人教版八年级数学上等腰等边三角形及其性质

第1讲 等腰三角形（一）

1．等边△ABC 中，D 为AC 的中点，CE ＝CD .求证：BD ＝DE .

2．如图，AC ＝AD ，BC ＝BE ，∠DCE ＝0

45，求证：AC ⊥BC .

3．如图，已知AC ＝CD , EF ＝DF ，AF ＝AG ，求∠A.

一、全等中的几何画图

（一）动态画图，周密思考

4．如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，过G 点任画直线l ，过A 点、B 点分别作l 的垂线AE 、BF ，垂

足为E 、F ，试画图探究AE 、BF 与EF 的大小关系.

5．如图，1l ∥2l ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，过C 点任画直线交1l 、2l 于E 、F ，试探究AE 、BF 、AB 三线段的数量关系，并证明．

6．在ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH＝AB，求∠ACB的大小.

（二）动态画图，由此及彼

7．如图∠B＝2∠C，AD为∠A的平分线交BC于D点

(1) 求证：AB＋BD＝AC

(2) 如图，若AD为∠A的外角平分线，问上结论是否成立，画图证明

45．

8．如图AC＝BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON＝0

(1) 求证CN＋MN＝AM

(2) 若点M在AC上，点N在BC的延长线上，上结论是否成立，画图证明

9．已知Rt △ABC ，∠A ＝090，AB ＝AC ，过点B 的直线BF 交直线AC 于D ，CE ⊥BE 于E

(1) 当BE 平分∠ABC ，求证：AB ＋AD ＝BC ;

(2) BE 转到△ABC 外，平分∠ABC 的一个外角，请画出图形，上述结果是

否还成立，若成立请说明理由．

（一）直角三角形全等问题

10．如图，等腰△ABC ，∠ACB ＝090，D 为CB 延长线上一点，

AF ＝AD ，且AE ⊥AD ，BE 交AC 的延长线于点P ．

(1) 求证：BP ＝PE ;

(2) 若32 BC BD ，求PC

AC 的值.

（二）延长、截取法运用

11．已知：CA ＝CB ，AD 平分∠CAB ，且AB ＝AC ＋CD ，求证：AC ⊥BC

12.如图在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，E 点与A 点关于x 轴对称，B 点与F 点 关于y 轴对称，∠GEP ＝0

45，交直线AB 于G 点，交直线AF 于P 点，求证：EG 平分 ∠PGB .

13.如图1，点A 、B 分别为x 轴、y 轴正半轴上一点，P 为第二象限一点，

P A ⊥PB ，P A 交y 轴于点C ，且C 为P A 的中点．

(1) 求证：∠PBO ＝∠P AO ;

(2) 已知A (a ，0)、C (0，b )，若()02322=-+-b a ，求P 点的坐标； (3) 如图2，若P A ＝PB ，求

BC

OC 的值.

第2讲 等腰三角形(二)

1．等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．

2．等腰三角形的判定：

(1)等腰三角形定义；

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 基础回顾

例1 如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于M .

(1) 求证：∠BME ＝2

1(∠ACB －∠B )； (2) 若EM 平分AD ，求证：∠CAM ＝∠B .

分析：

(1)由AD 平分∠BAC ，设∠1＝∠2＝α，根据内角和定理及外角与内角关系定理，建立∠BME 、∠B 、

∠ACB 与α之间的关系式，消去参数α“即得；

(2)由EM 垂直平分AD ，得MA ＝MD ，∠MAD ＝∠MDA ，于是∠2＋∠CAM ＝∠1＋∠B ，得证．

证明：

点评：(1)问是“设参法”，先建立含有“参数”和相关量的关系式，再消去参数，便得所求证的关系式

(2)问则是运用“等边对等角”的性质证明角相等，这种方法是证明角相等的又一方法，

例2等腰△ABC 中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求三内角的度数.

分析：按直角、锐角、钝角三角形来分类讨论.

解：

点评：(1) 当面对的问题情形较多时，应注意分类讨论；

(2) 当难以直接计算求角时，可考虑通过建立方程求解.

1．若等腰三角形一腰上的高，等于腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角.

2．如图，过△ABC的顶点A，作直线AE与∠B的内角平分线BE垂直相交于E点，且与∠C的内角平分线交于P点．

(1) 直接回答：当∠B与∠C满足什么条件时，点P在△ABC内，在△ABC外，在△ABC 的边上？

(2) 若P在△ABC内，过P作PQ∥BC交AB、AC于Q、R．求证：QR＝AQ＋CR

例3如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC中点，AD平分∠BAC，MF∥AD 交AC于F．求FC的长.

分析：“角平分线＋平行线”易构造等腰三角形，对于中点的条件，类比“倍长中线”的方法，移动CF，构造等腰三角形，寻找CF、AB、AC之间的关系。

解：

点评：“构造等腰三角形”和“倍长中线”都是几何中的常用方法，关键在于如何结合条件，做到有效地联结起条件与所求．

例4 如图，在凸五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠D ，BC ＝DE ，M 为CD 中点，求证：AM ⊥CD .

分析：M 为中点，将AM 置入一个三角形中，连AC 、AD ，要证AM ⊥CD ，转化为证等腰△ACD ( AC ＝AD )，应证△ABC ≌△AED .已有∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，应证AB ＝AE ，转化为证∠1＝∠2，∠3＝∠4.注意到条件∠C ＝∠D ，于是延长BC 、ED 交于F ，得等腰△FCD 和等腰△FBE ，问题得证．

证明：

点评：(1) 多边形中两个相邻的内角相等，则延长两边就有可能形成等腰三角形;

(2) 证两线垂直的问题，可转化为证等腰三角形的问题，再运用“三线合一”的性质，得到垂直关系．

(3) 还可延长AB 、AE 交直线CD 于G 、H ，证△AGH 为等腰三角形较简单．

3．如图，∠B ＝∠C ，∠ADB ＝090－21∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形.

4.如图，直角梯形ABCD ，CD ∥AB ，AB ＝AC ，AE ⊥AC ，且AE ＝AD ，连BE 交AC 于F 求证：BF ＝EF .

例5已知如图：B（－1，0），D(0，2)，经过点C(3，0)的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD＝AE.

(1) 求证：AB＝AC；

(2) △ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线

DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD＝CF，求证：

OG长度不变.

证：

点评：(1)常规方法运用．(2)基本题型的变式．

例6如图，BD平分∠ABC，AD＝DE，EF∥BC，求证：AB＝EF

证明：

点评：运用倍长法将角等转化为边等．

100，BD为∠B的平分线．求证：BC＝BD＋AD

5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝0

6．如图，直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，点M 、N 分别在y 轴和x 轴上，N 点在B 点右侧，且AM ＝BN .

(1) 求AOB S ；

(2) 如图①，若点M 在AO 上，求证：CM ＝CN ;

(3) 如图②，若点M 在y 轴负半轴上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．

7．已知，如图①，在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)．

(1) BD 平分∠ABO 的外角，∠ADO ＝045，求∠BAD 的大小：

(2) 在①中，求OB AE 的值； (3) 如图②，点P 在OB 上，AP ⊥PF ，∠OBF ＝0135，问

PF

AP 是否变化？

8．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，BF＝AC.

(1) 求证：AE＝EF;

180;

(2) 若EF＝EG，点G在BC上．求证：∠ABG＋∠AEG＝0

(3) 在(2)的条件下，若∠FEG＝ ，求∠F AG的大小．

90，M，N为直线BC上两点，BN＝CM，9.△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝0

连接AM，过点G作CD⊥AM交直线AB于点D，连DN

(1) 如图1，当M，N两点重合时，求证：∠AMC＝∠DNB；

(2) 如图2，(1)中的结论还成立吗？请完成图2并证明；

(3) 如图3，当M，N在直线BC上，直接写出∠AMC，∠DNB的关系__________________，不必证明

第3讲等边三角形(三)

本讲知识归纳

1.等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

2.等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3.在直角三角形中，0

30所对的直角边等于斜边的一半.

基础回顾

◆例1 如图，D是等边△ABC内的一点，DB＝DA，BP＝AB，∠P＝0

30.求证：BD平分∠PBC.

分析：由BD＝DA和等边△ABC，连DC，得△ADC≌△BDC,∠1＝1

2∠ACB＝0

30

＝∠P. 要证BD平分∠PBC，转化为证△PBD≌△CBD.已有:BP＝BA＝BC，

BD＝BD,∠1＝∠P，属”SSA”,不能作为全等的依据.注意到BP＝BC，连

PC，则得等腰三角形,进而可证等腰三角形△DPC.问题得证.

证明:

点评:(1)逐步树立”全等意识”——运用全等解决问题；

（2）“等边对等角”与“等角对等边”的边角转变意识.

◆例2 如图，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°.

求证：AB＋BC＝EF＋ED

分析：六边形的六个角都是120°，则其邻补角为60°，延长不相邻的两边相交，可得等边三角形，利用等边三角形的边角关系可去证.

证明：

点评：（1）当题中涉及到30°、45°、60°、120°、135°等特殊角时，常想到去构造特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等.

（2）本例方法仍属“补形法”，前面也以介绍过。

1、如图，D、E分别是等边△ABC的边BC、CA上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE，

求AF:BF的值.

2、已知：六边形ABCDEF的每一个内角都相等，且AB＝1，BC＝CD＝DE＝9，求：这个六边形的周长.

方法运用

◆例3如图，O是等边△ABC内一点，已知∠AOB＝115°，∠BOC＝125°，求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角的度数.

分析：要求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角，先应把这三条线段移到一块构成三角形。注意到△ABC是等边三角形，可考虑将其中一个三角形绕顶点旋转60°.

解：

练习

点评：在等边三角形（等腰三角形）、正方形等一些特殊的多边形中，为了将分散的条件相对集中起来，常运用“旋转法”

A（0，4），B（－2，0），C（2，0），CM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是M、N.

(1)求证：CM＋CN＝AB

(2)过O点做直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE＋BF＝AB，问：PE与PF存在怎样的关系，并证明.

问题探究

例4如图，在正五边形ABCDE中，M、N分别是

正五边形ABCDE边上的点，BM与CD交于点O,

且∠BON＝108°

（1）当点M、N在CD、DE上时（如图①）

求证：BM＝CN

（2）当点M、N分别分别在DE、EA上时（如

图②）试问BM＝CN是否成立？说明理由。

分析：（1）证△BCM≌△CDN;

(2)总结（1），（1）中的这两个三角形不一定全等，注意到∠BON＝108°＝

∠MEN, ∠1＝∠2，于是连BD、CE,证△BDM≌△CEN

证明：

练习

点评：（1）注意运用正多边形的定义，得边与角的关系（大小）；

（2）“拉对角线”可把正多边形问题转化为三角形问题。

◆例5如图，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE＝0

60，边DE与∠ACB 的外角平分线相交于点E.

（1）求证：AD＝DE

（2）若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否仍然成立？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由.

分析：（1）进行尝试和权衡，应构造全等，结合△ABC为等边三角形的条件，在AB 上截取AF＝DC,证明△CDE≌△F AD.

(2)先画图，类比{1}的做法，在AB的延长线上截取BF＝BD，证△ADF≌△DEC.

点评：在截取线段相等，构造三角形全等的同时，也得到了等边三角形、两线的平行等，所以本例辅助线的交代方式有多种，如作平行线，作等边三角形等，但本质是一样的。

4、(1)如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P,过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q，求证：AP＝BQ.

（2）在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于D，请画出图形，问AD与BD＋CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.

练习

5、如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为（3,0），点C(5，0)

(1)如图①，求BD的长；

（2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OF A＝∠DF A

(3)如图③，若点P为OB上一个动点（不与O、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N，当P在AB上运动时，下列两个结论：①PM＋PN的值不变；②PM－PN的值不变，其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.

第4讲等腰三角形小结

一、构造等腰三角形

◆例1如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，AF⊥BE交BC于F，FG⊥CD交AC于H，交BE的延长线于G.

(1)求证：GE＝GH；

(2)问BG、AF、FG有何数量关系？证明你的结论.

分析：（１）证∠１＝∠２.由ＦＧ⊥ＣＤ得∠２＝∠４＝∠５，应证∠５＝∠３.由题可证△AＢＥ≌△ＡＣＤ，得证.

(2) 猜想BG＝AF＋FG.由(1)已证等腰△GEH,于是构造以BG为腰等腰三角形，过B作BN//AC交GF的延长线于N，得等腰△GBN，BG＝NG，BE＝NH＝NF＋FH，问题转化为证AF＝FN，应证△ABF≌△NBF.

证明:

点评(1)构造等腰三角形的一般方式有:①截取线段;②作角相等;③作线段的垂直平分线;

④作平行线;⑤图形变换(如对称、旋转等)等，本例是运用作平行线构造等腰三角形；（2）本例中还有其他的证法，如经典方法——过点C作AC的垂线与AF延长线相交等.

2）等边△ABC中，点O为AC、BC两边的垂直平分线的交点，点P为AB上的一动点，PE//AC交BC于E，点F为AC上一点，且CF＝PE，连OF、EF，求

∠OFE的度数.

练习

二、 运用等腰三角形的性质

◆例2 已知Rt △ABC 中，AC ＝BC , ∠C ＝90°，D 为AB 中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ；

（3） 当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E （如图①）时，显然 12DEF CEF ABC S S S +=，

当∠EDF 绕D 点旋转到DE 与AC 不垂直时（如

图②）DEF S ∆、CEF S ∆、ABC S ∆ 三者之间的数量关系是什么？证明你的结论；

（2）当∠EDF 绕D 点旋转到如图③所示位置，请直接写出DEF S ∆、CEF S ∆、ABC S ∆三者之间的数量关系是___________(不必证明)

点评：遇有等腰三角形时，可以作成底边上的高线，运用“三线合一”的性质解题.

2、如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于点F .

求证：∠ADB ＝∠CDF .

练习

3、△ABC中，过BC边的中点D作直线交AB于E，交CA的延长线于F，使AE＝AF，求证：BE＝CF.

三、角平分线与等腰三角形

◆例3如图，AB//CD，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB.求证：AB＋CD＝BC.

分析：由条件易知∠BEC＝90°，由此翻折△CEB，得△CEF，问题转化为证明DF＝AB，证△DEF≌△AEB即可.

证明:

点评(1)遇到条件”角平分线＋垂直”,往往考虑”翻折法”,得到等腰三角形;

本例还有一种翻折方式，即在CB上截取BM＝BA，连EM，再证△CDE≌△CME.这种方法也可以说是“截长法”.

4.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD延长线于E.

(1) 求证：CE＝

1

2

BD；

(2) 求∠AEB的度数.

练习

5. △ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，MF⊥AD交AD延长线于F，交AB于E.

求证：BE＝1

2

(AB AC).

四、构造等边三角形

◆例4已知：如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB＝OC＝2，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接P A、PB，D为AC的中点.

（1）设点P运动时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等；

（2）若P A＝AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA＝60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ＋∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.

解：

点评：等腰三角形的有关求角的度数问题中，经常结合已知角的度数，以等腰三角形一边为边作等边三角形，容易得到等腰三角形和全等三角形，为解决问题提供便利.

6、如图①，A(0，1

)，A、C关于x轴对称，AB＝2，EF//BC，交AB的延长线于E点，交y轴于F点.

（1）求∠AEF；

（2）如图②，将△AEF绕A点顺时针旋转交BC延长线于D点，当D（m,2）时，问AM＋DH大小是否变化并证明.

练习