分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳

【知识要点】

一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.

二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.

三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果. 四、本讲讲了分类讨论思想情形

情形1：不确定集合A 是否是空集要对集合A 分空集和非空集两种情况讨论；

情形2：等式（方程）两边同时除以一个数a 时不确定a 是否为零要分00a a =≠和讨论；情形3：不确定方程20ax bx c ++=是不是一元二次方程要分00a a =≠和讨论；情形4：不确定等式20ax bx c ++>是不是一元二次不等式要分00a a =≠和讨论；情形5：不确定函数2

()f x ax bx c =++是不是一元二次函数要分00a a =≠和讨论. 情形6:2

(0)y ax bx c a =++≠的抛物线开口方向不确定要分0a <和a>0讨论；

情形7：一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的判别式?正负不确定要分00?>?≤和讨论；情形8：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根大小不确定要分类讨论；情形9：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴2b

x a

与区间[,]m n 的位置关系不确定一般要分2b m a -

<、2b m n a ≤-≤、2b n a

->三种情况讨论.；

情形10：一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根与区间的位置关系不确定要分类讨论. 情形11：不等式20ax bx c ++>中a 的正负不确定要分0a >和0a <讨论；情形12：不等式20ax bx c ++>中两根大小不确定要分类讨论；

情形13：不等式20ax bx c ++>中判别式?正负不确定要分000?=?>?<、和讨论；情形14：分段函数求值不确定x 在哪一段要分类讨论；

情形15：一次函数y kx b =+的斜率正负不确定要分00k k ><和讨论. 情形16：指数函数x

y a =的底数a 大小不确定要分01a <<和1a >讨论；情形17：对数函数log a y x =的底数a 大小不确定要分01a <<和1a >讨论.；情形18：去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性要分类讨论；情形19：由于实际问题是分段函数所以相关函数要分类讨论；情形20：复合函数由于有参数导致单调性不能确定所以要分类讨论.

情形21：把矩形纸片围成圆柱侧面时由于没有说明是哪一个边做底面圆周长所以要分类讨论；情形22：空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论；

情形23：利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论；情形24：利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论；情形25：圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论. 情形26：三角形是钝角三角形没有确定哪一个角是钝角要分类讨论；

情形27：在三角形中解方程sin (01)A m m =<<时要把A 分锐角和钝角两种情况讨论；

情形28：使用项和公式1

112

n n n a n a s s n -ì=?=í-???求通项n a 时，一定要对n 分类讨论；

情形29：利用等比数列前n 项和公式111

(1)11n n na q S a q q q

ì=??

=í-1?

-??求n S 时要对q 分两种情况讨论；

情形30：数列{||}n a 求和时一般要就n 分类讨论. 情形31：放缩法证明数列不等式时必要时需要分类讨论；情形32：对双曲线两条渐近线所成的角要分类讨论；情形33：圆锥曲线焦点位置不确定时要分类讨论；

情形34：求过点P 的曲线的切线方程时要就P 是否是切点分类讨论；情形35：函数()y f x =在区间上单调时一般要分单调递增和单调递减讨论；

情形36：解指数方程和不等式时，不确定参变量是否在对数函数的定义域内要分类讨论. 【方法讲评】

【例1】已知集合.

（1）若，求

，

（2）若

，求的取值范围.

【解析】（1）∵若

，则，

，

∴

或

， ∴

，

【点评】（1）第2 问中，

，不能直接有121

12214m m m m -+≤-??

-+≥-??-≤?

，这样就漏掉了集合B 是空集的情况.

不确定集合B 是否是空集，所以要对集合B 分空集和非空集两种情况讨论.（2）对于集合的关系问题(子集真子集关系)和集合的运算（交集、并集和补集）问题，都要注意不要遗漏了空集的情况.

【反馈检测1】设集合，

，若

，求

的值．

,A B A =求实数【解析】

A B A =∴mx+1=0mx ∴=A φφ?∴时，B= 11}m m ∴-1 【例3】在ABC ?中，2c =，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，若sin sin()C B A +-

2sin 2A =，求ABC ?面积.

【点评】(1)等式sin cos 2sinAcosA B A =的两边不能同时除以cos A ,因为当090A = 时，cos 0A =,所以如果同时除以cos A 时，导致解题不够严谨,在有的地方会导致漏解.(2)解数学题，始终要牢记，不能随便乘除，如果要乘除，必须认真考虑这个数是什么数，如果不能确定，可以讨论，也可以寻找其它方法解答.（3）分类讨论时，最好把好讨论的放在前面讨论，这样可以得分,本题中cos 0A =，容易讨论，所以放在前面讨论.

【反馈检测2】在ABC ?中，cos sin sin cos()0C A B A B ++=,判断ABC ?的形状.

【例4】设全集U R =，{}

2|20A x

x x =-=，{}

2|10B x mx mx =--=，其中x R ∈，如果

()

U A B =?e，求m 的取值范围．

检验，此时{

}

1|44102B x x x ??

=-+-==????

，符合题意；

当B 中有两个元素时，由题意10,2B ??=????

，将0，

代入方程可知此时无解．

综上所述，m 的取值范围为40m -≤≤．

【点评】210mx mx --=不一定是一元二次方程，所以一定要对2x 的系数m 分类讨论，分0m =

0m ≠或两种情况讨论，把0m =放在前面讨论. 否则容易漏解.

【例5】已知直线与双曲线.

（1）若

，求与相交所得的弦长；

（2）若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围.

【解析】（1）2

1222

12012,322034123x y x x x x x y x x ?

??>?

+=??∴+-=∴+=-??-=??

=-??

；（2）2222

1,(1)220x y a x a x a x a y a

+=?∴-+-=?

-=?，

【点评】对于方程2

(1)220a x a x a -+-=，有很多同学容易直接考虑0?>，这样就会导致出现错解.只有一元二次方程才有判别式，所以这里一定要分类讨论，这个逻辑一定要理解清楚，不是死记.

【反馈检测3】已知集合2

{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；

（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ；（3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.

【反馈检测4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，

两点.

（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线的方程；

（2）设，在直线的斜率存在前提下，若

，求直线的斜率.

【例6】已知2

()lg(x )f x ax b =++的定义域为A ，()g x =的定义域为B . （1）若B R =，求k 的取值范围；（2）若()

(){},|23R R C A B B C A B x x ==-≤≤，求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.

所以()()0203430

2223h k h k ?≥??

-≤??

?-≤≤-?≤?

?-≤-≤??

. 【点评】2430kx x k +++≥不一定是一元二次不等式，所以要对2x 的系数k 分类讨论，分

00k k =≠和两种情况讨论.

【反馈检测5】已知函数22

()lg (32)(1)1f x m m x m x ??=-++-+??的定义域为R ，求实数m 的取值

范围．

【例7】函数2

()2(3)1f x ax a x =+-+在区间[2,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是 .

【点评】（1）2

()2(3)1f x ax a x =+-+不是一元二次函数，因为题目并没有说0a ≠.所以对于函数

2y ax bx c =++一定要关注2x 系数a ，如果已知没有说0a ≠，一定要分类讨论.否则漏解.（2）解答数学

问题必须严谨，讲究思维的逻辑.

【反馈检测6】已知2

()2,[0,1],f x ax x x =-∈，求()f x 的最小值.

分类讨论思想情形之1-5参考答案【反馈检测1答案】

或

【反馈检测1详细解析】∵，∴，

由，∴，或

，或

，或．

当

时，方程

无实数根，则

综上所述：

或

．

【反馈检测2答案】ABC ?是直角三角形或等腰三角形.

【反馈检测2详细解析】由题得cos sin sin cos 0C A B C -= 所以cos (sin sin )0C A B -= 所以cos 0C =或sin sin A B = 所以090C =或a b =，所以ABC ?是直角三角形或等腰三角形. 【反馈检测3答案】（1）1

{,1}3

A =-；（2） {0,1}

B =；（3）{|1a a ≥或0}a =. 【反馈检测3详细解析】（1）∵1是A 的元素，∴1是方程2210ax x ++=的一个根， ∴210a ++=，即3a =，此时2

{|3210}A x x x =++=. ∴11x =，213x =-

，∴此时集合1

{,1}3

A =-；（2）若0a =，方程化为10x +=，此时方程有且仅有一个根1

x =-，若0a ≠，则当且仅当方程的判别式440a ?=-=，即1a =时，

方程有两个相等的实根121x x ==-，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合{0,1}B =；（3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况：

①A 中有且只有一个元素，由（2）知此时0a =，或1a =；

②A 中一个元素也没有，即A =?，此时0a ≠，且440a ?=-<，∴1a >. 综合①、②知所求a 的取值范围是{|1a a ≥或0}a =.

【反馈检测4答案】（1）;（2）. 【反馈检测4详细解析】（1）设，由题意，，，，

因为

是等边三角形，所以

，即

，解得

，

故双曲线的渐近线方程为.

∴，解得，所以直线的斜率为.

【反馈检测5答案】1m ≤或7

m >

．【反馈检测5详细解析】∵函数()f x 的定义域为R ， ∴对于任意x R ∈，恒有22

(32)(1)10m m x m x -++-+>

①若2

320m m -+=，则2m =或1，

当1m =时，不等式即为10>，符合题意，

当2m =时，不等式即为210x +>，不恒成立，∴2m =不合题意，舍去．

【反馈检测6详细解析】（1）当0a =时，()2f x x =-在[0,1]上递减，min ()(1)2f x f ∴==-. （2）当0a >时，2

()2f x ax x =-图像的开口向上，且对称轴为1

x a

=， ①当1

01a

≤，即1a ≥时，()f x 图像的对称轴在[0,1]内，所以()f x 在1[0,]a 上递减，在1[,1]a 上递增，所以min 11

()()f x f a a

==-，

②当1

>，即01a <<时，()f x 图像的对称轴在[0,1]右侧，

所以()f x 在[0,1]上递减， min ()(1)2f x f a ==-.

③当0a <时，2

()2f x ax x =-图像的开口向下，且对称轴为1

0x a

=<，在y 轴的左侧，所以()f x 在[0,1]上递减，所以min ()(1)2f x f a ==-.

综上所述，min

2,1()1

,1a a f x a a

【方法讲评】

【例1】已知函数()()2

ln 1f x x ax =++，其中a R ∈

（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（Ⅲ）若0x ?>， ()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）因为()1

f x ax x =

++'，由()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直，可知()11212f a '=+=，所以1

a =；

（Ⅱ）由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()1

f x ax x =++' 22211ax ax x ++=

+，

()2221g x ax ax =++的对称轴方程为12x =-，所以112x <-， 21

x >-，由()()1010g g -==>，

可得11

x -<<- 20x <<.

所以当()11,x x ∈时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()0f x '>，函数()f x 单调递减；

当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增.因此函数()f x 有两个极值点. （iii ）当0a <时， 0?>，由()()1010g g -==>，可得11x <-， 20x > 当()21,x x ∈-时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增；

当()2,x x ∈+∞时， ()0g x <， ()0f x '<,函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点.

综上所述，当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当02a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当2a >时，函数()f x 有两个极值点. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，

①当02a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，因为()00f =，所以()0,x ∈+∞时， ()0f x >，符合题意；

综上所述， a 的取值范围是[

)0,+∞.

【点评】（1）由于函数()2

221g x ax ax =++是不是二次函数不确定要分类讨论，分00a a =≠和讨

论，是二次函数时，开口方向不确定要分类讨论，要分0a >和a<0讨论. 开口方向确定后，判别式?正负不确定要分类讨论，所以本题有三级分类讨论.对学生的逻辑思维能力要求比较高.(2)分类讨论是比较考逻辑思维的，该分类的时候，你没有分类讨论，不该分类讨论时，你分类讨论，都是错误的.对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式?，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系. 我们要学会思考，学会总结.

【反馈检测1】已知函数()()

()21'0x f x ax x e f =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()()ln ,x

x g x e

f x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()y

g x =与()y

h x =的切线12,l l ，且

1l 与2

l 关于x 轴对称，求证: ()3

e e a e ++-

<<-

【例2】已知函数()()2

1ln 1f x x a x =-+-， a R ∈．

（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，且12x x <，证明：

()()122

f x f x x x >

．

【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(),1-∞，由题意()222'2,111a x x a f x x x x x

-+-=-=<--，

综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1,2??

+∞

???

．（Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以()'0f x =在1x <上有两个不等的实根，即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，

于是102a <<， 1212

{,2

x x a x x +==且满足110,2x ??∈ ???， 21,12x ??

∈ ???，

()()

()()()()()2111111211112

1ln 1112ln 112ln 1f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-=

==-++-，

同理可得

()()()2222112ln 1f x x x x x =-++-．

()()()()()()12211122222222

2ln 12ln 12121ln 2ln 1f x f x x x x x x x x x x x x x x -

=-+---=-+---，

【点评】（1）2

228a y x x a =-+-?-中=4正负不确定，抛物线与x 轴的交点个数不确定，所以要分

00?≤?>和两种情况讨论.（2）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式?，再考虑根

的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律. 【反馈检测2】已知函数()2

1ln 2

f x x x a x =

-+， a R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当2

09a <<时，函数()f x 的两个极值点为1x ， 2x ，且12x x <.证明： ()1251ln3123

f x x >--.

【例3】已知函数()2

f x mx =

+， ()()()2ln 211g x x m x m R =-+-∈，且()(

)()h x f x g x =+.

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

《浅谈高中数学应用问题的教学》小课题结题报告

《浅谈高中数学应用问题的教学》小课题结题报告海南华侨中学吴维宝一，课题研究的起因: 培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度。二，课题研究的实施传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。 1 、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题:“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。 2 、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。 3 、例题中的应用问题

例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的 14.6% ，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。 4 、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。 5 、阅读材料问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了 15 个，其中: ( 1 )历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的,” ( 2 )介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗,》。 ( 3 )扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三种类型”等。 6 、新增了“实习作业”和“研究性课题”。为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了三次实习作业，一是“函数关系的实习作业”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题;二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应用”。

浅谈高中数学在生活中的应用

浅谈高中数学在生活中的应用摘要：数学是数与形的结合，即数字与图形化的语言去描述生活中的问题，学习好数学就是为了能够更好地应用于生活。新课标课程改革的目标就是让数学知识更好的融入生活，在高中数学学习的过程中，如何将数学知识与实际生活相联系成为当前的焦点话题。本文将从生活中常见的运用数学去解决实际问题出发，分析案例的形式阐述数学与生活息息相关的关系。本文的目标是提高同学们学习数学的热情，从而提高数学成绩，使数学的学习能够学以致用。关键词：数学生活问题应用中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1003-9082（2017）10-0-01 一、引言在我们的生活中，处处存在数学知识。只要你留意，就能发现。比如：增长率、企业成本与利润的核算、市场调查与分析、比赛?龃伟才诺鹊龋辉偃缭谖颐侨粘Ｊ导噬?活中的存款、贷款、购物（房、车）、分期付款等几乎所有经济问题都可以归结为数列问题，它们都可以用等差数列和等比数列函数来刻画。这些常见问题都可以感受到数学应用的广泛性，并明确数学可以帮助他们更好地认识自然和人类社

会，更好地适应生活，有效进行表达和交流。在人们的日常实际生活中，等差数列、等比数列是表现日常经济生活有关规律的基本数学事例。掌握这些模型，对于解决运用问题、发展运用意识是非常重要的。高中生应该大胆去发现，善于提出生活中的问题，从而使自我乐于学数学，会学数学。二、生活中常见的数学问题 1.数学与建筑物雄伟壮丽的建筑物只有在数与形结合的情况下，才更具有神韵，更加给人艺术美感。你行走在长江大桥上时，其实在不知不觉中惊叹大桥的静定多跨结构中包含的数学和自然融合美的成分。自古以来，数学已成为设计和构图的无价工具，它既是建筑设计的智力资源，也是减少试验、消除技术差错的手段。比例、与比例相关的均衡、尺度、布局的序列都是构成建筑美感的核心要素。和谐的比例和尺度是建筑结构呈现自然美的基本条件，尤其是黄金分割比例的运用使得建筑物的艺术感达到极致。比例的均称与平衡，圆形的对称和和谐，曲面的柔软与变幻，总能不断地启发建筑师创造出更具和谐美和雅致美的建筑。事实上被人熟知的东方明珠电视广播的几何组成上是十分单调的，大多数的建筑物中常常避讳完整的圆型或球形，因为其在整体的建筑物中显得抢眼而又单调。但是东方明珠在设计师在其中多处运用了黄金分割的比例，使其协调美观，堪称是完美的建筑。此外，建

浅析如何学好高中数学之策略

浅析如何学好高中数学之策略发表时间：2015-06-17T14:55:23.023Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第14期供稿作者：刘代庆 [导读] 要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。重庆市璧山来凤中学校刘代庆高中数学知识理论性强，内容多而抽象，因此不少同学进入高中之后很不适应，首先遇到的是理论性很强的函数，再加上繁杂的解析几何，空间想象能力要求很高的立体几何，使一些初中数学学得还不错的同学也不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。一、学好数学关键在于提高听课效率课堂时间是学生学习的主要时间，因此提高课堂听课效率，是提高学习质量的关键。提高听课效率应注意以下几个方面： 1、课前预习能提高听课的针对性：预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。 2、听课过程中的科学：首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。其次就是听课要全神贯注，做到上“五到”耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。 3、特别注意老师讲课的开头和结尾：老师讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。 4、要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要特别注意老师讲课中的提示。老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。最后一点就是作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。二、学好数学核心在于多思考，多研究 1、思考当天老师上课讲的内容，例题，研究问题的思路、方法等。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。 2.思考研究本单元的知识网络、基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）； 3. 对数学学习自我评价：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上. 三、学好数学重在多做精典习题 1.数学的实验就是习题:中科院陈希孺院士说,如果学好数学有什么经验，那么多做精典习题就是最重要的一条。习题大体分为两类：一类属于基础型精典题，其目的是帮助温习教材内容。另一类称之为“研究”型精典题,参考书中较多,解决这类问题，除要求对教材内容有切实的掌握外，还要求能灵活运用，甚至有别出心裁的解法。 2.要学好数学，必须经历大量的第二类习题的训练，才能收到登堂入室的功效。数学大师苏步青院士,抗战时他在重庆，敌机常来轰炸。为了避免躲防空洞浪费时间，就利用这时间作习题。几年下来，做了上万道题。华罗庚院士早年学习数学时，不是把一本书的定理公式都看懂了就算完事，而是要自己亲自“做”一遍。中科院陈希孺院士在中学时代，生性偏好逻辑思维,课余的大量时间都花在做题上，获益匪浅,因此陈希孺院士的数学成绩在中学时代一直名列前茅。 3.做习题贵在坚持。一是有足够的时间。这需要养成爱惜光阴的习惯，不把时间浪费在一些无益的事情上；二是不断增进对这个问题的认识，把做习题由一种负担转变为一种乐趣。正如古人所说：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。当然，这个境界的达到，也是从实际的努力中得来的。另外，做习题和阅读参考书，二者不可偏废，实际上，大多数好的习题多来自各种参考书。好的参考书对教材中因时间关系没有讲透的方法，通过例子加以介绍，很有启发性，多读这类好书，对提高自己解题的能力大有帮助。 4.做课外习题是一种课外自我提高的形式，不能急于求成，要有“细水长流”的打算。有的难题，一时做不出来，不要轻易放弃，但也不要固着在这一点上。做一个题，一时做不出，放下来过一段时间再从另外途径想一想，几经周折，一旦解决了，感觉成就了一件大事，大大提高学习的兴趣。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。人在一定的程度上，也需要冲击、磨擦、锻炼，高中数学学习是我们成长道路上一次大的考验，经受住了这次考验，你将像珊瑚虫一样光彩照人。

浅谈如何学好高中数学

浅谈如何学好高中数学进入高中以后,有不少同学不能适应数学学习,进而影响到学习的积极性,甚至成绩一落千丈。而高一又是数学学习的一个关键时期,许多小学、初中数学学习的佼佼者,进入高中阶段,第一个跟斗就栽在数学上。对众多初中数学学习的成功者,进入高中后数学成绩却不理想,数学学习屡受挫折这一现状,我进行了深入的思考。下面我就怎样学好高中数学谈几点建议，供参考: 一、高中数学与初中数学的不同 1.数学语言的突变不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别,初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达;而高中数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2.思维方法的跃迁高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变化,正如上节所述,数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的事,这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3.知识内容上量的剧增高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了,单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多,辅助练习和消化的课时相应的减少了。这就要求:(1)要做好课后的复习工作,记牢大量的知识;(2)要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中;(3)因知识教学多以零星积累的方式进行,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法;(4)要多做总结、归类,建立知识结构网络。二、如何学好高中数学 1.转变旧观念培养数学悟性初中阶段，弄清课本例题，通过大量练习，就可使同学们的成绩有显著的提高。这是因为初中数学内容少，相对浅显，易于掌握，而高中数学，知识点广泛，内容繁多，系统性强，节奏又快，许多同学仍照搬初中的一套学习方法，结果成绩不升反降。所以同学们必须

(完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》

高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解

例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不

浅谈高中数学分析和解决问题的能力

浅谈高中数学分析和解决问题的能力发表时间：2012-10-17T10:01:51.390Z 来源：《少年智力开发报》2012年第47期供稿作者：李国平 [导读] 由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性．江西省乐安县第二中学李国平分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现．由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性．这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性．纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在。笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点看法。一、分析和解决问题能力的组成 1．审题能力审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提．审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力．要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的．从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力．由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分． 2．合理应用知识、思想、方法解决问题的能力高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法．只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅．二、培养和提高分析和解决问题能力的策略 1．重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力．每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等．因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效．从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力． 2．加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑．（新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”） 3．适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题．近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查．由

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[学习方法]谈谈怎样学好高中数学和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因为不少同学进入高中之后很不适应,特别是高一年级，进校后，代数里首先遇到的是理论性很强的函数，再加上立体几何，空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，这就使一些初中数学学得还不错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。一、首先要改变观念。初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使你的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。例如在初中问|a|=2时，a等于什么，在中考中错的人极少，然而进入高中后，老师问，如果|a|＝2,且a＜0，那么a等于什么，既使是重点学校的学生也会有一些同学毫不思索地回答：a=2。就是以说明了这个问题。又如，前几年北京四中高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。高中数学的理论性、抽象性强，就需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。二、提高听课的效率是关键。学生学习期间，在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，提高听课效率应注意以下几个方面： 1、课前预习能提高听课的针对性。预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。 2、听课过程中的科学。首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。其次就是听课要全神贯注。全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。

高中数学二级结论贴吧整理

高中数学二级结论 1．任意的简单n面体内切球半径为3V/S表V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积， 2．在任意三角形内都有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，至于有什么用，，，:三个tan加起来如果是负的那就是钝角三角形了 3．矩阵和矩阵逆的行列式，特征值都互为倒数， 4．斜二测画法画出的图形面积变小了，为原来的√2/4倍 5．过椭圆准线上一点作椭圆切线，两切点所在直线必过椭圆相应焦点，椭圆准线广义称极线，那个是极线的性质之一 6．在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。。。e^x≥x+1 lnx≤x-1 泰勒基数展开，这个常用，一般前一问有提示 7．球的体积：V(r)=(4/3pi)r^3 求导：V'R=4pir^2=表面积，，，神奇！:这个我们老师的解释是，球的体积可以看成无穷个表面积的积分，所以体积的微分就应该是表面积 8．椭圆的面积S=派ab 应该很难用上，直接换元，转换成圆，再换回去就行了 9．圆锥曲线切线，隐函数求导高考不让用:用于秒杀选择填空，大题找思路以及验证等x 不用处理 10．来个非常有用的，。过椭圆x2/a2+y2/b2上任意一点(x0,y0)的切线方程为xx0/a2+yy0/b2既用xx0替换x2用yy0替换y2。双曲线也一样这个椭圆切线的结论可以用的，同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用 11．来个比较少用，但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。。。。过椭圆外一点(x0,y0)作椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为xx0/a2+yy0/b2=1 这个叫做切点弦方程 12．分享个最最有用的。。椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2至于椭圆焦点在y轴上的情况，，。欢迎讨论把a、b换个位置就行了个最屌，双曲线的话上面的+号变-号，秒出答案 13．设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为b 14．托密勒定理有道证明题用过这个 15．椭圆焦点三角形设顶角为A.焦点三角形面积为b平方tanA/2，双曲线是cot 16． 1.函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称 2.函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于x=(a+b)/2轴对称 3.L*Hospital*s rule 4.三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB 5.任意三角形内切圆半径r=2S/(a+b+c) 6.任意三角形外切圆半径R=abc/4S=a/2sinA 7.Euler不等式：R>2r 8.海伦公式的变式：设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段x,y,z则 S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c)) 9.边角边面积公式：S=a^2sinBsinC/2sin(B+C) 10.各种三角恒等式 11.各种三角不等式： 1）在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA 2)嵌入不等式：x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z为实数 12.权方和不等式

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。一、分类讨论的几个注意点 1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-?-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842 2=-+-k y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4

如何学好高中数学的方法之我见

如何学好高中数学的方法之我见发表时间：2011-07-05T08:25:27.680Z 来源：《现代教育科研论坛》2011年第5期供稿作者：郝勇来 [导读] 良好的心理素养、近乎痴迷的兴趣是高效率学习数学的前提，也是在最后的考试中取胜的必要条件。郝勇来（安新县第二中学河北安新 071600） 1.良好的心理素养、痴迷的学习兴趣——学好数学的前提良好的心理素养、近乎痴迷的兴趣是高效率学习数学的前提，也是在最后的考试中取胜的必要条件。大多数同学都会觉得繁重的数学学习几乎让人喘不过气来，遇到一道难解的题，或者期末考试考砸了，更是郁闷至极；也许，此时的我们，都会有一种很不舒服的压抑感——这是由繁重的学习任务，紧张的竞争氛围，沉重的学习压力造成的；可是，我们能逃避吗？难道就这样被动的忍受吗？不，既然不能逃避，那唯一的办法，就是去正视他，化解它！心情不愉快的时候总会有的，怎么办呢？是继续硬着头皮学习吗？不是，而是要迅速让自己摆脱不愉快，达到最佳的学习状态。遇到这种情形，可以找一个自己信任的人，把自己的不快倾诉出来，寻求他人的理解，这样，就能很快收回烦恼的心，专心学习，也才能保证学习的效率。怎么样？试试看就知道了！此外，由于学习太紧张，再加上学习中难免会有这样那样的不顺心的事情，我建议，我们每天都要找一个时间，最好是在傍晚的时候，走出教室、走出家门，在安静的地方走一走，放松一下，回顾一下一天的学习和生活，表面上看起来这样做耽误了一些时间，但实际上有了一个轻松愉快的心境，就会提高学习效率。除此之外，对自己还要有十足的自信，自信的学习，自信的走入考场，就能自信的取得成功，如果做不到这一点，精神太紧张，特别是在考试的时候，就很难将自己的水平发挥出来，更不要说超水平发挥了。那么，数学学习中、考场上，什么是心理的最高境界呢？一句话，“宠辱不惊”！也就是说，不管遇到什么样的情况，都能兴趣不减，心静如水，沉稳对付；如果感到题目比较难，不好对付，能做到既不紧张也不失望，依然我行我素，全力以赴；反之，如果感到题目比较容易，也能做到不喜形于色，以至于放松了警惕，漏洞百出。也许，你已经有了这方面的感触，比如有的时候感到题目非常容易，却并没有取得一个意料中的好成绩；而有的时候，感到题目非常难，结果也没有考的一塌糊涂！原因很简单，不管平时的习题或考试题目怎么样，都是大家来承受，决定你成绩如何的不是题目的难易，也不是你的绝对成绩，而是你在全体同学或考生中的位置，而是你是否发挥出了自己的水平。因而，不管遇到什么样的情形，都要不受其影响，按照预定的计划和步骤学习和考试，发挥出自己的最好水平。当然，真能做到这一点，也非常不易，但是，只要我们有意识的去锻炼，去努力，就一定会有收获！对我们学生而言，学习占据了生活的大部分内容，那么，我们就把学习、考试作为演练场，有意识的去提高自己数学的心理素养，培养自己的兴趣，从而成为保持最佳的心理状态，成为最终的胜利者。 2.持之以恒、百折不挠的毅力——学好数学的保障学习是要吃苦的，是要能忍得住板凳上、台灯前的寂寞。学习就是学习，学习不是娱乐，没有哪一种学习方法能让你象看美国大片似的学到博士。这是自然规律。 3.事半功倍的方法——学好数学的手段 3.1做一个个人错题集。我给同学们一个公式：少错=多对。如果做错了题目，不管发现什么错误，不管是多么简单的错误，都收录进来；我相信，一旦你真的做起来，你就会吃惊的发现，你的错误并不是更正一次就可以改掉的，相反，有很多错误都是第二次、第三次犯了，甚至于更多次！看着自己的错体集，哎呀，太触目惊心了。这真是一个自我反省的好地方，更是一个提高成绩的好方法。复习越往后，在知识上取得突破的可能性就越小，而能纠正自己的错误，实在是一个不小的增长空间。如果你还没有这个习惯，那么，就去准备一个吧，收集自己的错误，分门别类，然后没事的时候就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。 3.2参考书有一本足矣。我想说，不要迷信参考书，参考书不要很多，有一本主要的就足够了。我发现了一个很奇怪的现象，现在市场上很多参考书卖得很好，都挂着某某名校名师的牌子，鼓吹的有多么多么好，结果，不少同学在眼花缭乱中拿了一本又一本。其实，我们在学习、复习中时间很有限，可供自己支配的时间更有限，在这些有限的时间，朝三暮四，一会儿看这一本参考书，一会儿看那一本参考书，还不如不看。把课本的知识结构知识要点烂熟于心，能够在很少的时间里把一科知识全部回顾一遍。能做到这点，要比看一些所谓“金钥匙银钥匙”的参考书要重要的多。总之，一句话，抓住最根本，最主要的，不要盲目的看参考书，特别是不要看很多参考书。 3.3遇到疑难该怎么办呢？首先是要尽可能的通过自己的努力去解决，如果不能解决，也要弄明白自己不会的原因是什么，问题出在那里。我经常说的一句话是：决不奢望不遇到难题，但是，也决不允许自己不明白难题难在那里。自己不能解决的时候，就可以采取讨论以及向老师请教等方式，最终解决那些难题；解决绝不是你原来不会做的通过别人的帮助会作了，而是，在会作之后，回过头来比较一下原来不会的原因是什么，一定要把这个原因找出来，否则，就失去了一次提高的机会，作题也失去了意义。 3.4怎么跳出题海？我想大家一定非常关心这个题目，因为物理难懂、化学难记、数学有做不完的题。但题目是数学的心脏，不做题是万万不行的。而摆在我们面前的题目太多了，好像永远也做不完。试试下面的方法，第一，在完成作业的基础上分析一下每到题目都是怎么考察的，考察了什么知识点，这个知识点的考察还有没有其他的方式。第二，继续做题时，完全不必要每道题目都详细的解出来了，只要看过之后，可以归入我们上面分析过的题型，知道解题思路就可以跳过去了！这样，对每个知识点，都能把握其考试方式，这才是真正的提高。如果意识不到这一点，做一道题只是做了一道题，“就题论题”，不能跳出题外，看到本质，遇到新的题目，稍有一些不同就没有办法了，还谈什么提高呢？又怎能摆脱让你烦恼的题海呢？总之，在学习中要有埋头苦干的精神，但决不能只是一味的埋头苦干，要能善于钻研，善于归纳，这样，才能取得事半功倍的效果。收稿日期：2011-05-09