第七章 无穷级数
第七章 无穷级数
本章有四个问题：
1． 数项级数敛散性；
2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数；
4． 将函数展成麦克老林级数。
7.1数项级数敛散性的判别方法
一 基本概念
1. 级数收敛：令121
n
n n k
k s u u u u
==+++=∑ ，若lim n n s s →∞
=，则称级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，
若不然，则称
1
n
n u
∞
=∑发散；
2．绝对收敛：若1
n
n u
∞
=∑收敛，则称
1
n
n u
∞
=∑为绝对收敛；
3. 条件收敛：若
1
n
n u
∞
=∑发散，而
1
n
n u
∞
=∑收敛，则称
1
n
n u
∞
=∑为条件收敛；
二 基本结论
1．级数
1
n
n u
∞
=∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞
=。
2. 等比级数1
n
n aq
∞
=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。
3. p 级数
11
p
n n
∞
=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法
1．正项级数敛散性的判别方法
（1）比较判别法：
一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若
1
n
n v
∞
=∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑收敛；若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
n
n v
∞
=∑ 发散。
极限形式：如果0n v ≠，且 lim n
n n
u l v →∞=，
（I ）当0l <<∞时，则
1n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则
1
n
n v
∞
=∑收敛，
1
n
n u
∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则
1
n
n u
∞
=∑发散，
1
n
n v
∞
=∑也发散。
（2）比值判别法：（适用于!n 或连乘）
1
1lim
11n n n
u u ρρρ+→∞
=>??=?
收敛
发散不确定 （3）根值判别法：（适用于n 次方根）
111n ρρρ
=>??=?
收敛
发散不确定 注 ()m P n 是关于n 的m 次多项式，m
是有限数，则1n =。例如
1n =。
（4）积分判别法：若()f x 是单调递减连续函数，()n f n u =，则1
n
n u
∞
=∑与
1
()f x dx
+∞
?
具有相同的敛散性。（数三不要求）
2 交错级数敛散性的判别方法：
莱布尼兹判别法：若交错级数
1
(1)(0)n
n
n n u
u ∞
=->∑满足
（1）单调递减，即1n n u u +≤；（2）极限为零，即1lim 0n n u +→∞
=， 则级数
1
(1)n
n
n u
∞
=-∑收敛。
3 任意项级数敛散性的判别方法
1．考虑级数1
n
n u
∞
=∑是否收敛，若收敛，则
1
n
n u
∞
=∑是绝对收敛。
2．若
1
n
n u
∞
=∑不收敛，把级数
1
n
n u
∞
=∑的一般项分解为n n
n u u u '''=+，分别讨论级数 1
n
n u ∞
='∑ 和 1
n
n u ∞
=''∑的敛散性。
例1 讨论下列正项级数的敛散性：
（1）12!n n n n n
∞
=∑； （2）12sin 3n
n n x ∞
=∑；
（3）1(1cos )n n π
∞
=-∑； （4）121n
n n n ∞
=??
?+??
∑； （6）21ln n n
n ∞
=∑； （7
）11n ∞=????
∑；
（8）
1
11
(2)n
n
n e
e
∞
-
=+-∑； （9）11
(1)n
n n ∞
=-∑。
解（1）利用比值判别法
1112(1)!lim lim 2lim (1)2!(1)n n n
n n n n n n n n
u n n n u n n n +++→∞→∞→∞+=?=++21e =<， 所以级数12!
n n n n n
∞
=∑收敛
（2）利用比较判别法：不妨设0x >（0x <情况相同），利用等价无穷小替换，可知
12sin 3n n n x ∞
=∑与1
23n n n x ∞
=∑具有相同的敛散性，而112233n
n n
n n x x ∞
∞
==??= ???
∑∑收敛，所以1
2sin 3n
n n x ∞
=∑收敛。 （3）利用比较判别法：利用等价无穷小替换，
1(1cos )n n π
∞
=-∑与211
n n
∞
=∑具有相同的敛散性，而211n n ∞
=∑收敛，所以1
(1cos )n n π
∞
=-∑收敛。
（4
）根据根值判别法：因为1lim 12n =<，所以121n
n n n ∞
=?? ?+??∑收敛。 （5）根据比较判别法：考虑级数3/211n n ∞=∑，由于23/2ln 1lim /0n n n n →∞=，而3/211
n n
∞
=∑收敛，
所以21ln n n
n ∞
=∑收敛。
（6
）根据积分判别法：利用等价无穷小替换，11n ∞
=????∑和11
n n
∞=∑具有相同的敛
散性，而11
n n ∞
=∑
发散，所以11n ∞=????
∑发散。
（7）由于
2002lim lim 12x x x x x x e e e e x x
--→→+--==； 所以
1
11
(2)n
n
n e
e
∞
-
=+-∑与211
n n ∞=∑具有相同的敛散性，显然111
(2)n n n e e ∞-=+-∑收敛。
（8）由于1
ln 11n n
n
n e
-=-，以及1x
e x -≈，于是级数11
(1)n
n n ∞
=-∑和1ln n n
n
∞
=∑
具有相同
的敛散性，而1ln n n
n ∞
=∑发散，所以1
1
(1)n
n n ∞
=-∑发散。
通过对上述级数收敛性的讨论，把正项级数敛散性方法归纳如下：
1．一般的，如果一般项含有!n ，运用比值判别法；如果不含有!n ，而含有n 次方， 运用根值判别法；既不含有!n ，又不含有n 次方，运用比较判别法或积分判别法．
2．在运用比较判别法时，常作等价转化，这主要是由于我们熟悉等价无穷小的替换公式．事实上，只要作同阶转化就可以了．
例2 讨论下列交错级数的敛散性：
（1）1(1)ln(1)1n
n n n
∞
=-++∑； （2
）1sin(n ∞
=∑。
解（1）级数1(1)ln(1)1n
n n n
∞
=-++∑是交错级数，显然ln(1)lim
01n n n →∞+=+。 接下来，我们证明ln(1)1n n +??
??
+??
是单调递减的。令ln ()x f x x =，让3x >（级数的有限项不影响其收敛性），则2
1ln ()0x
f x x
-'=<，所以()f x 是递减的，根据莱布尼兹判别法，级数1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛。又由于1ln(1)
1n n n ∞
=++∑发散，所以1
(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑条件收敛。
（2）由于
1
1
1
sin(sin()(1)sin()n n n n n n n πππ∞
∞∞
====+=-∑∑∑
2
1
(1)n
n ∞
==-∑
因为正项级数2
1n ∞
=∑与11n n
∞=∑具有相同的敛散性，由于11n n ∞=∑
发散，所以
1sin(n ∞
=∑发散。
又由于级数
2
1
(1)
n
n ∞
=-∑
2
单调递减，极
限为0
，所以
2
1
(1)
n
n ∞
=-∑
1
sin(n ∞
=∑条件收敛。
例3 讨论下列任意项级数的敛散性：
（1
）21
n n ∞
= （2
）n n ∞
=。 解（1
）由于1n n ∞
=和211n n ∞=∑
收敛，于是1
n ∞
= （2）由于
1
(1)(1`)](1)1
111n n n n n n n ∞=---==----∑
对于级数1(1)1n n ∞=--∑
，根据莱布尼兹判别法，????
单调递减，极限是0，所以收敛。
对于级数111n n ∞=-∑
，显然发散。故n
n ∞
=发散。 习题7-1
1．用比较法判别下列级数的敛散性：
（1）211n n n ∞
=+∑； （2）1
2arcsin 3n
n n π∞
=∑；
（3
）1(1n ∞
=-∑； （4）21
1
2(1)2n n n ∞
+=+-∑； （5）231
(ln )n n n ∞=∑； （6
）n ∞
=； （7
）n ∞= （8
）11)(1)n a ∞
=>∑；
（9）111(2)n n
n a a ∞-=+-∑； (10) 222
1ln 1n n n ∞=+-∑；
(11) 3ln cos n n π∞=?
?- ???∑； (12) ln 21(ln )
n
n n ∞
=∑； （13
）
1
n ∞=；
(14) 1
n ∞
=
2．用比值法和根值法判别下列级数的敛散性
（1）121n
n n n ∞
=??
?+?
?∑； （2）11(0)1n
n a a ∞
=>+∑； （3）13!n n n n n ∞=∑； （4）21
21
2n
n n n ∞
=++∑； （5）1!(0)n n n n x x n ∞
=>∑； （6）3
112n n n n +∞=+??
?
+??
∑；
（7）1!(21)!!n n n ∞
=-∑； （8）1
sin n
n n n n π∞
=??
???∑；
（9）
12(1)4n n n n ∞=+-∑； （10）21
112n n n n +∞
=+??
?+??
∑
3．讨论下列变号级数绝对收敛，条件收敛或发散：
（1）1sin 2n
n nx ∞
=∑； （2）1(1)1n
n n n ∞
=-+∑； （3）1
(1)(0)n p
n p n ∞
=->∑； （4）1(1)sin n
n n π∞=-∑； （5
）1
n n ∞
= （6
）1(1)n n ∞
=-∑；
（7）1
21(1)31n
n n n n ∞
=-??- ?+??∑ ； （8
）11(1)n n ∞
-=-∑
（9
）1sin(n ∞=∑； （10）2
1sin()ln n n n π∞
=+∑．
7.2函数项级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
求函数项级数1()n n u x ∞
=∑的收敛半径、收敛区间和收敛域：
（1）幂级数
1
n
n n a x
∞
=∑每项系数都不是零
若级数
1
n n n a x ∞
=∑系数0n a ≠，且1
lim
n n n
a a ρ+→∞
=
或n ρ=，则
（1）收敛半径是1
R ρ
=；（2）收敛区间为(,)R R -；（3）收敛域：收敛端点加到收敛
区间上就是收敛域。 （2）幂级数
1
n
n n a x ∞
=∑某些项系数等于零 1．用比值法1()
lim
()()n n n
a x x a x ρ+→∞=
，或根值法()n x ρ=；
2．解不等式()1x ρ<，其解为a x b <<，于是收敛区间为(,)a b ；
3．讨论区间端点x a =和x b =对应的两个级数1
()n
n a a ∞=∑和1
()n
n a b ∞
=∑是否收敛，再将
收敛点加到收敛区间上，得到收敛域。
例1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（系数都不为0）：
（1）12n n
n x n
∞
=∑； （2）11!n n x n ∞
=∑ ；
（3）1n n
n n x ∞
=∑ ； （4）211(1)n n x n
∞=-∑．
解（1）由于
1
1221lim lim lim 221n n n n n n n
a n n a n n
ρ++→∞→∞→∞+====+， 所以幂级数12n n n x n
∞
=∑的收敛半径为12R =，收敛区间为11,22??
- ???．
下面讨论幂级数在收敛区间的端点是否收敛． 当1
2
x =-
时，相应的数项级数为 11211(1)2n
n n n n n n ∞
∞
==??-=- ?
??∑∑． 此级数是交错级数，1
n u n
=
单调递减，极限是0，于是此级数收敛； 当1
2
x =
时，相应的数项级数为 11211
2n
n n n n n
∞
∞
==??= ???∑∑．
此级数是调和级数，当然发散．所以级数12n n
n x n
∞
=∑的收敛域是11[,)22-．
（2）由于
1!1
lim
lim lim 0(1)!1n n n n n
a n a n n ρ+→∞
→∞→∞====++， 所以幂级数
01!
n
n x n ∞
=∑的收敛半径为R =+∞，当然它的收敛域是R ． （3）由于
11(1)1lim lim lim(1)1n
n n n n n n n
a n n a n n ρ++→∞→∞→∞+??===++=+∞ ???， 所以幂级数
n n
n n x
∞
=∑的收敛半径为0R =．于是它的收敛域是{0}(级数仅在0x =处收敛，
其它点都发散)．
（4）令1t x =-，则220011(1)n
n n n x t n n
∞
∞
==-=∑∑．由于
22122
lim lim lim 1(1)(1)n n n n n
a n n a n n ρ+→∞→∞→∞====++，
所以幂级数211n n t n ∞
=∑的收敛半径为1R =．当1t =±时，级数222
1111(1)1
n n n n n t n n n
∞
∞∞===±==∑∑∑都收敛，因此幂级数211n
n t n
∞
=∑的收敛域是[1,1]-．于是有111x -≤-≤，即02x ≤≤，所以
幂级数211(1)n
n x n
∞
=-∑的收敛域是[0,2]．
上述方法仅仅适合幂级数的各项系数不是0的情形，对于部分项系数是0的幂级数，就不能应用此法计算幂级数的收敛半径．如
例2 求下列幂级数收敛半径和收敛域（部分系数为0）：
（1） 212n
n n n x ∞
=∑； （2）2121(1)2
n n n x n -∞
=--∑．
解（1）设2()2
n
n n n a x x =，则有
22
12121()12()lim lim ()22n n n n n n n n
n x a x x x n a x x
ρ+++→∞→∞+===．
令
2
112
x <
，解不等式得到：x <
，所以级数的收敛半径R
，收敛区间为(
．当x =1n n ∞=∑，显然发散，于是级数212
n n n n
x ∞
=∑收敛
域是(．
（2）设21
2(1)()2n n n x a x n
--=-，则有
212221212(1)()121(1)lim lim
(1)(1)()42n n n n n n n
n x a x n x x x a x n
ρ+++-→∞→∞----===---． 令
21
(1)14
x -<，解不等式得：12x -<，所以收敛半径2R =，收敛区间为(1,3)-．当12x -=±时，相应的数项级数2121(2)2n n n n -∞=±-∑发散．于是级数21
21(1)2
n n n x n -∞
=--∑的收敛域是
(1,3)-．
习题 7-2
求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：
（1）1n
n nx ∞
=∑； （2）21
(1)n
n
n x n ∞
=-∑；
（3）1(2)!!n n x n ∞=∑； （4）211
(1)21n n n x n -∞
=--∑；
（5
）n
n ∞
= （6）1(1)32n n n n n x ∞
=??-+ ???
∑；
（7）1ln(1)1n n n x n ∞
=++∑； （8）1
13(2)n
n n
n x n ∞=?+-∑； 7.3 求和函数
一 求和函数
1．等比级数
n
n aq
∞
=∑和初等函数：,sin ,cos ,ln(1),(1)x e x x x x α++展成的幂级数统称
为已知级数．
2．求和函数有两个途径：
（1）将所求级数变化为已知级数； （2）用已知级数变化为所求级数．
这里的变化通常包括：加、减(增减项)，乘、除(常数或变量x )，积分，求导．
例1 求幂级数
(1)n
n n x
∞
=+∑的和函数
解 (用已知级数变化为所求级数) 幂级数的收敛域为(1,1)-．由于
10
1n n x
x x
∞
+==
-∑，(1,1)x ∈-， 两边求导
2
1
(1)(1)
n n n x x ∞
=+=
-∑，(1,1)x ∈-． 例2 求级数
1
1
12n n n x n ∞
-=∑的和函数．
解 级数的收敛域是[2,2)-．
方法1 (把所求级数变化公式：110
1ln(1)(1)(1)1n n n
n n n x x x n n +∞
∞
-==+=-=-+∑∑) 设111
()2
n n n S x x n ∞
-==∑．当[2,2)x ∈-且0x ≠时，有
111()2
n n n S x x n ∞
-==∑111(1)1ln 122n
n n x x x n x -∞=-????
=--=-- ?
?????∑． 当0x =时，1
(0)2
S =，所以级数的和函数为
1ln 1,[2,0)(0,2)2 ()1,02
x x S x x ???
---? ?????=??=??． 方法2(把所求级数变化为等比级数) 设1
11()2
n n
n S x x n ∞
-==
∑，当[2,2)x ∈-，0x ≠且2x ≠-时，有 11
()2
n n n xS x x n ∞
==∑，
两边求导
1111
1112[()]22212
n n n n n n xS x x x x n x ∞
∞
-=='??
'====
?-??-∑∑． (此处要求公比
2
x
的绝对值小于1，所以2x ≠-)两边积分 0001()[()]d d ln(2)ln 122x x x
x xS x xS x x x x x ??'===--=-- ?-??
??．
两边同除x (此处要求0x ≠)，有
1()ln 12x S x x ??
=-- ???
．
当0x =时，1
(0)2
S =；当2x =-时，()S x 有定义．故幂级数的和函数为
1ln 1,[2,0)(0,2),2 ()1,0.2
x x x S x x ???
--∈-? ?????
=??=??
求幂级数的和函数需要说明的是：
1．在求和函数时，首先求收敛域，然后在收敛域上，求和函数．在这个过程中，若对变量x 有限制(如例2的0x ≠)，就在收敛域后添加对x 的这个限制，最后求出限制点的和函数值．
2．由于和函数在收敛域内是连续的，所以对和函数的收敛域内有定义的点的函数值如例2的2x =-，不必单独计算，我们只需单独求出没有定义的点的函数值，如例1的0x =．
3．求和函数在特定点的函数值有两个办法：其一是将该点代回到原级数，求相应的数
项级数的和；其二是利用和函数在收敛域的连续性，求该点的极限，即0
0()lim ()x x S x S x →=．
例3 求函数项级数20(2)!
n
n x n ∞
=∑的和函数（数三不要求）
解 级数的收敛域是R ．令级数的和函数
20
()(2)!n
n x S x n ∞
==∑， 则有
()()e x S x S x '+=． 此一阶线性方程的通解为1()e e 2x
x S x C -=+，由于(0)1S =，于是得到12
C =，所以幂级
数的和函数为
1()(e e )ch 2
x x
S x x -=
+= 显然，例5的求和函数方法与例1~例4的方法是不同的，例1~例4采用了所求级数与已知级数相互转化方法；而例5是寻求和函数满足某个微分方程，解方程的方法．这是求和函数的两个常用方法．
习题7-3
求下列级数的和函数：
（1）1n n x n
∞
=∑； （2）1n
n nx ∞
=∑ ；
（3）211n n x n -∞=∑； （4）1
1(1)
n n x n n +∞
=+∑；
（5）21
1n n n x ∞
-=∑； （6）2112
1
(1)(2)1n n n x n +∞-=--∑； （7）211n n n x n ∞=+∑． （8） 21
1n
n n n x n ∞
=++∑．
7.4 函数展成幂级数
1 函数展成幂级数的方法 （1）定义法：
泰勒级数：()000
()
()()!
n n n f x f x x x n ∞
==
-∑
，
也称()f x 在点0x 展成的幂级数；或称()f x 展成的关于0()x x -的幂级数；
麦克劳林级数：()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==∑
，也称()f x 在点0展成的幂级数，或称()f x 展成的关于x 的幂级数；
2 公式法： 常见公式
（1） 0
1
1n n x x ∞
==-∑，(1,1)-；
（2） 0
1
(1)1n n n x x ∞
==-+∑，(1,1)-；
（3） 0e !n
x
n x n ∞
==∑，(,)-∞+∞；
（4） 210
sin (1)(21)!n n
n x x n +∞
==-+∑，(,)-∞+∞；
（5） 20
c o s (1)(2)!
n
n n x x n ∞
==
-∑
，(,)-∞+∞； （6） 1
l n (1)(1)1n n
n x x n +∞
=+=-+∑，(1,1]-；
（7） 0
(1)(1)(1)!n n n x x n α
ααα∞
=--++=∑ ，(1,1)-；
一般的，只有少数比较简单的函数，其幂级数的展开式能从基本步骤出发，根据定理1求得．在更多的情况下，将一个函数展成麦克劳林级数或泰勒级数，都使用上面九个公式，如果不能直接使用，可以通过变形：加、减、乘、除、求导和求积分，把函数变成符合上面公式的函数．这样一方面不必求函数的任意阶导数，另一方面不必验证余项在收敛域上的极限是0．因此熟悉、牢记和灵活运用上述公式显得尤其重要．
2 函数展开麦克劳林级数
例1 将下列函数展开成关于x 的幂级数．
（1）
2
11x +； （2）1
2x
-； （3）2132
x x ++； （4）2
cos x ；
（5）arctan x x ，并求(2010)
(0)f ； （6）2
1(1)
x -； 解（1）利用公式(2)，有
22
1
(1)1n n n x x ∞
==-+∑． 由于2
(1,1)x ∈-，于是级数的收敛域是(1,1)-．
（2）将函数变形，有
111
()2212
f x x
x =
=?
--． 利用公式(1)，得到
10011
()222
n
n n n n x f x x ∞∞
+==??== ???∑∑．
由于
(1,1)2
x
∈-，所以级数的收敛域是(2,2)-． （3）将函数21
()32
f x x x =++展开成麦克劳林级数．
解 将函数()f x 变形，有
21111
()32(1)(2)12
f x x x x x x x ===-
++++++． 由于
1
(1)1n n n x x ∞
==-+∑，11x -<<； 10111(1)22212
n n
n n x x x ∞
+=-=?=++∑，22x -<<，
合并，得
21001(1)()(1)322n n n
n n n n f x x x x x ∞∞
+==-==--++∑∑
10
1(1)12n n n n x ∞
+=?
?=-- ???∑，11x -<<．
（4）将函数()f x 变形，得到
2111
()cos (1cos 2)cos 2222
f x x x x ==+=+．
根据公式(5)，得到
201111(2)()cos 2(1)2222(2)!n
n n x f x x n ∞==+=+-∑ 212012(1)2(2)!
n n n n x n -∞==+-∑ ，(,)x ∈-∞+∞． 需要指出的是：函数的幂级数展开式一定要写出收敛域．在确定其收敛域时，可以采用两个途径：
1．求函数展成的幂级数的收敛域；
2．根据公式的收敛域，确定函数展成的幂级数的收敛域． （5）由于
()22
1arctan (1)1n n
n x x x ∞
='=
=-+∑，(1,1)x ∈- 于是逐项积分，有
221
0(1)arctan (arctan )d (1)
d 21
n x
x
n
n
n n n x x x x x x n ∞
∞
+==-'==-=+∑∑??
，[1,1]x ∈-，
所以
22
0(1)()arctan 21
n n n f x x x x
n ∞
+=-==+∑， [1,1]x ∈-． （5） 下面求(2010)
(0)f ．由于函数展成的麦克劳林级数为（数三不要求）
()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==∑
， （6） 所以级数(5)和(6)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等．在级数(6)中，2010
x
的系
数是(2010)(0)2010!
f ，在级数(5)中，2010
x 的系数是1004(1)2009-，从而有
(2010)1004
(0)(1)2010!2009
f -=
． 于是有
(2010)(0)20102008!f =?．
注 利用函数的幂级数展开计算函数在一点的高阶导数是求函数在一点的高阶导数的有效方法．
（6）通过积分，将函数变形
20
11
()d d 1(1)1x
x
f x x x x x
==-+--?
?
．
于是，根据公式(1)有
1
()d 111x
n n f x x x x ∞
==-+=-+-∑?
．
对上面等式两边求导，有
1
1
()n n f x nx
∞
-==
∑，(1,1)x ∈-．
习题7-4
将下列函数展成麦克劳林级数：
（1）2e x
； （2）
2
x
x +； （3）2
sin x ； （4
）ln ；
（5）0sin d x t t t
?； （6）d e 1d x x x ??
- ??? ； （7）
01cos d x
t t t -?； （8）212
x x -- ； 第七章习题答案
7-1答案
1．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）收敛；（6）发散；（7）收敛； （8
1
1ln a n
）； （9）收敛（提示：实质是求2x
x
a a
-+-关于x 高阶无穷小的阶数，可以证明
22(ln )x x a a x a -+- ）
； （10）收敛（提示：2222
122ln ln 1111
n n n n +?
?=+ ?---?? ）； （11）收敛（提示：ln cos ln 1(cos 1)1cos n n n πππ??
-=-+-- ???
）；
（12）收敛（提示：2
2e ln e (e )n n >>）．
（13
32
ln ln n
n
n
n
= ）． 2．（1）收敛；（2）当01a <≤时，发散；当1a >时，收敛；（3）发散；（4）收敛；
（5）当0e x <<时，收敛；当e x >时，发散；当e x =时，由于11n
n ??
+ ???
单调递增，
于是11e n
n ??
+< ???，所以1e 111n n n u u n +=>??
+ ???
，从而有lim 0n n u →∞≠，故此时级数发散； （6）发散（提示：一般项极限不是零）；（7）收敛；（8）发散；（9）收敛；（10）收敛．
3．（1）绝对收敛；（2）发散；（3）01p <≤条件收敛，1p >绝对收敛；
（4）条件收敛；（5）发散；（6）发散（提示：一般项的极限不是零）；（7）绝对收敛；（8）条件收敛； （9）条件收敛（提示：
sin[)]n n ππ+
(1)sin )(1)n n n π=-=-）；
（10）条件收敛（提示：11sin (1)sin ln ln n
n n n
π?
?+
=- ?
??）． 7-2答案
（1）收敛半径1R =，收敛域(1,1)-； （2）收敛半径1R =，收敛域[1,1]-； （3）收敛半径R =∞，收敛域(,)-∞∞； （4）收敛半径1R =，收敛域[1,1]-； （5）收敛半径1R =，收敛域[0,2)； （7）收敛半径13R =
，收敛域11,33??
- ???
； （8）收敛半径1R =，收敛域[1,1)-； （9）收敛半径3R =，收敛域[3,3)-；
7-3答案
1．（1）ln(1)x --，[1,1)x ∈-；（2）2
(1)
x
x -，(1,1)x ∈-； （3） 2
1ln(1),(1,0)(0,1)0,
0x x x x ?--∈-????=?；
（4） (1)ln(1),[1,0)(0,1)
0,
0x x x x x +--∈-???
=?；
（5） 3
1,(1,1)(1)x
x x +∈--； （6） 21
arctan arctan ,[1,1]22x x x x x +-∈-； （7） 2
ln(1),(1,1)(1)x
x x x --∈--；
（8） 2
2
2ln(1)(1)
x x x x ---+-；(1,1)x ∈-． 7-4答案
（1）02!
n n
n x n ∞
=∑；(,)x ∈-∞+∞；
（2）101(1)112212n n
n
n x x x x +∞
=-=-=+++∑；(2,2)x ∈-； （3）12
20111(1)sin cos 22222(2)!
n n n x x x n +∞=-=-=+∑，(,)x ∈-∞+∞；
（4
）[]1
01(1)1ln(1)ln(1)22(1)
n n n x x x n ∞
+=--=+--=+∑，(1,1)x ∈-；
（5）21
200
sin 111(1)(1)(21)!(21)!n n n n n n t t t t t n n ∞∞
+===-=-++∑∑，再定积分
2100
sin 1
d (1)(21)(21)!x n n n t t x t n n ∞+==-++∑?，(,)x ∈-∞+∞；
（6） 121121d e 1d 11d d !!(1)!
x n n n n n n n n
x x x x x x n n n ∞∞∞---===??--=== ?
+??∑∑∑，(,)x ∈-∞+∞． （7） 12111cos (1)(2)!n n n t t t n -∞-=--=∑，12011cos (1)d 2(2)!
n x n
n t t x t n n -∞=--=∑?，(,)x ∈-∞+∞．
（8） 2100111111(1)232132n n n n n n x x x x x x ∞∞+==????=-=--- ? ?---+????
∑∑ 1
1011(1)32n n n n x ∞
++=??=-- ??
?∑，(1,1)x ∈-．
(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
最新八年级物理第七章第一节力教案
第七章第1节力教案
板书 第八章力 新课讲授观看图片，引导学生 要想分析什么是力，首先让我们看看以下这些情 况中，有没有“力”的存在？ 人推车过程中，有力存在吗？ 谁用力了？ 谁受了力？ 学生思考，并回答 有。 工人。 车。 举出示例， 归纳分析。 练习施力 物体和受 力物体的 识别。 除了人可以施加力，其他物体也可以对别的物体 施力…… 展示图片，引导 在物理学中，我们把生活中说的推、拉、提、举、 吸引等概括为作用。前面的物体施加力称为施力 物体，后面的物体受到力称为受力物体。所以力 就是物体对物体的作用。 板书 第一节力 一、力是物体对物体的作用。 力用符号 F 表示。 单位牛顿，简称牛，符号N。 简单介绍牛顿 学生思考，并回答 聆听 聆听 通过大量 事例，概括 力的概念。 明确有关 力的各种 概念
引导、讲授 如何简单方便的描述力呢？物理学中常用力的示意图的方式。 画力的示意图的要领：确定受力物体、力的作用点和力的方向，从力的作用点沿力的方向画一条线段，在线段的末端画一个箭头表示力的方向，线段的起点或终点表示力的作用点，在同一图中，力越大，线段应越长。 还可在力的示意图旁边用数值和单位标出力的大小，把力的三要素都表示出来。 板书 四、力的示意图 提问 我现在手中有一块磁铁和一块铁块，分别放在两个相同的小车上，将两个小车离开一定距离放手，会出现什么现象呢？ 演示实验 观察到什么现象？ 这说明什么呢？ 我们再做一个实验，请一个同学来帮忙。 演示实验学生思考、讨论、 不相同。（举例说 明） 改变大小；改变方 向； 参与实验 学生思考，回答 不相同 与力作用点位置 有关 聆听 学习物理 要求 形成良好 规范
高数第七章无穷级数知识点
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< §7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为 2017八年级物理下第七章第一节力课堂练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中物理八下7.1 一．选择题（共11小题） 1．用绳子系住水桶，手握住绳子从井中提水，手受到竖直向下的拉力，此拉力的施力物体是（） A．地球B．水桶C．绳子D．手 2．关于力的概念，下列说法中错误的是（） A．力是物体对物体的作用 B．物体受力的同时也一定在施力 C．力是改变物体运动状态的原因 D．只有接触的物体才能产生力的作用 3．小红和小明站在冰面上静止．小明在后面推了小红一下，使小红向前滑去，同时，小明后退，这个现象不能说明（） A．力可以改变物体的运动状态 B．力的作用效果与力的方向有关 C．力的作用效果与力的作用点有关 D．物体间力的作用是相互的 4．如图是同一弹簧两次受力的情景．通过此实验可以探究力的作用效果与力的（） A．大小有关 B．作用点有关 C．方向有关 D．大小、方向、作用点都有关 5．下列过程中，有一个力的作用效果与其它三个不同类，它是（）A．水总是由高处向低处流 B．进站的火车受阻力缓缓停下 C．橡皮泥上留下漂亮指印 D．小铁球受旁边磁铁吸引会转弯 6．如图所示，用扳手拧紧螺母时，以同样大小的力分别作用在a、b、c点，关于力的作用效果，下列说法中正确的是（） A．作用在a点时，力的作用效果最明显 B．作用在b点时，力的作用效果最明显 C．作用在c点时，力的作用效果最明显 D．作用在a、b、c三点时，力的作用效果是相同的 7．王明同学用力提一桶水时，他对水桶施加一个提力，同时水桶对王明的手也施加一个拉力，则这两个力的三要素（） A．完全相同 B．大小、方向都相同，作用点不同 C．大小相同，方向和作用点都不同 D．作用点相同，大小、方向都不同 8．在足球场上，优秀运动员的脚踢在球的恰当的位置，球会划过一道弧线飞转过守门员而使球进入球门，这就是所谓的“香蕉球”．这里的：“恰当的位置”，从力的三要素分析是指力的（） A．大小B．方向C．作用点D．以上都是 9．黔东南州2015年“5?1”期间，各县市都在开展各种丰富多彩的健民活动，如图所示为凯里体育馆旁甲乙两队进行拔河比赛的情景，其中乙队取胜，甲乙两队的拉力（） 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ； 10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 八年级物理第七章第一节《力》教学设计 【教学目标】： 知识与技能： 1、知道力的概念和单位。 2、知道力的作用效果。 3、知道力的三要素，能用示意图表示力。 4、知道物体间力的作用是相互的，并能解释有关现象。 过程与方法： 1、通过活动和生活经验感受力的作用效果。 2、利用物体间力的作用是相互的培养学生利用物理知识解决实际问题的能力。 情感、态度与价值观： 1、通过日常生活中多种力的现象激发学生的学习兴趣和求知欲望。 2、通过实验探究，增强学生之间的协作意识，体验成功的喜悦。 【教学重点】：1、力的作用效果。2、力的示意图。 【教学难点】： 1、力可以改变物体的运动状态 2、认识物体间力的作用是相互的，并解释有关现象。 【教学准备】：橡皮筋、气球、钢尺、海绵、塑料瓶、磁铁、小车、铁架台、激光笔 【教学过程】： 一、创设情境，导入新课 同学们，大家现在来进行一个小比赛，请前后桌同学扳手腕，比一比谁能取得胜利。 请问这位赢了的同学，你是因为什么原因才能取得胜利？（力气大）那么，在物理学中力到底是什么呢？这节课我们一起来学习。（板书课题） 二、新课教学 （一）学习活动一：力 1、出示学生班级大扫除的图片，请同学指出哪些过程用到了力。抽学生回答后提问：是不是只有人能产生力？ 2、出示图片（推土机推土，磁铁吸引铁钉，马拉车，压路机压路），引导学生总结归纳出力是物体对物体的作用。指出力的符号和单位。 3、请同学指出下列图片中施力物体和受力物体分别是什么。 4、通过刚才的活动，老师还有几个问题，大家交流讨论后告诉老师。 （1）一个物体能不能产生力？ （2）物体不相互接触能不能产生力呢？ （3）相互接触的物体一定产生力的作用吗？ 5、教师演示实验：磁体同名磁极间相互排斥力推动小车运动。 得出结论：不相互接触的物体也能产生力。 请同学想一想还有哪些不相互接触产生力的例子。 （二）学习活动二：力的作用效果 1、现在我们认识了力，请同学们利用桌子上的器材设计一些物体对物体的作用而产生力的实验。要求：各组同学先设计出实验方案，再进行实验，细心观察实验现象并记录。 2、各组同学完成实验，教师巡视指导，帮助有困难的小组。 3、抽学生上台表演，并说出观察到的现象：橡皮筋伸长，海绵变形，气球压扁，由运动变为静止，由静止变为运动，运动方向改变。 请同学将它们分类，归纳总结出：（橡皮筋伸长，海绵变形，气球压扁）这些是改变了物体的形状。（由运动变为静止，由静止变为运动，运动方向改变）这些是改变了物体的运动状态。 4、小试身手：指出下列现象中，哪些物体的运动状态发生了变化，把它的序号填入括号中（）1、停在站内的汽车 2、从站内开出的火车，速度在逐渐增大 3、行驶的汽车遇到紧急情况刹车停住 4、被起重机吊起的重物匀速上升 5、正在转弯的汽车 总结得出静止和匀速直线运动时运动状态不变。 5、出示图片，提问：有力存在吗？从哪里判断出来？（我们可以通过力的作用效果判断力的存在，这里体现了转换法） 6、教师用力压桌面，提问：有没有施加压力？有没有作用效果？教师演示实验，说明桌子发生了形变，只是形变非常微小，用眼睛观察不到。 （三）学习活动三：力的三要素和力的示意图 1、出示图片，学生观察到杆的形变程度不一样，那么，力的作用效果与什么因素与关系呢？ 2、请同学们完成下列小实验，认真观察现象。（控制变量法） （1）分别用大小不同的力朝一个方向弯小钢尺； （2）分别用大小相同的力朝上和朝下弯折钢尺； （3）分别用大小相同的力在不同部位朝下弯折钢尺。 3、抽同学说出各个小实验中观察到的现象，并分析得出可以影响力的作用效果的三要素：大小、方向、作用点。 4、用图像描述一个力的三要素时，更简单、直观。请同学们观看微课，总结出方法。 第十二章 数 项 级 数 教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy 、D`Alembert 判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz 级数，熟练利用Leibniz 级数，Abel 、Dirichlet 判别法判别一般级数的敛散性。 教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。 教学难点：判别法的应用。 主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。 §1 级数的收敛性 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1。 又如， +-++-+)1(1)1(1。 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：∑∞ =1 n n u ，或 ∑n u 。 2． 级数的收敛性 同济第六高等数学教案 版无穷级数 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 高数第七章无穷级 数知识点 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1 n n U 与 ∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞<第7章 多元函数微分学
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