探索勾股定理导学案

勾股定理导学案

2015、7

第一环节：自主探究一：

1、如果每一小方格表示1平方厘米，观察下列图形：

第二环节：验证勾股定理（用面积法证明勾股定理）

证法1、如图，我们用四个完全一样的直角三角形可以拼成如下的一个大正方形，思考：（1）请你用两种方法表示大正方形的面积吗？（先独立思考，再交流）；

（2）比较结论，你能由此得到勾股定理吗？

a

a

a

a

b b

b b

c

c c

c

①在图1-3中：

正方形A的面积＝_________平方厘米

正方形B的面积＝_________平方厘米.

正方形C的面积＝_________平方厘米；

②在图1-4中：

正方形A的面积＝_________平方厘米

正方形B的面积＝_________平方厘米.

正方形C的面积＝_________平方厘米；

思考：三个正方形A、B、C的面积有何关系？（___________________________________________________________________________________ _____________________________________________________）

证法2、（1）赵爽利用弦图证明。．．．．．

显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.

即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2

,化简后得到 .

证法3：

第三环节、自我归纳

勾股定理：对于任意的直角三角形，如果的它的两条直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么一定有： 变形则有a= b= c=

勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法。

练习1(填空题)

已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。

①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________； ③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。 练习2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为

___________cm 2。

A B C D

7cm a

b

c c

3

220B

A 第四环节：勾股定理的简单应用

例题1、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗

杆折断之前有多高？

9米

12米

例2 一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行多少cm ？ 立体图形中的两点之间的最短距离

将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?

归纳小结：立体图形转化为 图形，再转化为 问题，是解决此类问题的一般思路

例3、一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点，你能帮 蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

自我反思：此问题是将立体的线路问题先 为平面的线路问题，再利用所学数学制识解决问题。

例4 、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是

12cm

8cm

8cm

B A

巩固练习：1、基础巩固练习

上图中：正方形A 的面积=________；正方形B 的面积=________；

x =_________； y =________.

2、生活中的应用：

小明妈妈买了一部29英寸（74厘米，这是指电视机屏幕一条对角线的长度）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

反馈练习

基础训练

1．小刚搬来一架高为2.5米的木梯，斜靠在墙上2.4米处，则梯脚与墙角的距离应为______米．

2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在

池塘边选定一点C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ， BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离为 m ．

3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分 的面积为 ．（ 不取近似值）

4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．

5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．

提高训练

6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．

7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形， C B A

D

A

C

B

257

所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是 cm 2．

8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）．

（A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2

9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别

为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）． （A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定 10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照 如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往 北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则登陆点到埋宝 藏点的直线距离为 km ．

知识拓展

11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使

它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．

13、我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？

14、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙

3

2

1

S

S S 3

2

1

68

埋宝藏点

登陆点

86C B

A B A C D

E

下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？

15、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？

16．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.

17．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。

18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面

是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

C

F

D A

19、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。 求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD

⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。

20、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上， 且DM=2，N 是AC 上的一动点， 则DN+MN 的最小值？

21、有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A 爬到点B 处，如图，已知杯子高8cm ，点B 距杯口3cm （杯口朝上），杯子底面半径为4cm ，蚂蚁从点A 爬到点B 的最短距离是多少？（π取3）

D

C

B N

M

B

C

D A

图1