中考高分的十八个关节+关节12+几何图形的不变性
关节十二
探究二：几何图形的不变性 和变化规律以及特殊条件下的特定性
关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：
第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。 第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律
从图形变化过程来看，又分为三条途径：
Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律
我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：
Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；
Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达
例1 如图（1），在ABC ?中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。一等腰直角三角尺按如图（1）所示的F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。
（1）
（2）
A
B
C
G
F
A
G
F E
（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想。 （2）当三角尺沿AC 方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D 。过点D 作BA DE ⊥于点E 。此时请你通过观察、测量DF DE ,与CG 的长度，猜想并写出DF DE +与
CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）。
【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面
（3）
干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：
（1`） （2`） （3`）
它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。
例2 用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转。
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE ，EF 相交于点G ，H 时，（如图（1），通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G ，H 时，（如图（2）），你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 （2）
（1）
【观察与思考】可以有两种化归的思考方法：
A
B
C G F
E
D A B C G F A B D G F C
E AC AB =
CA BF ⊥于F ，BA CG ⊥于G AC AB =，D 为BC 上一点， BA DE ⊥于E ，CA DF ⊥于F ， BA CG ⊥于G 。 A
B D G
F C E ,AC AB =D 为BC 上一点，
BA DE ⊥于E ，CA DF ⊥于F ， BA CG ⊥于G 。
A
B
C
D
E F G
H
A
B
C D
E F
G
H
就是大正方形的中心。根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”（见关节四），立刻知道DCG Rt ?绕点D 逆时针旋转90°便与DFH Rt ?重合，当然全等，即均有FH CG =，进而有EH BG =。
方法Ⅱ、原图的背景ABCEFD 是由两个全等的的正方形拼成，因此，若正方形ABCD 绕点D 逆时针旋转90°，则它与正方形CEFD 重合，由?=∠90GDH ，可知在此过程中BG 与EH 重合（具体论述略）。
（1`）
（2`）
本题的思考也是回归到“基本图形的性质”，而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。 解：只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可（结论和过程略）。
例 3 已知，四边形ABCD 中，?=∠?=∠=⊥⊥60,120,,,MBN ABC BC BA CD BC AD AB ，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交DC AD ,（或它们的延长线）于E ，F 。
当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时，（如图（1），易证：EF CF AE =+。
当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段EF CF AE ,,又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 （1）
（2）
（3）
【观察与思考】由背景?=∠=120,ABC BC BA ，可知BA 和BC 具有绕点B 旋转120°的重合性，依此构造全等三角形。
解：在图（1）和图（2）中均有EF CF AE =+，理由如下；
如图（1`）和图（2`），作?=∠60FBG ，交DC 延长线于点G （这时即有BAE Rt ?绕点B 顺时针旋转120°重合于BCG Rt ?中， A B C D
E F G H P
N M
A B C
D E F
G H
P
N
M
A
B
C D M
E
N F A
B
C
D
M
E
N F
A
B
C
D
M
E
N
F
（1`）
（2`）
（3`）
在BAE Rt ?和BCG Rt ?中，
CBG FBC FBC EBF EBC ABE BC BA ∠=∠-?=∠+∠-?=∠-?=∠=60)(120120, 。 ,BCG Rt BAE Rt ???∴BG BE CG AE ==∴,。
在BEF ?和BGF ?中，BF BG BE GBF EBF ,,60=?=∠=∠公用。
BGF BEF ???∴，CF AE CF CG GF EF +=+==∴。
对于（3）的情况，有结论：CF AE EF -=。理由是：
如图（3`），作,60?=∠EBG 交AD 于点G ，与情况（1`）、（2`）类似地可证明
BCF Rt BAG Rt ???，得,CF AG =又可有BFE BGE ???，可知CF AE AG AE EG EF -=-==
由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3），体现的却是“变换过程中的变化规律”。 由以上三个例子可以看出：
许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。
（2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法
例4 如图，已知矩形ABCD ，,3,3==BC AB 在BC 上取两点E ，F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PF PE ,分别交AC 于点H G ,。
（1）求PEF ?的边长；
（2）若等边三角形PEF ?的边EF 在线段BC 上移动，试猜想： PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论。
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边PEF ?在矩形ABCD 内平移的有关问题，首先，把矩形ABCD 的情况搞清楚：在已知数据的基础上易知3
3
tan =
∠ACB ，即 A
B
C
D
M
E
N F G
A
B
C
D
M
E
N
F
G
A
B
C
D
M
E
N
F
G
A
B C D
E F P G
H
?=∠=∠30CAD ACB
其次，把等边PEF ?在矩形ABCD 内平移中的各类形态集中在图（1）中，进行观察和比较，容易看到：
第一，在特殊情况（E 重合于B 时），由')'(P E AB Rt ?可计算出230cos 3
''=?
=
E P 。即PE
F ?的边长为2。
第二，比较PEF ?和'''F E P ?两种形态对应的图形情况，有1''+=+==BE A P PP PA PH ，再比较''''''F E P ?和'''F E P ?两种形态所对应的图形情况，有1'''''''')''(''''+=+==BE A P P P A P H F P 。这就促使我们形成了对
PH 和BE 数量关系的猜想，并找到了其根据，至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。
（1）
（2）
解：（1）过P 作BC PQ ⊥于Q ，如图（2），在PEQ Rt ?中，
22
3
3,60,3==
∴?=∠==PE PEQ AB PQ 。
（2）PH 和BE 数量关系是1+=BE PH 。理由如下： 作,//'PE BP 交AD 于'P ，如图（3）
（3）
在A BP Rt '?中，1',30',2'=∴?=∠=AP ABP BP 。
1'',30+=+==∴?=∠=∠BE A P PP PA PH PHA PAH 。
【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现了等边PEF ?平移反映的不变性。
例5 （1）如图，（1），OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OB OA ⊥，点C 是OB 延长线上的任意一点，过点
C 作C
D 切⊙O 于点D ，连结AD 交OC 于点,
E 求证：CE CD =。
（2）若将图（1）中的半径OB 所在的直线向上平移交半径OA 于点F ，交⊙O 于点'B ，其他条件不变，如图（2），那么CE CD =的结论还成立吗？为什么？ （2）
（3）
（1）
A
B C D
E
F
P
G
H
'P （'E ） 'F )''(F
''E
''P
'G
'H
A
B C D
E
F
P
G
H Q
A
B C
D
E
F
P
G
H Q
'P O
A B
C
D E
O
A 'B
C
D
E
F
O
A
C
D
E F
G
（3）若将图（1）中的半径OB 所在的直线向上平移到与⊙O 相离的位置，它与半径OA 的延长线交于点G ，点E 是DA 延长线与CF 的交点，其他条件不变（如图（3），那么CE CD =的结论还成立吗？为什么？
【观察与思考】先考虑图（1）这种特殊情况下是如何推得结论的。背景图形中有两个特殊点：一是OB OA ⊥，二是CD 切⊙O 于点D ，若连结OD ——为使切线发挥作用，如图（1`），立刻得到ODA OAD ∠=∠，而分别为它们余角的OEA ∠和CDE ∠自然也就相等，这样，已得到了CE CD =的保证。
将图（2）、图（3）的情况与图（1）的情况对比，上述的“两个特殊点”仍然保持，因此，结论和根据也理应保持。
解：（1）连结OD ，如图（1`），由,OA OD =得ODA OAD ∠=∠，
OAD OEA CED OB OA ∠-?=∠=∠∴⊥90, 。
CD 切⊙O 于点D ，CD OD ⊥∴。
（1`）
CED OAD ODA CDE ∠=∠-?=∠-?=∠∴9090。 CE CD =∴。
（2）CE CD =的结论仍然成立，理由是： 在图（2）中连结OD 。
CED FEA OAD ODA CDE ∠=∠=∠-?=∠-?=∠9090，CE CD =∴。
（3）CE CD =的结论也是成立的，理由是： 在图（3）中，若连结OD ，与（1）同理，
有CED GAE OAD ODA CDE ∠=∠-?=∠-?=∠-?=∠909090，CE CD =∴。
【说明】Ⅰ、本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系； Ⅱ、在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立。
由以上两个例子看出：
相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系，
2、由背景扩充引出的不变性或变化规律
由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径。在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的。
解决这类问题，思考时应该突出如下两点： Ⅰ、善于构造“特殊”和运用“特殊”；
Ⅱ、善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点。
（1）善于构造“特殊”和运用“特殊”
例6 如图（1），在ABC ?中，.6,5===AC BC AB ECD ?是ABC ?沿BC 方向平移得到的，连结BE 交AC 于点,O 连结AE 。
O
A B
C
D
E
（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由。
（2）如图（2），P 是线段BC 上一动点（不与B ，C 重合）。连结PO 并延长交线段AE 于点Q ，四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积。
（1）
（2）
【观察与思考】对于（1），易推得四边形ABCE 是菱形；对于（2），我们可以借助于点P 的极端位置来思考，假定P 在B 点处（虽然题目P 不与B ，C 重合，但不影响我们把这种情况作为思考的“桥梁”），则此时
BED PQ ED S S ?=四边形，如此一来，（2）的结论和理由就一起得到了。
解：（1）四边形ABCE 是菱形；证明如下：
ECD ? 是由ABC ?沿BC 平移得到的。,//AB EC ∴且AB EC =，
∴四边形ABCE 是平行四边形，
又BC AB = ，∴四边形ABCE 是菱形。
（2）四边形PQED 的面积不随点P 的运动而发生变化，是确定的值。 由菱形的中心对称性知，QEO PBO ???，Q EO PBO S S ??=∴，
ECD ? 是ABC ?平移得到的，6,//==∴AC ED AC ED ，
又ED BE AC BE ⊥∴⊥, 。
24682
1
21=??=??=
=+=+=∴???ED BE S S S S S S BED Rt POED PBO POED QEO PQED 四边形四边形四边形。
例7 已知，如图（1），以ABC ?的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断AEG ?和ABC ?面积之间的关系，并说明理由。
【观察与思考】在条件中给出的ABC ?没有任何其他限制，为了获得
AEG ?和ABC ?面积关系的认识，我们对ABC ?从“一般”中取出
（1） 其包含的“特殊”——令ABC ?中?=∠90BAC ，即直角三角形， A
B C
D E
O
A
B C D E
O
Q
P A D
E G
ABC AEG S S ??=，因此，促使我们产生猜想：对于任意的ABC ?，如
题中操作得到AEG ?，都应当有ABC AEG S S ??=。设法验证这个猜想。 因为,AB AE =只需要再有AEG ?中AE 边上的高和ABC ?中AB 边
（特殊） 上的高相等，就可推得ABC AEG S S ??=，而由EAG ∠和BAC ∠为互补，
AC AG =，以上两个高相等是很多容易推出的。（见图（1`）
解：结论：ABC AEG S S ??=。理由如下：
作,EA GM ⊥交EA 的延长线于点M ；作,AB CN ⊥交AB 于点N 。 则：CN AB S GM AE S ABC AEG
?=?=??2
1
,21。 （1`）
BAC AC CN GAM AG GM AB AE ∠?=∠?==sin ,sin , ，
又GAM ∠和BAC ∠同为EAG ∠的补角，即GAM ∠=BAC ∠，
且AC AG =，CN GM =∴
ABC AEG S CN AB GM AE S ??=?=?=
∴2
1
21。
由以上两例可以看出：
为了探究“一般情况”的某种不变性，可以构造或选择恰当的“特殊”，先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据，再由此获得对“一般”的认识及解决的方法。
（2）善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点
例8 如图（1），小明在研究正方形ABCD 的有关问题时，得出：“在正方形ABCD 中，如果点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上一点，且EAD FAE ∠=∠，那么AE EF ⊥。”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“AE EF ⊥”的结论。 （1）
（2）
（3）
（4）
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由。
A
B
C
D
E
F
G
A B
C
D
E
F G
M
N
A B C
D
E F A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E
F A
B
C
D E
F
的延长线于点G 。如图（1`），由FEC ?和GED ?关于点E 的中心对称，易得GE FE =。结合GAE FAE ∠=∠，立刻得FE AE ⊥。
对于图（2），图（3），图（4）的情况，上述辅助线和相应的结果都有同样的保证。因此，“AE EF ⊥”的结论也成立，且证明方法也相同。 解：（略）
【说明】在本题，尽管图形背景由特殊扩充到一般，但由于 “AE 是FAD ∠的角平分线”，“E 是CD 的中点”这两个结论 的决定条件不变，使得结论也就具有“不变性”，即“条件本质 （1`） 的不变性”决定了“结论的不变性。”。
例9 如图（1），在梯形ABCD 中，,,,//a CD b AB CD AB ==E 为AD 边上任意一点，,//AB EF 且EF 交BC 于点F ，某学生在研究这一问题时发现如下事实：
①当1=AE DE 时，有2b
a EF +=； ②当2=AE DE 时，有32b
a EF +=； （1）
③当3=AE DE 时，有4
3b
a EF +=； 当k AE
DE
=时，参照上述研究结论，请你猜想用k 表示EF 的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD （如图（2）所示），其中310,,//=⊥AB AB AD CD AB 米，170=DC 米，
70=AD 米，若要将这块地分成两块，由农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给
出具体分割方案。
【观察与思考】对于（1），由①，②，③的情况和结论容易得到 （2） 猜想：当
k AE DE =时，应有1++=k kb
a EF 。为了获得对这个一般 猜想的证明，我们从对2=AE
DE
时这一“简单”情况的研究入手， 以获得证明方法的启示。 如图（1`），若
2=AE
DE
，作DA CH //，交AB 于H ，交EF 于M （因为我们总是把梯形的问题转化到平行四边形和三角形中来解决）。易知,AH DC EM ==2==AE
DE
MH CM ，而由CMF ?∽CHB ?得 32
2
1=+=+==CM
CM CM MH CM CM CH CM HB MF ，即
)(3232a b HB MF -==，这样就有3
2)(32b a a b a MF EM EF +=-+=+=。
A B C G
E F
D A
F C
D
E B
A
B
C
D
这样的证明手段可以“移植”到“
k AE
DE
=”的情况。 对于（2），实际上是用（1）的结论来解决具体问题。
解：（1）结论为：“当k AE DE =时，有1
++=k kb
a EF 。” （1`）
至于证明，可类比上面的观察与思考进行（略）。
（2）若在CB AD ,上分别有点E ，F ，且AB EF //，并且满足EABF D EFC S S 梯形梯形=。
设x AE DE =，则由70=+DE AE 得：1
70,170+=+=x x
DE x AE 。 由（1）的结论知：1
310170++=x x
EF 。
得方程：3101
310170(17021)1310170170(17021+++?+?=+++?+?
x x
x x x x x ）。
化简为,0127122
=--x x 解得3
4
,3421-==
x x （舍去） 即应在AD 上取点E ，使3013
470
=+=
AE （米），作AB EF //交BC 于F ，则EF 就把原直角梯形分成面积相等的两个直角梯形。
【说明】本题的思考是从简单情况获取对一般情况结论和论证方法的启发。
由以上两例说明：
研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处，是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略。
3、由类比引出的图形的不变性或变化规律
“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径，同样，它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径。
例10 已知，⊙1O 与⊙2O 相切于点P ，它们的半径分别为r R ,。一直线绕P 点旋转，与⊙1O 、⊙2O 分别交于点B A ,（点P ，B 不重合）。探索规律： （1）
（2）
A
F
C
D
E B
H
M
B
P
1O
2O
B P
1O 2O
（1）如图（1），当⊙1O 与⊙2O 外切时，探究
PB
PA
与半径r R ,之间的关系式，请证明你的结论。 （2）如图（2），当⊙1O 与⊙2O 内切时，第（1）题探究的结论还是否成立？为什么？
【观察与思考】对于（1），容易想到构造以直径为斜边的直角三角形，如图（1`），则有PAM Rt ?∽PBN Rt ?，可知，
r
R
PB PA =， 对于（2），类比（1）的解决方法，自然也会想到去构造相似的直角三角形，如图（2`），则两圆内切时的解决方法也就找到了。
（1`） （2`）
解：（1）有结论
r
R
PB PA =，证明如下： 设1O 2O 延长后分别与⊙1O 、⊙2O 相交于点M 和点N ，连结BN AM ,，如图（1`）。
PN PM , 分别为⊙1O 、⊙2O 的直径，B A ∠∠∴,均为直角，又BPN APM ∠=∠，
∴APM Rt ?∽BPN Rt ?,r
R
r R PN PM PB PA ===∴
22。 （2）
r
R
PB PA =的结论仍然成立。（理由请同学们自己说明）。 【说明】就两圆相切来说，外切与内切是两种相对的情况，由外切情况下的某性质很自然地去联想内切情况下的相同性质，这就是典型的“类比”，当然，类比的结果可能成立，也可能不成立，但无论成立还是不成立，都会使认识得到拓展和深化，都是有意义的，当然，本题是两种情况 有相同的结论，即“变中的不变”，这也是知识发展的一种形式。
例11 如图，在ABC ?中，,AC AB =D 是BC 上任意一点，过D 分别向AC AB ,引垂线，垂足分别为F E ,，
CG 是AB 边上高。
（1）CG DF DE ,,的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明。 （2）若D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，
又存在怎样的关系？请说明理由。
（1）
【观察与思考】（1）是比较熟悉的问题，结论是：CG DF DE =+。 对于（2），通过画图观察，此时，CG DF DE =+的结论不再成立， 那新的结论该是怎样的呢？对比（1）的结果证明方法，也容易得到 （2）的结果和证明方法。
解：（1）有结论：CG DF DE =+，证明如下： 方法一：（面积法）
A
B
P 1O 2O M N A
B
P 1O 2O M N A
B
C
F
G D
E
连结AD （如图（1`），则ACD ABD ABC S S S ???+=，即DF AC DE AB CG AB ?+?=?2
1
2121。 因为AC AB =，所以DF DE CG +=。 （1``）
（1`）
方法二，（构造全等三角形法或称“截长法”）
作,//AB DM 交CG 于点M ，如图（1``）由四边形EDMG 为矩形，得MG DE =。 又FCD B MDC ∠=∠=∠，且CD 公用。 DFC Rt RtCMD ??∴，得CM DF =。 DF EF CM MG CG +=+=∴。
（2）当点D 在BC 延长线上时，（1）中的结论不成立，而有CG DF DE =-。理由如下：
说理一：连结AD ，如图（2`） （2`）
（2``）
则ACD ABC ABD S S S ??+=，即有，DF AC CG AB DE AB ?+?=??2
1
2121
DF CG DE AC AB +== ,，即CG DF DE =-。
当点D 在CB 的延长线上时，则有CG DE DF =-，理由如下：
作AC BH ⊥于点H ，则,CG BH =作AC BN //，交DF 于点N ，如图（2``）由四边形BHFN 为矩形， 得BH FN =，又DBE ABC ACB DBN ∠=∠=∠=∠，DB 公用。
DBE Rt DBN Rt ???∴，DE DF DN DF FN BH CG DN DE -=-===∴=∴,。
A
B C F
G D
E
A
B
C
F G
D
E M
A
B
C
F
G
D
E A
B C
F
G
D
E H
N
【说明】Ⅰ、在本题，点D 在直线BC 上，可分三种情况：（1）在线段BC 上；（2）在线段BC 的延长线上，（3）在线段CB 的延长线上，由情况（1）的某种性质联想情况（2），（3）的对应性质，是典型的“类比”。本题的类比结果是原结论不成立，但得到了对应的结论，这就是“变中的变化规律”，同样扩展了知识和认识。
Ⅱ、本题类比得到的结论虽然不同，但证明方法具有统一性，或说运用着同样的原理和方法，这又体现着“变中的不变”。
以上三类“不变性”或“变化规律”问题，集中体现了探究能力就是在对“变中不变”和“变中变时变为什么”的辩析和掌握中得到提高的，希望同学们在上述解析的基础上，进一步总结，以形成自我变化的更多更有效的思考策略。
二、探究特定结论或特定条件 很多的探究性问题是这样的：或则是对背景图形加上特殊限定，在此基础上探究有无形成特定的性质（或结论）；或则是对背景图形希望能具备某一特殊性质（即结论），为此去探究应当附加怎样的条件。我们把前一类称作为“探究特定结论”，后一类称为“探究特定条件”。在各地的中考试卷中，这两类题目呈增加的趋势。
1、“探究特定结论”问题的思考特征
这类问题从结构来看其特征是：在背景图形上附加较多或较强的“特殊条件”，而正是这些“特殊条件”才是“特定结论”得以出现的根据和保证。因此，总体上来说，解决这类问题的切入点正在于与“探究”方向结合的情况下对“特殊条件”的深入研究和恰当运用（当然也要同时兼顾其他条件）。
（1）从条件直接推演
例1 已知：如图（1），ABC ?中，AB CD ABC ⊥?=∠,45于点D ，BE 平分,ABC ∠且AC BE ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
（1）求证：AC BF =；
（2）CE 和BF 有怎样的数量关系，写出判断并给出证明； （1）
（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论。
【观察与思考】在三角形ABC 中添加了诸多限制条件，从而使ABC ?和DBC ?极为特殊了，即： ⅰ、由BE 平分,ABC ∠和AC BE ⊥，得ABC ?为等腰三角形，顶角,45?=∠ABC 底角?=5.67。 ⅱ、由,45?=∠ABC AB CD ⊥，得DBC ?为等腰三角形，而DH 为其底边上的中线； ⅲ、由?=∠=∠=5.22,DCA DBF CD BD ，得DCA Rt DBF Rt ???。 有了这些研究，结论的探究和推证就很多容易了。
简解：（1）由ⅰ、ⅱ、ⅲ、得DCA Rt DBF Rt ???，∴AC BF =。 （2）由（1）知AC BF =，而由ⅰ知CE BF CE AC 2,2=∴=
（3）若连结CG ，由DH 为BC 的对称轴知BG CG =，而CGE Rt ?中，CG 为斜面边。 BG CG CE =<∴。
【说明】在本题，ABC ?为为顶角是45°的等腰三角形和DBC ?为等腰直角三角形是各结论成立的决定因素，所 A
B C D
E
F
H G
以，由本题的原始条件 如上的ⅰ、ⅱ、ⅲ、是思考的关键步骤，是“条件研究和运用”的主要体现。
例 2 如图（1），在ABC Rt ?中，32,90==?=∠AC AB BAC ，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，
22,//=CD AB DE ，将CDE ?绕点C 顺时针旋转，得到''E CD ?（如图（2），点','E D 分别与E D ,对应，
点'E 在AB 上，''E D 与AC 相交于点M 。 （1）求'ACE ∠的度数；
（2）判断'ABCD 是怎样的四边形，并说明理由。 （2）
（1）
【观察与思考】结合要求的“结论”，研究本题的条件，可知：
ⅰ、ABC ?和DEC ?进而（C E D ''?）都是等腰直角三角形，且腰长分别为2232和； 在此基础上进一步有：
ⅱ、在A CE Rt '?中，,32,4'===AC CE CE 可知?=∠30'ACE ⅲ、在CB E '?和CA D '?中，?=∠=∠15''CA D CB E ，
2
23
2'4232'=
=?=C D CA C E BC 。 即CB E '?∽CA D '?
对旋转后的图形（2）中出现的新图形有了如上的认识，相应的结论就容易求得和探究了。
简解：（1）由以上的ⅰ、ⅱ、可得?=∠30'ACE ；
（2）由ⅲ、得CB E '?∽CA D '?ACB CBE CAD ∠=?=∠=∠∴45''，可知BC AD //'，而
?=∠?=∠60',45BCD ABC ，可知AB 与C D '不平行，所以'ABCD 是梯形。
【说明】在本题，条件的研究侧重在两点：第一，把基本背景（1）对应的情况和旋转结合起来；第二，重在围绕要解决的问题（1）和（2）把相应的新图形（如图（2）中的',','ACD BCE ACE ???等）。的有关数量搞清楚。
例3 我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图（1），在A B C ?中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若
A E
B
C
D C B A ∠=
∠=∠?=∠1
,60。
A
B C E
D
A B C
'E
'D
M
请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在ABC ?中，如果A ∠是不等于?60的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且A EBC DCB ∠=∠=∠2
1
，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
【观察与思考】在全面审题的基础上很容易解决问题中的（1），而由
A A A EBC DC
B BO
C ∠-?=∠-∠-?=∠-∠-?=∠1802
1
21180180
（1）
则在?=∠60A 时，易知?=∠=∠60COE BOD ，并容易看到四边形
DBCE 可能是等对边四边形，因此，问题（2）获解。剩下的核心问题是（3），即如何在“A EBC DCB ∠=
∠=∠2
1
”这个条件下，去推得“CE BD =。”
ⅰ、观察原图形，容易由“EBC DCB ∠=∠”这个条件结合BC 公用，想到去作辅助线：“CD BF ⊥，交CD 延长线于F ，作BE CG ⊥于G 。”以构造出BCG Rt CBF Rt ???，得到CG BF =。 ⅱ、在ⅰ和基础上，进一步想到应由“A EBC DCB ∠=
∠=∠21
”，去导出CEB BDF ∠=∠，也即导出?=∠+∠180CEB CDB ，事实上，)2
1
(),21(A B A CEB A C A CDB -∠+∠=∠∠-∠+∠=∠ ，当然有
?=∠+∠+∠=∠+∠180C B A C E B C D B ，由此可推得CEG Rt BDF Rt ???，得到CE BD =。
解：（1）等腰梯形，矩形等；
（2） A EOC ∠=∠，四边形DBCE 是等对边四边形；
（3）四边形DBCE 是等对边四边形，证明已在“观察与思考”中。
（1`）
【说明】我们看，本题的（3）关键步骤是通过作CD BF ⊥，BE CG ⊥构造全等三角形，但这种作法的诱发，却是条件“EBC DCB ∠=∠”。的提示和引导。
结合背景和探究结论的基本方向研究条件，充分发挥特殊条件的特殊作用，是获得特定结论和给出特定结论证明的基础及保证。
（2）更灵活的利用条件
例4 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 A
B
C
E
D
O
A
B C E D
O F G
（1`）
（1）
【观察与思考】问题（1）很多容易，而问题（2）的探究，就要从条件“两条对角线相等，且所夹的锐角为60°”出发，进行研究，通过画图，可以知道，符合这个条件的四边形应有两类，如图（1）和（2）分别有OD OA =和OD OA <。
而为了探究AD BC +和AC 的关系，在图（1）这种特殊情况可如图（1`）那样平移AC 到DE ，此时DBE ?为等边三角形，可推得AC DE BE BC AD ===+；这又促使我们想到：在图（2）这样的情况，仍将AC 平移至DE ，如图（2`），连结CE BE ,。据D B E ?为等边三角形和BCE ?的三边关系，有
AC DE BE BC CE BC AD ==>+=+。
如此一来，结论为AC BC AD ≥+连同证明方法都被我们探究了出来。
（2`）
（2）
解：（略）
【说明】在本题，全面认识与分析条件下图形的类型，并以“特殊”情况的研究为先导，顺利地将问题解决。
以上两例提示我们：条件的研究和运用仍有原则与策略，那就是：一要全面考虑它所涵盖的各种情景；二要善于发挥“特殊”情况的指引和铺垫作用。
2、“探究特定条件”问题的思考特征
探究特定条件常用的思考策略是：
Ⅰ、借助分析法找结论成立的充分条件； Ⅱ、借助逆向思考的方法由结论倒推条件 A B C D
O
?60 A B C
D
O
?60 E A
B C
D
O
?60 A
B
C
D
O
E
（1）借助“分析法”寻找结论成立的充分条件
大家对“分析法”应较为熟悉，现公举一例说明。
例5 如图（1），半圆O 为ABC ?的外接半圆，AC 为直径，D 为弧BC 上的一动点。 （1）问添加一个什么条件后，能使得BD
BE
BC BD =？请说明理由。
（2）若要有,//OD AB 点D 所在的位置应满足什么条件？
（3）如图（1`），在（1）和（2）的条件下，四边形AODB 是什么 （1）
特殊四边形？证明你的结论。
【观察与思考】（1）和（2）是探究特定条件，而（3）是探究特定结论。
对于问题（1），要使
BD
BE
BC BD =成立，只需有BDE ?∽BCD ?， （1`）
而在BDE ?和BCD ?中，DBE ∠即CBD ∠，故只需DCB ADB ∠=∠，
因此，添加的条件可以是B 为弧AD 的中点。或BD AB =；
对于问题（2），要使,//OD AB 只需DOC BAC ∠=∠，而这又只
需D 为弧BC 的中点。 对于问题（3），满足（1）和（2）的条件，即弧=AB 弧BD =弧DC ，对应的图形如图（1`），由DAC BDA ∠=∠，得OA BD //，又已有DO AB //，且OD OA =，所以四边形AODB 菱形。
解：（略）
【说明】在较简单的情况下，如本题，用“分析的方法”是探究特定条件最常用与最有效的方法。
（2）借助逆向思考由结论倒推条件
即将结论加入已有的条件之中，然后推演，由此得出某一结果，再检验它是否正好为要求的条件。
例6 如图（1），在四边形ABCD 中，已知,CD BC AB ==BAD ∠和CDA ∠均为锐角，点P 是对角线BD 上的一点，,//BA PQ 交AD 于点Q ，BC PS //，交DC 于点S ，四边形PQRS 是平行四边形。 （1）当点P 与点B 重合时，图（1）变为图（2），若?=∠90ABD ，求证：CRD ABR ???；
（2）对于图（1），若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？ （1） （2）
O
C A
D
B
E
O
C
A
D
B E
A
B
D
C
P
Q
S
R
A
B
D C
R
【观察与思考】问题（1）是一道寻常的证明题，容易解决。
问题（2）就属于一个“探究特定条件”的问题了，用逆向思考的方法，构造一个新命题：条件是：本题的原有条件，再加上“四边形PRDS 是平行四边形”，探究结论：四边形ABCD 还具有怎样的性质？该命题相应的图形应是图（3），解决这个命题可获（2）的答案。
解：（1）在图（2）中，BD CR CR AB ABD ⊥∴?=∠,//,90。
DCR BCR CD BC ∠=∠∴=, 。
ABCR 是平行四边形，DCR BAR BAR BCR ∠=∠∴∠=∠∴,，
又CD BC AR CR AB ===,，
CRD ABR ???∴，
（2）这时如图（3），由RD PS QR PS //,//知，点R 在QD 上，故AD BC //。 又由,CD AB =知CDA A ∠=∠。
BA PQ SR //// ，
SD SR CDA A SRD =∴∠=∠=∠∴,。 （3）
BC PS // 及SD SP CD BC =∴=,。
?=∠∴==∴=60.,CDA RD SD SR DR SP 。
所以，要使四边形PRDS 也是平行四边形，四边形ABCD 还应满足,//AD BC ?=∠60CDA 。
【需要特别说明的是】像本例用“逆向思考”的方法探究条件，应当再回来验证原题加上该条件后，确能保证欲有结论的成立，只是我们这里的推演过程的确是可逆的，因此没有强调这一点，但在其他情况的使用中，应注意“验证”这一步骤。
练习题
1、如图（1），两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O 。
（2）
（1）
（3）
（1）将图（1）中的?OAB 绕点O 顺时针旋转90°，在图（2）中作出旋转后的?OAB （保留作图痕迹，不写作法，不证明）。
（2）在图（1）中，你发现线段AC ，BD 的数量关系是 ，直线AC ，BD 相交成 度角。 A
B
D
C R
Q
S
P
A
D C O
B
C O
D C O D
B A
（3）将图（1）中的?OAB 绕点O 顺时针旋转一个锐角，得到图（3），这时（2）中的两个结论还成立吗？作出判断并说明理由。若?OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由。
2、如图（1），在直角梯形ABCD 中，,//BC AD 顶点D ，C 分别在AM ，BN 上运动，（点D 不与A 重合，点C 不与B 重合）。E 是AB 上的动点（点E 不与A ，B 重合）在运动过程中始终保持EC DE ⊥且a AB DE AD ==+。 （1）证明：ADE ?∽BEC ?
（2）当点E 为AB 边的中点时（如图（2），求证：①CD BC AD =+；② DE ，CE 分别平分BCD ADC ∠∠,； （3）设m AE =，请探究：BEC ?的周长是否与m 的值有关，若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ?的周长，若无关，请说明理由。
（1）
（2）
3、在ABC ?中，?=∠90C ，BC AC =。
（1）将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，如图（1）和图（2），判断线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并就图形（1）给出证明；
（2）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且n m BM AM ::=，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图（3）加以证明。 （1）
（2）
（3）
A
B N
M
D
C E
A
B N M
D
C E
A
C
B
E
P
D A
C B
E
P
D
A
C
B
E
M
D
4、如图（1），（2），（3）中，点E ，D 分别是正三角形ABC ，正四边形ABCM ，正五边形ABCMN 中以点C 为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且,CD BE =DB 延长线交AE 于F 。S
（1） （2） （3） （4） （1）求图（1）中，AFB ∠的度数；
（2）图（2）中，AFB ∠的度数为 ；图（3）中AFB ∠的度数为 。 （3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正n 边形情况。
5、（1）在平行四边形ABCD 中，E ，F 为对角线DB 的两个等分点，连结AE 延长交CD 于P ，连结PF 延长产AB 于Q ，如图，探究：AQ 和BQ 之间的数量关系，并给出证明。
（2）若将平行四边形ABCD 改为梯形，CD AB //(），其他条件不变， 此时（1）中的结论还成立吗？（不必说明理由）。
6、已知，?=∠90MON ，四边形AOBC 是正方形，其中点A ，B 分别在射线OM ，ON 上。 （1）如图，设D 为OB 的中点，以AD 为边在MON ∠内作正方形21D ADD ； ①求1NBD ∠的度数； ②求证：点2D 在直线BC 上。
（2）设P 为射线ON 上任意一点， 以AP 为边在MON ∠内作正方形21P APP 。请画图，写出与（1）中问题对应的两个问题，作出判断并说明理由。 A E C D F B A E C
F B D M
A E C
F B N M
D A F
E B
D
C M
A B C
D Q
P
F E
O
M
A
B N
H C
D 2D
1D
骨性关节炎的保守治疗
北京大学第三医院骨科蔡宏 写在课前的话 骨性关节炎又称为骨关节病为,日常最常见的一种关节疾患。骨性关节炎为软骨退变性疾患，是人类组织器官老化的表现，随着年龄的增加，会在每一个人身上发生。通过前面章节的学习，学员已经对骨性关节炎的发病机制、病理改变、诊断方法和鉴别诊断都有了充分的理解。一旦人被诊断为骨性关节炎，保守治疗为最基本的治疗。本文将向大家详细的介绍骨性关节炎的保守治疗。 一、骨性关节炎及其治疗 （一）、骨性关节炎保守治疗的目的 1、减轻或消除关节疼痛 相信很多人都有关节疼痛的经历，只是轻重程度不同或发生部位不同。但年轻人发生关节疼痛多数是由于创伤或运动损伤造成，而中老年人群发生的关节疼痛，多与骨性关节炎有关。例如手指的关节疼痛会影响双手的使用，甚至影响刷牙、洗脸、穿衣、吃饭或写字；脊柱关节的疼痛会引起颈肩部的疼痛或腰背痛；膝关节或髋关节的疼痛会影响行走和工作，严重的患者甚至在休息时也可出现疼痛。 2、改善或恢复关节功能 无痛的关节是人的第一需求，在无痛的基础上，人们希望关节越灵活越好。人们希望自己的关节在老的时候也可像图2所示的瑜珈印度老人一样，有着杂技演员一般灵活的关节。 3、避免或延缓关节畸形 人们不愿见到自己的关节有朝一日变成图3所示的这位患者一样，有严重的内翻畸形、只能依靠拐杖行走。但若留意一下周围的老人，会发现类似于这位患者的畸形非常常见，因此避免或延缓关节畸形的发生也是骨关节炎保守治疗的一个重要任务。
4、提高生活质量 以上目的均可归结为提高生活质量。 图1 图2 图3 （二）、骨性关节炎的特点 1、患病率高 骨性关节炎最突出的特点即为患病率高。它是一种非常常见的关节疾病，可累及全身大多数关节，如左图4所示。人体内绝大多数的关节均为滑膜关节，即由关节的骨端、关节软骨、关节腔、关节囊及关节周围的支持结构构成的关节，而只要有关节软骨的关节均可发生骨性关节炎。骨性关节炎是一种退变性的疾病，和年龄密切相关，随着年龄的增长，患病率会迅速上升。根据粗略的统计，60岁以上的人群中60%的人会患有骨性关节炎；75岁以上的人群80%的人会患有骨性关节炎。依此类推，若当人的寿命达到90岁以上，可能100%身体不同部位的关节会发生骨性关节炎。因此，随着人类社会的进步、平均寿命的不断延长、社会的老龄化意味着越来越多的老人将受到骨性关节炎的困扰。 2、致残率高 图5所示为一女性患者，75岁，双侧的膝关节疼痛已有10年，行走活动明显受限，有跛行，上下楼梯需扶持栏杆。中间是她的X 光片，可见其膝关节存在明显的内翻畸形，股骨的远端和胫骨的近端内侧面软骨有明显磨损，关节间隙已完全消失。手术中，打开关节，可见其关节面软骨已经完全磨损，软骨下骨有硬化，关节周围有很多骨赘的增生。此为一例非常典型的骨性关节炎患者。像这样的患者，关节已严重影响了她的生活质量，手术治疗为最终的办法。
初中数学几何图形综合题(供参考)
初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型1操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；
几何图形初步全国中考真题及答案
2013年中考数学分类汇编几何图形初步 一．选择题 1．（2013温州）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（） A．B．C．D． 故选A． 2．（2013宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（） A．B．C．D． 解答：解：A．剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； B．剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意； C．剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确； D．剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； 故选：C． 3.（2013福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（） A．20°B．40°C．50°D．60° 故选C． 4．（2013昭通）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（） A．美B．丽C．云D．南 解答：解：由正方体的展开图特点可得：“建”和“南”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“云”相对；故选D． 5．（2013曲靖）如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是（）
A．B．C．D． 解答：解：根据几何体的三视图可以得到该几何体是圆柱，圆柱的侧面展开图是矩形，且高度=主视图的高，宽度=俯视图的周长． 故选A． 6．（2013重庆市）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（） A．125°B．105°C．115°D．95° 故选C． 7．（2013百色）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为（） A．6cm2B．4πcm2C．6πcm2D．9πcm2 解答：解：主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，俯视图为圆可得此几何体为圆柱，故侧面积=π×2×3=6πcm2． 故选：C． 8．（2013百色）已知∠A=65°，则∠A的补角的度数是（） A．15°B．35°C．115°D．135° 解答：解：∵∠A=65°， ∴∠A的补角=180°﹣∠A=180°﹣65°=115°． 故选C． 9．（2013台湾）数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确？（） A．|c|=|b| B．|c|=|b| C．|c|=|b| D．|c|=|b| 解答：解：∵C在AB上，AC：CB=1：3， ∴|c|=， 又∵|a|=|b|， ∴|c|=|b|． 故选A． 10．（2013台湾）附图的长方体与下列选项中的立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成．若下列有一立体图形的表面积与附图的表面积相同，则此图形为何？（）
2019海南中考数学专题训练—2几何图形综合题
几何图形综合题 1.已知：在等边△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD ＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H . (1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ； (2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系； (3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长． 第1题图 (1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， 在△ABE 和△BCD 中， ???? ?∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC ∠ABE ＝∠BCD ， ∴△ABE ≌△BCD (ASA )； (2)解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， ∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE 和△BCD 中， ???? ?∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC ∠ABE ＝∠BCD ，
∴△ABE ≌△BCD (ASA )， ∴BE ＝CD . ∵DH ⊥AB ， ∴∠DHA ＝90°， ∵∠CAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝2AH ， ∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ； (3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ， 第1题解图 ∵AC ＝6，BE ＝2， ∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2, 与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8， ∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDS ＝30°， ∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7， ∵BD 2 ＝BS 2 ＋SD 2 ＝72 ＋(3)2 ， ∴BD ＝213， ∵EK ∥BD ， ∴△CBD ∽△CEK ， ∴ CB CE ＝CD CK ＝BD EK ， ∴CK ＝ CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝813 3 . ∵HM ∥AC ，
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，
如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】
新华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题(附答案)
D C B A B A C B A βββα αα第3题图2016华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题 班级： 姓名： 一、选择题：将下列各题正确答案的代号填在下表中。每小题2分，共24分。 1.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ） A.和 B.谐 C.社 D.会 2.下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成 的几何体，从上面看该几何体得到的图是（ ） A B C D 3.如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ） A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4.如图，对于直线AB ，线段CD ，射线EF ，其中能相交的是（ ） 5.下列说法中正确的是（ ） A.画一条3厘米长的射线 B.画一条3厘米长的直线 C.画一条5厘米长的线段 D.在线段、射线、直线中直线最长 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） 7.点E 在线段CD 上，下面四个等式①CE ＝DE ；②DE ＝ 21CD ；③CD ＝2CE ； ④CD ＝2 1DE.其中能表示E 是线段CD 中点的有（ ）
1 乙甲N M P D C B A B ()D C A D C B A 第9题图B A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. C 是线段AB 上一点，D 是BC 的中点，若AB ＝12cm ，AC ＝2cm ，则BD 的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9.如图是一正方体的平面展开图，若AB ＝4，则该正方体A 、B 两点间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.用度、分、秒表示91.34°为（ ） A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 11.下列说法中正确的是（ ） A.若∠AOB ＝2∠AOC ，则OC 平分∠AOB B.延长∠AOB 的平分线OC C.若射线OC 、OD 三等份∠AOB ，则∠AOC ＝∠DOC D.若OC 平分∠AOB ，则∠AOC ＝∠BO C 12.甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图），两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°； 乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则∠MAN ＝45°对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 13.下列各图形中， 不是正方体的展开图（填序号）. ① ② ③ ④ 14.已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝ cm. 15.已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm. 16.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 . 18.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为.
骨性关节炎讲义
骨性关节炎 骨性关节炎又称增生性骨关节炎、退变性关节病、老年性关节炎、肥大性关节炎、骨关节病。是由于构成关节的软骨、椎间盘、韧带等软组织变性、退化，关节边缘形成骨刺，滑膜肥厚等等变化，进而出现骨破坏，引起继发性的骨质增生，导致关节变形，当受到异常载荷时，引起关节疼痛、活动受限等症状的一种疾病。本病好发于手指指端、脚趾、跟骨、膝、髋、颈椎、腰椎等部位。 骨关节病可分为原发性与继发性两类。原性发骨关节病被看作是关节病变的延续，多发于中年以上，尤其是好发于绝经期妇女和老年人。据统计55岁以上的人，骨关节X线摄片有骨刺者占85％。本节主要论述原发性骨关节病，如髋、腰、膝等部位的肥大性关节炎及指端退行性关节炎、跟踺炎及跟骨骨刺等。 中医无此病名记载，但可参考“痹证”“瘀证”、“痰证”、“骨痹”等病去认识。 【病因病理】 一、西医病因病理 （一）病因及发病机制 可能与患者自身易感性，以及导致特殊关节、部位的生物力学异常的环境因素，即机械因素有关。 1．易感因素包括高龄、肥胖、性激素、骨密度、过度运动、存在其他疾病以及遗传因素等。 2．机械因素如创伤、关节形态异常、长期从事反复使用某些关
节的职业、剧烈的竞技运动等。 （二）病理 1．关节软骨软骨变性为本病特征性改变。初起表现局灶性软化，表面粗糙，失去正常弹性，继而出现小片脱落，表面有不规则小凹陷或线条样小沟，多见于负荷较大部位。进一步出现微小裂隙、糜烂、溃疡。软骨大片脱落可致软骨下骨板裸露。镜检可见基质粘液样软化、软骨细胞减少、裂隙附近软骨细胞成堆增生、软骨撕裂或微纤维化、溃疡面可有结缔组织或纤维软骨覆盖及新生血管侵入。 2．骨质改变包括关节边缘骨赘形成、关节软骨下骨髓内骨质增生，以及软骨下骨板囊性变等。骨赘游离于关节腔，即所谓“关节鼠”。骨性关节炎软骨下骨板囊性变可能为软骨或软骨下骨板压力异常、局部肌肉挫伤、坏死或压力增高，关节液被挤入骨内所致。 3．滑膜改变一般不明显。早期可有充血、局限性围管性淋巴细胞及浆细胞浸润。后期由于软骨及骨质病变严重，滑膜呈绒毛增生并失去弹性其内可埋有破碎软骨或骨质小块，并可引起异物巨细胞反应。 二、中医病因病机 中医认为，“肾主骨，生髓”，髓居骨中，骨赖髓以充养。所以，本病的发生以肾精亏虚为本，另外还与邪侵、损伤等有关系。 1.年老肾虚中年以后，肝血肾精渐亏，气血不足，致筋骨失养，形体疲极易发本病。肝肾亏损，筋骨失养，不荣则痛。年高体衰，骨弱肾精亏虚，髓腔不充，骨失所养，骨骼缺乏精微物质而发生退行性
中考数学解答重难专题专题四 第14题几何图形综合题
专题四 第14题几何图形综合题 (2016～2019.14) 1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，P 为矩形ABCD 内一动点，且满足S △P AB ＝13 S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为________． 第1题图 2. 如图，边长为23的菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，且点E 是BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，点M 是AD 上的一个动点，连接MF 、MC ，则MF ＋MC 的最小值为________． 第2题图 3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点M 是AB 的中点，CN ＝14 CD ，P 是直线AC 上的一点，则|PM －P N |的最大值为________． 第3题图 4.如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD ＝60°，点E 、F 在对角线AC 上(点E 在点F 的左侧)，且EF ＝1，则DE ＋BF 的最小值为________． 第4题图 5. (2019西工大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE 、CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、P E ，则PD ＋PE 的最小值为________．
第5题图 6. 如图，已知四边形ABCD ，连接AC 、B D.若AB ＝AD ＝BD ，AC ＝27，∠BCD ＝30°，则BC 2＋CD 2＝________． 第6题图 7. (2018陕师大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个 动点，则PD －12 PC 的最大值为________． 第7题图 8. 如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝10 cm 2，S △BQC ＝20 cm 2，则阴影部分的面积为________cm 2. 第8题图 8. 如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，点E 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，点F 是CD 上一动点，且AE ＋CF ＝4，则△DEF 面积的最大值为________． 第9题图 10. 如图，O 为矩形ABCD 的对称中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N .若AB ＝6，AD ＝4，则四边形OMCN 面积的最大值为________．
中考真题分类整理：几何图形初步(附答案)
一、选择题 5．（2020·绍兴）如图，墙上钉着三根木条a,b,c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a,b所在直线所夹的锐角是( ) A.5° B.10° C.30° D.70° 【答案】B 【解析】将木条a和b延长交于一点P，构造一个三角形，由三角形的内角和定理可知∠P＝180°-100°-70°＝10°. 1. （2020·怀化）与30°的角互为余角的角的度数是（） A.30° B.60° C.70° D.90° 【答案】B. 【解析】∵30°+60°=90°， ∴30°的余角为60°. 故选B. 2.（2020·湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（） A．29°28′B．29°68′C．119°28′D．119°68′ 【答案】A 【解析】∵∠α＝60°32′，60°32′＋29°28′＝90°，∴∠α的余角是29°28′．故选A． 二、填空题 13．（2020·威海） 把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）. 若∠1＝23°，则∠2＝°. 【答案】68° 【解析】根据平行线的性质求出∠2的同位角度数，由三角形外角性质可得∠1＋45°＝68°． 三、解答题 20．（2020·武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC （2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC
人教版七年级数学上册期末复习第四章《几何图形初步》
? ? ? ? ? ?第四章《几何图形初步》 基本概念 （一）几何图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图---------从正面看 2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 （二）直线、射线、线段 1、基本概念
2、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单地：两点确定一条直线。 3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。图形： A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=1 2 AB，AB=2AM=2BM。 6、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。 7、两点的距离 连接两点的线段长度叫做两点的距离。 8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上（2）点在直线外。 （三）角 1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
中考数学专题突破几何综合
2016年北京中考专题突破几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律． 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．) 图Z9－1 2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图Z9－2①； (2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； (3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2 3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D. (1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 图Z9－3 4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明； (3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围． 图Z9－4
数学七年级上册 几何图形初步中考真题汇编[解析版]
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难） 1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD?∠AEM＝90°； （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数． 【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90° （2）过点P作PG∥AB ∵AB∥CD， ∴PG∥AB∥CD， ∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG ∵∠MPN=90° ∴∠NPG－∠MPG=90° ∴∠PFD－∠AEM=90°； （3）设AB与PN交于点H ∵∠P=90°，∠PEB＝15° ∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75° ∵AB∥CD， ∴∠PFO=∠PHE=75° ∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．
【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB ∵AB∥CD， ∴PH∥AB∥CD， ∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH ∵∠MPN=90° ∴∠MPH＋∠NPH=90° ∴∠PFD＋∠AEM=90° 故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°； 【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论． 2．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系? 小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论) 问题情境2 如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论) 问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题: 已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F （1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；
华师大版七年级数学上册-期末复习分类几何图形初步.docx
2016-2017 学年度七年级上期末复习分类几何图形初步 知识点 1：立体图形与平面图形 知识回顾： （1）物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容。 （ 2）长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、四边形等，它们都 是几何图形。几何图形是数学研究的主要对象之一。 （3）有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面 内，它们是立体图形。 （4）有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内， 它们是平面图形。 （5）对于一些立体图形的问题， 常把它们转化为平面图形来研究和处理。 从不同方向 （从 正面看、从左面看、从上面看）看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。 （6）有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面 图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 巩固练习： 1．（2015-2016 吕梁市孝义市七上期末） 如图是以长为 120cm ，宽为 80cm 的长方形硬纸， 在它的四个角处各剪去一个边长为 20cm 的正方形后， 将其折叠成如图所示的无盖的长方 体，则这个长方体的体积为 ． 2．（ 2015-2016 重庆市南岸区七上期末）一个正方体的六个面上分别涂有红、 白、黄、 绿、蓝、紫六种不同的颜色，其中红、白、黄、绿、蓝、紫，分别代表的是数字 -3 、-4 、-5 、-6 中的一个数，如图是这个正方体的三种放置方法，若三个正方体下底面 3．（ 2015-2016 清远市连州市七上期末）下列说法错误的是 （ ） A ．长方体、正方体都是棱柱； B ．六棱柱有六条棱、六个侧面； C ．三棱柱的侧面是三角形； D ．球体的三种视图均为同样的图形。 4．（2015-2016 广东省深圳市七上期末）在正方体、长方体、球、圆柱、圆锥、三棱柱 这些几何体中，不属于柱体的有 ，属于四棱柱的有 -1、-2、 所标颜色代表的数字分别是 a ， b ，
老年退行性膝关节炎病症是什么
老年退行性膝关节炎病症是什么 退行性膝关节炎是属于一种关节疾病，多数都是发生在老年人的身上，主要的表现症状就是膝关节处疼痛。退行性膝关节炎一般就是由于老年人身体的器官随着年龄的增长在不断的衰退 造成的老年性退化，老年人在平时的时候不要频繁的使用关节，这样是可以避免退行性关节炎的，那么老年退行性膝关节炎病症是怎样的呢？ 老年人身体本来就不是很好，在生活中应该注意避免负荷活动，像退行性关节炎的危害是很大的，长期的疼痛让老人承受着很大的痛苦，应该及时的进行治疗，避免伤情扩大。 退行性关节炎又称肥大性关节炎，是指一些老年人常常会有腰痛、腿痛、关节痛。由于它多见于老年人，因而也称作老年性关节炎。老年性退化，是引起退行性关节炎的主要原因。中老年后，一切组织器官都会发生退行性变化;骨和关节组织也不例外，退行性变化，尤其好发于承重的关节和多活动的关节。过度的负重或过度的使用某些关节，可促进退行性变化的发生。此外，如关节内骨折、糖尿病、长期不恰当地使用肾上腺皮质激素等因素，
均可促进退行性变化的形成和加速已存在的退行性变化的发展。 骨性关节炎(osteoarthritis)和骨性关节病(osteoarthrosis)近来也以软骨软化性关节病(chondromalacicarthrosis)，退变性关节病(degenerativearthritis)、肥大性关节炎(hypertrophicarthritis)、关节炎畸形(arthritisdeformans) 表述活动关节(滑膜关节)发生于老年的特发性、慢性进行性疾病。病理特点为局灶性关节软骨的退行性变，软骨下骨质变密(硬化)，边缘性骨软骨骨赘形成和关节畸形。临床表现为反复发作性关节疼痛，渗出性滑膜炎、关节僵硬和进行性运动受限。 X线检查，关节间隙变窄，软骨下骨质致密增厚，软骨下囊肿和边缘性骨赘。退变过程先从关节软骨开始，由表层关节软骨改变进行性延及关节软骨全层。随生物化学的改变，出现对压力和张力承受能力降低，大量纤维组织形成，深部劈开碎裂，最后软骨完全侵蚀，软骨下骨外露。与软骨表面早期改变的同时，软骨下骨血管增多，血管深达钙化层，穿透病灶。由于关节软骨被侵蚀，软骨下板层骨及其相邻骨小梁增厚和变粗。
人教版七年级上册数学：第章《几何图形初步》专项练习(含标准答案)
人教版七年级上册数学：第章《几何图形初步》专项练习(含答案)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
七年级期末总复习图形的初步专项 1．如图，该几何体的展开图是( ) A. B. C. D. 2．左图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（） A. （A） B. （B） C. （C） D. （S） 3．下面的四个图形中，每个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（） A. B. C. D. 4．如图所示的几何体是由以下四个图形中的哪一个图形绕着虚线旋转一周得到的（） A. B. C. D. 5．用一副三角尺画角，不能画出的角的度数是（） A. 15o B. 75o C. 145o D. 165o 6．n棱柱的棱数与面数之和等于( ) . A. 3n B. 4n+2 C. 3n+2 D. 2n+2
7．将正方体展开后，不能得到的展开图是（ ）. A. （A ） B. （B ） C. （C ） D. （D ） 8．如图，是由几个相同的大小的正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，该几何体最多是用（ ）个小正方体搭成的. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．一个正方体的平面展开图如图所示，则正方形3的对面是正方形_________． 10．一个棱柱有21条棱，则它有_______个面． 11．如图，该图中不同的线段共有_______条. 12．如图，AB∥CD，∠1=64°，FG 平分∠EFD，则∠2=___________度． 13．如图， B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知8.9cm AE =， 3cm BD =，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为_______ cm ． 14．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是______________．
陕西省2019年中考数学选填专项 几何图形综合题题库
几何图形综合题 1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE ⊥BE 于E ，CD ⊥BE 于D .若CD ＝8，DE ＝5，则AE 的长为________． 第1题图 3 【解析】∵∠ABC ＝90°，AE ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠E ＝∠CDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBD ＝90°，∠ CBD ＋∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠ABE ，在△CDB 和△BEA 中，?????∠CDB ＝∠E ∠BCD ＝∠ABE CB ＝BA ，∴△CDB ≌△BEA (AAS)，∴BE ＝CD ＝8，AE ＝BD ，∵DE ＝5，∴AE ＝BD ＝BE －DE ＝8－5＝3. 2. 如图，在?ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ＝8，点M 、N 分别在BC 、CD 上，且∠MAN ＝60°，则四边形AMCN 的面积是__________． 第2题图 16 3 【解析】如解图，连接AC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∴AE ＝AB ·sin60°＝43，∵∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC 平分∠BAD ，∴∠B ＝∠ACN ＝60°，∴△ABM ≌△ACN (ASA)，∴S 四边形AMCN ＝S △ABC ＝12 ×43×8＝16 3. 第2题解图 3. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M 、N 分别为BC 、CD 上一点，连接AM 、AN 、MN ，则△AMN 周长的最小值为________． 第3题图
几何图形初步基础测试题含答案
几何图形初步基础测试题含答案 一、选择题 1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是() A．20°B．22°C．28°D．38° 【答案】B 【解析】 【分析】 过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】 解：过C作CD∥直线m， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∵直线m∥n， ∴CD∥直线m∥直线n， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∵∠1＝38°， ∴∠ACD＝38°， ∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键． 2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3） 【答案】D 【解析】 【详解】 解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3 过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1 则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE， ∵C′O∥AE， ∴∠B′C′O=∠B′AE， ∴∠B′C′O=∠EB′A ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故选D． ⊥，从A地测得B地在A地的北偏东43?3．如图，有A，B，C三个地点，且AB BC 的方向上，那么从B地测得C地在B地的（） A．北偏西43?B．北偏西90?C．北偏东47?D．北偏西47?
2021华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题(附答案) (2).doc
D C B A F E F E D C B A B A F E D C B A 第1题图 会社谐和设建 D C B A β β β βα α α α 第3题图 202X 华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题 班级： 姓名： 一、选择题：将下列各题正确答案的代号填在下表中。每小题2分，共24分。 1.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ） A.和 B.谐 C.社 D.会 2.下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成 的几何体，从上面看该几何体得到的图是（ ） A B C D 3.如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ） A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4.如图，对于直线AB ，线段CD ，射线EF ，其中能相交的是（ ） 5.下列说法中正确的是（ ） A.画一条3厘米长的射线 B.画一条3厘米长的直线 C.画一条5厘米长的线段 D.在线段、射线、直线中直线最长 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） 7.点E 在线段CD 上，下面四个等式①CE ＝DE ；②DE ＝2 1 CD ；③CD ＝2CE ； ④CD ＝ 2 1 DE.其中能表示E 是线段CD 中点的有（ ）
1乙甲 N M P D C B A B ()D C A D C B A 第9题图B A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. C 是线段A B 上一点，D 是B C 的中点，若AB ＝12cm ，AC ＝2cm ，则B D 的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9.如图是一正方体的平面展开图，若AB ＝4，则该正方体A 、B 两点间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.用度、分、秒表示91.34°为（ ） A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 11.下列说法中正确的是（ ） A.若∠AOB ＝2∠AOC ，则OC 平分∠AOB B.延长∠AOB 的平分线OC C.若射线OC 、OD 三等份∠AOB ，则∠AOC ＝∠DOC D.若OC 平分∠AOB ，则∠AOC ＝∠BO C 12.甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图），两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°； 乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则∠MAN ＝45°对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 13.下列各图形中， 不是正方体的展开图（填序号）. ① ② ③ ④ 14.已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝ cm. 15.已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm. 16.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 . 18.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为.