2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
试卷类型:A
高二数学(理科)试题
2017.7
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共5页。
2.答题前,考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并粘好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时,选出每题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时,请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。答在本试卷上无效。
5.第(22)、(23)小题为选考题,请按题目要求从中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。
附:回归方程???y bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:
∑∑∑∑====--=
---=n i i n
i i
i n i i n
i i
i
x
n x y
x n y
x x x y y
x x b
1
2
2
11
2
1
)()
)((?,x b y a
??-= 第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
(1)已知复数i
i
z +-=122,其中i 是虚数单位,则z 的模等于
(A )2- (B) 3 (C) 4 (D) 2
(2)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数
c
b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为
(A) c
b a ,,中至少有两个偶数 (B)
c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数
(C)
c
b a ,,都是奇数 (D)
c
b a ,,都
是偶数
(3)用数学归纳法证明:对任意正偶数n ,均有4
1
212111...4131211++
+=--++-+-n n n n ( )21
...n
+
+,在验证2=n 正确后,归纳假设应写成
(A )假设)(*
N k k n ∈=时命题成立 (B )假设
)
(*N k k n ∈≥时命题成立
(C )假设)(2*
N k k n ∈=时命题成立 (D )假设
)
)(1(2*N k k n ∈+=时命题成立
(4)从3男4女共7人中选出3人,且所选3人有男有女,则不同的选法种数有
(A )30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种
(5)曲线x
e y =在点()2
2e ,处的切线与坐标轴所围三角
形的面积为
(A)2
2e (B)2
e (C)
2
2e (D)
4
92e
(6)已知随机变量
X
服从正态分布()2
,3σN ,且
)3(4
1
)1(>=
(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 8 7 (7)已知? ≥3 sin 2π xdx a ,曲线)1ln(1)(++=ax a ax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ,则k 的最小值为 (A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 (8)甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试, 已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4 332,,且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲 通过的概率为161,则甲、丙二人中至少有一人通 过测试的概率为 (A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76 (9)函数) 1(2)(3 -'+=f x x x f ,则函数)(x f 在区间[]3,2-上 的值域是 (A) ] 9,24[- (B) ] 24,24[- (C) ] 24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5 52 2105 )1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-,则4 20 a a a ++等 于 (A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数 ) ()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在?? ? ?? ?∈2,21x ,使得 )()(>'+x f x x f ,则实数b 的取值范围是 (A) ?? ? ? ?∞-6 5, (B) ? ?? ? ? ∞-38, (C) ?? ? ??-65,23 (D) ?? ? ??∞+,38 (12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数,若a 和 b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记 为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3,则记)6(mod 219=.若20 202022201200 20 2...22?++?+?+=C C C C a ,)10(mod b a =, 则b 的值可以是 (A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题。考生根据要求作答。 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。 (13)定积分()= ?? ? ? ?---?dx x x 10 2 11________. (14)若 n x a x ? ?? ? ? -2展开式中二项式系数之和是32,常 数项为15,则实数=a ______ (15)已知函数a x x x x f --+=33 1)(23 在[]2,1-上有零点,则实 数a 的取值范围是________ (16)观察下列数表: 1 3,5 7,9,11,13 15,17,19,21,23,25,27,29 ... 设999是该表第 m 行的第 n 个数,则 = +n m _________ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 已知复数()()bi i a z -+=12,其中i 是虚数单位. (I)若i z -=5,求b a ,的值; (II)若z 的实部为2,且0,0>>b a ,求证:41 2≥+b a (18)(本小题满分12分) 设函数) 0(3)(3 >+-=m n mx x x f 的极大值为6,极小值为2, 求: (I )实数n m ,的值; (II ))(x f 在区间[]3,0上的最大值和最小值. (19)(本小题满分12分) 为了解心肺疾病是否与年龄相关,现随机抽取了40名市民,得到数据如下表: 患心肺疾 病 不患心肺疾病 合计 大于40岁 16 小于等于40岁 12 合计 40 已知在全部的40人中随机抽取1人,抽到不患 心肺疾病的概率为.52 (I)请将22?列联表补充完整; (II)已知大于40岁患心肺疾病的市民中有4名重症患者,现从这16名患者中选出2名,记重症患者的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (III)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关? 下面的临界值表供参考: (参考公式: ) )()()(()(2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-= ,其中 d c b a n +++=) (20)(本小题满分12分) 是否存在常数b a ,,使等式()()21212 (5) 32311 2 2 2 2 ++=+-++?+?bn n an n n n 对于一切* N n ∈都成立?若存在,请给出证明;若 ) (2k K P ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0 01 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10. 828 不存在,说明理由. (21)(本小题满分12分) 已知函数)(,ln )(R a x a x x f ∈-=. (I)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数; (II)设x a x g 1 )(+-=,若不等式)()(x g x f >对任意[]e x ,1∈恒 成立,求a 的取值范围. 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按第(22)题计分。 (22)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线1 C 的极坐标方程为1=ρ,以极点为原点, 极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系(单位长度相同),直线l 的参数方程为 为参数)(t t y t x ??? ??? ?=-=2123 6. (I)写出直线l 的普通方程与曲线1 C 的直角坐标方程; (II)设曲线1 C 经过伸缩变换? ? ?='='y y x x 3得到曲线2 C ,在曲 线 C上求一点M,使点M到直线l的距离最小,并2 求出最小距离. (23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数4|1 - =x - = x f. - g x x + ) | ,2 ( |3 ) (+ | (I)若不等式3 g f,求实数x的取值范围; x +x ) ( ) (> (II)若不等式1 x g -m x f的解集为R,求实数m的 ) ) ≥ ( (+ 取值范围. 高二数学(理科)试题参考答案 2017.7 一、选择题:本题共12小题,每小题5分。 1—5 DBCAC 6—10 DBAAD 11—12 BA 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。 13.42 -π 14.3- 15. ?? ? ???-311,35 16. 254 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 解:(I )由复数)1)(2(bi i a z -+=,又i z -=5, 得()()()()i i ab b a bi i a -=-++=-+52212,.............................2分 则? ? ?-=-=+1 25 2ab b a .............................4分 解得 ?? ? ??==???==232 13b a b a 或.............................6分 (II)证明:若 z 的实部为 2 ,即 2 2=+b a ..............................7分 因为220,0=+>>b a b a 且, 所以,1)2(2 1=+b a .............................8分 所 以()b a b a b a 2122112+???? ??+?=+4424214421=??? ? ???+≥??? ??++=b a a b b a a b (10) 分 当 且 仅 当 b a a b =4,即 时取等号, 2 1 ,1==b a .............................11分 所以41 2≥+b a ..............................12分 (19)(本小题满分12分) 解:(I)因为) 0(3)(3 >+-=m n mx x x f , 所以) )((333)(2m x m x m x x f +-=-=',.............................2分 令0)(='x f ,得m x =,或m x - =.............................3分 当x 在()+∞∞-,变化时,)()(x f x f 及'的变化情况如下表: x ()m -∞-, m - ()m m ,- m ( )+∞ ,m ) (x f ' + 0 — 0 + ) (x f 增 极大值 减 极小值 增 ............................5分 由上表及题意可知 ?????=+-==++-=-2 3)(63)(n m m m m m f n m m m m m f .............................6分 解得? ? ?==4 1n m , 所以,实数4,1==n m ..............................7分 (II)由(I)可知4 3)(3 +-=x x x f , 令0 )1)(1(333)(2 =+-=-='x x x x f ,.............................8分 解得1=x ,或1-=x .............................9分 当x 在[]3,0上变化时,)()(x f x f 及'的变化情况如下表: x 0 ()1,0 1 ()3,1 3 ) (x f ' — 0 + ) (x f 4 减 2 增 22 . ............................10分 由 上 表 可 知 , 2 )1()(min ==f x f , 22 )3()(max ==f x f ..............................11分 所以,)(x f 在区间[]3,0上的最大值是22,最小值是2..............................12分 (19)(本小题满分12分) 解:(I)设40人中有x 人不患心肺疾病,则 5 240=x ,解得 16 =x .............................1分 所以,全部的40人中有16人不患心肺疾病. (3) 分 (II) ξ 可以取 0,1,2,............................4分 , 20 11 12066)0(216212====C C P ξ........................... .5分 ,5 2 12048)1(2 1611214====C C C P ξ........................... ..6分 , 20 1 1206)2(21624====C C P ξ........................... 患心肺疾 病 不患心肺疾病 合计 大于40岁 16 4 20 小于等于40岁 8 12 20 合计 24 16 40 ..7分 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 20 11 5 2 20 1 .............................8分 ()2 1201252120110=?+?+? =ξE ......................... ....9分 (III) 635 .6667.616 242020)481216(402>≈????-??=k ,.............. ...........11分 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关........12分 (20)(本小题满分12分) 解:若存在常数b a ,使等式成立,则将2,1==n n 代入上式, 有 ?????? ?++=+++=2 224154312131b a b a , (2) 分 解得? ? ?==4 1 b a ,............................3分 即有 ()()241212 (5) 323112222++= +-++?+?n n n n n n 对于 2 ,1==n n 成 立.........4分 猜想: ()()241212 (5) 323112222++= +-++?+?n n n n n n 对于一切* N n ∈都成 立......5分 证明如下: (1)当1=n 时,左边 3 1 3112=?=,右边3 1 21411=+?+=,所以等式成立;.....6分 (2)假设),1(* N k k k n ∈≥=且时等式成立,即 ()()241212 (5) 323112222++= +-++?+?k k k k k k .....7分 则当1+=k n 时, ()()()()321211212 (5) 323112 222++++ +-++?+?k k k k k k ) (.....8分 = ()()32121242 2++++++k k k k k k )()321 2(121+++++=k k k k k ) 32(22521212+++?++=k k k k k )32(2)2)(12(121+++?++=k k k k k 6 4)2)(1+++= k k k (2)1(4) 1()12+++++=k k k (.....10分 也就是说,当1+=k n 时,等式成立......11分 根据(1)(2)可知,等式对于任何* N n ∈都成 立......12分 (21)(本小题满分12分) 解:(I)因为)0(,ln )(>-=x x a x x f , 所以,1)(x a x x a x f -=-=' .....1分 ①0≤a 时,0)(>'x f ,)(x f 在()∞+, 0上递增,)(x f 无极值;.....2分 ②0>a 时,令0)(>'x f ,解得a x >,令0)(<'x f ,解得a x <<0,. 所以)(x f 在()a ,0上递减,在()∞+,a 上递增,所以)(x f 有 1个极小值点;.....3分 (II)若不等式)()(x g x f >对任意[]e x ,1∈恒成立, 令)()()(x g x f x h -=,即0 )(>最小值 x h 在[]e ,1恒成立, (5) 分 因为)(1ln )(R a x a x a x x h ∈++-=, 所以22 )]1()[1(11)(x a x x x a x a x h +-+= +--=', 令 )(='x h ,得 1 -=x (舍去),或 1 +=a x .....6分 ①当11≤+a ,即0≤a 时,0)(≥'x h ,所以)(x h 在[]e ,1上为增函数, 所以0 11)1() (min >++==a h x h , 解得2->a ,即02≤<-a .....7分 ②当e a ≥+1,即1-≥e a 时,0)(≤'x h ,所以)(x h 在[]e ,1上单调递减, 所以0 1 )()(min >-++==a e a e e h x h ,解得 1 12-+< e e a 因为11 1 2->-+e e e , 所以 1 1 12-+< ≤-e e a e .....8分 ③当e a <+<11,即10-< ,1[e a +上单调递增,所以 ) 1ln(2)1()(min a a a a h x h +-+=+=, (9) 分 因为,1)1ln(0<++-+=+a a a a h ,此时 )1(>+a h 成 立, .....10分 所 以 , 1 0-< .....11分 综上, 1 1 22-+< <-e e a 时,不等式)()(x g x f >对任意[]e x ,1∈恒 成立. .....12分 22.(本小题满分10分) 解:(I )由 为参数)(t t y t x ??? ??? ?=-=21236,消参,得 63:=-+y x l ; .....1分 由1=ρ得,曲线1 C :1 22 =+y x . .....2分 (II)设点),(y x P 是曲线1 C 上的任意一点,经过伸缩变换?? ?='='y y x x 3得到点),(y x P ''', 由?? ?='='y y x x 3,得 ??? ??' ='=y y x x 31 .....3分 把 ????? ' =' =y y x x 31代入曲线1 C :1 2 2 =+y x ,得 19 22 ='+'y x , 所以曲线2 C :19 22 ='+'y x . (4) 分 令[)π???2,0),sin ,cos 3(∈M , .....5分 则点M 到直线l 的距离 2 | 6sin 3cos 3|-+= ??d . ...6分 2|6)21 sin 23(cos 32|-?+?= ??2 |6)6cos( 32|--= π? .....7分 所 以,当 6 =- π ?即6 π ?= 时, 332 3 26min -=-= d , .....8分 高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是 ( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)职业高中高二期末考试数学试卷
高二数学期末试卷(理科)