实变函数期末考试卷A及参考答卷
数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)
《实变函数》期末考试卷（A）
试卷共 8 页第 2 页
实变函数期末考试卷(A)
2009级本科1、2班用考试时间2012年01月 04日一填空题（每小题3分，满分24分）
1 我们将定义在可测集q
E ?
上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任
取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：
()()()(),0,0,0.f x x E f f
x x E f +
∈>?=?∈≤?当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f f x f x x E f -
∈>?=?-∈≤?
当时当时
分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x +-和()f x 之间的关系：
()f x =
，()f x =
。
2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是：
1
2
k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡
（非负常数）（1,2,,i k =）.?在E 上的L 积分定义为：
()E
x dx ?=?，
这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说?是L 可
积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：
()E
f x dx =
?，
这个积分值可能落在区间中，但只有当
时才能说f 是L 可
积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -
， 即()E
f
x dx +
?和()E f x dx -?的值
；但只有当
时才能
说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：
()E
f x dx =
?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ；
如果再添上条件和
就得到列
维定理的结论：
。
6 设f 和()1,2,
n f n =都是()M E 中的可测函数，满足
()()lim n n f x f x a e →∞
= 于E 或n f f ?两个条件之一。 如果再添上下例两个条件之一： 或
（1）； （2）
。
7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集,p q A B ??上的笛卡尔积P q A B +??上的可测函数()(),f P f x y =的积分可化为累次积分
的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了： （1） ； （2）
。
两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ?上可积的
条件，但不是
条件。
8 斯蒂尔切斯积分的定义是：
。
二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分） [ ] 1定义在p
E ?
上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情况
有：
（A ）x E ?∈，()f x +与()f x -不同时取正值，但可能同时为零；
（B ）x E ?∈，()f x +与()f x -可能同时取正值，也可能同时为零；
（C ）E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部； （D ）E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数的
正部与负部。
[ ] 2 设12
k E E E E =是q 中有限个互不相交的可测集的并集，函数?在i E 上的值恒等于常数i c （1,2,,i k =），则?在E 上L 可积的充要条件有： （A ）mE <+∞； （B ）当i mE =+∞时0i c =； （C ）12,,,k E E E 均为测度有限集； （D ）每个i i c mE 均为有限数。 [ ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的，这是因为：
（A ）()E
f x dx <+∞?；（B ）()E
f x dx +?和()E
f x dx -?都是有限数； （C ）()()00E
f x f
x dx --
≡?=<+∞?；（D ）()0.E
f x dx --∞≤
i i i f x f x -=-∑
()01n a x x x b =<<
<=都不会超过全变差()b
a
V f ，而且当[][]12,,a x a x ?时有
()()12x x a
a
V f V f ≤.由这两条结论可以推知：
（A ）()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{}()sup ,,b
a
f x f y x y a b V f -∈≤；
（B ）[],x a b ?∈有()()()b
a
f x f a V f ≤+；
（C ）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；
（D ）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。 [ ] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数，下列结论正确的有：
（A ）用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x
a F x f t dt =?，满足()()F x f x a e '=于[],a
b ；
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（B ）每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数()F x '，
而且满足牛氏公式
()()()b
a
F x dx F b F a '=-?
；
（C ）每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数，同时
满足牛氏公式 ()()()b
a F x dx F
b F a '=-?；
（D ）在[],a b 上几乎处处有导数的有界函数()F x 不一定连续，但()F x 本身
一定可积。而它的导函数()F x '就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。
三 设q
E ?
满足：0ε?>，?闭集F E ε?使()*m E F εε-<. 试证明E 是可测
集。 （8分）
四 我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集
q E ?上的实函数称为是可测的，如果它能表达成E 上一列简单函数的极限函数.
现在请你用这个定义证明：
E 上两个可测函数()(),f x g x 的乘积()()f x g x 还是E 上可测函数。
（7分） 五 设(){}n f x 是q
E ?
上的L 可积函数列，并且正项级数()1n n E
f x dx ∞
=∑?收
敛。试证明函数项级数()1n n f x ∞
=∑几乎处处收敛，它的和函数()()1n n S x f x ∞
==∑在E 上
L 可积，而且满足逐项积分公式：
()()1n n E
E
S x dx f x dx ∞
==∑?
?. （12分）
六 设f 是[,a b [],a b 上的连续函数g 使
（12分）
七 设(){}k f x 是p
E ?
上非负可测函数列, ()()lim k k f x f x →∞
=,并且
()()()12k f x f x f x ≥≥≥≥
.
若有某个()0k f x 在E 上L 上可积。试证明()f x 也在E 上可积，并且 ()()lim k E E k f x dx f x dx →∞
=??. （10分）
八 设()f x 在1E ?上L 可积,()0E
f x dx a =>?,试证明：()0,1μ?∈，存在E 的
可测子集e 使
()e
f x dx μ=? （12分）
实变函数期末考试卷(A)参考答卷 试卷 共 8 页 第 5 页 试卷 共 8 页 第 7 页
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2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日
一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q
E ?
上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任
取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：
()()()(),0,
0,0.f x x E f f
x x E f +
∈>?=?
∈≤?
当时当时 和()()()()0,
0,
,0.
x E f f
x f
x x E f -
∈>?=?-∈≤?
当时当时
分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f
x +-
和()f x 之间的关系：
()()()f x f x f x +-=-，()()()f x f x f x +-=+。
2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡
（非负常数）（1,2,,i k =）.?在E 上的L 积分定义为： ()1122k k E
x dx c mE c mE c mE ?=+++?，
这个积分值可能落在区间[]0,+∞中，但只有当()E x dx ?<+∞?时才能说?是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：
()()()(){}sup 0E
E
f x dx x dx E x f x ???=?∈≤≤??是简单函数,且有， 这个积分值可能落在区间[]0,+∞中，但只有当()E
x dx ?<+∞?时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -至少有一个可积， 即()E
f
x dx +
?和()E f x dx -?的值+∞不全为；但只有当f f +-和都可积时才能说f 是L
可积的，这时将它的积分定义为：
()()()E
E
E f x dx f
x dx f x dx +
-=-??
?.
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：
()()lim lim n
n E E n n f
x dx f x dx →∞→∞
≤?
?；
如果再添上条件()()()12n f x f x f x ≤≤≤≤和()()lim n n f x f x →∞
=就得到列维定理的结
论： ()()lim n E E n f x dx f x dx →∞
=??.
6 设f 和()1,2,
n f n =都是()M E 中的可测函数，满足
()()lim n n f x f x a e →∞
= 于E 或n f f ?两个条件之一。
或 就可得到勒贝格控制收敛的结论：
（1）()()lim 0n E n f x f x dx →∞
-=?；
（2）()()lim n E E n f x dx f x dx →∞
=??.
7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集
,p
q
A B ?
?
上的笛卡尔积P q
A B +??
上的可测函数()(),f P f x y =的积分可化为
累次积分
的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了： （1）f A B ?在上非负可测 ；
（2）f A B L ?在上可积。
两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ?上可积的必要条件，但不是充分 条件。
8 斯蒂尔切斯积分的定义是：
二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分） [ AD ] 1定义在p
E ?
上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情况
有：
（A ）x E ?∈，()f x +与()f x -不同时取正值，但可能同时为零；
（B ）x E ?∈，()f x +与()f x -可能同时取正值，也可能同时为零；
（C ）E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部； （D ）E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数的
正部与负部。
[ BD ] 2 设12
k E E E E =是q 中有限个互不相交的可测集的并集，函数?在i E 上的值恒等于常数i c （1,2,,i k =），则?在E 上L 可积的充要条件有：
（A ）mE <+∞； （B ）当i mE =+∞时0i c =； （C ）12,,,k E E E 均为测度有限集； （D ）每个i i c mE 均为有限数。 [ C ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的，这是因为：
（A ）()E f x dx <+∞?；（B ）()E f
x dx +
?和()E f x dx -?都是有限数； （C ）()()00E f x f x dx --≡?=<+∞?；（D ）()0.E
f x dx --∞≤
[ABCD] 4 [],a b 上的有界变差函数()f x 的任一个变差()()11n
i i i f x f x -=-∑
()01n a x x x b =<<
<=都不会超过全变差()b
a
V f ，而且当[][]12,,a x a x ?时有
()()12x x a
a
V f V f ≤.由这两条结论可以推知：
（A ）()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{}()sup ,,b
a
f x f y x y a b V f -∈≤；
（B ）[],x a b ?∈有()()()b
a
f x f a V f ≤+；
（C ）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；
（D ）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。 [ABCD] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数，下列结论正确的有：
（A ）用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x
a F x f t dt =?，满足()()F x f x a e '=于[],a
b ；
答卷 共 6 页 第 2 页
（B ）每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数()F x '，
而且满足牛氏公式
()()()b
a
F x dx F b F a '=-?
；
（C ）每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数，同时
满足牛氏公式 ()()()b
a F x dx F
b F a '=-?；
（D ）在[],a b 上几乎处处有导数的有界函数()F x 不一定连续，但()F x 本身
一定可积。而它的导函数()F x '就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。
三 设q
E ?
满足：0ε?>，?闭集F E ε?使()*m E F εε-<. 试证明E 是可测
集。 （8分）
证明 依题意，对每个自然数n 都有闭集n F E ?使()*1n m E F n -<，取
1n n F F ∞
==
令n →∞取极限得()*0m E F -=，所以E F -是可测集，于是 ()E E F F =-是可测集
四 我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集q E ?上的实函数称为是可测的，如果它能表达成E 上一列简单函数的极限函数.
现在请你用这个定义证明：E 上两个可测函数()(),f x g x 的乘积()()f x g x 还是E 上可测函数。
（7分） 证明 因为()(),f x g x 均可测，所以存在E 上简单函数列(){}(){},n n x ?ψ使
()()()()lim ,
lim ,
n n n n f x x g x x x E ?ψ→∞
→∞
==?∈.
于是有 ()()()()lim n n n f x g x x x ?ψ→∞
=.
因为()(){}n n x x ?ψ也是简单函数列，所以()()f x g x 仍是E 上的可测函数。
五 设(){}n f x 是q
E ?
上的L 可积函数列，并且正项级数()1n n E f x dx ∞
=∑?收
敛。试证明函数项级数()1n n f x ∞
=∑几乎处处收敛，它的和函数()()1n n S x f x ∞
==∑在E 上L 可积，而且满足逐项积分公式：
()()1n n E
E
S x dx f x dx ∞
==∑?
?. （12分）
证明 令()()1n n F x f x ∞
==∑，由逐项积分定理得
()()1n n E E F x dx f x dx ∞
==<+∞∑??，即非负函数()F x 在E 上L 可积， 于是()0F x a e ≤<+∞??于E ，即()()1n n F x f x ∞
==∑几乎处处收敛，因此
()1
n n f x ∞=∑
也几乎处处收敛。
令()()1n
n k k S x f x ==∑，则(){}n S x 是E 上的可测函数列，且
()()lim n n S x S x a e →∞
=??于E ，
()()n S x F x a e ≤??于E . 由勒贝格控制收敛定理得
()()()()11lim lim n n k k k k E
E
E
E
n n S x dx S x dx f x dx f x dx ∞
==→∞→∞
===∑∑?
???.
六 设f 是[],a b 上的L 可积函数，证明0ε?>，存在[],a b 上的连续函数g 使
()()[
]
,a b f x g x dx ε-
证明 因为f 在[],a b 上L 可积，所以f +和f -都在[],a b 上L 可积，于是存在简
单函数11,??
满足： ()()()()120,0x f x x f x ??+-≤≤≤≤
()[]
()[]()[]
1,,,4
a b a b a b f x dx x dx f x dx ε?+
+-<≤?
??， ()[
]
()[]
()[]2,,,4a b a b a b f x dx x dx f x dx ε
?---
<≤??
?
.
令()()()12x x x ???=-，则()x ?仍是[],a b 上的简单函数，且
442εεε<+=.
令()[]()max ,M x x a b ?=∈，取14M
ε
δ=
+，由鲁津定理，存在闭集[],F a b ?以及[],g C a b ∈，使得[](),\m a b F δ<，当x F ∈时()()g x x ?=，且在整个[],a b 上
()g x M ≤，于是
442M M δδεεε≤+<+=. 故
22εεε<+=. 七 设(){}k f x 是p
E ?
上非负可测函数列, ()()lim k k f x f x →∞
=,并且
()()()12k f x f x f x ≥≥≥≥
.
若有某个()0k f x 在E 上L 上可积。试证明()f x 也在E 上可积，并且 ()()lim k E E k f x dx f x dx →∞
=??. （10分）
证明 令()()()0k k k g x f x f x =-，则(){}0
k k k g x ∞
=是单调递增的非负可测函数列，
()()()0lim k k k g x f x f x →∞
=-.因为当0k k ≥时有
()()00b b
k k a
a
f x dx f x dx ≤≤≤+∞??，即()k f x 可积，所以由列维定理有：
()()()()0
lim b b
k k a
a
k g x dx f x f x dx →∞=-??
，即
()()()()00lim b
b
b
b
k k k a
a
a
a
k f x dx f x dx f x dx f x dx →∞-=-?
???.
由此即得
()()lim k
E
E
k f x dx f x dx
→∞=?
?
. 答卷 共 6 页 第 4 页
答卷 共 6 页 第 5 页
八 设()f x 在1
E ?
上L 可积,()0E
f x dx a =>?,试证明：()0,1μ?∈，存在E 的
可测子集e 使
()e f x dx μ=? （12分）
证明 作[)0,+∞上的实函数 ()()()
[),,
0,E
t t F t f x dx t -=∈+∞?
.
则()()00,lim t F F t a μ→∞
==>，由极限的保号性，存在0T >使()F T μ>.下面证明()F t 在[]0,T 上连续：
当[)00,,0t T t ∈?>时，()F t 的定义得 ()()()(][)000000,,E
t t t t t t F t t F t f t dt ??--?-+???
+?-=?，
据此用积分的绝对连续性得
()()000lim t F t t F t +
?→+?=，所以()F t 在[)0,T 上右连续。
同理可证()F t 在(]0,T 上左连续。故()F t 在[]0,T 上连续。
因为()()0F F T μ<<，所以由连续函数的介值定理，存()10,t T ∈使 ()1F t μ=，取()()1,e E
t t E =-?就有()e f x dx μ=?.
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实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
实变函数期末考试卷A卷完整版
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
实变函数集合标准答案
第一章 集合 一、內容小结 1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入 了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。 2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定 理。 3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点 1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式 上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。条件为A,B 不交。 2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C 必可数。 3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法 4. 肯定方面与否定方面。B X B X ?∈与, 5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其 中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。 6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯 坦定理）来进行相应的证明。 7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算 得到可数、第四节定理6. 8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。∞E R n , 三、习题解答 1. 证明：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 证明 则若设,).(A x C B A x ∈∈I Y B A x Y ∈,得).()(C A B A x Y I Y ∈ 若 则同样有设,C B x I ∈B A x Y ∈且C A x Y ∈，得 ).()(C A B A x Y I Y ∈因此 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y ? 设)()(C A B A x Y I Y ∈则若,.A x ∈当然有)()(C A B A x Y I Y ∈，若,.A x ?由B A x Y ∈且C A x Y ∈，可知B x ∈若.且c x ∈.，所以,C B x I ∈同样有).(C B A x I Y ∈因此?)()(C A B A Y I Y )(C B A I Y ， 所以)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 2. 证明
实变函数 期末考试
黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11
（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分)
实变函数论主要知识点.docx
实变函数论主要知识点 第一章集合 1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限； 练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）； ②证明E[f>a]=QE[f>a + -]； ?=i n 2、对等与基数的定义及性质； 练习：①证明（0,1）□口； ②证明（0,1）0 [0,1]； 3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合 的基数； 练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ?Q =________ ； ④[0,1 ]中有理数集E的相关结论； 4、不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习：?（0J）= _______ ； ②卩= ________ （P为Cantor集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： ⑴ g(x,y)=g(y,x)； (2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； (3) g(kx,y)=kg(x,y)； (4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法)；开核，导集，闭包的概念、性质及判定(求法); 聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造; 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：?P=__________ , P' = ______ , P= ________
(20080619)实变函数期末复习指导(文本)
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B，则A ?B ，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和― Ｅ都是闭集。（?称为开核，― Ｅ称为闭包的理由也 在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс ∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限； 练习： ①证明()()A B C A B C --=-U ； ②证明1 1[][]n E f a E f a n ∞=>=≥+U ； 2、 对等与基数的定义及性质； 练习： ①证明(0,1):?； ②证明(0,1)[0,1]:； 3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数； 练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体 所成的集合为一可数集； ③Q = ； ④[0,1]中有理数集E 的相关结论； 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V 上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0
时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）； 聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。 内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造； 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：①P=o，P'=，P=； ②11 1,,,, 2n ' ?? ?? ?? L L= ； 第三章测度论 1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）； 2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
实变函数重点题集
3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=? 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =[]0,1,o E =?,E =[]0,1. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =?+?，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使11|()()|n i i i f x f x -=??-????∑成一有界数集,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。错误 2、若0=mE ，则E 一定是可数集.错误例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。错误 二、2. 下列说法不正确的是(C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言(B )是正确的。 （A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( C )是错误的。 （A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 1、设11[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A lim _________。 2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o P =________。 3、设{}i S 是一列可测集，则11 ______i i i i m S mS ∞∞==??? ???∑ 4、鲁津定理：______________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。 答案：()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。
泛函分析知识点
泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意
最新物理书籍知识点汇总
最新物理书籍知识点汇总 科普知识： 《定性与半定量物理学》赵凯华 《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌 《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman 《大宇之形》丘成桐 《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez 《趣味力学》别莱利曼 《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思） 考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字) 数学分析： 书目： 《数学分析教程》常庚哲 《数学分析新讲》张筑生 《数学分析》卓里奇 《数学分析八讲》辛钦 《数学分析讲义》陈天权 《数学分析习题课讲义》谢惠民等 《数学分析习题集》北大版？ 《特殊函数概论》王竹溪 线性代数Linear Algebra 内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。 书目： 《高等代数简明教程》蓝以中 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax 《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay 力学Mechanics 先修课程：高等数学 内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、 刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。 书目： 《力学》赵凯华 《力学》舒幼生 《经典力学》朗道 《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow 狭义相对论：《狭义相对论》刘辽 《The Principle of Relativity》Einstein 广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee
实变函数期末考试卷A卷[1]1(1)
实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。 6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。 7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。 三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x n nx R n ?+∞→103222 1sin 1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nx x n nx x f n 3222 1sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞ →x x f n n ； （3）因为 x nx nx x n nx nx x n nx 2121sin 12 1222132221=≤+≤+)(x F = 显然)(x F 在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理，有 0sin 1)(lim sin 1)(lim 103222 11032221=+=+??∞→∞→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n 2. 设?? ???=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算?]2,0[)(dx x f 。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。 于是 ? ??+=]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dx x f dx x f dx x f dx x dx x ??+=211026 112331=+= 四、证明题（每题8分，共40分）
实变函数题库集答案
实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1．设,A B 为集合，则()\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ? 是可数集，则* m E =0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈ ，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{} 211,2,A k k =-= ，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ? ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则* m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈ ，()E x f x a ??