实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编
目录
《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)
《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)
《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)
《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)
《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)
《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)
《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)
《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)
《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)
《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)
《实变函数》期末考试题（一） (57)
《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ）
（A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）
（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数
5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E
f x x =?，则（ A ）
（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）
（A ）*
m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集
3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数
4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
（A ）()f z +和()f z -
有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +
和()f z -
都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积
5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）
（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B
=C A B ? 。
2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。
3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、
,G G
αβ??。
4、设A 是无限集，则A 的基数A
≥ a （其中a 表示可数基数）
。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)
m E E ≥
12mE mE -。
6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。
7、设0x 是1E R ?的内点，则*
m E >
0。
8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()()()n f x f x x E ?∈，则由黎斯定理可得，存在{()}n f x 的子列{()}k
n f x ，使得()k
n f x ..
a e →
()()f x x E ∈。
9、设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上的L 积分不一定存在，且()f x 在E 上 不一定 L 可积。
10、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。 四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ × ）
2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ √ ）
3、设E 是可测集，则一定存在G δ型集G ，使得E G ?，且(\)0m G E =。（ √ ）
4、设E 是零测集，()f z 是E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数。（ × ）
5、设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上L 可积。 （ × ） 五、简答题
1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。例如 取1R 上一列开集为11
(1,1)n n
--
+，1,2,3,n =L 而1
11
(1,1)[1,1]n n n
∞
=?--
+=-是闭集，不是开集。
2、可测集E 上的可测函数与简单函数有何关系？
答：①简单函数是可测函数；
②可测函数不一定是简单函数；
③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。 3、[,]a b 上的有界变差函数与单调函数有何关系？
答：①单调函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。
六、计算题 1、设1[0,1]()0
[0,1]x Q D x x Q
∈??=?
???，其中Q 是有理数集，求
[0,1]
()d D x x ?
。
解： 因为{[0,1]}0m Q ?=，所以()0..D x a e =于[0,1]，于是
[0,1]
[0,1]
()00D x dx dx =
=?
?
2、求0
ln()lim
cos d x
n x n e x x n
+∞
-→∞+??
。 解： 因为
ln()ln(11)1)cos (1)x x x
x x n x n x n e x e e x e n n n
----++-+-+≤≤≤+ 而
(1)x x e dx +∞
-+<+∞?
所以，由L 控制收敛定理
00
ln()ln()lim cos d lim cos d 0d 0x x
n n x n x n e x x e x x x n n +∞
+∞+∞--→∞
→∞
++?=?==?
??
七、证明题
1、证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C ?=?
证明： （方法1）对任意()\x A B C ∈?，有()x A B ∈?且x C ?，即x A ∈或x B ∈且x C ? 所以 \x A C ∈或\x B C ∈，即(\)(\)x A C B C ∈?。
反之，对任意(\)(\)x A C B C ∈?，有\x A C ∈或\x B C ∈，即x A ∈或x B ∈且x C ?，所以()x A B ∈?且x C ?，即()\x A B C ∈?， 综上所述，()\(\)(\)A B C A C B C ?=?。
（方法2）()\()()()(\)(\)c
c
c
A B C A B C A C B C A C B C ?=??=???=?。 2、设0E 是[0,1]中的有理点全体，则0E 是可测集且00mE =。 证明： 因为0E 是可数集，则012{,,,,}n E r r r =L L 对任意0ε>，取开区间1
1
(,)2
2
n n n n r r ε
ε
++-+，1,2,n =L ，显然它们把0E 覆盖住。
于是 *
012
n
n m E ε
ε∞
=≤=∑
。让0ε→得，*00m E =，从而0E 是可测集且00mE =。
3、证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数。
证明：因为对于任意实数a ，由连续函数的局部保号性易知，1
[()]R x f x a >是开集，从而
1[()]R x f x a >是可测集。所以()f x 必为1R 上的可测函数。
4、设()f x 是可测集1E R ?上的L 可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞
=，则lim ()d ()d n
n E E
f x x f x x →∞
=??。
证明：因为mE <+∞且n E E ?，所以(\)n n n mE m E E mE mE ==- 从而由题设 lim (\)lim 0n n n n m E E mE mE mE mE →∞
→∞
=-=-=
又()f x 在1E R ?上的L 可积，且
(\)()d ()d ()d ()d n
n n
n
E
E E E E E f x x f x x f x x f x x ?-=
-?
???
\\()d ()d ()d ()d n
n
n
n
E E E E E E f x x f x x f x x f x x =+-=????
所以由积分的绝对连续性得
\lim(()d ()d )lim ()d 0n
n
n n E E
E E f x x f x x f x x →∞→∞
-==???
即lim ()d ()d n
n E E
f x x f x x →∞
=??。
5、设()f x 是可测集1E R ?上的L 可积函数，{}n E 为E 中的一列递增可测子集，
1
lim ()d ()d n
n
n n E E f x x f x x ∞
=→∞=?
?
U 。
证明：记
()()()n n E f x f x x χ=?，其中1,()0,n n
E n
x E x x E χ∈?=???
显然在1n n E ∞
=U 上，()()()()n n E f x f x x f x χ=?→，()()n f x f x ≤且
1
()()n
n
n n E E f x dx f x dx ∞
==
?
?
U
于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。
《实变函数》期末考试模拟试题（二）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A ）()()()A B C A B A C ??=??? （B ）(\)A B A ?=? （C ）(\)B A A ?≠? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是闭集，则（ B ）
（A ）E 的内部E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 3、设Q 是有理数集，则（ C ）
（A ）0mQ > （B ）Q 是闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 是不可数集 4、设()f x 为1R 上的连续函数，a 为任意实数，则（ D ）
（A ）1[()]R x f x a ≤是开集 （B ）1[()]R x f x a ≥是开集 （C ）1[()]R x f x a >是闭集 （D ）1[()]R x f x a >是开集 5、 设E 是n R 中的可测集，()f x ，()g x 都是E 上的可测函数，若
()()d 0E
f x
g x x -=?
，
则（ A ）
（A ）()()..f z g x a e =于E （B ）在E 上，()()f z g x = （C ）在E 上，()()f z g x ≠ （D ）在E 上，()()f z g x ≤ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的有理点全体，则（C 、D ）
（A ）E 是闭集 （B ）E 中的每一点都是内点 （C ）E 是可数集 （D ）0mE = 2、若1E R ?的外测度为零，则（ B 、D ）
（A ）E 一定是可数集 （B ）E 一定是可测集 （C ）E 不一定是可数集 （D ）0mE =
3、设()n
mE E R <+∞?，函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若()()()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结论不一定成立（A 、
B 、
C 、
D ）
（A ）()d E
f x x ?存在 （B ）()f x 在E 上L 可积
（C ）..
()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()d ()d n n E
E
f x x f x x →∞
=??
4、若()f x 在可测集E 上有L 积分值，则（A 、C ） （A ）()f z +
和()f z -
中至少有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +
和()f z -
都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上也有L 积分值 （D ）()f z 在E 上一定L 可积
5、设()f z 是[,]a b 的绝对连续函数，则（ A 、B 、C ）
（A ）()f z 是[,]a b 上的连续函数 （B ）()f z 是[,]a b 上的一致连续函数 （C ）()f z 是[,]a b 上的有界变差函数 （D ）()f z 在[,]a b 上处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、 设A ，B 是两个集合，则A B
?=(\)B A A ?
2、设n E R ?，如果E 满足int E E =，则E 是 开 集。
3、设G 为直线上的开集，若开区间(,)αβ满足(,)G αβ?和 ,G G αβ??，则 (,)αβ必为G 的 构成 区间。
4、设A 是偶数集，则则A 的基数A
= a （其中a 表示可数基数）
。 5、设1E ，2E 为可数集，21E E ?且2mE <+∞，则12(\)m E E =12mE mE -。
6、设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数a ，b （a b <），都有[()]E x a f x b <<是 可测集 。
7、若1E R ?是可数集，则*
m E
=0。
8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 是E 上的可测函数，如果
..
()()()a e n f x f x x E →∈，则()()()n f x f x x E ?∈ 不一定成立 。
9、设()f x 是E 上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分的值 一定存在 。 10、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个 递增函数的差（或递减
函数的差） 。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ × ）
2、任何无限集均都是可数集。 （ × ）
3、设E 是可测集，则一定存在F σ型集F ，使得F E ?，且(\)0m E F =。（ √ ）
4、设E 是可测集，则()f z 是E 上的可测函数?对任意实数a ，都有[()]E x f x a ≥是可测集。 （ √ ）
5、设()f z 是可测集E 上的可测函数，则()d E
f x x ?一定存在。 （ × ）
五、简答题
1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？ 答：不一定为闭集。例如 取1R 上一列闭集为11
[1,1]n n
-+
-，1,2,3,n =L 而1
11
[1,1](1,1)n n n
∞
=?-+
-=-是开集，不是闭集。
2、可测集E 上的可测函数与连续函数有何关系？
答：①连续函数是可测函数；
②可测函数不一定连续；
③可测函数在E 上是“基本上”连续的。 3、[,]a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？ 答：①绝对连续函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是绝对连续函数。 六、计算题
1、设2
3
()[0,1]\x x P f x x
x P
∈?=?∈?，其中P 是康托集，求
[0,1]
()d f x x ?
。
解：因为0mP =，所以3
()..f x x a e =于[0,1]，于是
3[0,1]
[0,1]
()d d f x x x x =
?
?
再由L 积分与R 积分的关系得
1
3
34
10
[0,1]
[0,1]
11()d d d 4
4
f x x x x x x x =
==
=
?
??。 2、设22()1n nx
f x n x =
+，[0,1]E =，求lim ()d n n E
f x x →∞
?。
解：因为22
1()12n nx f x n x =
≤+，而11
2
2E dx =<+∞? 所以，由L 控制收敛定理
lim ()d lim ()d 0d 0n n n n E
E
E
f x x f x x x →∞
→∞
===???
七、证明题
1、证明集合等式：\()(\)(\)A B C A B A C ?=?
证明：（方法1）对任意\()x A B C ∈?，有x A ∈且x B C ??，即x A ∈且x B ?，x C ? 所以 \x A B ∈且\x A C ∈，即(\)(\)x A B A C ∈?。
反之，对任意(\)(\)x A B A C ∈?，有\x A B ∈且\x A C ∈，即x A ∈且x B ?，x C ?，所以x A ∈且x B C ??，即\()x A B C ∈?， 综上所述，\()(\)(\)A B C A B A C ?=?。 （方法2）
\()()()()(\)(\)c c c c c A B C A B C A B C A B A C A B A C ?=??=??=???=?。
2、设1E R ?，且*
0m E =，则E 是可测集。
证明： 对任意1T R ?，显然*
*
*
()()c
m T m T E m T E ≤?+? 又*
*
()0m T E m E ?≤=（因为T E E ??），从而*
()0m T E ?= 所以*
*
*
*
()()()c
c
m T E m T E m T E m T ?+?=?≤（因为c T E T ??） 所以*
*
*
()()c
m T m T E m T E =?+?，即E 是可测集。 3、证明：1R 上的单调函数()f x 必为1R 上的可测函数。
证明：不妨设()f x 是单调递增函数，对于任意实数a ，记1
0inf [()]R x f x a α>=，由于
()f x 是单调递增函数，1001
100(,)[()]
[()][,)
[()]
R x f x a R x f x a R x f x a αααα?+∞?>?>=?
+∞∈>??，显然是可
测集。所以()f x 必为1R 上的可测函数。
4、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，则()f x 在E 上L 可积?()f x 在E 上L 可积。
证明：必要性：因为()f x 在E 上L 可积，则()d E
f x x +
<+∞?和()d E
f x x -
<+∞?
而()()()f x f x f x +-
=+，所以
()d ()d ()d E
E
E
f x x f x x f x x +-=+<+∞?
??，
即()f x 在E 上L 可积。
充分性：因为()d E
f x x <+∞?，且0()()f x f x +≤≤，0()()f x f x -≤≤
则
()d ()d E
E
f x x f x x +≤<+∞?
?，()d ()d E
E
f x x f x x -≤<+∞??。
所以()f x 在E 上L 可积。
5、设{()n f x }可测集E 上的非负可测函数列，且1()()n n f x f x +≥（1n ≥）， 存在0k 使得
()d k E
f x x <+∞?
，
记lim ()()n n f x f x →∞
=，则()f x 在E 上勒贝格可积，且
lim ()d ()d n n E
E
f x x f x x →∞=?
?。
证明：不妨设1()E
f x dx <+∞?，由题设注意到()n f x 单调递减可得
1()()0n f x f x ≥≥，
且在E 上恒有
lim ()()n n f x f x →∞
=，
于是，由勒贝格控制收敛定理得，()f x 在E 上勒贝格可积，且
lim ()d ()d n n E
E
f x x f x x →∞=?
?。 6、 设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有界的可测函数列，证明：在E 上()0
n f x ?的充要条件是()
lim d 01()n n n E
f x x f x →∞=+?。
证明：先证()
()001()
n n n f x f x f x ??
?+。
事实上，由对任意0δ>，()()1()1n n n f x f x f x δ
δδ
≥?≥
++再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。
下面证明本题的结论。
必要性：因()0n f x ?可得
()
01()
n n f x f x ?+，于是0ε?>，0N ?>，当n N >时，有
()[]1()
n n f x mE x
f x εε≥<+
因此，当n N >时，并注意到
()
11()n n f x f x ≤+和()[]1()n n
f x mE x
mE f x ε<≤+可得 ()()[]
[]
1()
1()
()
()
()
d d d 1()
1()
1()
n n n n n n n n n n E
f x f x E x
E x
f x f x f x f x f x x x x f x f x f x εε<≥++=
+
+++?
?
?
()()[]1[](1)1()
1()
n n n n f x f x mE x
mE x
mE f x f x εεεε≤?<+?≥<+++
所以()
lim
01()
n n n E
f x dx f x →∞=+?
。
充分性：对任意0δ>，由
()[]
1()
()()
()[]d d 0()1()
1()
1()
n n n n n n n n E
f x E x
f x f x f x f x mE x
x x n f x f x f x δδδ≥+?≥≤
≤→→∞+++?
?
可得 ()
01()
n n f x f x ?+，从而()0n f x ?。
《实变函数》期末考试模拟试题（三）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A ）\()\A A B A B ?= （B ）\()\A A B A B ?≠ （C ）()B A A A B ??=? （D ）(\)B A A ?≠? 2、若n E R ?是孤立点集，则（ B ）
（A ）E E '? （B ）E '=? （C ）E 的内部≠? （D ）E E '= 3、设W 是[0,1]上的无理数集，则（ C ）
（A ）W 是可数集 （B ）W 是开集 （C ）W 是不可数集 （D ）0mW = 4、设()f x 是1R 上的单调函数，则（ D ）
（A ）()f x 在1R 上连续 （B ）()f x 在1R 中的不连续点有不可数个 （C ）()f x 在1R 上一定不L 可积 （D ）()f x 是1R 上的可测函数
5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若2
()d 0E
f x x =?，则（ A ）
（A ），()f z 在E 上几乎处处为零 （B ）在E 上，()0f z ≡ （C ）在E 上，()0f z ≠ （D ）[()0]0mE x f x == 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]上康托集，则（B 、C ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个聚点，则（C 、D ）
（A ）*0m E > （B ）*
0m E =
（C ）E 可能是可数集 （D ）E 可能是不可数集
3、设[,]E a b ?是不可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （C 、D ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的不可测函数
4、设()f x 在可测集E 上不L 可积，则（ B 、D ）
（A ）()f z +和()f z -
都在E 上不L 可积 （B ）()f z +
和()f z -
至少有一个在E 上不L 可积 （C ）()f z 在E 上可能L 可积 （D ）()f z 在E 上一定不L 可积
5、设()f z 是[,]a b 的有界变差函数，则（ A 、D ）
（A ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （B ）()f z 是[,]a b 的连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上不可导 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则A B
?=\(\)A A B
2、设n E R ?，如果E 满足E E '=，则E 是 完全 集。
3、若开区间(,)a b 和(,)c d 是直线上开集G 的两个不同的构成区间，则
(,)(,)a b c d ?=?。
4、设A 是无限集，B 是至多可数集，则A B ?的基数A B ? = A 。
5、设1E ，2E 为可测集，20mE =，则12(\)
m E E =1mE 。
6、设()f x 是定义在可测集E 上的有限实函数，若对任意实数a b <，都有
[()]E x a f x b <≤是可测集，则()f x 是可测集E 上的 可测函数 。
7、设1E R ?是孤立点集，则*
m E =0。
8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()()()n f x f x x E ?∈，则
()n f x ..
a e →
()()f x x E ∈ 不一定成立 。
9、设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上的L 可积的充要条件是()f x 在E 上 勒贝格可积 。
10、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数或绝对连续函数，则()f x [,]a b 上的导数 几乎处处存在 。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个F σ型集的并集仍为F σ型集。 （ √ ）
2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ × ）
3、设E 是可测集，则一定存在开集G ，使得E G ?，且(\)0m G E =。（ × ）
4、设1E 和2E 都是可测集，()f z 是1E 和2E 上的可测函数，则()f x 不一定是12E E ?上的可测函数。 （ × ）
5、设()f z 是可测集E 上的可测函数，且()d E
f x x ?存在（可为±∞），则()f x +和()f x -至
少有在E 上L 可积。 （ √ ） 五、简答题
1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？ 答：不一定为零测集。例如 1
1
{}x R R x ∈=U ，显然{}x 为单元素集，为零测集，1
R 不是零测
集。
2、1R 上的可测集与Borel 集的关系？
答：①Borel 集是可测集；
②可测集不一定是Borel 集；
③可测集一定可以表示成一个Borel 集与零测集的差或并。
3、可测集1E R ?上的可测函数与连续函数有何关系？ 答：①可测集E 上的连续函数一定是可测函数；
②可测集E 上的可测函数不一定是连续函数；
③对E 上的一个可测函数，任取0ε>，在可测集E 中去掉一个测度小于ε的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。 六、计算题
1、设sin [0,1]()[0,1]x
e x Q
f x x
x Q
∈??=?
???，其中Q 是有理数集，求
[0,1]
()d f x x ?
。
解： 因为{[0,1]}0m Q ?=，所以()..f x x a e =于[0,1]，于是
[0,1]
[0,1]
1()d d 2
f x x x x =
=
?
?
2、设12
22()1n nx
f x n x =
+，(0,1]E =，求lim ()n n E
f x dx →∞
?。
解：因为1
2
1122222211()112n nx nx f x n x n x x x =
=≤++，而12
1
12E
dx x =<+∞? 所以，由L 控制收敛定理
lim ()lim ()00n n n n E
E
E
f x dx f x dx dx →∞
→∞
===???
七、证明题
1、证明集合等式：(\)()\A B C A C B ?=?
证明： （方法1）对任意(\)x A B C ∈?，有(\)x A B ∈且x C ∈，即x A ∈，x B ?且x C ∈ 所以 x A C ∈?或x B ?，即()\x A C B ∈?。
反之，对任意()\x A C B ∈?，有x A C ∈?且x B ?，即x A ∈，x C ∈且x B ?，所以
(\)x A B ∈且x C ∈，即(\)x A B C ∈?，
综上所述，(\)()\A B C A C B ?=?。
（方法2）(\)()()()()\C
C
C
A B C A B C A C B A C B A C B ?=??=??=??=?。 2、设0E 是[0,1]中的无理点全体，则0E 是可测集且01mE =。
证明： 记0Q 是[0,1]中的有理点全体，由于0Q 是可数集，从而0Q 可测，且00mQ =。又
00[0,1]\E Q =，所以，0E 是可测集且00[0,1]100mE m mQ =-=-=。
3、设1E R ?，1,()0,E x E
x x E
χ∈?=???，证明：()E x χ是1R 上的可测函数的充要条件是E 为可
测集。
证明：充分性：因为()E x χ是1R 上的可测函数，则对任意实数a ，1
[()]E R x x a χ>
是可测集，特别取12
a =
，注意到1
1[()]2E R x x E χ>=，可得E 为可测集。
必要性：若E 为可测集，则()E x χ是1R 上的简单函数，从而为1R 上的可测函数。 4、设{}()n f x 为可测集1
E R ?上的可测函数列，若lim
|()|0n
E
n f x dx →∞=?，则在E 上
()0n f x ?。
证明：对任意0δ>，由于
[()]
[()]()()n n n n E
E x f x mE x f x f x dx f x dx δδδ≥?≥≤
≤??
所以
lim [()]0n n mE x f x δ→∞
≥=，
即在E 上()0n f x ?。
5、设mE <+∞，若{}()n f x 是E 上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意
0ε>，存在0δ>，只要,e E me δ?<，就有|()|(1)n e f x dx n ε<≥?，证明：
lim |()|0n E
n f x dx →∞=?。
证明：由题设及Egoroff 定理得，对题设中的0δ>，存在可测集F E ?，mF δ<，在\E F 上()n f x 一致收敛于0，从而对题设中的0ε?>，存在0N >，当n N >时
|()|,(\)n f x x E F ε<∈
于是，当n N >时，并注意到题设的条件，有
\|()||()||()|(\)(1)n
n
n E
F
E F
f x dx f x dx f x dx m E F mE εεε=+<+?≤+???
。
即 lim |()|0n
E
n f x dx →∞=?。
《实变函数》期末考试模拟试题（四）
（含解答）
一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设E 是[0,1]中的有理点全体，则（C 、D ）[考核对典型集合掌握的情况] （A ）E 是闭集 （B ）E 中的每一点都是内点 （C ）E 是可数集 （D ）0mE =
2、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 3、若1E R ?的外测度为零，则（ B 、D ）[考核零测集的特点] （A ）E 一定是可数集 （B ）E 一定是可测集 （C ）E 不一定是可数集 （D ）0mE =
4、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）[考核典型集的外测度可数性的特点]
（A ）*
m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集
5、设()n
mE E R <+∞?，函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若()()()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结论不一定成立（A 、B 、C 、D ）
[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]
（A ）()d E
f x x ?存在 （B ）()f x 在E 上L 可积
（C ）..
()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()d ()d n n E
E
f x x f x x →∞
=??
6、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ）[考核特征函数的特点]
（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数
7、若()f x 在可测集E 上有L 积分值，则（A 、C ）[考核勒贝格积分的定义]
（A ）()f z +
和()f z -
中至少有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +
和()f z -
都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上也有L 积分值 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 8、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）[考核勒贝格积分的定义]
（A ）()f z +
和()f z -
有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +
和()f z -
都在E 上L 可
积
（C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积
9、设()f z 是[,]a b 的绝对连续函数，则（ A 、B 、C ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]
（A ）()f z 是[,]a b 上的连续函数 （B ）()f z 是[,]a b 上的一致连续函数 （C ）()f z 是[,]a b 上的有界变差函数 （D ）()f z 在[,]a b 上处处可导
10、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]
（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 二、单项选择题 （每题仅有一个正确答案）
1．设E 是[0,1]中的无理点全体，则E 是（ Ｃ ）.[考核对典型集合掌握的情况] （Ａ）可数集 （Ｂ）有限集 （Ｃ）不可数集 （Ｄ）零测集 2．下面集合关系成立的是（ Ａ ）. [考核对集合的基本运算掌握的情况]
（Ａ）(\)A B B A B ?=? （Ｂ）(\)A B B A ?= （Ｃ）(\)B A A A ?? （Ｄ）\B A A ? 3．若2E R ?至少有一个内点，则有（Ｂ ）. [考核对典型集合外测度掌握的情况]
（Ａ）*0m E = （Ｂ）*
0m E > （Ｃ）0mE =（Ｄ）0mE < 4．设2E R ?是开集，则（ Ｂ ）.[考核开集闭集的基本特征] （Ａ）E E '? （Ｂ）0
E E = （Ｃ）E E = （Ｄ）E E '=
5．设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是[,]a b 上的（Ａ）. [考核对集合的特征函数的认识]
（Ａ）简单函数 （Ｂ）常函数 （Ｃ）连续函数（Ｄ）单调函数
6．设[0,1]Q ?是有理数集，1,()0,x Q
D x x Q ∈?=???
,则()D x 是[0,1]上的（Ｃ）.[考核目标同上
题]
（Ａ）连续函数（Ｂ）单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数 7．设()f x 在可测集E 上勒贝格可积，则（Ｂ）. [考核勒贝格积分的定义]
（Ａ）()f x +
和()f x -
有且仅有一个在E 上勒贝格可积；（Ｂ）()f x +
和()f x -
都在E 上勒贝格可积
（Ｃ）()f x +
和()f x -
都在E 上不勒贝格可积；（Ｄ）()()()f x f x f x +-=+在E 上不勒
贝格可积
8．设W 是[0,1]上的无理数集，c 表示连续基数，则（Ｄ）. [考核对典型集合基数和测度掌握的情况]
（Ａ）W c > （Ｂ）W c < （Ｃ）0mW = （Ｄ）1mW =
9．设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 是[,]a b 上的（Ｄ）. [考核基本的有界变差函数和绝对连续函数]
（Ａ）连续函数 （Ｂ）绝对连续函数 （Ｃ）可导函数 （Ｄ）有界变差函数
10．设()f x 在[,]a b 上绝对连续，则()f x 在[,]a b 上（Ａ）.[考核绝对连续函数的关系的基本性质]
（Ａ）有界变差 （Ｂ）可导 （Ｃ）单调 （Ｄ）连续可微
三、填空题
1．设A ，B 为X 的两个子集，则\A B 等于 C A B ? ．[考核集合之间的基本关系] 2．设A ，B 为两个集合，则A B ? 等于 (\)B A A ? ．[考核目标同上] 3．设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集．[考核开集、闭集的定义] 4．设n E R ?，如果E 中的每一点都是内点，则E 是 开 集．[考核开集、闭集的定义]
5．若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?且
,G αβ?．[考核开集的构成区间的定义和特点]
6．设E 是1
R 上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b E ?且,a b E ?,则称(,)a b 是开集E 的 构成 区间．[考核开集的构成区间的定义和特点]
7．设A 是无限集，则A 的基数A 大于或等于 a （其中a 表示可数基数）．[考核可数集的性质]
8．设A 是偶数集，则A 的基数A 等于 a （其中a 表示可数基数）．[考核可数集的性质]
9．设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)m E E 大于或等于 12mE mE -．[考核测度的性质，单调性和次可加性]
10．设A ，B 为可测集，则()m A B ? 小于或等于 mA mB +．[考核测度的性质，次可加性]
11．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a >是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数. [考核可测函数的定义]
实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
实变函数期末考试卷A卷完整版
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数 期末考试
黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11
（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分)
实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）
试卷共8 页第 1 页
实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页
()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论：
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
(20080619)实变函数期末复习指导(文本)
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
聊城大学实变函数期末试题
《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ???
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
级实变函数期末试题B卷及答案
α α q α 2005 级 实 变 函数期末试题 B 卷 答案 一． 判断题（对的在括号内打√，错的打×）（每小题 3 分，共 18 分。） 1． 如果 R n 中可测集 E 的基数为 c ，则 mE > 0 。（ × ） 2．任意个开集的并集还是开集。（ √ ） 3． E ? R n ，则一定存在可测集G ，使 E ? G 并且 m * E = mG 。（ √ ） 4．狄利克雷函数 D ( x ) 在[0,1]上是几乎处处连续的。（ × ） 5． R n 上的非负函数总是积分确定的。（ × ） 6．每个可测函数都可以表示成一列简单函数的极限。（ √ ） 二．填空题（每题 3 分，共 15 分。） 1．如果 M = μ ，则 M 的幂集的基数是（ 2μ ）。 2．若集合 E 可以表示为可数个闭集的并集，则 E 称为（ F σ 型 ）集。 3．若 A , B 是 R n 中的可测集，且 A ∩ B = ? ，T 是 R n 中任一集合，则 m * (T ∩ A ) + m * (T ∩ B ) = （ m *T ）。 4．如果 mE < +∞ ，f ( x ) 在 E 上有界，则 f ( x ) 在 E 上可积的充分必要条件是（ f ( x ) 在 E 上可测 ）。 ? + ? n ? 5．设 A 1 1 ( 1) = ?1 + , 3 + ? , (n = 1, 2, ) ，则 lim A = （ (1, 3) ）。 n ? n 2 ? n n →∞ 三．（10 分）证明： E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I 证明：若 x ∈ E ? ∩ A α ，则 x ∈ E ，且存在α0 ∈ I ，使 x ∈/ α∈I 以 x ∈ ∪ (E ? A α ) 。 α∈I A ，故 x ∈ E ? A ，所 0 0 反之，若 x ∈ ∪ (E ? A α ) ，则存在α0 ∈ I ，使 x ∈ E ? A α0 ，从而 x ∈ E ，且 α∈I x ∈/ A 0 ，于是 x ∈ E 但 x ∈/ ∩ A α ，所以 x ∈ E ? ∩ A α 。 α∈I 综上可知 E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I α∈I 四．（第一小题 5 分，第二小题 8 分，共 13 分。） 设{E n } 是 R 中的可测集列，证明：
实变函数期末考试卷A卷[1]1(1)
实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。 6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。 7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。 三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x n nx R n ?+∞→103222 1sin 1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nx x n nx x f n 3222 1sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞ →x x f n n ； （3）因为 x nx nx x n nx nx x n nx 2121sin 12 1222132221=≤+≤+)(x F = 显然)(x F 在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理，有 0sin 1)(lim sin 1)(lim 103222 11032221=+=+??∞→∞→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n 2. 设?? ???=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算?]2,0[)(dx x f 。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。 于是 ? ??+=]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dx x f dx x f dx x f dx x dx x ??+=211026 112331=+= 四、证明题（每题8分，共40分）