直线中的对称问题
直线中的对称问题
学习目标：
直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 新知自学：
1、点关于点的对称
例1：已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
2、直线关于点的对称
例2：求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
3、点关于直线的对称
例3：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
特别地：
点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的为 ；
关于y x =的对称点的坐标为 ；关于y x =-的对称点的坐标为 .
关于x=m 的对称点的坐标为 ；关于y=n 的对称点的坐标为 .
关于x+y+c=0的对称点的坐标为 ；关于x-y+c=0的对称点的坐标为 .
4、直线关于直线的对称
例4：求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。
变式：求直线02y x :l 1=--关于直线03:2=+-y x l 对称的直线l 的方程。 特别地：直线Ax+By+C=0
关于x 轴的对称直线为 ；关于y 轴的对称直线为 ； 关于y x =的对称直线为 ；关于y x =-的对称直线为 .
关于x=m 的对称直线为 ；关于y=n 的对称直线为 . 关于x+y+c=0的对称直线为 关于x-y+c=0的对称直线为 .
例5：已知点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)直线l ：3x-y-1=0 （1）试在直线l 上找一点P ，使CP AP +最小，并求出最小值. （2）试在直线l 上找一点Q ，使BQ AQ -最大，并求出最大值.
变式：
1、求5213422+--++=x x x x y 的最大值。
2、求5213422+-+++=x x x x y 的最小值。
例6： 一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，
反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.
例7：已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.
随堂检测：
1.求点A （4,1-）关于直线l ：02
7
32=-
+y x 的对称点。 2.1l ：0223=+-y x ，l ：02=-y x ，求1l 关于l 的对称直线2l 。
3. 直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是
4.直线1
2
y x =
关于直线1x =对称的直线方程是 5.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程
6.已知点M （3，5），在直线l ：x-2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．
7、已知函数8422)(22+-++-=
x x x x x f ，求)(x f 的最小值。 10
能力提升：
1. 已知△ABC 中，点A （3，-1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B 的平
分线所在直线的方程为x-4y+10=0，求BC 边所在直线的方程．
2. 光线从A （-3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴
反射，这时反射线恰好过点D （-1，6），求BC 所在直线的方程．
3. 已知点A （-2，2）及点B （-8，0），试在直线l ：2x-y+1=0上，求出符合下列条件的点P ：
（1）使|PA|+|PB|为最小；
（2）使|PA|2+|PB|2
为最小．
4. 已知△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A 的角平分线所在的直线方程
为y=0，点C 的坐标为（1，2）．
（Ⅰ）求点A 和点B 的坐标；
（Ⅱ）又过点C 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点M ，N ，求△MON 的面积最小值及此时直线l 的方程．
5. 一直线L 被两直线L 1：2x-y+1=0，L 2：3x-5y-5=0截得的线段的中点恰好是点P （1，2），
求：
（1）求点P 关于直线L 1对称的点P ′ （2）求直线L 方程．
答案：
例1：解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得
??????
?=+=+-,
12
y 3,12x 200
解得???-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。 例2：解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得
.1
3|b 16|1
3|416|2
2
+++=
+-+
解得10b -=，或4b -=（舍）。则直线l 的方程为.010y x 3=--
例3：解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
∴直线AA ′方程为06y x 2=-+。
由方程组???=-+=+-0
6y x 2,09y 4x 2解得AA ′中点M ???
??3,23。
由中点坐标公式得
32
2
y ,2322x 00=+=+，解得.4y ,1x 00== ∴所求的对称点坐标为（1，4）。
评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。
分析：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，则直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上。 解法2（相关点法）：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，根据直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上，
则有???
????=++?-+?-=--?,0922b 422a 2,12
a 2
b 21
解得.4b ,1a ==
∴所求对称点的坐标为（1，4）。
评注：①中点在09y 4x 2=+-上；②所求点与已知点的连线与09y 4x 2=+-垂直。
例4：解：设所求直线l 上任意一点P （y ,x ''）（2l P ?）关于2l 的对称点为Q （11y ,x ），
则???????-=-'-'=+'+-'+?,1x x y y ,032y y 2x x 31
111解得???????+'+'=-'+'-=.53y 4x 3y ,59y 3x 4x 11 又因为点Q 在1l 上运动，则=--2y x 110。
025
3
y 4x 359y 3x 4=-+'+'--'+'-，解得022y x 7=+'+'。即直线l 的方程为
022y x 7=++。
例5：（2）BC 的直线方程为y=-1/3x+4 D 点坐标为(3/2,7/2) C 点坐标为(3,3) 直线AC 的方程为y=-2x+9 P 点坐标为(2,5) 变式：10 34 随堂检测：
1.（-3,1）
2.17x-6y-10
3.2x+3y+8=0
4.x+2y-2=0
5.x-y-1=0
6.)2
7,0()49,25(Q P 7.10
能力提升：
1.已知△ABC 中，点A （3，-1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B 的平分线所在直线的方程为x-4y+10=0，求BC 边所在直线的方程．
2.光线从A（-3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的方程．
3.
已知点A（-2，2）及点B（-8，0），试在直线l：2x-y+1=0上，求出符合下列条件的点P：（1）使|PA|+|PB|为最小；
（2）使|PA|2+|PB|2为最小．
4.已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为
y=0，点C的坐标为（1，2）．
（Ⅰ）求点A和点B的坐标；
（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．
5.一直线L被两直线L1：2x-y+1=0，L2：3x-5y-5=0截得的线段的中点恰好是点P（1，2），求：（1）求点P关于直线L1对称的点P′
（2）求直线L方程．
点 ,线关于直线对称问题
一 点关于直线的对称点的一种公式求法 结论：设直线:l 0=++c by ax ，（a 、b 至少有一个不为0），点),(00y x A 关于直线l 的 对称点的坐标是),(11y x B ，则??? ????+---=+---=22002 2122002 2122)(22)(b a bc abx y b a y b a ac aby x a b x ； 这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。 但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。 将以上的2 2 02 2122)(b a ac aby x a b x +---= 变为： O 2 2 0202 2 1222)(b a ac aby x a x a b x +---+= 2 2000) (2b a c by ax a x +++- = 2 2 002 2 0) (2b a c by ax b a a x +++? +- = d b a a x '?+- =22 2 0， （其中2 2 00b a c by ax d +++= '的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d b a b y y '?+- =22 2 01，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是 d b a a x B '?+- 2(2 2 0，)22 2 0d b a b y '?+- ， 其中的向量), ( 2 22 2 b a b b a a e ++=是直线l 的法向量),(b a 的单位向量，如图，设点A O x y A B d d e 图一
直线中的对称问题—4类对称题型
直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
点关于直线的对称
点关于直线对称公式的应用 永靖中学 姬良挺 摘要：点关于直线对称是常见问题，适时推导掌握一些公式，加快运算速度，降低失误率，本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后，重点介绍直线斜率为1或-1时，公式变的简单明了，而且应用非常方便。 关键词：对称，斜率，坐标 在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。 在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。 图1 图2 图3 下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k x x y y ++?=+-=?-- 解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得： {)4(12)1(2)3(12)1(220202020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---=
直线中的几类对称问题(推荐)
直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ， 解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是： 1. 在所求曲线上选一 点 M ( x, y) ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点 M / (x 0 , y 0 ) 与 M ( x, y) 之间的关系； 3. 利 用 f (x 0 , y 0 ) 0 求出曲线 g( x, y) 0 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习 题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线 l 1 : x y 1 0 关于直线 l 2 : 3x y 3 0 对称的直线 l 的方程。 解法 1：（动点转移法） 在 l 1 上任取点 P( x / , y / )( P l 2 ) ，设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y) ，则 3 x / x y / y 3 0 x / 4 x 3 y 9 2 y / 2 5 y 1 y / 3x 4 y 3 x / x 3 5 又点 P 在 l 1 上运动，所以 x y 1 0 ，所以 4x 3y 9 3x 4 y 3 1 0 。即 0 。所以直线 l 的方程是 x 5 5 x 7 y 1 7 y 1 0 。 解法 2：（到角公式法） x y 1 0 x 1 的交点为 A(1,0) 解方程组 y 3 0 y 所以直线 l 1 ,l 2 3x 设所求直线 l 的方程为 y k( x 1) ，即 kx y k 0, 由题意知， l 1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等， 则 3 1 k 3 k 1 .所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。 1 3 1 1 3k 7 解法 3：（取特殊点法） 由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) 。在 l 1 上取点 P （2 ， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点 的坐标为 Q( x / , y / ) ，则 3 x / 2 y / 1 / 4 2 2 3 0 x 5 y / 1 1 y / 7 x / 2 3 5 而点 A ，Q 在直线 l 上，由两点式可求直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。 解法 4：（两点对称法 ）
谈谈点关于直线对称问题求法
谈谈点关于直线对称问题求法 在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。 在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。 图1 图2 图3 下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k x x y y ++?=+-=?-- 解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得： {)4(12)1(2)3(12)1(22 0202 020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---= 可以验证：该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。 当k=l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=y 0-b, y=x 0+b. 当k=-l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=-y 0+b. y=-x 0+b. 可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x 的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y 值即为对称点的纵坐标。 例1: 求点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标。 解：在直线方程y=x+3,将x 代为3，得： y=6即为对称点纵坐标，将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。 所以：点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2，6）。 例2：求点（a.b ）关于直线y=-x+1的对称点
直线中的对称问题
直线中的对称问题 学习目标： 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 新知自学： 1、点关于点的对称 例1：已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 2、直线关于点的对称 例2：求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。 3、点关于直线的对称 例3：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 特别地： 点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ；关于y x =-的对称点的坐标为 . 关于x=m 的对称点的坐标为 ；关于y=n 的对称点的坐标为 . 关于x+y+c=0的对称点的坐标为 ；关于x-y+c=0的对称点的坐标为 . 4、直线关于直线的对称 例4：求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。 变式：求直线02y x :l 1=--关于直线03:2=+-y x l 对称的直线l 的方程。 特别地：直线Ax+By+C=0 关于x 轴的对称直线为 ；关于y 轴的对称直线为 ； 关于y x =的对称直线为 ；关于y x =-的对称直线为 . 关于x=m 的对称直线为 ；关于y=n 的对称直线为 . 关于x+y+c=0的对称直线为 关于x-y+c=0的对称直线为 . 例5：已知点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)直线l ：3x-y-1=0 （1）试在直线l 上找一点P ，使CP AP +最小，并求出最小值. （2）试在直线l 上找一点Q ，使BQ AQ -最大，并求出最大值. 变式： 1、求5213422+--++=x x x x y 的最大值。 2、求5213422+-+++=x x x x y 的最小值。 例6： 一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度. 例7：已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.
高中数学点线对称问题
对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上
直线中的对称问题
例谈直线中的对称问题 直线的对称问题是我们学习平而解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主 要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下而我们 来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点 （1） A （3,l ）关于点P （2,3）的对称点A'的坐标， （2） A （2,4）, A'（O,2）关于点P 对称，求点P 坐标. 解：由题意知点P 是线段AA'的中点， 所以易求（1） A f （l,5） （2） P （l,3）? 因此，平面内点A （x 0, y 0）关于P （a.b ）对称点坐标为（2a 一心,2b -儿） 二. 点关于线对称问题 求泄点关于泄直线的对称问题时，根据轴对称左义利用①两直线斜率互为负倒数，②中点坐 标公式来求得. 例2?已知点A （1J ）直线￡： y — x + 2 = 0,求点A 关于直线C 的对称点A'的坐标 又v A4Z 与￡垂直，且AA\C 斜率都存在 ???心〃?匕=一1即有—xl = -l ② x-1 由①②解得A =3> y = —l ???人'（3,-1） 法（二）求点点关于线对称问题，英实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求 出AA 9的直线方程进而求与6的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A'坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3.求直线G ： x+2y-l = 0关于点P （2,l ）的对称直线-的方程. 解:法（一）???直线0： x + 2y-\= 0与两坐标轴交点为彳°，￡），5（1,0） 平面内点A f （x 2,y 2）关于点 对称 解:法（一）解：设从兀必则AV 中点坐标为 斗）且满足直线（的方程 坷+吃y {+y 2 2 2
高中数学直线中对称问题归类解析
直线中对称问题归类解析 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称 例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称 例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。 解法1：（用点到直线距离公式） 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。 解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。 解法2:（利用中点坐标法） 分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法） 分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线
直线的一般式方程和点的对称问题教师版
直线的一般式方程 知识点一 直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2 ＋B 2 ≠0 答案 D 解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A 、B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A 、B 项均不满足，C 项中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 项正确． 2．直线(2m 2 －5m ＋2)x －(m 2 －4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D 解析 由已知得m 2 －4≠0，且2m 2 －5m ＋2 m 2－4 ＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去). 知识点二 平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A 解析 由两直线垂直得2m －20＝0，m ＝10，将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得2＋10＋n ＝0，n ＝－12. 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 答案 D 解析 ∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋ By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C
直线的对称问题解析
. . 直线系对称问题 （一） 主要知识及方法： 1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ； 关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 . 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法： ()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ， 则'PP 的中点00,2 2a x b y ++?? ???一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即00 1y b a x a b -?? ?-=- ?-?? 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法： ① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称 点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定 点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=. 5.直线系方程： ()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x = ()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+= ()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为： ()()1 1 1 2 2 2 0a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2 l ） 典例分析（一） 例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一： 由3a+2b=1得:b= 1 2 (1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0
点和直线的有关对称问题
点和直线的有关对称问题 摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:
分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线l的方程 故点M′的坐标为(-2,2) ⒉直线关于直线对称 例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线
直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.
点关于直线对称教案
直线方程专题：点关于直线的对称点 复旦中学 胡仁杰 一、教学目标 1.理解点关于直线的对称点的概念。 2.根据图像特征掌握点关于直线对称点的求解方法。 3.渗透用代数方法解决几何问题的思想。 二、教学重难点 1．重点：掌握点关于直线对称的点的求解方法。 2．难点：将几何特征转化成代数关系式。 三、活动设计 利用PPT 与板书结合，学生通过预习、提问、讨论、解答、总结掌握知识。 四、教学过程 （一）课前预习： 1．复习点关于点对称公式： A （x ，y ）关于点P () 00,x y 的对称点A '坐标为 。 2．若点A （1，2），B （-1，2）。 则A 关于x 轴的对称点为 ，关于y 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 B 关于x 轴的对称点为 ，关于y 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 小结：若点A （x ，y ），则A 关于x 轴的对称点为 ，关于y 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 3．若点A （1，2），B （-1，2）。 则A 关于2x =的对称点为 ，关于1y =的对称点为 ，关于y x =的对称点为 ，关于y x =-的对称点为 ，。
B 关于2x =的对称点为 ，关于1y =的对称点为 ，关于y x =的 对称点为 ，关于y x =-的对称点为 。 小结：若点A （x ，y ），则A 关于x a =的对称点为 ，关于y b =的对称点为 ，关于y x =的对称点为 ，关于y x =-的对称点为 。 4．问题思考：点P （-5，3）关于直线3y x =+的对称点为 。 （二）新课教学： 学生小结预习材料： 若点A （x ，y ），则A 关于x 轴的对称点为（x ，-y ），关于y 轴的对称点为（-x ，y ），关于原点的对称点为（-x ，-y ）。 若点A （x ，y ），则A 关于x a =的对称点为（2a-x ，y ），关于y b =的对称点为（x ，2b-y ），关于y x =的对称点为（y ，x ），关于y x =-的对称点为（-y ，-x ）。 点关于直线对称点的求解思路： 思路1：通过平面几何中求作点关于直线对称的方法，转化为解析法。 求点P （-5，3）关于直线L ：3y x =+的对称点 平面几何： 1. 过P 作关于直线L 的垂线 L '。 2. L '与L 交于点Q 3. 在L '上找到异于P 且到Q 的距离等于PQ 的一点P ' P '点即P 关于直线L 的对称 点。 解析几何： 1. 过P 作关于直线L 的垂线L '。 L '：2y x =-- 2. L '与L 交于点Q 连立得到23 y x y x ?=--? =+? 解得521 2 x y ?=-????=??，即交点Q 为51,22??- ? ?? 3. 利用点关于点对称求P ' （-5，3）关于51,22?? - ??? 的对称点 为（0，-2）
点关于直线的对称点的几种公式求法
点关于直线的对称点的几种公式求法 结论一 ：点00(,)P x y 关于直线0Ax B y C ++=对称的点的坐标是：（22000)(2B A C By Ax A x +++-,22000)(2B A C By Ax B y +++-）， （其中 2200B A C By Ax d +++= ￠的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d B A B y y ￠×+-=22201，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是d B A A x B ￠×+-2(220，)2220d B A B y ￠×+-， 其中的向量),(2222B A B B A A e ++=是直线l 的法向量),(b a 的单位向量，如图，设点A 到直线l 的距离是d ，则d B A A x B ￠×+-2(220，)2220d B A B y ￠×+-， 意思是将点),(00y x A 按单位法向量,(2222B A B B A A e ++=的方向向直线l 的“对面”移动d 2个单位便得到A 关于直线l 的对称点B ，从图中看得更明显。 因而，对称点d B A A x B ￠×+-2(220，)2220d B A B y ￠×+-既是求对称点的公式，也是沿法向量平移d 2个单位而得到对称点的方法。 例1 求点)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点A 的坐标； 解法一：公式法，设)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点坐标为11,(y x A ） 依照上述公式得： 133313 )292(213211=+-×-=x ，13913 )292(213331=+-×--=y ， 所以对称点是139,1333(A 。 解法二 如图一，点B 到直线l 的距离是135= d ，点B 在直线l 的上方，直线l 的单位法向量是 e =)133 ,132 (-，沿此方向将点)3,1(B 平移1310 2=d 个单位便得到对称点 )13 9,1333(A ； 例2 已知点),(00y x A ，（1）求A 关于直线0=++c y x 的对称点坐标；（2）求A 关于直线0=+-c y x 的对称点坐标； 解（1）设对称点),(11y x B ，则由求对称点公式得： c y c y x x x --=++×-=000012) (221，c x c y x y y --=++×-=000012) (221 ，
点关于直线的对称点的一种公式求法
点关于直线的对称点的一种公式求法 上海市奉贤中学 王志和 读了本刊文（1），很有收获。文（1）说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式： 结论：设直线:l 0=++c by ax ，（a 、b 至少有一个不为0），点),(00y x A 关于直 线l 的对称点的坐标是),(11y x B ，则??? ????+---=+---=22002 21220022122)(22)(b a bc abx y b a y b a ac aby x a b x ； 这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。 将以上的2 20022122)(b a ac aby x a b x +---= 变为： O 2 20020221222)(b a ac aby x a x a b x +---+= 2 2000) (2b a c by ax a x +++- = 2 2 002 2 0) (2b a c by ax b a a x +++? +- = d b a a x '?+-=222 0， （其中2 2 00b a c by ax d +++= '的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d b a b y y '?+- =22 2 01，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是 d b a a x B '?+- 2(2 20，)22 20d b a b y '?+- ， 图一
点、直线的对称问题word版本
点、直线的对称问题
课题：点、直线的对称问题 时间：2015.10.19第5节地点：高二（12）授课人：吴晗 教学目标： 1、使学生会解决平面解析几何直线章节中有关对称问题：点关于点对称、点关 于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称. 2、让学生经历直线对称问题的探究问题，提高学生分析、比较、概括、化归的 数学能力. 3、在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生 学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想. 教学重点： 对称问题的基本解法 教学难点： 找对称问题中的对称关系式 教学方法：例题讲解式 学法指导：练习+自主探究 教学用具：粉笔、ppt 教学过程： 一、新课引入 在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，例如必修一函数的奇偶，物理中光的反射与入射等等，那么本节课我们就一起来研究点、直线的对称问题.
二、新知探究 1、点关于点的对称点 例1、求点A ()3,2关于坐标原点的对称点的坐标. 解析 两点关于坐标原点对称，则坐标原点()0,0为两对称点的中点，利用中点坐标公式求解. 解：设点A 关于坐标原点的对称点B 的坐标为()y x ,. 由中点坐标公式可得：?????=+=+02 3022y x ????-=-=32y x ∴B 的坐标为()3,2--. 2、直线关于点的对称直线 例2、求直线03=-+y x 关于点()3,2A 的对称直线方程. 解析 要求得对称直线方程，只需在原直线中取两点，此两点关于点A 的对称点在对称直线上，由两点式可确定其方程. 1way ： 解：在直线03=-+y x 上取()0,3B 和()3,0C 两点. 设B 、C 两点关于A 的对称点'B 、'C 的坐标分别为()11,y x 、()22,y x . 由中点坐标公式可得：????????????=+=+=+=+.323,220;32 0,2232211y x y x ()().3,4,6,1''C B ∴ ∴对称直线方程为：1 41636--=--x y ，即07=-+y x . 2way ：解析：对称线和原线是平行直线，所以只需知道一点即可求出对称直线. 解：设对称直线的方程为：0=++c y x
高中数学中的对称问题小结
对称问题 一、要点梳理 1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理. 2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。 3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法 4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等 二、基础练习 1、已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为 ( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.x 2＋y 2＝1 C.x 2＋(y ＋1)2＝1 D.x 2＋(y －1)2＝1 2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( ) A.关于x 轴对称但不关于y 轴对称 B.关于y 轴对称但不关于x 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 3、函数y ＝－e x 的图象 ( ) A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C.与x y e -=的图象关于y 轴对称 D.与x y e -=的图象关于坐标原点对称 4、曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为___________. 5、光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。 变式：已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2:x+ny+P=0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是( ) A 、 n p m =5 B 、p=-5 C 、m=-n 且p= -5 D 、 n m 1 1-=且p=-5 6. 直线0632=-+y x 交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线x y -=上求一点P ，使B P A P 11+最小，则P 点的坐标是_______ 思考、已知函数3 21()3 f x x x x = ++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点1122(,),(,)M x y N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ） A. 13- B. 23- C. 4 3 - D. 2- 7、已知点M （3，5），在直线：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ?的周长最小。 8、在直线:90l x y -+=上任取一点P ，过点P 且以椭圆 22 1123 x y +=的焦点为焦点作椭圆。问：点P 在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。 9、已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1