解三角形常见题型
解三角形常见题型
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-
B ．3
2- C ．32 D ．23
【答案】D
2．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；
（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在∆ABC
中，已知=a
c 060=B ，求b 及A ；
（2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3
π
=
A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）
A ．33sin 34+⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6
6
cos ,364=
=
B AB ，A
C 边上的中线B
D =5，求sin A 的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3
6
221=
=
AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22
2
2
⋅-+=，
x x 6
6
36223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）
故BC =2，从而328
cos 22
22=
⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又6
30sin =B
，
故2sin A =1470
sin =A
在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
答案：0
018030B A A A ><<=∴，且，∴
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1. (2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．
解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝222
2a c b ac
+-．
∴ 2222a c b ac
+-＝2c a ，即a 2＝b 2
，得a ＝b ，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判
断(如解法2)．
2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形 答案：C
解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B
3.在△ABC 中，若a b
A
B 22=tan tan ，试判断△AB
C 的形状。
答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。
答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，
则ABC ∆的面积S ＝_________
2．在∆ABC 中，sin cos A A +=
2
2
，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面积。 答案：S AC AB A ABC ∆=
⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434
26sin ()
3. （07浙江理18）已知ABC △1，且sin sin A B C +． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为
1
sin 6
C ，求角C 的度数．
解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，
两式相减，得1AB =．
（II ）由ABC △的面积
11sin sin 26BC AC C C =，得13
BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=
22()21
22
AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．
题型之四：三角形中求值问题
1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件2
22a bc c b =-+和32
1+=b c ，求A ∠和B tan 的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理2
1
2cos 222=-+=
bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
B
B B
C b c sin )
120sin(sin sin 321-︒===+ ,2
1
cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=
B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B
2．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A
2
。
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A
2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；
当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3
2
。
3．在锐角ABC △中，角A
B C ，，所对的边分别为a b
c ，，，已知sin A =，（1）求2
2tan sin 22
B C A
++的值；
（2）若2a =，ABC S △b 的值。 解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋
B ＋
C ＝π，sin A =
，所以cosA ＝13，则
2
2222B C
sin B C A A 1cos B C 11cos A 172tan sin sin 1cos A B C 2221cos B C 21cosA 33cos 2
＋＋－（＋）＋＋＝＋＝＋（－）＝＋＝
＋＋（＋）－
（2
）ABC ABC
11S
2S
bcsin A bc 223
∙因为＝，又＝＝bc ＝3。 将a ＝2，cosA ＝
13，c ＝3b
代入余弦定理：222
a b c 2bccos A ＝＋－中， 得
4
2
b 6b 90－＋＝解得b
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。 4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满
分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a
b ab +-=，
又因为ABC △1
sin 2
ab C =4ab =． ······· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =． ··············· 6分
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =， ······················· 8分 当cos 0A =时，
2A π=
，6B π=
，a =b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b
a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得3a =
3b =．
所以ABC △的面积1sin 23
S ab C =
=
． ················· 12分 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在
河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。 图1
A
B C D
解析：由正弦定理得sin sin AC AB
CBA ACB
=∠∠，∴AC=AB=120m ，又
∵11
sin 22
ABC
S
AB AC CAB AB CD =⋅∠=⋅，解得CD=60m 。 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。 在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追击问题
3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°
方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南
偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航
行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？
解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理
2222cos AC AB BC AB BC α=+-⋅，
()()2
2
1
2881202920()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，212860270t t --=，
（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34，t=9
32
（舍）
∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×3
4
=15 n mile 。
根据正弦定理，
得15sin 2sin 2114BC AC
α
β=
==，又∵α=120°，∴β为锐角，β
，
∴
＜4π
，
∴甲船沿南偏东
4π－
的方向用34h 可以追上乙船。
点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的
西 北 南 东 A B C 30° 15°
图2
图3
°
距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。
4．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1
）？
解析：连接BC,由余弦定理得BC 2
=202
+102
－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=107。 ∵
7
10120sin 20sin ︒
=
ACB ，∴sin ∠ACB=73， ∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援。
北
20
10 A B •
•C
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例:L （2013*北京）在AABC 中，a=3< b二5, sinA」，则sinB二 _________ , 3 =^— 例2、已知△磁中，ZJ = 60°, u =则————二. sin A + sinB + sinC 例3、在锐角AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=Va?. 求角A的大小： 2、三角形形状问题 例3、在AABC中，已知“,b,c分別为角A, B, C的对边， 1）2 =沁_试确左AABC形状。 h cosB 2）若匕=竺色，试确左MBC形状。 b cos A ■ 4）在中，已知n2 tanB=/72taiM,试判断三角形的形状。 5）已知在AABC■中,bsinB = csinC,且sin2 A = sin2 i?+sin2 C,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知AABC的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于 类型二：余弦定理 I 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在△遊中， 若a2+b2=c2,则角C是直角： 若a2+b2
2、求角或者边 例2、（2016年天津高考）在△磁中，若AB=Vn,BC二3, ZC = 120，则AO. 例3.在△川兀中，已知三边长d = 3, b = 4, C = V37 ,求三角形的最大内角. 例4、在△磁中,已知a=7, b=3, c=5,求最大的角和sinC 3、余弦公式直接应用 例5、：在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角凡 例6、：(2013重庆理20)在△磁中，内角儿B, Q的对边分别是a, 6, 6 且a~ + Zf + 5/2 ab—c. ⑴求G 例八设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为—b, c・若(u + b-c)(a + b + c) = ab , 则角c= 例8、(2016 年北京髙考)在AABC 中，a2+c2 =b2+>j2ac (1)求ZB的大小： (2)求>/2 cosA + cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.(2015高考广东，理11】设AABC的内角A.B.C的对边分别为a , b , c ,若"=J5, sin B = — > C =—,则b =・ 2 6 例2. «m=i,则万等于。 ac 例3・[2015髙考天津，理13】在AABC中，内角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,已知 MBC的而积为3皿，b — c = 2.cosA =—丄，则。的值为. 4
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型 直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。下面列举一些常见的直角三角形应用题型。 1. 求斜边长 已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。 例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。 解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。 2. 求角度 已知直角三角形两个角度，求第三个角度。由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。 例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。 解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。 3. 求高
已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。 例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。 解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。 4. 求面积 已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。 例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。 解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。 以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题 1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？ 解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到： $x^2 + 3^2 = 2^2$ 化简得： $x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$ 由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！ 2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？ 解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{h}{50}$ 化简得： $h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx
28.87$ 因此，这个高楼的高度约为28.87米。 3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？ 解：设河宽为w，根据三角函数，得到： $tan(45) = \frac{w}{20}$ 化简得： $w = 20\times tan(45) = 20$ 因此，河宽为20米。 4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？ 解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{3x}{y}$ $tan(60) = \frac{2x}{y}$
《解三角形》题型归纳
《解三角形》题型归纳【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ． 2 (1)求cos B (2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ． 【答案】（1）cos B =15 （2）b = 2 ．17 【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B ，故sin B = 4(1- cos B) ．2 上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B = 15 17 . （2）由cos B =15 得sin B = 8 ，故S = 1 ac sin B = 4 ac ． 又S ∆ABC 17 17 = 2 ，则ac = 17 ． 2 ∆ABC 2 17 由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B) = 36 - 2⨯17 ⨯ (1+ 15 ) = 4 ．2 17 所以b = 2 ． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =. π 【答案】 3 【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1 ⇒B = π . 2 3
解三角形常见题型及技巧
解三角形常见题型及技巧 1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。 变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。 变式2：sin 2a A R = ，sin 2b B R =，sin 2c C R = 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。 变式4： R C B A c b a C A c a C B c b B A b a A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin =++++=++=++=++= 2．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 （边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。 变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 。 变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边） (1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理 (2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin A a 。 (3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。 4．三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径) 5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。 2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sin A ＋ B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2 。 4.大边对大角，大角对大边（若A 不是最大角，则A 一定是锐角） 5.中线定理、角平分线定理 1)中线定理：指的是三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和。 2)角平分线定理一：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 角平分线定理二：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 【解题技巧】
解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B= 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A - 120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1 ∴A+ 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+⋅ -+⋅ ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得
高中解三角形大题20道
高中解三角形大题20道 解三角形是高中数学中的重要内容之一，也是考试中常常出现的题型。下面是高中解三角形大题的20道题目，希望对同学们复习和提高解题能力有所帮助： 1. 已知一个三角形的两边和夹角，求第三边的长度。 2. 已知一个三角形的两个夹角和一边的长度，求另外两边的长度。 3. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余弦值，求第三边的长度。 4. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正弦值，求第三边的长度。 5. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正切值，求第三边的长度。 6. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余切值，求第三边的长度。 7. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余弦值，求第三个角的正弦值。 8. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。 9. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的正切值。 10. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。 11. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余弦值。 12. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正切值，求第三个
角的余切值。 13. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。 14. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。 15. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的余切值。 16. 已知一个三角形的一个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。 17. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。 18. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的正弦值，求第三个角的正弦值。 19. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。 20. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。 这些题目涉及到了三角函数的概念和性质，需要同学们熟练掌握三角函数的定义和运算规律。在解题过程中，可以运用三角函数的关系式和三角恒等式，辅助推导出未知量的值。
解三角形取值范围常见题型
解三角形取值范围常见题型 引言 解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的 边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。本文将介绍解三角形取值 范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围 的解题方法和技巧。 一、已知两边求角度 1.已知两边求角度范围 当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出 角度的范围。 例题1 已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？ 解题思路： 根据余弦定理，我们有 $$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$ 代入已知数值，得到 $$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$ 化简后可得 $$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$ 观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$ 解以上不等式，可得 $$-8.76\le qc^2\le q152.86$$
由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有 $$0 高考数学总复习题型分类汇 《解三角形》篇 经 典 试 题 大 汇 总 目录 【题型归纳】 题型一利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二角的正弦值和边的互化 (4) 题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5) 题型四和三角形面积有关的问题 (6) 【巩固训练】 题型一利用正、余弦定理解三角形 (8) 题型二角的正弦值和边的互化 (10) 题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11) 题型四和三角形面积有关的问题 (11) 高考数学《解三角形》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 利用正、余弦定理解三角形 例1 在ABC ∆中，cos 2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB A ． B C D ．【答案】A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得2223 2cos 251251()325 =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，13 5cos =C ，1=a ，则=b ． 【答案】 13 21 【解析】∵4cos 5A = ，5 cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13 C =， 所以()63 sin sin sin cos cos sin 65 B A C A C A C =+=+=， 由正弦定理得： sin sin b a B A = 解得21 13 b =． 例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（ ）. A ． π12 B ． π6 C ． π4 D ． π3 【答案】B 【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得 sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=， 即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛ ⎫+= += ⎪⎝ ⎭，所以34A π=. 由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4 C = π，即1sin 2C =，得6 C π=.故选B . 【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错 解三角形知识点总结及题型分类讲解 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == （）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4) ,,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况: 如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯= ∆21 ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===∆（两边夹一角）. 6、三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+. 《解三角形》常见题型总结 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴ （150°-A ）. ∴ ° ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 综合①②可得a+b 的取值范围为 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得： 中考热点题型必考：全等三角形解析大全孩子吃透次次满 分 全等三角形是初中几何的重要内容之一，在几何证明题中有着极其广泛的应用。然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析、仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。 题型一：证明线段的垂直 如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC． 证明直角三角形全等时，可根据条件灵活选择方法． 题型二：证明线段的相等 如图所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2，求证：DE＝BC．根据条件，已知两边对应相等，只需其夹角∠DAE=∠BAC，即可由SAS证得全等，实际上，△ADE可看做是△ABC绕点A旋转得到的。 题型三：证明角相等 要想证得∠B＝∠C，可观察∠B与∠C所在的△ABE与△DCE是否全等，由已知难以证其全等．再观察条件可以把∠B与∠C放在△ABD与△DCA中（需连结AD），可以利用三角形全等的条件SSS证明．证明线段相等或角相等时，需证明它们所在的两个三角形全等，当所在的两个三角形不全等时，可结合已知条件，把图形中的某两点连结起来构造全等三角形。 题型四：证明线段的和差问题 在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等，也可把本题改编为探索题，即直线AN绕A点旋转，则DE、DB、CE会有怎样的关系，DE=BC-CE还成立吗？ 题型五：构造全等三角形解决实际问题 要测量河对岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取 解三角形题型及解题方法（初中） 在初中数学中，解三角形是一个重要的知识点，它涉及到三角形的性质、定义、概念、特点和规律等多个方面。解三角形题型多样，解法灵活，需要掌握一定的方法和技巧。下面我们将详细探讨解三角形的题型及解题方法，并通过具体的例子来加深理解。 一、三角形的概念与性质 1. 三角形的概念 三角形是由三条线段首尾顺次连接围成的平面图形。这三条线段被称为三角形的边，相邻两边所夹的角被称为三角形的角。 2. 三角形的性质 （1）三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时保持不变。 （2）三角形的内角和为180°。 （3）三角形具有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）和角角边（AAS）等全等判定条件。 （4）三角形具有中线、高线、角平分线等重要的线段。 二、解三角形的常见题型 1. 已知两边及夹角求第三边 例1：在△ABC中，已知AB=5cm，AC=3cm，∠BAC=60°， 求BC的长。 解法：利用余弦定理，有 BC²= AB²+ AC²- 2 ×AB ×AC ×cos∠BAC = 5² + 3² - 2 × 5 × 3 × cos60° = 25 + 9 - 30 × 0.5 = 34 - 15 = 19 所以，BC = √19cm。 技巧：当已知两边及夹角时，通常使用余弦定理求解第三边。 2. 已知三边求角 例2：在△ABC中，已知AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，求∠BAC的度数。 解法：利用余弦定理，有 cos∠BAC = (AB²+ AC²- BC²) / (2 ×AB ×AC) = (5² + 3² - 4²) / (2 × 5 × 3) = (25 + 9 - 16) / 30 = 18 / 30 = 0.6 所以，∠BAC = arccos(0.6)。 技巧：当已知三边求角时，通常使用余弦定理结合反余弦函数求解。 解直角三角形应用经典 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈). 3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? (2题图) 17cm （第3题） A B C F 参考数据 cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95 A B 12千 P C D G 60 图1 A B E F Q P 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传 送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45) 第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿A 和B 之间的距离. N M 东 北 B C A l 解三角形常见题型 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23- B ．3 2- C ．32 D ．23 【答案】D 2．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ + πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ + πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364= = B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6 221= = AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ⋅-+=， x x 6 6 36223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328 cos 22 22= ⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又6 30sin =B ， 故2sin A =1470 sin =A高三高考数学总复习《解三角形》题型归纳与汇总
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