形的面积。 1、满足a=4,b=3和A=45°,解三角形。 2、在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且B=2A,求b/a的取值范围。 3 、△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积。 二、余弦定理的应用:要求学生熟练地掌握余弦定理及其推论,会选择恰当的公式解决问题。 1、在△ABC中,(a+b—c)(a+b+c)=ab,角C。 2、在△ABC中,a=2,求b.cosC+c.cosB 三、正余弦定理的综合使用:使学生在解答问题的过程中,能根据题设的结构和设问的要求合理地选择正余弦定理。 1、在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA=3/4,求A。 2、在△ABC中,已知a^2+b^2=2010c^2,求证: 2sinAsinBcosC/sin^2(A+B)为定值。 四、利用正余弦定理判段三角形的形状:根据题设的边角关系,判断三角形的形状。思路一般是边角转换,让学生学会从题设选择恰当的定理解决。 1、在△ABC中,如果有性质acosA=bcosB,试判断三角形的形状。 2、△ABC中,若(a-c.cosB).sinB=(b-c.cosA).sinA,判断△ABC的形状。 五、解三角形在生活中的应用:正、余弦定理在现实生活中有非常广泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等,解决这类问题要有规范的解题步骤: 1、正确理解题意,分清已知和所求;2、据题意画出示意图; 3、分析与问题有关的三角形; 4、正余弦定理,有序地解相关的三角形; 5、合运用立体几何与平面几何的知识。 1、某观测点C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C 相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去,走20km到达D,此时测得CD距离为21km.求此人在D处距A还有多远? 解三角形题型总 结 ABC 中的常见结论和定理： 一、内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C ， 所以sin( A B) sin C, cos( A B) cosC , tan( A B) tan C ； sin( A C) sin B, cos( A C) cos B, tan( A C) tan B ； sin( B C) sin A, cos(B C) cos A, tan( B C) tan A A B C 因为 , 2 2 A B C 所以sin cos 2 2 2．大边对大角 A B C ，cos sin 2 2 ，⋯⋯ ⋯⋯ 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ta·n B ·t anC; (2)A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A、B、C 成等差数列且a、b、c 成等比数列. 二、正弦定理： 文字：在ABC 中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。 a b c 符号：R 2 sin A sin B sin C 公式变形：① a2R s in A b 2R sin B c 2R s in C (边转化成角） ② a b c sin A sin B sin C （角转化成边）2R 2R 2R ③a : b :c sin A :sin B : sin C a b c a b c ④2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C 三、余弦定理： 文字：在ABC 中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。 符号：a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C 变形：cos A 2 b 2 c 2bc 2 2 a a cos B 2 c 2ac 2 b cos C 2 a 2 b 2ab 2 c 解三角形知识点总结及题型分类讲解 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况： 1已知两角及任一边 2已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况 已知a ,b 和A ,求B 时的解的情况: 如果B A sin sin ≥,则B 有唯一解；如果1sin sin <B ,则B 无解. 3、余弦定理及其推论 4、余弦定理适用情况： 1已知两边及夹角；2已知三边. 5、常用的三角形面积公式 1高底⨯⨯= ∆21 ABC S ； 2B ca A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===∆两边夹一角. 6、三角形中常用结论 1,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； 2sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. 3在△ABC 中,π=++C B A ,所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+. 42sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+. 二、典型例题 题型1、计算问题边角互换 例1、在ABC ∆中,若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为 答案：= C 23 π 例2、已知∆ABC 中,∠A 60=︒,3a =,则 sin sin sin a b c A B C ++++=． 答案：2 例3、在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB= b ． 求角A 的大小； 答案：π 3 解三角形题型总结 解三角形题目是高中数学中的常见题型，主要涉及到三角函数、三角公式、特殊三角形等概念和性质。在解题时，需要掌握相应的知识和技巧，并且要善于分析题目，灵活运用所学的知识。下面对解三角形题目的常见类型进行总结。 第一类：已知两边和夹角，求第三边或第三角 在这类题目中，一般可以利用余弦定理或正弦定理来解答。余弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下： c² = a² + b² - 2ab*cosC 正弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下： a/sinA = b/sinB = c/sinC 根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理或正弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。 第二类：已知三边，求夹角或面积 在这类题目中，一般可以利用余弦定理、正弦定理或面积公式来解答。面积公式适用于已知三边、求面积的情况，公式如下： S = (a*b*sinC)/2 根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理、正弦定理或面积公式列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。其中，求夹角时，如果已知三边可以利用余弦定理求出对应的夹角。 第三类：已知两角和一边，求另一边 在这类题目中，一般可以利用正弦定理或余弦定理来解答。根据题目给出的已知条件，可以根据正弦定理或余弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。 第四类：特殊三角形 特殊三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形。对于等边三角形，三个内角均为60°，三边相等；对于等腰三角形， 两个内角相等，两边相等；对于直角三角形，一个内角为90°，另两个内角之和为90°，一边为直角边。 对于特殊三角形的解题思路如下： - 等边三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。 - 等腰三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。 - 直角三角形：根据已知条件可利用勾股定理和三角函数求解。 在解特殊三角形题目时，需要注意特殊性质的应用，如等边三角形中的三个角均为60°，等腰三角形中的两个角相等等。 总结起来，解三角形题目需要根据已知条件，选择合适的定理或公式，列方程求解。在解题过程中，需要灵活运用三角函数、 解三角形的基本题型 睢县回族高级中学 杨少辉 解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；下面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正。 一、与解三角形有关的公式、定理、结论： 1、正弦定理： 2,(R ABC )sin sin sin a b c R A B C ===∆是的外接圆半径 ； 正弦定理的变形：::sinA:sinB:sinC a b c = ; （根据合比定理） 2,(R ABC )sin sin sinA sinB sin a b a b c R A B C ±±±==∆±±±是的外接圆半径 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的变形：222sin sin sin 2sinBsinCcos A B C A =+- 222sin sin sin 2sin sinCcos B A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 3、三角形面积公式： （1）12 ABC S ∆=⨯底高； （2）（两边及夹角）111sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆===； （3）（两角及夹边） 2221sinB.sinC 1sin .sinC 1sin .sin 2sin(B C)2sin()2sin() ABC A A B S a b c A C A B ∆= ==+++； （4）（两角及对边） ()()222sin .sinC sin .sinA 1sin(A B).sin 112sin 2sin 2sin ABC B C A C B S a b c A B C ∆+++===； （5）（三边） 2ABC a b c S p ∆++⎛ ⎫= = ⎪⎝⎭ 其中； （6）（代入正弦定理）22sinAsinBsin 4ABC abc S R C R ∆==； （7）()1.;(r )2 ABC S a b c r ∆=++其中为内切圆半径； 4、三角形中的边角关系： （1）,A B C,2 2 2 A B C A B C πππ+++=+=-=-； （2）转化为三角函数： ()()sin sin ,cos cosC A B C A B +=+=-； sin cos ,cos sin 2222A B C A B C ++⎛⎫⎛⎫ == ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ； （3）大边对大角： sinA sinB cosA cosB a b A B =⇔=⇔=⇔=； sinA sinB cosA cosB a b A B >⇔>⇔>⇔<； （4）锐角与钝角的判定： 角A 为锐角222sinA cosA 1a b c ⇔<+⇔+>； 角A 为直角222sinA cosA 1a b c ⇔=+⇔+=； 角A 为钝角222sinA cosA 1a b c ⇔>+⇔+<； （5）锐角三角形中的边角关系： sinA cosB 2 2 A B A B π π +> ⇔> -⇔>； 二、解三角形的常见题型： 题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数； 高考数学总复习题型分类汇 《解三角形》篇 经 典 试 题 大 汇 总 目录 【题型归纳】 题型一利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二角的正弦值和边的互化 (4) 题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5) 题型四和三角形面积有关的问题 (6) 【巩固训练】 题型一利用正、余弦定理解三角形 (8) 题型二角的正弦值和边的互化 (10) 题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11) 题型四和三角形面积有关的问题 (11) 高考数学《解三角形》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 利用正、余弦定理解三角形 例1 在ABC ∆中，cos 2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB A ． B C D ．【答案】A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得2223 2cos 251251()325 =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，13 5cos =C ，1=a ，则=b ． 【答案】 13 21 【解析】∵4cos 5A = ，5 cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13 C =， 所以()63 sin sin sin cos cos sin 65 B A C A C A C =+=+=， 由正弦定理得： sin sin b a B A = 解得21 13 b =． 例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（ ）. A ． π12 B ． π6 C ． π4 D ． π3 【答案】B 【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得 sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=， 即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛ ⎫+= += ⎪⎝ ⎭，所以34A π=. 由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4 C = π，即1sin 2C =，得6 C π=.故选B . 【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错 解三角形常见题型归纳 解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一 ：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10 ，则AB AC ⋅= ( ) A ．23- B ．3 2- C ．32 D ．23 【答案】D 2．（1）在∆ABC 中，已知0 32.0=A ，0 81.8=B ，42.9=a cm ，解 三角形； （2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，0 40=A ， 解三角形（角度精确到0 1，边长精确到1cm ）。 3．（1）在∆ABC 中，已知23=a 62 =c 0 60=B ，求 b 及A ； （2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3 π =A ，BC ＝3， ⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为 边，再判断(如解法2)． 2．在△ABC中，若2cos B sin A＝sinC，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sin A cos B＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sin A cos B＝sin C， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B 3.在△ABC中，若a b A B 2 2 = tan tan ，试判断△ABC的形 状。 答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC中，αβ cos cos A b =，判断△ABC的形状。 答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。题型之三：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B= 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A - 120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1 ∴A+ 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+⋅ -+⋅ ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 解三角形题型总结 ABC ∆中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为 ,22A B C π ++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：2 2 2 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ∆中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）解三角形题型大题归纳总结
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