线性代数第二章习题答案

习题 2-1

1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．

解： ?????

??000010

100100110000001011

1110001110106543216

54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．

2．设矩阵???? ??-=????

+-=2521

,03231

z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：??

??===211

z y x 。

习题 2-2

1．设????

??=0112A ，???

? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2

2B A -．

解：（1）???

??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；

（2）????

??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；

（3）???

??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22．

2．已知????? ??--=230412301321A ，???

? ??---=052110

35123

4B ，求B A 23-．解：???

? ??----?????

??--=052110351234223041230

323B -A

???

??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963

3．设???

? ??----=?????

??=101012121234,432112

122121B A ，求

（1）B A -3；（2）B A 32+；

（3）若X 满足B X A =-，求X ；

（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．

解：（1）???

??-----?????

??=-10101212123443211212

212133B A

???

??-=????? ??-----????? ??=13973

2828

1010121212341296336366363；（2）???

??----+?????

?=+101012121234343211212

2121232B A

????

?--=????? ??----+????? ??=561

2525278

131430303636369

12864224244242；（3）由B X A =-得，

???

?---=????? ??-----????? ??=-=53310404

1113101012121234

432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，

????

??=????

? ??=+=223232340

3402231031033112020335532)(32B A Y 。 4．计算下列矩阵的乘积：

（1）????

??=????? ???+?+??+?-+??+?+?=????? ??????? ??-49635102775132)2(71112374127075321134；

（2）()???

? ??12332110132231=?+?+?=；

（3）???

? ??---=????? ???-??-??-?=-????? ??63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；

（4）??

???

? ??---???? ??-20413121023

143110412

???? ??-?+?+?-+??+-?+-?-+??+?+?-+?-?+?+?+??+-?+-?+??+?+?+?=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(1324

0140112???

? ??---=55201076；（5）()???

? ??????? ??321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x

()???

? ??++++++=3213332231133

322221123

31221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a

333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=

33332322322223131132121122111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。

（6）??

??---=

???????

??---???????

??9000

3400

4210

30003200

121013

3000120010100121。

5．设???

??=λλλ001001A ，求3A ．

解：????

?=????? ??????? ??=2λλλλλλλλλλλA 0020

120010010010012

????

? ??=????? ?

?????? ??==32

030

330010010020

12λλλλλλλλλλλλλλA A A 。 6．设?

??? ??=021032A ，????? ??=032001B ，?

???

? ??=542001C ，（1）求AB 及AC ；

（2）如果AC AB =，是否必有C B =？（3）求T

A B ．

解：（1）???? ??=????? ?????? ??=4162032001021032AB ，?

? ??=????

?????? ??=4162542001021032AC ；（2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；

（3）???

? ??=???? ??==16424162T

(AB)A B T T 。 7．已知1)(2

--=x x x f ，????

??-=011213113A ，求)(A f ．

解：????? ??-????? ??--????? ??-????? ??-=--=100010001011213113011213113011213113)(E A A A 2

????

??--=????? ??-????? ??--????? ??-=211301142910001000101121311310052145313。８．举反例说明下列命题是错误的：（1）若O A =2

，则O A =；

（2）若A A =2，则O A =或E A =；

（3）若AY AX =，且O A ≠，则Y X =．

解：（1）举例若01111≠?

???

??--=A ，而02

=A ；（2）举例若???? ??=0011A ，A A =2

而0≠A 且E A ≠；（3）举例若???? ??--=1111A ，???? ??=0011X ，???

??=1100Y ，AY AX =，且O A ≠而Y X ≠。

9．证明：如果BC CB AC CA ==, ，则有

（1）)()(B A C C B A +=+；（2）)()(AB C C AB =．证明：（1）)()(B A C CB CA BC AC C B A +=+=+=+；（2）)()(AB C (CA)B (AC)B A(CB)A(BC)C AB ===== 10．设B A ,均为n 阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）BA AB =；

（2）2

2)(B AB A B A ++=+；（3）2

2)(B AB A B A +-=-；

（4）2

))(())((B A B A B A B A B A -=+-=-+．

证明：（1）?（2）因为BA AB =，所以2

2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+；（2）?（1）2

2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+，所以BA AB =；（1）?（3）因为BA AB =，所以2

2)(B AB A B BA AB A B A +-=+--=- （3）?（1）2

2)(B BA AB A B AB A B A +--=+-=-，所以BA AB =；（1）?（4）因为BA AB =，所以2

))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+ （4）?（1）2

))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+，所以BA AB =。 11．设A 与B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵．证明：先证当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵。

因为AB BA A B (AB)T

-===，所以AB 是反对称矩阵。

反之，若AB 是反对称矩阵，即AB (AB)T

-=，则BA A B AB AB T

-=-=-=)(。

习题 2-3

1．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：

（1）???? ??-3411；（2）????

?-θθθθ

cos sin sin cos ；（3）????? ??--523012101；（4）????? ??343122321；（5）?????

??987654321；（6）?

?????

? ??1000210032104321．解：（1）073

11≠=-=

A ，故1-A 存在，141322122111=-===A A A A

从而?????

??-=???? ??-==-717

47173

1413711*1

A A A （2）01cos sin sin cos ≠=-=

θθA ，故1-A 存在，

θθ

cos sin sin cos 22122111=-===A A A A

从而*1

1A A A

=-???

??-=θθθθcos sin sin cos （3）025

2301

≠=--=A ，故1

-A 存在，2,2,7,10,52221131211-====-=A A A A A ，

1,2,1,5233323123==-=-=A A A A

从而*1

1A A

A =-??????? ?

?----=211

27115211

（4）023

43122

21≠==A ，故1-A 存在，6,6,2,3,22221131211-===-==A A A A A ，

2,5,4,233323123-==-==A A A A

从而*1

1A A A

=-?????? ??----=111

2532323

（5）0987654

21==A ，故1-A 不存在。

（6）011

000210032104

321≠==

A ，故1-A 存在，2,0,0,0,12114131211-=====A A A A A ，

,0,0,131242322====A A A A 1,2,1,0,0,1,244434241343332=-=====-=A A A A A A A

从而?????

?? ??---==-10002100121001

211*1

A A

A 。 2．设?

???

? ??=????

??=????? ??=130231,3512,343122321C B A ，求矩阵X 使满足C AXB =．

解：由1题中的（4）小题知 1

-A ?????? ?

?----=11125323231，又知???? ??--=-25131B 所以

==--11CB A X ?????? ?

?----11125

323231????? ??130231???? ??--2513????? ??---=???? ??--????? ??-=410410122513202011。 3．设???? ??=3152A ，???? ??-=1264B ，???

??-=1242C ，解下列矩阵方程：（1）B AX =；（2）B XA =；（3）C AXB =．

解：???? ?

?--=-21

1A ，???

? ??-=-42611611

B （1）B AX ===?-B A X 1

???? ??--2153???? ?

?-=???? ??-802321264 （2）B XA ===?-1

BA X ???

? ??--=???? ??--???? ??-85321821531264

(3)==?=--1

A X C AX

B ???? ??--2153 ???? ??-1242???? ??-4261161?

????? ??--=478

5417815

4．利用逆矩阵解下列线性方程组：

（1）?????=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x ；（2）???

??=++=++=++3

532522132321

321321x x x x x x x x x ．

解：（1）取????? ??----=423243112A ，X ????? ??=321x x x ，???

?? ??=11114B ，则原方程组为B AX =

604232431

=----=A ，????? ??--=-111181111866126011A ∴?????

??==-1131

B A X ，即?????===1133

21x x x 。

（2）取????? ??=153522321A ，X ????? ??=321x x x ，???

??=321B ，则原方程组为B AX =

151535223

21==A ，????? ??---=-2141813413231511A ∴?????

??==-0011B A X ，即???

??===0013

21x x x 。

5．设O A =k

（k 为正整数），证明121

)

(--++++=-k A A A E A E Λ．

证明：因为))((1

2-++++-k A A A E A E Λ

E )A A A (A A A A E k k k =++++-++++=--1212ΛΛ（由O A =k ）所以121

)

(--++++=-k A A A E A E Λ。

6．设方阵A 满足O E A A =--22

，证明A 和E A 2+都可逆，并求1

-A 和1

)2(-+E A ．

证明：因为O E A A =--22

可知E E)(A A =-?21，所以A 可逆且)(2

1E A A -=-；又有O E A A =--22

得E A)E E A =-?

+3(4

)2(，所以E A 2+可逆且 )3(4

)2(1A E E A -=

+-。 7．设B A AB A 2,321011330+=???

?? ??-=，求B ．

解：因为B A AB 2+=，所以A B E A =-)2(，而???

??---=-1210113322E A ，22=-E A ，

????

??---=--11131133121)2(1

E A ，所以

????

??-=????? ??-????? ??---=-=-01132133032101133011131133121)2(1

A E A

B 。

8．设B A E AB A +=+????

? ??=2

,101020101，求矩阵B ．

解：由于B A E AB +=+2，有))(()(2

E A E A E A B E A +-=-=-

而????? ??=-001010100E A 且01≠-=-E A ，可知E A -可逆，所以???

? ??=+=201030102E A B 。

9．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：

（1）若A 可逆，则1

||*-=A A A ；（2）若0||=A ，则0|*|=A ；

（3）1

|||*|-=n A A ；

（4）若A 可逆，则A A A A |

|1*)()*(1

1==--；（5）若A 可逆，则T

*)()*(A A =．

证明：（1）∵E A AA =*，而A 可逆，∴11||*--==A A E A A A （2）0||=A ，当0=A ，则O A =*

，∴0=*A

当0≠A ，则由E A AA =*0=，∴0=A 矛盾。∴0=*A 故当0=A 时，有0=*A 。

（3）若0=A 由（2）知0=*A 此时命题也成立，故有1

=n A

A 。

若0≠A ，则由?=*

E A AA n

A E A A A ==*

，∴1

-*=n A A

综上有1

=n A

A 。

（4）∵E A AA =*

，而A 可逆，∴A A

A 1)(1

- 又E A E A

A A 1)(1

*11=

=---，∴A A A 1)(*1=-，即A A A A |

|1*)()*(11==-- （5）∵A 可逆，∴T

A 可逆

又E A E A A A T T T ==*)(， E A E A A A A A T

T T T

===)()()(** 即T

*)()*(A A A A T

=， ∴T

*)()*(A A =

10．设A 的伴随矩阵??????

? ??-=80300

10100100001*A ，且E BA ABA 31

1+=--，求矩阵B ．

解：由E BA ABA 311+=--A A B A AB A A B AB *

**33+=?+=?

E B A E E A B A B A 6)2(3**=-?+=?

而??????? ?

?-=--610210010100

100001

)2(1*A E ，∴??

? ??-=-=-10300606006000

06)2(61

*A E B 。

11．设ΛAP P =-1

，其中???

? ??-=???? ??--=2001,1141ΛP ，求11A ．解：∵Λ=-AP P 1故1-=P P A Λ，所以11111-=P P A Λ

而3=P ， ???

? ??-=*1141P ， ???? ??--=-1141311

P ， ???? ??-=???? ??-=1111

1120012001Λ 故?

?????

??--???? ??-???? ??--=31313431

200111411111

A ???? ??--=???? ??----++=68468327322731242124213111111313

12．设P ΛAP =，其中????

? ??-=?????

?--=511,11120

1111ΛP ，

求)65()(2

A A E A A +-=?．

解：∵61112011

11-=--=P ，?????

??------=12130

3222*

P ，∴???????

? ??--=-61316121021313

131

1*1P

又???

??=????? ??-=0000000012)5()1()1()(????Λ

故????

? ??????? ??--==-000000001211120111

1)()(1

A P A ????????

? ??--61316121

021313

131?????

??=444444444。

13．设矩阵A 、B 及B A +都可逆，证明：

（1）11

--+B A

也可逆，并且()

B B A A B A 11

11)(----+=+；

（2）A B A B B B A A 1

1)()(--+=+．

证明：（1）∵B B A A B E B B A A B A 1

1111))(())()((-----++=++

E B B B B A B A B B B A A B B B ==++=++=------111111))(())((

∴11

--+B A

可逆且()

B B A A B A 11

11)(----+=+

（2）∵)()()()()()(1

1111111-------++++=++AB BB B A B AB E B A B B A A B A B -

E BB B B A B A B ==++=---111)()(

∴A B A B B A --11

11)()

(--+=+，又有（1）知()

B B A A B A 11

1)(----+=+

由逆矩阵的唯一性知，A B A B B B A A 1

1)()(--+=+。

习题 2-4

1．设矩阵??????? ?

?--=10000100

421031

01A ，???

?-=10200136000

20021B ，用分块矩阵计算：（1）A k ；（2）B A +．

解：先对B A ,进行分块?

???

??-=E A E A 01，???

??=E B B B 210，其中???? ?

?=42

311A ，???? ?

?=0221

1B ，???? ??-=20362B （1）A k ???? ??-=kE 0kA kE 1????

?--=k k k k k k k k 0

0000042030；（2）???? ??+=+0B A B E B A 211??

???

??-=0020003642123122。 2．设??????? ??-=1011012100100001A ，???

? ??---=0211140110210101

B ，求AB ．解：先对B A ,进行分块???? ??=E A 0E A 1，???? ??=321B B E B B ，其中???? ??-=11211A ，

???? ??-=21011B ，???? ??--=11012B ，?

??=02143B 则???? ??++=312111B A B B A E B AB ，而???? ??--=+1142211B B A ，???? ??=+133331B A ，所以???

?---=1311334

2102

1010

1AB 。 3．设???

???? ??=b b a a 100100000001A ，????

? ??=b b a a 100000001000B ，求ABA ．解：先对B A ,进行分块???? ??=21A 00A A ，???? ??=21B 00B B ，其中1A =???

? ?

?a a

1，=2A ???? ??b b 11，

1B =???

??a a 10，=2B ???? ??b b 10，则???? ??=2211B A 00B A AB ，???

??=222111A B A 00

A B A ABA

而=111A B A ???? ??+++a a a a a a 322312，=222A B A ???

??+++b b b b b b 231223223 ∴=ABA ??????? ??++++++322

223230012200

000012b b b b b b a a a

a a a 4．设????

??? ??-=22000

20000340043A ，求8A 及4A ．解： ?

???

?? ?

?-=22023443O O A ，令???? ??-=34431A ???

? ??=22022A A 则???? ??=21

A O

O A A 是分块对角阵，故8

218

???? ?

?=A O O A A ???

??=828

1A O

O A 168

281810===A A A A A

??????

?=???? ?

?=46

4424

22025005O O A O

O A A 5．已知分块方阵???? ??=O B A O D ，???

??=B O C A F ，其中B A ,均为可逆方阵，证明D 和F 均可

逆，并求1-D 和1

-F ．

证明：设有矩阵???? ??=43

211X X X X D ，使E DD =1，即???? ??=???? ??E 00E BX BX AX AX 2143 则???????====E BX 0BX 0

AX E

AX 21

3，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????====--12

1413B X 0X 0X A X ，即???? ??=--0A B 0D 111 从而D 可逆且=-1

D ???

? ??=--0A B 0D 111。

设有???? ??=43211X X X X F ，使E FF =1，即???? ?

?=???? ??++E 00E BX BX CX AX CX AX 434231

??????

?===+=+E BX 0

BX 0CX AX E

CX AX 434

231，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????==-==----14

311211B X 0X CB A X A X ，即???? ?

?-=----1111

1B 0

CB A A F ，从而F 可逆且=-1

F ???

??-=----11111B 0CB A A F 。 6．求下列矩阵的逆阵：

（1）???????

?2500380000120025；（2）????

??4121031200210001．解：（1）记原方阵为???? ??21A 00A ，则???? ??--=-522111A ，???

? ??--=-853212A ∴=??

?-1

2500380000120025

121-???? ??A 00A ???? ??=--121

1A 00A ??

????

? ??----=85003200005200

21 （2）记原方阵为???? ??32

A A

0A ，则可直接凑得???? ??-=-----1311

2131

1A A A A 0A A 而???? ??-=

-2121011

A ，??????

??-=-4112103113A ，?

????

? ??-=--24581612111213A A A ∴=??????

?-14121031200210001???? ??-----131121311A A A A 0A =?????????

??-----411212458

103161210021210001

习题 2-5

1．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：

（1）?????

??211152223420；（2）??????? ??-------31370130313111044321；（3）??????? ?

?---------12

433023221453334311；（4）??????? ??------34732038234202173132；（5）??????? ??-------37413741174316923

；（6）???????

?----03

1050713541420．

解：（1）3

212313420100021112342052222111211152223420r r r r r r ???

? ??-????? ???????? ?? ????? ??100034202111（行阶梯形矩阵）????? ??-?---1000021001012

1)3(212132321r r r r r （行最简形矩阵）

（2）??????? ??-------31370130313111044321342421322484001242003111044

32175r r r r r r r +?????

??-------+--

???????

?-----000001242003111044321（行阶梯形矩阵）????

??? ??-----?00000621003111044321213r ??

??---+-+0000062100

3101080001232321r r r r r （行最简形矩阵）

（3）14131232312

433023221453334311r r r r r r ---???????

?--------- ??

???? ??--------1010500663008840034311)4

1(454322

3-?--r r r r r

??---00000000002210034311（行阶梯形矩阵）

13r r -??

?---00000000002210032

1（行最简形矩阵）

(4) ???????

??------34732038234202173132

132

421242321711877

012988

01111

04202

1232r r r r r r r r r r r r r r r ?---??

???

??-----?---

???????

?---00000410001111042021（行阶梯形矩阵）

?---?-+0000041000

30110

202

)1(223221r r r r r （行最简形矩阵）

（5）??????? ??-------37413741174316923?????

? ??----+??????? ??-----?+++0000143

0001431037417000045217014310374132331322134r r r r r r r r r r （行阶梯形矩阵）??????

??-+-???????

??---?-00001000031005011459000010

001431059501)1431(43231321r r r r r r r （行最简形矩阵）（

）

???????? ??----0321050713541420????????

??------????????? ??------?++1050105022110210541211050105022110420541232212523r r r r r r r ???

???

??---+-+0000000002105415511252423r r r r r r （行阶梯形矩阵）?????

? ??--???????? ??---?0000000002103014000000000210541)1(211r r r （行最简形矩阵）

2．把可逆矩阵???

?? ??--=023111021A 分解为初等阵的乘积．

解：因为????? ??--=023111021A ???

? ??-??? ??-?-??

??? ??-?-????? ??++1003106018128003100213310130021332132321223r r r r r r r r r r r ?

???

??-+100010001363231r r r r

即E A E E E E E E E E =----))3(2,3())1(1,2())3(3,2()3,2())2(2,1())8

(3())6(3,1())3(3,2(

))3(3,2())6(3,1())8(3()2(2,1()3,2()))3(3,2())1(1,2())3(3,2(E E E E E E E E A ----=

3．设???

??=????? ??????? ??963

852

741

101010

001010100001A ，求A ．解：????? ??=????? ??????? ??963852

741

101010

001010100001A 可以写成????

??=963852741))1(1,3()3,2(AE E

从而))1(1,3(963852741)3,2())1(1,3(963852741)3,2(1

1-????? ??=????? ??=--E E E E A

????

? ??---=-????? ??=856966746))1(1,3(852963741E

4．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

（1）????? ??--523012101；（2）????

? ??343122321；

（3）?????

??---11110

3231；（4）????

???

?-----12102321122

01023．解：（1）???

??---+-????? ??--=103220

012210

001

0132100523010012001101),(13

12r r r r E A ???????

?----?+-?????

??----211

27100115010211

0012121

1272000122100011

0123323123r r r r r r r

∴??????

? ??----

=-2112711521125

（2）???

? ??---------????? ??=11110001252000132

12100343010122001321),(12213r r r r r E A

????

? ??---

--???? ??-?????? ??--------+11110025323010231001)1(21111100563020231001523232321r r r r r r r ∴?????

? ??----=-111253232311

（3）???

? ??-----+????? ??---=1013400137900012

313100111010103001231),(1312r r r r E A

???

??-----+-?????

??----+9431002111

106321

01431013402111100012312242132r r r r r r ?

???

??-?-+943100732010311001)1(2323

1r r r r r ∴????

? ??=-943732

3111

A （4）

?-----???

????

??-----=100012100100232100101

2200301594

0310001210010023210010122

000011

023),(31r r E A

??----??+???????

??-----+--10612100043011100

1000121020

0010121000121021000101

2010120043011

100224423112434241r r r r r r r r r r r r ???????

?--------+-+-10612100063110100

1010001042

001

243432431r r r r r r r r ∴?????

? ??-------=-106126

31110104211

5．用初等变换法求矩阵X ，使B AX =，其中????? ??=343122321A ，???

??=341352B ．

解：∵????? ??=343431312252321),(B A ?

? ??----------31100915205232

1212213r r r r r

????

? ??---??

?? ??-?????? ??------+311003*********)1(21311006402023001523232321r r r r r r r

∴????

? ??--==-313223

B A X

6．求解矩阵方程X A XA 2+=，其中???

??-=321011324A 。

解：A E A X X A XA )2(2-?+=，即T T

A X

E A =-)2(

而(

)

????? ??---=-303103212212114112,)2(T

T A

E A ????

? ??------11111121221211411223r r ?

???

??------??-????? ??-------9661003321

1011111131111110304303321102232211

23231r r r r r r r r r r ?

???? ??------?-+9661001298010223

001)1(2322

1r r r r r ∴????? ??-----=9661298223T

∴???

??-----=9122692

683X

习题 2-6

1．在n m ?矩阵A 中，若存在一个r 阶子式不等于0，那么A 的秩如何？若A 的所有r 阶子式都为0，那么A 的秩又如何？

解：若A 中存在r 阶子式不等于0，则A 的秩)(A R ≥r 若A 的所有r 阶子式均为0，则A 的秩)(A R ＜r 。

2．在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1-r 阶子式？有没有等于0的r 阶子式？解：在秩为r 的矩阵中，可能有等于0的1-r 阶子式，也可能有等于0的r 阶子式。

如??

???

?=0000002100010321A ，3)(=A R ，而二阶子式02101≠，0010

1= 三阶子式00

2100

1321≠，00

000013

21=。

3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 的秩的关系怎样？解：)()(A R B R =或1)()(-=A R B R

如第二题中的例子，划去第三行得B ，则1)(2)(-==A R B R 。

4．求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：

（1）????? ??---=8241113365A ；（2）????? ??-----=221235131321A ；（3）???

? ??---=44311211201

3A ；

（4）????? ??-------=81507313

1213123A ；（5）?????

??----=8114324

114321A ；（6）???

???? ??--=1541401310211001A ；（7）????

? ?

?-----=41

46135

021632

305023A ．解：（1）???

??-++????? ??--+????? ??---=28140261305414382411135418241113365131231r r r r r r A

B =????

? ??---+?????

??----00021054114281402105412332r r r r 由B 知，2)(=A R ，且1

5-为一个最高阶非零子式。

（2）B A =?

? ??------????? ??-----=0450000

01321222123513132123321r r r r r 由B 知，2)(=A R ，且122

1-为一个最高阶非零子式。

（3） ??

? ??---44311211201

1r r ?????

??---4431201

31211131

23r r r r --????

??----564056401211 ???

? ?

?----00

056401

211

3r r B = 由B 知，2)(=A R ，且

1-为一个最高阶非零子式。

（4）????? ??-------=815073*********A ???

? ??--------10000313

1224431221213r r r r r ????

??------1000079117024431212r r B = 由B 知，3)(=A R ，且8

07312

----为一个最高阶非零子式。

（5）????? ??----=8114324114321A ???

? ??-++-000021104321212213r r r r r B =

由B 知，2)(=A R ，且1

1--为一个最高阶非零子式。

（6）???????

??--=1541401310211001A ??

??-++??????? ??-----450010100000

100

142054010102020100134432141312r r r r r r r r r r B =

5．求λ的值，使矩阵??

?=352231*********

A 有最小的秩．

解：因020*******

13≠=，所以3)(≥A R ，要使A 的秩最小，须3)(=A R ，即0=A

而

251020

15612

107201564

12001

0433

2317711

10441

42321-------=---------λλλc c c c c c

λλ

255

0500

3533

231-=------r r r r 因此，当0=λ时，0=A ，A 的秩最小。 6．设n 阶矩阵A 满足A A =2

，证明

n R R =-+)()(E A A ．

证明：∵A A =2

，∴0)(=-E A A ，∴n E A R A R ≤-+)()(

又n E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()( ∴n R R =-+)()(E A A

7．设A 是n 阶方阵（1>n ），*A 是A 的伴随矩阵，证明

?????<-===n

R n R n R n R )(01

)(1)(*)(A A A A 当当当．

解：当n A R =)(时0≠A ，∴01

≠=-n A

A ，∴n R =*)A (

当1)(-

=A ，∴0*)A (=R

当1)(-=n A R 时，A 至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个非零元素，∴1*)A (≥R

又∵1)(-=n A R ，∴0=A ，∴0*==E A AA ，∴n A R A R ≤+*)()(，而1)(-=n A R ∴1*)A (≤R ，从而1*)A (=R

∴?????<-===n

R n R n

R n R )(0

1)(1)(*)(A A A A 当当当

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习 1、矩阵的定义由m?n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m?n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个4?5矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m?n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0? c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2010 — 2011学年第二学期课程名称：线性代数（共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ，且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα，所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。解由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++，显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数1-2章精选练习题

第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 001001001001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ).

(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 111113263478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 1 011110403 D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是. 3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是 . 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 .

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数第二章习题答案

习题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。习题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2 2B A -．解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；（2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-．解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、； 5、 4； 6、 2 。三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分）所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

线性代数第二章矩阵(答案解析)

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题：设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4

??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵（B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵（C ）AB 是n 阶可逆矩阵（D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]

线性代数第二章习题部分答案

第二章向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题 1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T, 则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2β3= (2,8,2)T . 二、试确定下列向量组的线性相关性

1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T 线性相关

三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

线性代数课后习题答案 1.3

习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解.

线性代数知识点总结第二章doc资料

线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。记作：A n 。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++