初中几何反证法专题

初中几何反证法专题

学习要求

了解反证法的意义，懂得什么是反证法。

理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。

知识讲解

对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。

1．反证法的概念：

不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2．反证法的基本思路：

首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。

3．反证法的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立；

(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。

（1）

证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点

∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

同理可得：

OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM

这与已知的定理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，

且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC

（2）

证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中

∵BM＝MA，BP＝PD

∴MP AD，同理可证PN BC

从而MP＋PN＝（AD＋BC）①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，

于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN②

由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）

相矛盾，

故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

课堂练习

1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B

求证：m和n必相交。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与

BE不能被点H互相平分。

4．求证：直线与圆最多只有两个交点。

5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

已知：△ABC中，AB＝AC

求证：∠B、∠C必为锐角。

参考答案：

1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°

则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

2．证明：假设m和n不相交则

m∥n

∵m⊥l ∴n⊥l

这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

∴AE∥BD，即AC∥BC

这与AC、BC相交于C点矛盾，

故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

所以AD与BE不能被点H互相平分。

4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，

M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC

∴在等腰△OAB和△OBC中

OM⊥AB，ON⊥BC

从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，

则可能有两种情况：

(1)∠B＝∠C＝90°

(2)∠B＝∠C＞90°

若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和定理矛盾。

若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。

故∠B、∠C必为锐角。

本讲小结

对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并

运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。

所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，

进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得

出结论的反面不成立，于是原结论成立。

反证法证题的一般步骤是：

(1)反设：将结论的反面作为假设；

(2)归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知

矛盾的结果；

(3)结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正

确。

运用“反证法”的关键：

反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。

“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”

命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的

命题都可考虑用反证法。

课后作业

1．求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、

△CDA、△DAB都是锐角三角形。

2．在△ABC中，AB＝AC，P是内部一点且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。

3．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。

4．求证：在△ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E，连结AD、BE，则AD和BE必定不能互相平分。

5．已知△ABC为不等边三角形，AD⊥BC于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等。

参考答案：

1．证明：假设存在凸四边形ABCD，

使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。

则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°。

这与四边形ABCD中

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°矛盾。

故假设不能成立，所以原命题成立。

2．证明：假设PB PC，即PB＞PC或PB＝PC

(1)当PB＞PC时（如图）

在△PBC中，可得＜PCB＞∠PBC

∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB，从而∠ABP＞∠ACP①

在△BAP与△CAP中

∵AB＝AC，AP＝AP，PB＞PC

∴∠BAP＞∠CAP②

由①②和三角形内角和定理，可得∠APB＜∠APC，

这与已知∠APB＞∠APC相矛盾。

(2)当PB＝PC时，在△APB与△APC中

∵AP＝AP，BP＝CP，AB＝AC

∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC

这与已知∠APB＞∠APC相矛盾，

由(1)(2)可知假设PB PC不成立。

故PB＞PC。

3．证明：不妨设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C

假设∠A、∠B、∠C中设有一个大于或等于60°，

则它们都小于60°。

即∠A＜60°、∠B＜60°、∠C＜60°

∴∠A＋∠B＋∠C＜180°这与三角形内角和定理矛盾，

这说明假设不成立。

故∠A、∠B、∠C中至少有一个大于或等于60°。

4．证明：假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。

所以AE∥EB，即AC∥BC

这与AC与BC相交于C点矛盾，

故假设AD与BE互相平分不能成立。

所以AD和BE必定不能互相平分。

5．证明：作BE⊥AB于E，DF⊥AC于F

假设DE＝DF，则∠1＝∠2

∵AD⊥BC

∴ ∠B＝90°－∠1

∠C＝90°－∠2

∴ ∠B＝∠C

∴ AB＝AC这与△ABC为不等边三角形矛盾。

故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。