十字交叉法巧解小学数学题

奥数教练慧思老师：

十字交叉法是理科中一个应用比较广泛的重要的方法，数学、化学、物理等学科都会用到十字交叉法，但很多人又只是听说过，却不能熟练运用，很好的运用十字交叉法，有助于快速准确的解决数学问题。那么，我们小学数学如何运用到十字交叉法呢？

下面我们一起来看一下慧思老师在小学数学中如何运用十字交叉法巧解数

学问题。

题型一：比较分数的大小

我们知道在分数的比较中，同分母分数，分子大的分数值大；同分子分数，分母小的分数值大；异分母分数则要把分母化为同分母分数才能进行比较。在教学中，我发现让学生记住这几条并不难，可是却非常容易混淆，或者是根本就不会运用。但是如果运用十字交叉相乘法，学生不但都能很快的得出答案，而且不管什么分数间进行比较都能够通用。

例1：比较大小。

3/8（）4/9

解析：方法一：常规解法

方法二：十字交叉相乘法

注：所得的积必须写在分数线上方（即作为新分子）。

从上例很明显可以看出，十字交叉法比较两分数的大小的实质上就是通分。不过，却省去了学生对分数进行通分的过程和时间，从而一步到位，更简单更直接，只要会乘法的学生，在比较分数之间的大小时基本上都不费吹灰之力了。

题型二：解比例

很多老师和学生都知道，解比例的依据是比例的基本性质，即在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。可当比例变化为a/b=c/d(a≠0，c≠0)这种形式时，有些学生便找不着内外项了，或者有某些学生还要把上式化为a：b=c：d(a ≠0，c≠0)的形式，这就走了弯路，浪费了时间不说而且变换后也很容易出错。

解：3x＝5×9

x＝45÷3

x＝15

可见，利用此方法既直观又便于记忆，而且在较复杂的比例中，更能体现出些法的简便性与适用性，由于篇幅有限，在此就不一一介绍了。

答：从学校到小明家的路程有1800米。

题型四：浓度问题

如果题目中给出两个平行的情况A, B, 满足条件a, b ; 然后A和B按照某种条件混合在一起形成的情况C, 满足条件c. 而且可以表示成如下的表达式. 那么这个时候就可以用十字交叉法.

判断式: A×a+B×b=(A+B)×c=C×c

用十字交叉法表示:

（一）基本知识点：

1、溶液=溶质+溶剂；

2、浓度=溶质/溶液；

3、溶质=溶液*浓度；

4、溶液=溶质/浓度；

（二）例题与解析

1. 甲容器中有浓度为4％的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为8％的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？

A.9.78％

B.10.14％

C.9.33％

D.11.27％

答案：C

解析：

方法一：设乙容器中盐水的浓度为ｘ

（250×4％＋750*ｘ）／（250＋750）＝8％

ｘ＝9.33％

方法二：设浓度为ｘ

2. 甲、乙两瓶酒精溶液分别重300克和120克；甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。问从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为50％的酒精溶液140克？

A 甲100克，乙 40克

B 甲90克，乙50克

C 甲110克，乙30克

D 甲70克，乙70克

解析：甲浓度为40%,乙浓度为75％，

甲中取A，乙中取140-A

A：（140-A）=5：2

A=100

3、一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐（）克。

A.14.5

B.10

C.12.5

D.15

解析：假设加盐x克, 15％的盐水200克, 100%的盐x克, 混合成20%的200+x.满足:

15%*200+100%*x=20%*(200+x),

所以可以用十字交叉法.

200/x=(100%-20%)/(20%-15%)=80/5

解出x=12.5克.

说明：浓度问题，无论是稀释、浓缩还是配制，一定要转化为甲、乙两种溶液混合成第三种丙溶液，方可利用十字交叉法。

题型五：平均数问题

在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加，平均80分，乙机关30人参加，平均70分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少?

A．76 B．75 C．74 D．73

【解析】假设总平均成绩是x, 满足20×80+30×70=(20+30)x,所以可以用十字交叉法做.

20/ 30=( x-70)/ 80-x). 解出x=74分.

题型五：鸡兔同笼问题

小明到养殖场去参观，发现鸡和兔子竟装进了同一个笼子，饲养员告诉小明笼里共有20个头，52只脚，那么此笼装了多少只鸡多少只兔子？

解析：首先找出平均值52÷20=2.6，已知鸡有2只脚而兔子有4只脚

综上，利用十字交叉相乘法，可以使许多小学数学问题得到简化。在方便教的同时，也使得学生容易学，便于记。从而让孩子们获得学习上的成就感，激发学习兴趣、提高学习的积极性。

结束语：一定有很多朋友有些地方没看懂，没关系，慧思老师会抽时间给大家视频讲解，到时候微信会通知朋友们！学会十字交叉法，受用整个学习生涯。

十字交叉法解题两个易错点

十字交叉法解题十字交叉法是化学计算中常用的一种速解巧解方法，适用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题。对于等量关系：ma+nb=(m+n)c 整理得：m n= c-b a-c 可写成图式： a c-b ↘↗ c ↗↘ b a-c 其中a、b为分量，c为平均量，一般只写其数值。因图式成十字交叉形，所以叫十字交叉法，多用于计算型的选择题或填空题。一般用起来比较简捷，但任何解题方法都有其局限性，十字交叉法也不例外，有时候不仅不能起简化作用，反而会造成失误。因此应具体问题具体分析，恰当采用。下面就十字交叉法解题最易出错的二元混合物反应的有关计算，通过例题加以分析。

1．十字交叉法比值的含义例1：镁和铝的混合物10 g，与足量的稀硫酸充分反应，生成1.0 g氢气，混合物中镁和铝的质量比为解析：用十字交叉法解题，关键是定好基准，找出分量和平均量。该题以失去电子的物质的量1mol作为基准，求出所对应金属的质量。失去单位物质的量电子的金属质量称作该金属的摩尔电子质量，则镁和铝的摩尔电子质量分别为12g/（mol e－）、9g/（mol e－）作为分量，1.0 gH2是H+得到1.0 mol电子所生成的，说明10 g镁和铝的混合物共失去1.0 mol电子，即镁、铝混合物的平均摩尔电子质量为10g/（mol e－），作为平均量，即两个分量值分别为12和9，平均值为10，用十字交叉法图解如下： Mg 12 1 ↘↗ 10 ↗↘ Al 9 2 那么比值1/2的含义是什么？是镁和铝的质量比、物质的量之比，还是镁和铝失去电子的物质的量之比，这就是用十字交叉法解题最易出错的地方。十字交叉法的解题要点是“斜向找差值，横向看结果”，指的是：十字交叉所得的两个差值与它横对的物质成正比例关系，两个差值比的含义取决于分量和平均量单位的分母，即该比值是产生分量的基准物的分配比，并且是基准物所对应的物理量之比，它与两个分量比值的乘积有一定的物理意义。本题所得比值1/2显然是镁和铝失去电子的物质的量之比，原混合物中镁和铝的质量比为：1×12∶2×9=2∶3。如果本题由十字交叉法所得比值求镁和铝的物质的量之比，据镁和铝失去电子的物质的量之比为1/2，很容易求得：n（Mg）：n（Al） =1×1 2 ∶2× 1 3 =3∶4。

浓度问题(十字交叉法的巧妙运用)

浓度问题（十指交叉法巧妙运用）如果题目中给出两个平行的情况A, B, 满足条件a, b ; 然后A和B按照某种条件混合在一起形成的情况C, 满足条件c. 而且可以表示成如下的表达式. 那么这个时候就可以用十字交叉法. 判断式: A×a+B×b=(A+B)×c=C×c 用十字交叉法表示: （一）基本知识点： 1、溶液=溶质+溶剂； 2、浓度=溶质/溶液； 3、溶质=溶液*浓度； 4、溶液=溶质/浓度；（二）例题与解析 1. 甲容器中有浓度为4％的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为8％的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？ A.9.78％ B.10.14％ C.9.33％ D.11.27％答案：C 解析：方法一：设乙容器中盐水的浓度为ｘ（250×4％＋750*ｘ）／（250＋750）＝8％ｘ＝9.33％方法二：设浓度为ｘ 2. 甲、乙两瓶酒精溶液分别重300克和120克；甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。问从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为50％的酒精溶液140克？ A 甲100克，乙 40克 B 甲90克，乙50克 C 甲110克，乙30克 D 甲70克，乙70克答案：A

解析：甲浓度为40%,乙浓度为75％，甲中取A，乙中取140-A A：（140-A）=5：2 A=100 3、一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐（）克。 A.14.5 B.10 C.12.5 D.15 解析：假设加盐x克,15％的盐水200克, 100%的盐x克, 混合成20%的200+x.满足: 15%*200+100%*x=20%*(200+x), 所以可以用十字交叉法. 解出x=12.5克. 说明：浓度问题，无论是稀释、浓缩还是配制，一定要转化为甲、乙两种溶液混合成第三种丙溶液，方可利用十字交叉法

类比法

类比法（一）什么叫类比法类比法是一种从个别到个别（或从特殊到特殊）的推理方法．它是在甲、乙两个（或两类）事物之间进行对比，从它们的某些类似或相同（相异）的属性出发，根据甲具有某一种属性，推出乙可能也有与之类似或相同（相异）的另一属性．在数学中，类比法推理的基本公式是：因为，对象A有属性a、b、c，对象B有属性a′、b′（a′，b′分别与a、b相同或类似），所以，对象B也可能有属性 c ′（c ′与c相同或类似）．由于类比推理把人们对甲类事物的认识推移（推广）到对乙类事物的认识，扩大了认识领域，所以，类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，是启发人们联想的思维工具，是创造性思维的一种形式．（二）类比法在立体几何中的应用类比法在立体几何中主要有下列三方面的应用： 1．学习新知识学习立体几何教材，最基本的方法之一是与平面几何类比．学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而达到温故而知新．首先要选好类比对象．例如，选三角形与三棱锥．这是因为，在平面上，用直线围成的封闭图形中，三角形所用的直线条数最少；在空间中，用平面围成的封闭图形中，四面体所用的平面个数最少，所以，三棱锥与三角形可以类比．例1 如何用类比法学习三棱锥的体积公式．【解】用类比法学习三棱锥的体积公式可分下列两步进行：（1）类比发现三棱锥的体积公式

如图1-17，因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形的底边a 上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，三角形的面积公式A= （2）类比发现三棱锥体积公式的证法证明三角形的面积公式是用割补法，即把三角形补成一个平行四边形，易得三角形的面积是平行四边形的面积之半．类似地，证明三棱锥的体积公式，应先把它补成一个三棱柱，然后再分割成三个等积的三棱锥（参看高中课本《立体几何》）． 2．发现新定理和编制新命题科学家开普勒（Kepler ）说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的．” 在立体几何中，类比法是发现新定理和编制新命题的一个主要工具．例2 把直三面角（即三个面角都是直角）与直角三角形类比，对直角三角形的勾股定理，你能发现直三面角有什么新定理？【解】如图1-18，在Rt △ACB 与直三面角P-ABC 中，Rt △ACB 的两条直角边长a 、b 对应直三面角P-ABC 的三个直角三角形PAB 、PBC 、PAC 的面积S △PAB 、S △PBC 、S △PAC ，Rt △ACB 的斜边长c 对应直三面角P-ABC 的△ABC 的面积S △ABC ，因此，与直角三角形的

十字交叉法解析

十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ为常数。x^2是X的平方 1.因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+ (x15) =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6]

浓度问题十字交叉法

浓度问题一个好玩的故事——熊喝豆浆黑熊领着三个弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了狐狸开的豆浆店。只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的豆浆每杯0.3元。”黑熊便招呼弟弟们歇脚，一起来喝豆浆。黑熊从狐狸手中接过一杯豆浆，给最小的弟弟喝掉，加满水后给老三喝掉了，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐狸开始收钱了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.3×＝0.05(元)；老三0.3×＝0.1(元)；老二与黑熊付的一样多，0.3×＝0.15(元)。兄弟一共付了0.45元。兄弟们很惊讶，不是说，一杯豆浆0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定是黑熊再敲诈我们。不服气的黑熊嚷起来：“多收我们坚决不干。” “不给，休想离开。” 现在，说说为什么会这样呢？专题简析：溶质：在溶剂中的物质。溶剂：溶解溶质的液体或气体。溶液：包含溶质溶剂的混合物。在小升初应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度＝×100％＝×100％相关演化公式溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。例题1有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。解:原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）加入糖的质量：620－600＝20（克）答：需要加入20克糖。练习1 1、现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？ 2、有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？ 3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？

类比法在数学中的应用

类比法在数学中的应用类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。所谓“类比教学”，就是对有联系的知识进行归类比较，帮助学生找出知识之间的相同点、相似点和不同点，达到掌握知识的目的。在学习过程中，当新旧知识彼此相似而又不完全相同时，对原先知识又是一知半解，掌握不好时，新旧知识必然会混淆不清，应用时难免错漏百出，若不及时加以排解，势必影响其他章节的学习。因此，数学教学中，只有通过反复地归类比较，指出知识间的异同，帮助学生认识数学的本来面目，并加深印象，才能学好数学。类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，笔者在教学实践中的深刻体会是：一、数学解题中多用类比法，讲解要少而精教师对类比教学法在思想上要有正确的认识。在初中数学教学中，许多老师由于求胜心切，搞题海战术，题目讲得多而广，满堂灌，但都是为讲解而讲解，匆匆忙忙，往往收效甚微。如果在数学解题中多用类比法，讲解少而精，必定取得事半功倍的效果。正如奥苏伯尔所刘：“教育工作者向来强调学习广度的重要性，而把它与学习的深度对应，实际上如果在两者之间作出选择，我们宁愿少而精的知识，不愿要多而囫囵吞枣，少些但巩固的知识既有用又可以迁移，大量混淆不清的知识是完全无用的。” 二、运用类比法教学，要有针对性类比教学中类比材料要有针对性，要从学生作业或试卷中的常见错误及缺漏中取得信息并寻求类比的典型材料。另外，课文的许多有内在联系，貌似实异，似是而非的知识都特别注意加以类比，寻求并分析各自的特点，掌握各知识在解题中的正确运用，避免张冠李戴，达到教与学的最佳效果。类比教学中我们要多掌握些实用的类比方法并灵活加以运用。常见的教学类比方法有：（一）因果类比法，是根据类比的两个对象各自的属性之间可能具有的一种因果关系而进行的一种推理方法。（二）结构类比法。由于结构上极其相似，而将待证问题的条件或结论类比已知公式，进行适当代换，从而使问题获得解决的方法。

十字交叉法

某机关共有干部职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少？（） A.51% B.43% C.40% D.34% 裁人后比例为50%— 55以下 280（4）50%-X 55以上70 （1）50%+20% 十字交叉 4 对应20% 1对应X 即5% 裁人后比例为50%—所以选43% 不是十字相乘应该为十字交叉法不过我研究的时候给他起的名字叫权重法自己起的名字，感觉这个更恰当十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。方法二：假设男生有A，女生有B。（A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。方法三：男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C

X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析：男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，

浅谈数学类比法

浅谈数学类比法惠州市第一中学数学科组李海媚科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数学问题B，我们可以联想到一个已经会解的问题A，问题B和问题A有许多类似的属性，于是我们推想问题B与问题A可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A的类似方法来解决问题B，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。其推理过程是:对象A具属性a、b、c、d 对象B具属性a、b、c 则对象B也可能具有属性d。下面浅谈数学类比法的一般方法。一、一般与特殊的类比研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。 :xR,,例1已知,为正常数且 1，f(x)f(x，a), 1,f(x) 则f(x)是否为周期函数,若是，求它的周期，若不是，说明理由。分析:拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx满足约束条件时，思路就豁然开朗了: ,1，tanx因为tan(x，),41,tanx ,且f(x),tanx是以,4，为周期的周期函数,所以可以猜测f(x)是以4a为周期的周期函数。,4

1，f(x)证明:？f(x，a),1,f(x) 1，f(x)1，1，f(x，a)11,f(x),,？f(x，2a),f(x，a)，a,,,,1，f(x)1,f(x，a)f(x)1, 1,f(x) 11,,？f(x，4a),f(x，2a)，2a,,,,,f(x)1f(x，2a),f(x) 因此()是以4为周期的周期函数，fxa。 32,，,1995219951993 例:2计算(1995年北京市初中数学竞赛题， 32，,199519951996 分析:本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行求解。 1995,a 322 2(2)(2)(1)1993a,a,a,a,a,,,3221996(1)(2)(1)a，a,a，a，a, 二、生疏与熟悉的类比对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的某些部分(条件、结论、图形、形式、数据等等)与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。例2设a满足:、、b、 2,a,bc,8a，7,0, ,22,b，c，bc,6a，6,0, 求a的取值范围。，1986全国高中数学竞赛试题，解:把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c， 2 42222:baabaa由此得，(,14，13)，(,8，7),0

浓度问题(十字交叉法)

浓度问题（十字交叉法） 1，基本公式：溶液=溶质+溶剂浓度=溶质/溶液一杯盐水，其中有盐5克，有水45克，那么该盐水的浓度是多少？（2003国考）一种挥发性药水，原来有一整瓶，第二天挥发后变为原来的 2 1；第三天变为第二天的 3 2；第四天变为第三天的4 3，请问第几天时药水还剩下30 1瓶（） A ．5天 B ．12天 C ．30天 D ．100天（2005湖南）在10克盐与40克水的盐水中，取出40克盐水，其中盐与水分别为（）克 A ．8，32 B ．10，30 C ．8，30 D ．10，32 （2005上海）在20度时，100克水最多能溶解36克食盐。从中取出食盐水50克，取出的溶液的浓度是多少（） A ．36.0% B ．18.0% C ．26.5% D ．72.0% 浓度70%的酒精溶液100克与浓度20%的酒精溶液400克混合后的酒精溶液浓度是多少（） A ．30% B ．32% C ．40% D ．45% （2008北京）甲杯有浓度为17%的溶液400克，乙杯有浓度为23%的溶液600克，现在从甲，乙两杯中取出相同总量的溶液，把甲杯中取出的倒入乙杯中，把乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液的浓度是多少（） A ．20% B ．20.6% C ．21.2% D ．21.4% （2009安徽）当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少千克？（） A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 （2007湖南）一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%，再加入同样多水，溶液的浓度变为2%，问第三次再加入同样多水后，溶液的浓度变为（） A ．1.8% B ．1.5% C ．1% D ．0.5% （2009国考）一种溶液，蒸发一定的水后，浓度为10%，再蒸发同样的水，浓度为12%，第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少（）

类比法在数学解题中的运用

类比法在数学解题中的应用摘要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。关键词：类比法；数学解题；应用类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。一、平面几何与立体几何的类比有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( ) (A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定图1 图2 分析本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比: 由此可得到平面几何中相应的问题：如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C

十字交叉法快速解数学运算题讲课教案

2011国考冲刺：十字交叉法快速解数学运算题一、十字交叉法简介当数学运算题最终可以通过下式解出解出，我们就称这类问题为"加权平均问题"。二、适用题型十字交叉法最初在浓度问题上应用广泛，但在实际计算过程中，十字交叉法并没有将浓度问题有所简化，而是在以下几种题型中有更广泛的应用，解题速度也有明显提高。 1.数量分别为A与B的人口，分别增长a与b，总体增长率为r。 2.A个男生平均分为a，B个女生平均分为b，总体平均分为r。 3.农作物种植问题，A亩新品种的产量为a，B亩原来品种的产量为b，平均产量为r。当然还有其他类似的问题，这类问题本质上都是两个不同浓度的东西混合后形成了一个平均浓度，这类问题都可以运用十字交叉法快速解题。三、真题解析【例1】某市现有70万人，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个市现有城镇人口（） A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万

【例2】某班男生比女生人数多80％，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20％，则此班女生的平均分是（）。A.84分 B.85分 C.86分 D.87分所以女生平均分为70×1.2=84，答案为A。加权平均这种方法要经过一定的练习才能熟练掌握，因此华图教育希望大家利用最后的时间加紧练习，迅速提高自己的解题速度，在考场中发挥出最好的水平，祝所有考生马到成功。【例1】浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？ A.30％ B.32％ C.40％ D.45％【解析】这道题是典型的浓度混合问题，大部分考生在30秒的时间都可以解决。方法就是利用浓度公式求解：设混合后的浓度为x%，根据题意（不管怎么混合，溶质总量不变）则有100*70%+400*20%=(100+400)*x%解得x=30。然而在这里引用这道题，笔者是想想引出关于比例混合问题的一种解题方法——十字交叉法。大家先仔细看看下面的解题板书过程：

类比法在小学数学教学

摘要：数学思想方法作为对数学知识内容的本质认识，往往隐藏在数学知识的背后，在课堂教学中应该创造机会，有意识让学生去体验、运用。类比法是一种重要的数学思想方法，在小学数学课堂教学中可运用类比法来探究新知；加深对概念的理解；建构知识网络，使知识更加系统化；激发创新思维。关键词：类比法；小学数学；数学教学数学思想方法是数学课程的重要目的，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分。而然而在数学思想方法的学习中发现，直接以小学数学内容为背景的数学思想方法及其教学的研究很少，在教育实习中也发现大部分小学数学教师认为小学数学教学内容简单、浅显，没有什么数学思想方法之谈，在课堂教学时主要局限于解题的技能与技巧层面。这很难让学生体验到数学的本质，很难领会到数学的魅力。从知识层面来看小学的数学教学内容较简单，但处处蕴含着数学思想方法，在教学中需要教师去挖掘与渗透。下面就类比思想方法在小学数学教学中的运用作些探析。一、类比法的内涵（一）类比法类比是一种间接推理的思想方法，也是一种科学研究的方法。类比是利用两对象的某些相似性，由此对象的某些性质或结论，猜测乃至证明另一对象的相应性或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植与另一系统，用以处理另一对象的相似的性质或结论。可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。正如著名的数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”。所谓类比法是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性，关系，特征，形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。（二）类比的基本模式类比的一般模式如下： S对象具有（或不具有）性质a、b、c、d； S′对象具有（或不具有）性质a′、b′、c′； a′、b′、c′与a、b、c、相同或相似； B类对象可能具有（或不具有）性质d′。

类比法解数学应用题1

类比法解数学应用题课题：类比法解数学应用题。课型：复习课知识目标：掌握运用类比法将数学应用题给出的材料背景转化为：(1)某生活背景(2)某数学模型能力目标：通过类比法教学，使学生学会用一些生活背景理解数学，又能够用数学的立场、观点和方法去解决日常生活中出现的一些问题，从而培养学生运用数学工具分析和解决实际问题的能力，训练学生创新思维。德育目标：通过类比法教学 (1)让学生真正体会到数学源于现实，寓于现实，用于现实，培养学生兴趣；增强学生学习的信心，特别是解数学应用题的信心。 (2)引导学生面向社会，了解社会。重点：运用类比法寻找解决问题的切入点，引导学生建模。难点：引导学生建模。教学方法：观察法、类比法、归纳法，采用启发式发现法进行教学。引题：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。 1.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜； ③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是则 ②③ A. P3 >P2 >P1 B.P3 >P2 =P1 C. P3 =P2 >P1 D. P3 =P2 =P1 2.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 A. 26 B. 24 C . 20 D. 19

公务员考试数学运算秒杀技：十字交叉法

公务员考试数学运算秒杀技：十字交叉法十字交叉法是数学运算及资料分析中经常用到的一种解题方法，熟练运用可以大大提高各位考生在考场上的解题速度。在平时的复习过程中应作为一个专题加以强化练习，以期达到行测考场上的“秒杀”。十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。若有两种质量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a与b，混合后浓度为r，则由溶质质量不变可列出下式Aa+Bb=(A+B)r，对上式进行变形可得A/B=r-b/a-r，在解题过程中一般将此式转换成如下形式：注意在交叉相减时始终是大的值减去小的值，以避免发生错误。十字交叉法不仅仅可用于溶液混合问题，也可以应用于两部分混合增长率问题、平均分数、平均年龄等问题。只要能符合Aa+Bb=(A+B)r 这个式子的问题均可应用十字交叉法，交叉相减后的比值为对应原式中的A和B的比值。例1 甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。问乙容器中盐水的浓度是多少? A.9.6% B.9.8% C.9.9% D.10% 【解析】A。【例2】某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个市现有城镇人口( )。 A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万【解析】A。

【例3】(2011国考-76)某单位共有A.B.C.三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁，24岁，42岁，A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁，该单位全体人员的平均年龄为多少岁? A.34 B.36 C.35 D.37 【解析】C。除了在数学运算中可以用到十字交叉法，在一些资料分析的题目中也可以运用十字交叉法，例如：【例4】(2011年917联考)2010年1~6月，全国电信业务收入总量累计完成14860.7亿元，比上年同期增长21.4%;电信主营业务收入累计完成4345.5亿元，比上年同期增长5.9%。其中，移动通信收入累计完成2979亿元，比上年同期增长11.2%，比重提升到68.55%，增加了3.24%，固定通信收入累计完成1366.5亿元，比重下降到31.45%. 119. 2010年1~6月，我国固定通信收入比上年同期减少约： A.3% B.11% C.4% D.31% 【解析】C。电信主营业务由移动通信和固定通信两部分组成，2009年1~6月移动通信的收入乘以其增长率加上2009年1~6月固定通信的收入乘以其增长率等于总的电信主营业务收入的增长量，符合Aa+Bb=(A+B)r，故可以运用十字交叉法。2009年1~6月移动通信收入的比重为68.55%-3.24%=65.31%，固定通信收入的比重为31.45%+3.24%=34.69%。

巧用类比法解数学题

文/陈海祥【摘要】本文从结构方法、情境、公式、特性五个角度说明类比在问题解决时应用，在适当的条件下运用类比往往会使问题由繁变简，由难变易，使问题向便于解决的方向发展类比指根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推理演绎出其它方向的相似或相同。【关键词】类比法；巧解；数学题数学教学中恰当的运用类比思想方法，引导学生准确地掌握类比的思想方法可以开拓学生的视野，提高创新思维。类比的思维过程是：观察比较→联想迁移类推→猜测新的结论→判断新结论的真伪。下面从六个方面说明如何进行类比。一、数与形的类比在数学研究中，数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。三、方法上类比数学问题千变万化，但不变的数学解题中的思想，解题中的方法，解题中适当的迁移，巧妙的类比，往往会事半功倍。四、情境类比二次函数与三次函数最大的区别在于最高项次数不同，由此产生了图象性质有明显的差异，但它们的基本情境是相似，因而在解决三次函数的问题时，若能考虑与之情境类似的二次函数问题，将会大大便于问题的解决。此类问题在函数中非常普遍，在解题时运用类比考虑比其低一级类似的问题的解决方案运用联想迁移来解决问题，从而便于问题的解决。五、公式类比数学公式作为解题的工具在解题中是直接使用的，它能大大的提高解题的效率，通过类比在相似的条件，相似的情境下就会得到相似的公式。六、特性类比由概念、定义出发可得到一系列结论，这些结论有些在解题中可直接使用。这些概念、定义指问题所满足的特征，而这些结论是指特定的条件下推出的性质，在解题时适当的构造出问题的特征，我们就可以类似的得到的相应的性质。例6：在数列{an}中a1=1，an=4an-1+3n-1+6类比等比数列，求a的通项公式。特性类比在解题中使用非常广泛，其关键在于探出问题的特征，这往往需构造也是问题解决的关键点，构造时需考虑概念定义的背景、产生的原因，紧抓概念中的关键词进行比较，发现解决问题的突破口。总结：类比思想在代数、解几、立几中非常普遍，体现了问题解决的统一。本文从数与形、结构、方法、情境、公式、特性六个角度就如何进行类比进行了阐述，在适当的条件下合理的运用类比，往往会使问题变得简单、清晰，使问题难度下降，让问题向便于解决的方向发展。

小升初典型应用题精练(溶液浓度问题)附答案

典型应用题精练（溶液浓度问题）浓度问题的容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶液的混合液体。浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z y %浓度x 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 1、一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比为15%，第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少？

1为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中 2、有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中 4 1为酥糖。将两包糖混合后，水果糖占78％，那么奶糖与酥糖的比例是多少？ 5 3、甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%。如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精61%。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？ 4、若干升含盐70%的溶液与若干升含盐58%的溶液混合后得到含盐62%的溶液，如果每种溶液各多取15升，混合后得到含盐63.25%的溶液，第一次混合时含盐70%的溶液取了多少升？ 5、某商品按零售价10元卖出20件所得到的利润和按照零售价9元卖出30件所得到的利润相等，求该商品的进价。 6、4千克浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液？ 7、有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为10%，盐浓度为30%，乙溶液中的酒精浓度为40%，盐浓度为0。现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混合后得到的溶液的酒精浓度和盐浓度相等？ 8、有浓度为30%的酒精若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的酒精溶液。如果再加入同样多的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？

数学中的类比法

数学中的类比法摘要类比是数学学习中经常用到的一种推理方法.它是发现概念、定理、公式的重要手段，也是发现问题、探索问题、解决问题的重要方法.本文主要研究了：将平面几何的一些定理推广到空间几何中、将代数中的集合运算与概率事件中的运算进行类比、从有限到无限的类比、降次类比、降元类比等.这有助于我们借助类比对象间的“类比关系”更清晰的认识两个相似体系间的内在联系，逐渐养成发散思维能力和创新意识，通过类比还可以降低问题解决的难度. 关键词：类比；降维类比；降次类比；几何.

The analogy method in mathematics Abstract:Analogy is a reasoning method is often used in mathematics learning. In mathematics, analogy is an important means of found concept, theorem, formula, and found the problem, explore the problems, the important way to solve the problem.This paper mainly studied: some of plane geometry theorem is generalized to space geometry; Collection of the algebraic operations with probability event in operations analogy; From limited to unlimited analogy; Drop analogy; Yuan analogy, etc. This will help us with the analogy between objects "analogy" more clear understanding of the intrinsic relationship between two similar system, and gradually form a divergent thinking ability and innovation consciousness, through the analogy can also reduce the difficulty of problem solving. Keywords: analogy, dimension reduction, fall time analogy, geometric analogy

行测十字交叉法(自己总结的)

行测什么时候用十字交叉法公务员行测考试数学运算这部分, 经常要用到十字交叉法. 虽然很多里书和网页上写了很多关于十字交叉法, 但是目前还很少有人对什么情况下可以用十字交叉法来快速解题作出具体的叙述. 大多数只是针对某些问题给出解题方法. 对于十字交叉法具体的原理还没有做进一步详细的说明, 即使作了描述, 也比较抽象, 比如什么加权平均等. 为了使得对能否用十字交叉法作出迅速的判断, 我们将在本文里面就其中的原理作出简单明了的阐述以及给出判断的表达式, 然后给出具体的例子来说明它的应用以及相关的练习.希望大家看过本文之后不再对十字交叉法感到束手无策!! 我们先给出十字交叉法的原理, 就是什么情况下我们就可以用十字交叉法. 如果题目中给出两个平行的情况A, B, 满足条件a, b ; 然后A 和B 按照某种条件混合在一起形成的情况C, 满足条件c. 而且可以表示成如下的表达式. 那么这个时候就可以用十字交叉法. 判断式: A*a+B*b=(A+B)*c=C*c 用十字交叉法表示 : A a c-b c A/B=(c-b)/(a-c). B b a-c 我们常见利用十字交叉法的情形有: 溶液混合问题, 增长率问题, 收益率问题, 平均数问题等. 【例1】一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐（）克。 A.14.5 B.10 C .12.5 D.15 20% , 200/x= (100%-20%)/(20%-15%)=80/5 x 100% 20%-15%

解出x=12.5克. 【例2】一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1.5倍。如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是（）。 A. 5∶2 B. 4∶3 C. 3∶1 D. 2∶1 【解析】假设超级水稻的产量是x, 普通水稻的产量是1; 超级水稻是1/3, 普通水稻是2/3; 产量分别是x, 1; 那么混合就是1,产量是1.5,满足1/3*x+2/3*1=(1/3+2/3)*1.5, 所以可以利用十字交叉法. 1/3 x 1.5-1 1.5 , (1/3)/ (2/3)=(1.5-1)/(x-1.5). 解出x= 2.5, 比是2.5:1=5:2. 2/3 1 x-1.5 【例3】在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加，平均80分，乙机关30人参加，平均70分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少? A．76 B．75 C．74 D．73 【解析】假设总平均成绩是x, 满足20*80+30*70=(20+30)*x,所以可以用十字交叉法做. 20 80 x-70 x , 20/ 30=( x-70)/ 80-x). 解出x=74分. 30 70 80-x 【例4】某市现有人口70万, 如果5年后城镇人口增加4%, 农村人口增加5.4%, 则全市人口将增加 4.8%, 那么这个市现有城镇人口多少万? A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万【解析】假设现有城镇人口x万, 农村人口70-x万,满足: 4%*x+5.4%*(70-x)=(x+70-x)*4.8% 所以可以用十字交叉法. x 4% 5.4% -4.8% 4.8% , x/ (70-x)=( 5.4% -4.8%)/ (4.8%-4%). 解出x=30.