电磁场中的单杆模型.

模型组合讲解——电磁场中的单杆模型

［模型概述］

在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜面导轨”“竖直导轨”等。

［模型讲解］

一、单杆在磁场中匀速运动

例1. （2005年河南省实验中学预测题）如图1所示，R R 125==6ΩΩ，，电压表与电流表的量程分别为0～10V 和0～3A ，电表均为理想电表。导体棒ab 与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab 棒处于匀强磁场中。

图1

（1）当变阻器R 接入电路的阻值调到30Ω，且用F 1＝40N 的水平拉力向右拉ab 棒并使之达到稳定速度v 1时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab 棒的速度v 1是多少？

（2）当变阻器R 接入电路的阻值调到3Ω，且仍使ab 棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab 棒的水平向右的拉力F 2是多大？ 解析：（1）假设电流表指针满偏，即I ＝3A ，那么此时电压表的示数为U ＝IR 并＝15V ，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。因此，应该是电压表正好达到满偏。 当电压表满偏时，即U 1＝10V ，此时电流表示数为

I U R A 112==并

设a 、b 棒稳定时的速度为v 1，产生的感应电动势为E 1，则E 1＝BLv 1，且E 1＝I 1(R 1＋R 并)＝20V

a 、

b 棒受到的安培力为

F 1＝BIL ＝40N

解得v m s 11=/

（2）利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I 2＝3A ，此时电压表的示数为U I R 22=并＝6V 可以安全使用，符合题意。

由F ＝BIL 可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以

F I I F N N 221132

4060=

==×。 二、单杠在磁场中匀变速运动

例2. （2005年南京市金陵中学质量检测）如图2甲所示，一个足够长的“U ”形金属导轨NMPQ 固定在水平面内，MN 、PQ 两导轨间的宽为L ＝0.50m 。一根质量为m ＝0.50kg 的均匀金属导体棒ab 静止在导轨上且接触良好，abMP 恰好围成一个正方形。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。ab 棒的电阻为R ＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。开始时，磁感应强度B T 0050=.。

图2

（1）若保持磁感应强度B 0的大小不变，从t ＝0时刻开始，给ab 棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F 的大小随时间t 变化关系如图2乙所示。求匀加速运动的加速度及ab 棒与导轨间的滑动摩擦力。

（2）若从t ＝0开始，使磁感应强度的大小从B 0开始使其以??B t

＝0.20T/s 的变化率均匀增加。求经过多长时间ab 棒开始滑动？此时通过ab 棒的电流大小和方向如何？（ab 棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）

解析：（1）当t ＝0时，F N F F ma f 113=-=，

当t ＝2s 时，F 2＝8N

F F B B Lat R

L ma f 200--= 联立以上式得：

a F F R B L t

m s F F ma N f =-==-=()/210222141， （2）当F F f 安=时，为导体棒刚滑动的临界条件，则有：

B B t L

R

L F f ??2=

则B T B B B t

t t s ==+

=41750，，??. 三、单杆在磁场中变速运动

例3. （2005年上海高考）如图3所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m ，导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R 的电阻。匀速磁场方向与导轨平面垂直。质量为0.2kg 、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。

图3

（1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；

（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R 消耗的功率为8W ，求该速度的大小；

（3）在上问中，若R ＝2Ω，金属棒中的电流方向由a 到b ，求磁感应强度的大小与方向。（g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

解析：（1）金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律

mg mg ma sin cos θμθ-= ①

由①式解得 a m s =42/ ②

（2）设金属棒运动达到稳定时，速度为v ，所受安培力为F ，棒在沿导轨方向受力平衡： mg mg F sin cos θμθ--=0 ③

此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R 消耗的电功率

Fv P = ④

由③、④两式解得：

v m s =10/ ⑤

（3）设电路中电流为I ，两导轨间金属棒的长为l ，磁场的磁感应强度为B

I vBl R

= ⑥ P I R =2 ⑦

由⑥、⑦两式解得 B PR vl

T ==04. ⑧ 磁场方向垂直导轨平面向上。

四、变杆问题

例4. （2005年肇庆市模拟）如图4所示，边长为L ＝2m 的正方形导线框ABCD 和一金属棒MN 由粗细相同的同种材料制成，每米长电阻为R 0＝1Ω/m ，以导线框两条对角线交点O 为圆心，半径r ＝0.5m 的匀强磁场区域的磁感应强度为B ＝0.5T ，方向垂直纸面向里且垂直于导线框所在平面，金属棒MN 与导线框接触良好且与对角线AC 平行放置于导线框上。若棒以v ＝4m/s 的速度沿垂直于AC 方向向右匀速运动，当运动至AC 位置时，求（计算结果保留二位有效数字）：

图4

（1）棒MN 上通过的电流强度大小和方向；

（2）棒MN 所受安培力的大小和方向。

解析：（1）棒MN 运动至AC 位置时，棒上感应电动势为E B r v =2· 线路总电阻R L L R =+

()20。 MN 棒上的电流I E R

= 将数值代入上述式子可得：

I ＝0.41A ，电流方向：N →M

（2）棒MN 所受的安培力：

F B rI N F A A ==2021.，方向垂直AC 向左。

说明：要特别注意公式E ＝BLv 中的L 为切割磁感线的有效长度，即在磁场中与速度方向垂直的导线长度。

［模型要点］

（1）力电角度：与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化→导体棒产生感应电动势→感应电流→导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，循环结束时加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态。

（2）电学角度：判断产生电磁感应现象的那一部分导体（电源）→利用E N

t =?Φ?或E BLv =求感应电动势的大小→利用右手定则或楞次定律判断电流方向→分析电路结构→画等效电路图。

（3）力能角度：电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。

［误区点拨］

正确应答导体棒相关量（速度、加速度、功率等）最大、最小等极值问题的关键是从力电角度分析导体单棒运动过程；而对于处理空间距离时很多同学总想到动能定律，但对于导体单棒问题我们还可以更多的考虑动量定理。所以解答导体单棒问题一般是抓住力是改变物体运动状态的原因，通过分析受力，结合运动过程，知道加速度和速度的关系，结合动量定理、能量守恒就能解决。

［模型演练］

1. （2005年大联考）如图5所示，足够长金属导轨MN 和PQ 与R 相连，平行地放在水平桌面上。质量为m 的金属杆ab 可以无摩擦地沿导轨运动。导轨与ab 杆的电阻不计，导轨宽度为L ，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面。现给金属杆ab 一个瞬时冲量I 0，使ab 杆向右滑行。

图5

（1）回路最大电流是多少？

（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q 时，杆ab 的加速度多大？

（3）杆ab 从开始运动到停下共滑行了多少距离？

答案：（1）由动量定理I mv 000=-得v I m

00= 由题可知金属杆作减速运动，刚开始有最大速度时有最大E BLv m =0，所以回路最大电流：

I BLv R BLI mR

m ==00 （2）设此时杆的速度为v ，由动能定理有： W mv mv A =-1212

202而Q ＝-W A 解之 v I m Q m =

-0222 由牛顿第二定律F BIL ma A ==及闭合电路欧姆定律

I BLv R

=得

a B L v mR B L mR I m

Q m ==-2222

0222 （3）对全过程应用动量定理有：

-=-∑BI L t I i ·?00

而I t q i ·?∑=所以有q I BL

=0 又q I t E R t R t t R BLx R

=====·???Φ???Φ 其中x 为杆滑行的距离所以有x I R B L =

022

。 2. （2005年南通调研）如图6所示，光滑平行的水平金属导轨MNPQ 相距l ，在M 点和P 点间接一个阻值为R 的电阻，在两导轨间OO O O 11''矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d 的匀强磁场，磁感强度为B 。一质量为m ，电阻为r 的导体棒ab ，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d 0。现用一大小为F 、水平向右的恒力拉ab 棒，使它由静止开始运动，棒ab 在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab 与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求：

图6

（1）棒ab 在离开磁场右边界时的速度；

（2）棒ab 通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能；

（3）试分析讨论ab 棒在磁场中可能的运动情况。

解析：（1）ab 棒离开磁场右边界前做匀速运动，速度为v m ，则有：

E Blv I E R r

m ==+， 对ab 棒F BIl -＝0，解得v F R r B l m =

+()22 （2）由能量守恒可得：

F d d W mv m ()0212

+=+电

解得：W F d d mF R r B l

电=+-+()()022

442 （3）设棒刚进入磁场时速度为v 由：

F d mv v Fd m

·可得：020122== 棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论： ①若2022Fd m F R r B l =+()（或F d B l m R r =+20442()

），则棒做匀速直线运动； ②若2022Fd m F R r B l <+()（或F d B l m R r >+20442()

），则棒先加速后匀速； ③若2022Fd m F R r B l >+()（或F d B l m R r <+20442

()），则棒先减速后匀速。