《解三角形》题型归纳

《解三角形》题型归纳【题型归纳】

题型一正弦定理、余弦定理的直接应用

例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ．

2

(1)求cos B

(2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ．

【答案】（1）cos B =15

（2）b = 2 ．17

【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B

，故sin B = 4(1- cos B) ．2

上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B =

15

17 .

（2）由cos B =15

得sin B =

8

，故S =

1

ac sin B =

4

ac ．

又S

∆ABC

17 17

= 2 ，则ac =

17

．

2

∆ABC 2 17

由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B)

= 36 - 2⨯17

⨯ (1+

15

) = 4 ．2 17

所以b = 2 ．

【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用

【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =.

π

【答案】

3

【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1

⇒B =

π

.

2 3

3 【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例 3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，若 b ＝1，c ＝ 3，C ＝2

π，则 S △ABC ＝

.

3

【答案】 3

4

【解析】因为 c ＞b ，所以 B ＜C ，所以由正弦定理得 b ＝ c ，即 1 ＝ 3

＝2，即 sin B ＝1

，所以 B π π 2π π sin B 1 1 3 1 sin C

3

sin B sin 2π

2 3 ＝ ，所以 A ＝π－ － 6 6 ＝ .所以 S △ABC ＝ 3 6 2 bc sin A ＝ × 2 × ＝ .

2 4 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围

【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例 1 在∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列

(1) 若b = 2 3, c = 2 ，求∆ABC 的面积

(2) 若sin A , sin B , sin C 成等比数列，试判断∆ABC 的形状

【答案】(1) 2 (2)等边三角形

【解析】(1)由 A ，B ，C 成等差数列，有 2B ＝A ＋C (1)

因为 A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以 A ＋B ＋C ＝π．(2)

π

得 B ＝

所以(2 b 2＝a 2＋c 2－2accosB (3)

3 ，

3)2 = a 2

+ 4 - 4a cos π

3

解得 a = 4 或 a = -2 (舍去)

所以 s

= 1 ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 2sin π = 2

∆ABC 2 2 3

(2)由 a ，b ，c 成等比数列，有 b 2＝ac (4)

由余弦定理及(3)，可得 b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac

再由(4)，得 a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此 a ＝c 从而 A ＝C (5)

π

由(2)(3)(5)，得 A ＝B ＝C ＝

3

3

所以△ABC 为等边三角形．

【易错点】等差数列，等比数列容易混淆

【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例 2 在△ABC 中，已知 2a = b + c ， sin 2

A = sin

B sin

C ，试判断△ABC 的形状。 【答案】等边三角形

【解析】 sin 2 A = sin B sin C ⇒ a 2 = bc ，又 2a = b + c ，所以 4a 2

= (b + c )2

，所以 4bc = (b + c )2

，即

(b - c )2 = 0 ，因而b = c ；由 2a = b + c 得 a = b 。所以 a = b = c ，△ABC 为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用

【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：

（1） 一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；

（2） 另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理

题型三与三角形中有关的不等式问题

例 1△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为

（1） 求sin B sin C ;

（2） 若 6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.

a 2 .

3sin A

【答案】（1） sin B sin C = 3

；（2） C

∆ABC = 3 + 【解析】

(1) 由题设

得

1

ac sin B = 2

a 2 3sin A

,即1 2

c sin B =

a .

3sin A 由正弦定理得 1

sin C sin B = 2

∴sin C sin B = 2

.

3

sin A .

3sin A (2) 由题设及(1)得cos B cos C - sin B sin C = - 1

,

2

即cos(B + C ) = - 1 .∴ B + C = 2π,∴ A = π

2 3 3 1 a 2

又 2 bc sin A = 3sin A

,即bc = 8.

由余弦定理得b 2 + c 2 - bc = 9,即(b + c )2 - 3bc = 9, ∴b + c = 33.∴C ∆ABC = 3 + 33.

33 2 .

)

【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系

【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系， 建立函数关系式，如 y = A sin(ωx +ϕ) + b ，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具 体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

例 2 已知 a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角 A ,B ,C 的对边, a cos C +

3a sin C - b - c = 0 .

(1) 求 A 的大小；

(2) 若 a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．

π

【答案】(1)

3

(2)(14,21]

【解析】(1)由正弦定理得：

a cos C + 3a sin C -

b -

c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C

⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin( A + C ) + sin C

⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - π = 1 ⇔ A - π = π ⇔ A = π

； 6 2

(2)由已知： b > 0 , c > 0 , b + c > a = 7 ,

6 6 3

由余弦定理 49 = b 2 + c 2 - 2bc cos π = (b + c )2 - 3bc ≥ (b + c )2 - 3 (b + c )2 = 1

(b + c )2

3

4 4

当且仅当 b ＝c ＝7 时等号成立,∴ (b + c )2

≤ 4 ⨯ 49 ,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14,

从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．

【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.

【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合 边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例 3△ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知 2c-a=2b cos A.

(1) 求角 B 的大小;

(2) 若 b=2 3,求 a+c 的最大值.

π

【答案】(1)B=

（2）4 3

【解析】:(1)∵2c-a=2b cos A ,

∴根据正弦定理,得 2sin C-sin A=2sin B cos A.①∵A+B=π-C ,∴sin C=sin(A+B )=sin B cos A+cos B sin A ,

代入①式,得 2sin B cos A=2sin B cos A+2cos B sin A-sin A ,化简得(2cos B-1)sin A=0.

∵A 是三角形的内角,∴sin A>0,∴2cos B-1=0,解得 cos B=1,

2

π

∵B ∈(0,π),∴B=

.

3

(2)由余弦定理 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得 12=a 2+c 2-ac.

∴(a+c )2-3ac=12,∴12≥(a+c )2-3(a+c )2,当且仅当 a=c=2 3时取等号,

4

∴a+c ≤4 【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.

(1) 根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A>0 得到cos B ,从而解出

B ;(2)由余弦定理,可得出 12=a 2+c 2-ac.再利用基本不等式求最大值.

【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方 程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;

(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函 数

关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;

(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. 题

型四解三角形的实际应用

例 1 在某次测量中，在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50°，且到 A 的距离为 2，C 点的俯角为 70°， 且到 A 的距离为 3，则 B 、C 间的距离为( )

【答案】 D

【解析】 因∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.

∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝ 19.

【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型

【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题 例 2 设甲、乙两楼相距 20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ，则甲、乙

D. 19 C. 18 B. 17 A. 16 3

3

3 3 两楼的高分别是（

）.

A.

15

3 m , 20

3 m B. 10

m , 20 m

2 3

C. 10

( - 2 )m , 20 m

D. 20 m ,

40 3 m

3

【答案】D

【解析】设甲楼为 DA ，乙楼为 BC ，如图，在

R t ∆ABD , ∠ABD = 60 , BD = 20m ,∴ AD = BD tan60 = 20 3m , AB

=

20

cos60

= 40m ，

∠CAB = ∠ABC = 30 ,∴ AC = BC , ∠ACB = 120 ，在∆ABC 中，设 AC = BC = x ，由余弦定理得： AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2AC ·BC ·cos ∠ACB ，即1600 = x 2 + x 2 + x 2 ，解得 x =

40 3 ，则甲、乙两楼的高

3

分别是 20 3m ,

40

3

3m ，

【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型

【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题

3 3 3