三角形证明总复习教案

个性化教学辅导教案

学科:数学任课教师：黄老师授课时间：2014 年07 月21 日(星期一) 姓名郭海琪年级八年级性别女三角形的证明

教学目标知识点：等腰三角形、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性质、线段的垂直平分线定理、角的平分线定理.

难点重点重点:一般三角形全等公理的回顾与运用，有关定理的探索和证明，其定理包括等腰三角形、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性质、线段的垂直平分线定理、角的平分线定理.

课堂教学过程课前

检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________

过

程

教学大纲：

A、主要知识点：

一、公理

（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角

（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠

A=180°—2∠B，

∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等

角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.

2.如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：

(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（）

A、(1)，(3)

B、(2)，(3)

C、(3)，(4)

D、(1)，(2)，(4)

（第1题图）（第2题图）

3、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC 的大小是（）

A、40°

B、45°

C、50°

D、60°

4、如图，在等边ABC

?中，,D E分别是,

BC AC上的点，且BD CE

=，AD与BE相交于点P，则12

∠+∠的度数是（）.

A．0

45B．0

55C．0

60D．0

（第3题图）（第4题图）

5、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与

CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°．

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

7、如图，已知ABC

△中，45

ABC

∠=o，4

AC=，H是高AD和BE的交点，则线段BH 的长度为（）

A．6B．4 C．23D．5

8、如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的

位置，BE交AD于点F.

求证：重叠部分（即BDF

?）是等腰三角形.

证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC

又∵BDE

?与BDC

?关于BD对称，

∴23

∠=∠. ∴BDF

?是等腰三角形.

第7题

C E

P Q

请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.

①12

∠=∠；②13

∠=∠；③34

∠=∠；④BDC BDE

∠=∠

A．①③B．②③C．②①D．③④

9、如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.

A. （1）

B. （2）

C. （3）

D. （4）

10、如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边三角形ABD，使得C、D在AB的同侧，再以CD为一边作等边三角形CDE，使得C、E在AD的异侧，若AE=1，则CD的长为（）

A、31

-B、

C、62

-D、

（第12题图）

（第13题图）

11、如图、在等边三角形ABC中，AC=9，点O在AC上且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转0

60得到线段OD，要使得点D恰好落在BC上，则AP的长为（）

A、4

B、5

C、6

D、7

（第13题图）12、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为cm.

13、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，

AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=

∠DAB ；④△ABC是正三角形。请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）。

14、在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和

（第10题图）（第11题图）

等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是______ __.(填序号)

15、如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.

16、如图15，在ABC ?中，AB=AC ，0

120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.

17、如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于点E ，若4BE =，则AC =_______ .

18、如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，?若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是_______．

（第17题图）（第18题图）（第19题

图）

19、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点

1232008P P P P L ，，，

，的位置，则点2008P 的横坐标为

20、已知：如图，,AB m BC n ==，D 是等腰ABC 底边BC 上一动点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。则DE+DF 的值为。

21.等边三角形ABC 中，D 是三角形内一点，DA = DB ，BE = AB ，∠CBD = ∠EBD ，求∠E 的度数；

22、两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的

A B C E D L L

25、如图，在?ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，

若0

∠=.

（1）求NMB

∠的度数；证明之；

（4）若将（1）中的A

∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

（2）如果将（1）中A

∠的度数改为0

70，其余条件不变，再求NMB

∠的度数；

课堂

检测

听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。

测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□课后

巩固

作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________

签字教学组长签字：学习管理师:

老师

课后

赏识

评价

老师最欣赏的地方：

老师想知道的事情：

老师的建议：

相似三角形基本类型证明题

发现、构造相似三角形的基本图形证题支其韶吴复相似三角形主要有四种基本类型。一、平行线型如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。求证：FB AF 2ED AE = 。例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。求证：2 GF GC GE GB ==。例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。求证： AY CY CZ BZ BX AX ??=1。

二、相交线型如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，且AE AD AB 2 ?=。求证：BC 平分∠DCE 。例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。求证：FB FC FG 2 ?=。三、旋转型如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。

如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=?90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD ∽△ABC 。例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。例7. 已知，如图11所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE=41 AD ， FG ⊥CE 于G 。求证：CG EG FG 2 ?=。例8. 已知，如图12所示，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 上的点，过O 作直线分别交DC 、AB 于M 、N ，交AD 的延长线于E ，交CB 的延长线于F 。求证：OE ·ON=OM ·OF 。

三角形全等的证明教案

三角形全等的证明【知识梳理】（一）三角形概述： 1．定义（包括内、外角） 2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 ⑶角与边：在同一三角形中 3．三角形的主要线段（1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线（2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质等腰三角形：定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。等边三角形的性质及判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5．全等三角形全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ：注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。寻找对应元素的方法：（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1），?BOC ≌?EOD ，?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的；等边等角大边大角小边小角

三角形的有关证明单元测试题

三角形的有关证明单元测试题时间: 120分钟满分:120分姓名: 一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分） 1．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．三角形ABC中，最多只有一个这个这样的∠A，则∠A的可能度数为（）A．40°B．80°C． 85°D．96° 3．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A．2,3,4 B．5,7,7 C．5,6,12 D．6,8,10 4．三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点 5．对三角形的高与三角形的形状描述正确的是（）A．三条高都在三角形的内部，这个三角形是直角三角形 B．两条高在三角形的外部，这个三角形是钝角三角形 C．三条高的交点在三角形的内部，这个三角形是直角三角形 D．三角形的三条高不能相交 6．下列不是全等三角形的性质的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的角相等 7．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C. 11 D．12 8．下列说法中，正确的是（）A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．三角对应相等的两个三角形全等 9．下列说法中，正确的是（） A．两个等腰三角形一定全等 B．两个等边三角形一定全等 C．两个直角三角形一定全等 D．斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 10．一条直线把等腰三角形分成两个全等的三角形，则这条直线具有的性质是（）A．垂直等腰三角形的一条腰 B．平分等腰三角形的一条腰 C．垂直平分等腰三角形的一条腰 D．它是等腰三角形的对称轴 11．如图1，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，添加一个适当的条件，还不能使得△ABC≌△DEF．这个的条件是（） A．AC=DF B．AB=ED C．∠A= ∠D D．AB∥DE 图 1

全等三角形证明方法归纳经典-(1)

【第1部分全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。（3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法图 3 图 1 图2

（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

初中数学经典相似三角形练习题(附)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？ 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案

知识讲解： 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C．有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１ 4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。（1）求证：AD＝BE

全等三角形证明方法

全等三角形得证明方法一、三角形全等得判定: （１)三组对应边分别相等得两个三角形全等(SSS); (2)有两边及其夹角对应相等得两个三角形全等(SＡS); (3)有两角及其夹边对应相等得两个三角形全等（ＡSＡ) ; (4）有两角及一角得对边对应相等得两个三角形全等（ＡAS) ； (5)直角三角形全等得判定:斜边及一直角边对应相等得两个直角三角形全等(HＬ)、二、全等三角形得性质: (1)全等三角形得对应边相等；全等三角形得对应角相等; （2)全等三角形得周长相等、面积相等；（３)全等三角形得对应边上得高对应相等; (4）全等三角形得对应角得角平分线相等； (5)全等三角形得对应边上得中线相等; 三、找全等三角形得方法: (1)可以从结论出发,瞧要证明相等得两条线段（或角)分别在哪两个可能全等得三角形中; （2)可以从已知条件出发,瞧已知条件可以确定哪两个三角形相等； (３)从条件与结论综合考虑,瞧它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形全等得证明中包含两个要素:边与角。 ①积极发现隐含条件: 公共角对顶角公共边 ②观察发现等角等边：等边对等角同角得余角相等同角得补角相等等角对等边等角得余角相等等角得补角相等 ③推理发现等边等角: 图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图４：等量与转化图５:等量差转化图６：角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图９:中垂线转化图10:全等转化图１1:等段转化四、构造辅助线得常用方法: １、关于角平分线得辅助线：当题目得条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线得性质构造辅助线。角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性; ②角平分线上得点到角两边得距离相等。关于角平分线常用得辅助线方法: (１)截取构造全等: 如下左图所示，ＯC就就是∠AOB得角平分线,D为OC上一点,Ｆ为OB上一点,若在OA上取一点Ｅ，使得OE＝OＦ，并连接DＥ，则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

全等三角形相似三角形证明(中难度题型)

全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A

八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案1新版北师大版

《回顾与思考》教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。教学重点通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固教学难点本章知识的综合性应用。教学过程知识回顾 1、等腰三角形的性质：（边）_______________ ；（角）_______________ ；“三线合一”的内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质：（边）_______________ ;（角）__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理：。逆定理：____________________________________________________________________ 。三角形的垂直平分线性质：___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理：。逆定理：____________________________________________________________________ 。三角形的角平分线性质：_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有：。 8 30°锐角的直角三角形的性质： ______________________________________________ 。 9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

沪科版数学八年级上册专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明

第一章三角形的证明 1等腰三角形第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论．重点掌握等腰三角形的性质定理及推论．难点证明等腰三角形的相关性质．一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： (1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质．二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理问题1：什么是等腰三角形？问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来．问题3 ：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质．引导学生得出等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD ⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ?? ? ?? AB＝AC BD＝CD AD＝AD ?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.

三角形的证明-知识点汇总

三角形的证明知识点汇总知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL （Rt △）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容几何语言条件与结论等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠ C 推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ，则AD 是BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一结论：该线也是其他两线等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形知识点4 等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法概念证明的一般步骤

全等三角形证明过程步骤练习

全等三角形训练一、知识点填空 (1)能够的两个图形叫做全等形，能够的两个三角形叫做全等三角形. (2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做 . (3)全等三角形的边相等，全等三角形的角相等. (4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或）. (5)两边和它们的对应相等的两个三角形全等（边角边或）. (6)两角和它们的对应相等的两个三角形全等（角边角或）. (7)两角和其中一角的对应相等的两个三角形全等（角角边或）. (8) 和一条对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或）. (9)角的上的点到角的两边的距离相等. 2.如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△CDO ≌ ，其中，CD 的对应边是， DO 的对应边是，OC 的对应边是； (2)△ABC ≌ ，∠A 的对应角是， ∠B 的对应角是，∠ACB 的对应角是 . 3. 如图，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，填空： (1)利用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，已知＝，可得＝； (2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，已知＝，可得＝； 4.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥DB ，填空： (1)已知AB ＝DC ，利用可以判定 △ABO ≌△DCO ； (2)已知AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，利用可以判△ABD ≌△DCA ； (3)已知AC ＝DB ，利用可以判定△ABC ≌△DCB ； (4)已知AO ＝DO ，利用可以判定△ABO ≌△DCO ； (5)已知AB ＝DC ，BD ＝CA ，利用可以判定△ABD ≌△DCA. 二、推理填空，完成下面的证明过程： 5. 如图，OA ＝OC ，OB ＝OD. 求证：AB ∥DC. 证明：在△ABO 和△CDO 中， OA OC , AOB __________,OB OD ,?=? ∠=??=? ∴△ABO ≌△CDO （）. ∴∠A ＝ . A B C D E O A B C D O 12O A B C

相似三角形几何题

1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。求证：AC AF AB AE ?=?； 2为了加强视力保护意识，小明想在长为米，宽为米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分) （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？ 3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分) （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2 ． ①求y 关于x 的函数关系式； ②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值． 4已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1． (1)求证：△ABD ∽△CBA ； (2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长． H H （图1）（图2）（图3）㎝ A C F 3m B 5m D A B C D E F P ·

《三角形的证明》复习教案

第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图垂直平分线的应用：（1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置（2）确定线段的中点（3）过一点作已知直线或线段的垂线角平分线的应用（1）把一个角分成n2等份（2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点（3）与垂直平分线结合，解决实际问题 3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL）双基训练： 1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________. 2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________. 3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________. 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为． 7．Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠B=30o，则AC与AB两边的关系

是， 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是。 9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（） A.30° B.36° C.45° D.70° 11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12．如图， DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。已知： . 求证： . 证明：提升练习 16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A

三角形的证明知识点汇总

百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容几何语言条件与结论等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一结论：该线也是其他两线等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形知识点4 等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法概念证明的一般步骤

全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题典型例题：知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程：已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=?

例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ）（2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。解答过程：连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ?