毕业论文：浅谈中学数学中的反证法-审核通过

毕业论文

学生姓名XXX 学号XXX 学院数学科学学院

专业数学与应用数学

题目浅谈中学数学中的反证法

XXX 副教授/博士

指导教师

2014 年 5 月

摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.

关键词：反证法，适用范围，假设

Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.

Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis

目录

1引言 (4)

2反证法的概述 (4)

3 反证法的适用范围 (5)

4运用反证法应该注意的问题 (10)

总结 (11)

参考文献 (12)

致谢 (13)

1 引言

1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：

假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体a比物体b的重量重很多，则a应比b先落地.现在把物体a和b绑在一起成为物体c，则c=a+b.一方面，由于c比a要重，它应该比a先落地.另一方面，由于a比b落得快，a、b一起的时候，b应该是“拉了a的后腿”迫使a的下落速度减慢，所以，物体c应该比a后落地.这样一来，c应比a先落地又应比a 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.

伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.

2 反证法的概述

2.1 反证法的概念

反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.

还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若A则B”,当A B

???（其中B

?为真，则B A

?表示命题B的否定）为真，当A B

?为假，则B A

???为假.

2.2 运用反证法的步骤

运用反证法证题一般分为三个步骤：

1）假设原命题不成立；

2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；

3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.

即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.

2.3 反证法的种类

应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.

1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.

2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.

3 反证法的适用范围

我们知道，若一个数学命题形如“若A 则B ”式，一般都能够用反证法来证明.证题的

实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.

3.1 否定性命题

否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.

例1 设}{n a 、}{n b 是公比不相等的两个等比数列.n n n c a b =+，证明数列}{n c 不是等比数列.

证明 假设}{n c 是等比数列.则2

21n n n c c c ++= ,即

()()()

2

2211n n n n n n a b a b a b ++++++=+,

整理得到

22

222211112n n n n n n n n n n n n a a a b b a b b a a b b ++++++++++++=++ . ()*

因为 }{n a ，}{n b 是等比数列，所以 221n n n a a a ++= , 2

21n n n b b b ++=.由()*式可得

22112n n n n n n a b b a a b +++++=.

设 11n n a a q += , 12n n b b q +=，则

2

221122n n n n n n a b q b a q a q b q +=.

因为 n n a b 0≠，所以

2

221122q q q q +=.即 ()2

120q q -=，所以 12q q = 与已知条件两个等

比数列公比不相等矛盾.所以}{n c 不是等比数列.

分析 在这题中要求证明}{n c 不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设}{n c 是等比数列，一个数列是等比数列是有条件的，这使得证明变得有迹可循.

3.2 限定性命题

限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类

命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.

例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.

证明 假设44位同学分成n 组，()n N *∈且 9n ≥.因为任意两组人数不相等，所以 n 个小组的同学总共至少有人数为

()

+1123++=

2

n n n ++L . 因为9n ≥，所以总共人数()+12

n n ≥

910

452

?=人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 至多分成8组.

例3 设(),,,0a b c ∈-∞,则1a b +，1b c

+，1

c a +至少有一个不大于2-.

证明 假设1

a b +，1b c

+，1

c a +

都大于2-.即 12a b +>- , 12b c +>- , 1

2c a

+>-. 将三个式子相加，得

1

a b

+

+1b c ++16c a +>-. （1）

又因为 1

2a a

+≤-, 12b b

+≤-,12c c

+≤-.将三个式子相加，得

1a b +

+1b c ++1

c a

+6≤-. （2）

结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以1

a b

+，1b c

+，1

c a

+至少有一个不大于2-.

3.3 无穷性命题

无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够

得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.

例4证明 质数的个数是无穷的.

证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有k 个质数，则可以将全体质数列举如下

1,2,3,......k p p p p . 令

123........+1k q p p p p =，

其中，q 是自然数.且q 不能被1,2,3,......k p p p p 中任何一数整除，所以q 是质数.这与假设只有

k 个质数1,2,3,......k p p p p 矛盾，因此质数的个数是无穷的.

3.4 唯一性命题

唯一性命题即结论有“有且仅有”，“只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉

我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.

例5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行. 已知点p ，直线l .求证过点p 和直线l 平行的直线a 有且只有一条.

证明 假设过点p 还有一条直线b 与直线l 平行. 因为 点p 在直线l 外,所以 点p 和直线l 确定一个平面α.在平面α内过点p 能作出一条直线与直线l 平行.（由平面几何知识得） 所以直线a 存在.因为直线l //a l //b ,所以直线a //b .这与直线a ，b 共过p 点矛盾，故假设不成立,所以直线a 是唯一的.故，过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.

3.5 整除性命题

整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题. 例6 设a ，b 都是整数，22a b +能被3整除，证明 a 和b 都能被3整除. 证明 分三种情况：

()1 a ，b 都不能被3整除.

因为a 不能被3整除，故2a 不能被3整除.同理 2b 不能被3整除.所以 22a b +不能被3

整除，与已知相矛盾.

()2 a 能被3整除，b 不能被3整除.

由此可知，2a 能被3整除，2b 不能被3整除,所以22a b +不能被3整除，与已知相矛盾.

()3 a 不能被3整除，b 能被3整除,

与()2同理，22a b +不能被3整除，与已知相矛盾.

由()1、()2、()3与已知矛盾可知，假设不成立.所以原命题成立.

3.6 某些存在性命题

某些存在性命题即某些结论有“存在……使……、“存在满足条件的……”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.

例7设(),0,1m n ∈，求证：对于,A R B R ∈∈，存在有满足条件的,m n ，使得

1

3

mn Am Bn --≥

成立.

证明 假设对于一切的[],0,1m n ∈，使1

3

mn Am Bn --<恒成立.

令 0,1m n ==，则 13B <.

令 1,0m n ==，则 1

3

A <.

令 1m n == ,得 1

13

A B --<.

而 111

111333

A B A B --≥-->--=, 则产生矛盾.所以假设不成立，原命题成立.

3.7 不等性命题

不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.

例8 当330,0,2p q p q >>+=，证明 2p q +≤. 证明 假设2p q +>则()3

8p q +>，即

333()8p q pq p q +++>,

因为332p q +=，故()2pq p q +>.于是

()()3322()2pq p q p q p q p pq q +>=+=+-+.

又因为0,0p q >>，即0p q +>,所以22pq p pq q >-+，即()2

0p q -<, 此式不成立.所以假设不成立，当330,0,2p q p q >>+=时2p q +≤.

例9 已知,,,a b c d R ∈，且1ad bc -=，证明22221a b c d ab cd +++++≠. 证明 假设

22221a b c d ab cd +++++=.

把1ad bc -=代入前式可得

22220a b c d ab bc ad cd +++++-+=,

即

()()()()

2222

0a b b c c d a d ++++++-=.

因为,,,a b c d R ∈，所以0a b b c c d a d +=+=+=-=.因为a b c d ===，则0ad bc -=与

1ad bc -=矛盾.所以假设不成立，原命题成立.

3.8 起始性命题

学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、

公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.

例10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.

已知直线x ，y 相交于点P ，证明 x ，y 只有P 一个交点.

证明 假设直线x ，y 相交不止一个交点.则至少有两个交点P ，Q .则直线x 是由P ，Q 两点确定的直线，直线y 是由P ，Q 两点确定的直线.即由P ，Q 两点确定了两条直线，x ，

y .与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾.所以 假设不成立，则两条相交直线有且只有一个交点.

例11 证明在一个三角形中，不能有两个钝角.

已知,,A B C ∠∠∠是ABC ?的三个内角，求证 ,,A B C ∠∠∠中不能有两个钝角. 证明 假设,,A B C ∠∠∠中有两个钝角.不妨设90,90B C ∠>?∠>?.则

180A B C A ∠+∠+∠>∠+?,0A ∠>?.

则

180A B C ∠+∠+∠>?.

与已知公理“三角形的内角和为180?”矛盾.故假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个钝角.

例12直线PO 与平面α相交于O ，过点O 在平面α内引直线OA 、OB 、OC 、

POA POB POC ∠=∠=∠，证明 PO ⊥α.

（图1）

证明 假设PO 不垂直于平面α.如图1所示，作PH ⊥α并与平面α相交于点H ，此时

H 、O 不重合，连接OH .由P 作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，根据三垂线定理知：HE ⊥OA ,HF ⊥OB .

因为POA POB ∠=∠, PO 是公共边，所以 Rt POE Rt POF ???.因此OE =OF .又OH =OH ，所以 Rt OFH Rt OEH ???.所以 FOH EOH ∠=∠.因此，OH 是AOC ∠的平分线.同理，OH 是AOC ∠的平分线.而OB 和OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时作为

AOB ∠和AOC ∠的平分线.产生矛盾.所以假设不正确.所以原命题成立，PO ⊥α.

分析 在证明此类基本命题时，使用反证法证明比起直接证明有的好处是不必要再结合