等腰三角形性质及判定

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示,在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°。等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角)，但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B,∠B＝∠C＝180

︒-∠

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”)．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3。等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边"）。

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

例1、如图,在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三:

1。已知:如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD,AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．

2.如图，在△ABC 中AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求三角形各角的度数。

3。如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别在AC 、AB 边上，且BC=BD ,AD=DE=EB ，求∠A 的度数

类型二、等腰三角形中的分类讨论

例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．

A ．60°

B ．120°

C ．60°或150°

D ．60°或120°

举一反三：

1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．

2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿

3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿

4。等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿

5。等腰三角形的周长是20cm ，一边长是8cm ，则其它两边长为＿＿＿＿

6。等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（ )

D C B A

7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）

A．过顶点的直线B．底边的垂线［]C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

9.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．

（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．

10若x，y满足｜x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为( ）A． 12 B．14 C．15 D．12或15

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

例3、已知:如图,△ABC中，∠ACB＝45°,AD⊥BC于D，CF交AD于点F,连接BF

并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．

求证:(1）△ABD≌△CFD;（2)BE⊥AC．

举一反三：

2如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证:BD=CE．

1。如图所示，在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1)求证：BE＝AD;

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．

3。如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

构造等腰三角形解题的辅助线常用做法

等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解.那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：

（1）依据平行线构造等腰三角形；

（2）依据倍角关系构造等腰三角形；

（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；

（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。

1、依据平行线构造等腰三角形

例1：如图。△ABC中，AB=AB,E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，

EF交BC于D，求证DE=DF。

2、依据倍角关系构造等腰三角形

例2:如图.△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证:AB+BD=AB

3、依据角平分线+垂线,构造等腰三角形

例3，如图.△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD

交BF的延长线于D，求证：BF=2CD

4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形

例4，、如图。∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC 求证：AC平分∠BAD

4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝1

AD.（拓

展）

5。（拓展)已知,如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M. 求证：AM＝1

(AB＋AC）．

等腰三角形性质和判定

等腰三角形的性质和判定等腰三角形是一种特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实些。【重点、难点】重点：等腰三角形的性质与判定。难点：灵活利用等腰三角形的性质与判定。关键：掌握好等腰三角形的性质及判定。【知识要点】 1、等腰三角形的一些重要性质： ①等腰三角形的两底角相等。这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。 ②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(“三合一”)。这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。 2、以上的两条重要性质在教科书中被当作两条重要定理。除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。 ①等腰三角形两腰上的中线相等已知：在ΔABC 中，AB＝AC，若BD，CE分别是AC，AB边上的中线，则有BD＝CE。证明：∵BD，CE是AB，AC边上的中线(已知) ∴AD＝AC，AE＝AB(中线定义) ∵AB＝AC(已知) ∴AD＝AE 在ΔABD和ΔACE中， ∴ΔABD≌ΔACE(SAS) ∴BD＝CE(全等三角形对应边相等)。

②等腰三角形两腰上的高相等已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是AC，AB边上的高，那么BD＝CE。同学可以试着证明一下，还用全等三角形去证。 ③等腰三角形两底角的平分线相等已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，那么BD＝CE。同学可利用全等三角形法证明。 3、等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。已知：如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC。分析：要想证出AB＝AC需构造全等三角形。考虑学过等腰三角形性质中的“三合一”，我们不妨作顶角的平分线，或过A作AD⊥BC于D。证明：过A作AD⊥BC于D ∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直定义) 在ΔABD和ΔACD中， ∴ΔABD≌ΔACD(AAS)

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理： 1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得 ∠A=90°-∠B/2 同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得 ∠A=90°-∠C/2 将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即 ∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。 2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是 ∠B和∠C的平分线。由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。

假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。根据∠BCD和 ∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。代入已知条件，得到 2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。二、判定定理： 1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。证明如下：设三角形ABC中，∠B=∠C，要证明AB=AC。假设AB≠AC，根据不等式性质，我们可以得出，若AB>AC，则 ∠B>∠C；若AB

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质，也有一些方法可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。本文将详细介绍等腰三角形的性质和判定方法。一、等腰三角形的性质 1. 两边相等性质：等腰三角形的两边边长相等，记为AB=AC。 2. 两底角相等性质：等腰三角形的两个底角（即两边和底边之间的角）相等，记为∠B=∠C。 3. 顶角性质：等腰三角形的顶角（即底边上的角）是不等于底角的，记为∠A≠∠B。二、等腰三角形的判定方法 1. 边长判定法：如果一个三角形的两边边长相等，那么它是一个等腰三角形。例如，已知一个三角形的边长为AB=AC，我们就可以确定这个三角形是等腰三角形。 2. 角度判定法：如果一个三角形的两个角相等，那么它是一个等腰三角形。例如，已知一个三角形的两个底角相等，即∠B=∠C，我们可以得出结论这个三角形是等腰三角形。三、等腰三角形的性质应用

1. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。高可以分割底边成两个相等的线段。等腰三角形的高线段是三角形的对称轴，将等腰三角形分为两个完全相同的部分。 2. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点和顶点的线段。等腰三角形的中线同时也是高线，因此中线也分割底边成两个相等的线段。 3. 等腰三角形的角平分线：等腰三角形的角平分线是从顶点到底边中点的线段。等腰三角形的角平分线同时也是高线和中线，因此角平分线也分割底边成两个相等的线段。 4. 等腰三角形的内切圆：等腰三角形有一个内切圆，该圆与等腰三角形的两边和底边相切，且切点是底边的中点。 5. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形有一个外接圆，该圆过等腰三角形的三个顶点。综上所述，等腰三角形具有两边相等和两底角相等的性质。通过边长判定法和角度判定法，可以判定一个三角形是否为等腰三角形。等腰三角形的性质在几何学中有着重要的应用，例如计算三角形的面积、周长等。同时，等腰三角形也具有特殊的图形结构，如高、中线和角平分线，以及内切圆和外接圆。通过深入理解和应用等腰三角形的性质，我们可以更好地解决相关的几何问题。

等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析

等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析一、等腰三角形的基本概念等腰三角形是一种具有两条相等边长的三角形，其中相等两条边称为腰，另一边称为底。等腰三角形的性质和判定是数学中的重要知识点。二、等腰三角形的性质 1.等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应的两个角也相等。 2.三角形的相似：如果两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形相似。 3.等腰直角三角形：如果一个等腰三角形的顶角为直角，那么它的两个底角相等，均为45度。 4.等边三角形：如果一个等腰三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。三、等腰三角形的判定 1.定义法：根据等腰三角形的定义，通过测量或证明两个角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。 2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 3.垂直平分线：等腰三角形的垂直平分线上的任意一点到两个底角的距离相等。 4.底边上的中线：等腰三角形底边上的中线与两个腰的夹角相等。

5.两边相等：如果一个三角形其中两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。 6.顶角平分线：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合。四、等腰三角形的应用 1.几何图形：在几何问题中，等腰三角形经常出现，如在证明两个三角形全等、相似或者寻找角度之间的定量关系时。 2.代数计算：等腰三角形在代数计算中也得到广泛应用，如解方程、函数等问题。 3.实际应用：等腰三角形在实际生活中也有很多应用，如建筑设计、工程绘图等领域。五、总结本文详细介绍了等腰三角形的性质和判定方法，重点讲解了等腰三角形的定义、性质以及常见的判定方法，并通过实例精析帮助读者更好地掌握相关知识点。在学习过程中，建议读者首先熟练掌握基本概念和性质，然后深入理解判定方法，并在解题中加以实践。同时，要注重知识点之间的联系与区别，以便更好地掌握和运用所学知识。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。假设∠ABC和 ∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。不妨设∠ABC ＞∠ACB。由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD- ∠ABD=∠ADC。而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。假设∠BAC和 ∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。不妨设∠BAC ＞∠BCA。由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC- ∠BCA=∠CDB。而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。过顶点A作边BC 的垂线，交边BC于点D。连接AD，BD与CD。首先证明AD是三角形ABC的高。根据性质定理1可知 ∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°， ∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。因为BD=CD，所以 BD与CD平分∠ABC和∠ACB。根据性质定理2可知∠BDA=∠CDA，即BD与CD分别是△ABC的角平分线。

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定 ◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的定义定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 ◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识扩展 1、定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 ◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的特性等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形中腰大于高 10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明) ◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识点拨等腰三角形的判定： 1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。 ◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的教学目标 1、理解等腰三角形的性质和判定方法。 2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。 3、学会文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。 4、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。 ◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的考试要求能力要求：掌握课时要求：70 考试频率：必考分值比重：4

等腰三角形的性质与判定

第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】 1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。首先，我们来了解等腰三角形的定义。等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。这个性质可以通过几何推理来证明。假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。如果我们发现角D和角 E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。在工程测量中，等腰

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边相等的三角形。在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。一、等腰三角形的性质 1. 底角相等性质：等腰三角形的底边上的两个角相等。设等腰三角形ABC，其中AB=AC，那么∠ABC=∠ACB。 2. 顶角平分性质：等腰三角形的顶角被底边平分。同样设等腰三角形ABC，有AB=AC，那么∠BAC被BC平分。 3. 等腰三角形的高：等腰三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线。在等腰三角形ABC中，若AB=AC，那么从顶点A向底边BC 引一条垂线，该垂线会平分底边BC，同时也平分∠BAC。二、等腰三角形的判定 1. 根据两边相等判定：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。例如给定三角形ABC，若AB=AC，那么可以判定 ABC为等腰三角形。 2. 根据底角相等判定：如果一个三角形的底边上的两个角相等，那么它就是一个等腰三角形。例如给定三角形ABC，若∠ABC=∠ACB，那么可以判定ABC为等腰三角形。

3. 根据顶角平分判定：如果一个三角形的顶角被底边平分，那么它就是一个等腰三角形。例如给定三角形ABC，若∠BAC被BC平分，那么可以判定ABC为等腰三角形。 4. 根据高线判定：如果一个三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线，那么它就是一个等腰三角形。例如给定三角形ABC，若从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线既平分底边BC，又平分∠BAC，那么可以判定ABC为等腰三角形。三、等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在现实生活中有着广泛的应用。下面举几个例子： 1. 圆锥的底面是等腰三角形，当我们在日常生活中压缩一根圆锥形雨伞时，底部展开的形状就是一个等腰三角形。 2. 音箱的设计常常采用等腰三角形，因为等腰三角形的稳定性好，并且能够有效地防止共振。 3. 手机屏幕的倾斜角度一般为45度，这是由于45度等腰三角形的边长比例十分均匀，可以使我们的视觉效果更佳。综上所述，等腰三角形具有底角相等、顶角平分以及高线同时也是中位线和角平分线等性质。我们可以通过两边相等、底角相等、顶角平分和高线相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。等腰三角形在现实生活中有着广泛的应用，在圆锥、音箱和手机屏幕等方面都能看到等腰三角形的设计和应用。

等腰三角形性质及判定

等腰三角形性质及判定要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ︒-∠ . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三： 1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数． 2.如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度数. 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数类型二、等腰三角形中的分类讨论例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 举一反三： 1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是． 2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿ 3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿ 4.等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿ 5.等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿ 6.等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（） D C B A

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。一、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的两底角（底边两旁的角）是相等的。设等腰三角形的两底角分别为A，那么∠A = ∠B。 2. 等腰三角形的顶角（底边对面的角）是锐角。设等腰三角形的顶角为C，那么∠C < 90°。 3. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线）同时也是它的中线和对称轴。等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段，同时也将顶角分成两个相等的角。 4. 等腰三角形的中线（从顶点到底边中点的线段）是它的高线和对称轴。等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线，它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法： 1. 通过测量两边的长度。如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2. 通过测量两底角的大小。如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。 3. 通过判断顶角是否为锐角。如果一个三角形的顶角是锐角，那么这个三角形就有可能是等腰三角形。我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。 4. 通过判断两条边长和夹角的关系。如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°，那么这个三角形就是等腰三角形。需要注意的是，以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法，并非所有方法的总结。在实际问题中，可能还会涉及其他判定方法。在几何学中，等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。通过对等腰三角形的学习，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。无论是在数学学习中还是实际应用中，等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。总结：等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。要判定一个三角形是否为等腰三角形，可以通过测量边长、角度大小以及边长和夹角的关系等方法。通过对等腰三角形的研究，可以帮助我们更好地理解和应用几何学中的相关知识。

等腰三角形的性质与判定(经典)

1 / 3 等腰三角形的性质与判定知识梳理 1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做． 2．等腰三角形性质定理： (1)等腰三角形的两个相等，也可以说成． (2) 三线合一：即． (3)等腰三角形是图形． 3．等腰三角形的判定： (1)有相等的三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．例题讲解例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 有关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ．（3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．有关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ D C B A E D C B A D C B A D C B A

等腰三角形的性质与判定(经典)

等腰三角形的性质与判定知识梳理 1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做． 2．等腰三角形性质定理： (1)等腰三角形的两个相等，也可以说成． (2) 三线合一：即． (3)等腰三角形是图形． 3．等腰三角形的判定： (1)有相等的三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．例题讲解例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 有关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ．（3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．有关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ D C B A E D C B A D C B A D C B A

等腰三角形的性质和判定

等腰三角形的性质和判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。在这篇文章中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定方法。一、等腰三角形的性质 1. 直角三角形的等腰性质：在直角三角形中，斜边对应的两条直角边是相等的，因此直角三角形也是等腰三角形。 2. 定理一：等腰三角形的底角（底边的两个对角）相等。证明：假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。我们可以通过以下步骤证明底角相等： a) 连接线段BC。 b) 由于AB = AC，所以线段AB和线段AC的长度相等。 c) 在三角形ABC中，角B和角C通过边AB和边AC互相对应，因此它们相等。 3. 定理二：等腰三角形的顶角（顶点对应的角）是一个锐角。证明：假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。我们可以通过以下步骤证明顶角是一个锐角： a) 假设顶角为角A。 b) 若角A是钝角，则角B和角C都是锐角。

c) 在三角形ABC中，角B和角C都小于90°，根据角的性质，它们之和应小于180°。 d) 由于角B和角C相等，它们之和应小于180°的限制。 e) 然而，角B和角C的和应等于角A，即角A小于180°，所以角A是一个锐角。二、等腰三角形的判定方法 1. 利用两边相等：如果一个三角形的两条边相等，那么它是一个等腰三角形。例如：如果在三角形ABC中，AB = AC，则三角形ABC是一个等腰三角形。 2. 利用底角相等：如果一个三角形的底角相等，那么它是一个等腰三角形。例如：如果在三角形ABC中，角B = 角C，则三角形ABC是一个等腰三角形。 3. 利用顶角为锐角：如果一个三角形的顶角是一个锐角，那么它是一个等腰三角形。例如：如果在三角形ABC中，角A是一个锐角，则三角形ABC 是一个等腰三角形。三、等腰三角形的应用