高校综合奖学金的评定

数学建模联赛

承诺书

我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们的参赛报名号为：2748

参赛组别（研究生或本科或专科）：本科生组

参赛队员(签名) ：

队员1：

队员2：

队员3：

获奖证书邮寄地址：

编号专用页

参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

题目高校综合奖学金的评定

摘要

本文我们应用相对成绩的思想，定义了相对优秀系数，将各个指标的评价级别量化为具体分数。采用层次分析法（AHP），并且通过模糊分析法对相同层次中指标进行相对重要性的判定，确定出了各指标的权重。综合考虑各指标后得到每个同学的综合排名，最终实现奖学金的合理分配。

在问题一中，最主要是将考查课的等级利用权重关系转换成与考试课成绩有直接联系的分数，可以进行科学、合理的排名。在计算学生的综合成绩的时候，考试课与考查课学分和课时不同，在学生的综合成绩中所占的比例也不同，重要程度不同，所以我们将学生的考试课和考查课按一定比例 分开考虑。

在问题二中，各指标在对学生个人综合能力的评价中的重要性有所不同，所以评价体系中运用到实际指标的权重不同。通过对各个影响因素相对重要性进行比较，我们可以采用层次分析法（AHP），建立包括目标层、准则层以及子准则层三个层次的结构模型，通过模糊分析法对相同层次中指标进行相对重要性的判定，得到每项指标的权重。

在问题三中，我们应用相对成绩的思想，将部分学生的卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票的相关信息进行统一量化，然后再根据问题二所得到的权重关系即可得到学生评定奖学金的学生综合素质得分及排名，从而对奖学金进行合理的分配。

在问题四中，我们利用问题一、问题三的模型，对影响奖学金评定的各项指标进行标准量化，利用相对成绩计算出评定奖学金过程中各项指标的相对成绩，进而通过问题二的求解权重的结果进行综合评定，最终制定出综合奖学金的评定说明。

关键字：相对优秀系数层次分析法评定指标量化

目录

1.问题的重述 (1)

2.模型的假设 (1)

3.模型的符号说明 (2)

4.模型的分析 (3)

5.模型的建立与求解 (3)

5.1模型的建立 (3)

5.1.1模型一的建立 (3)

5.1.2问题二模型的建立 (4)

5.1.3问题三模型的建立 (6)

5.2模型的求解 (8)

5.2.1模型一的求解 (8)

5.2.2模型二的求解 (9)

5.2.3模型三的求解 (12)

5.3综合奖学金的评定说明 (15)

6.模型的评价与改进 (17)

6.1模型的评价： (17)

6.1.1模型的优点 (17)

6.1.2模型的缺点： (17)

6.2模型的改进 (17)

7.参考文献 (18)

1.问题的重述

奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。

目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。

我们收集了某班级评定奖学金可以用到的一些资料（在奖学金评定信息.xls中）。考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，表中只给出了满足基本条件的同学的信息。请建立数学模型，根据资料中提供的数据，确定奖学金获得者名单。具体要求如下：

(1) 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。

说明：Excel中每门课程名称后面括号中的数据为该课程的学分。如考试课3（2.5）表示考试课3的学分为2.5。

(2) 结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。

注意，权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。

对表格中的数据，说明如下：

①为了简化问题，对于获奖情况，不管是科技类还是文艺类等方面的获奖，我们只考虑获奖级别的差异，而不考虑获奖内容的差别。

②该班级总人数为32，为了得到该班同学的民主测评情况，要求该班级所有同学根据自己的了解，为自己认为各方面表现良好的同学投票。每人至多投10票，表中“学生投票”列是统计得到的每个同学的得票数。

(3) 该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。

(4) 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。如果你的模型中用到的数学方法比较复杂，可以简化模型的相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。

2.模型的假设

1、只考虑综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生投票四个指标，获奖情况中只考虑级别的差异而忽略获奖内容的不同；

2、假设所有参评人的学生信息情况真实、准确、全面；

3、假设奖学金的评定流程是按严格正规的流程进行，评定过程公开、公正、公平，评选中忽略人为因素；

4、假设所有能够获得奖学金的学生都积极参加奖学金的评定工作；

5、学校的培养目标是发展具有综合素质的人才，提倡并鼓励学生参加学生工作、竞赛等；

6、 仅评定综合奖学金名单，而单项奖学金的评定不属于此论文的考虑范围。

3.模型的符号说明

符号

含义

ij a 第i 个同学第j 门课程的自己的成绩 ij b 第j 门课程的最高成绩

ij S 第i 个同学第j 门课程的相对成绩 i x 第i 门考试课的成绩 i y 第i 门考查课的成绩为 i u 第i 门考试课的学分为 i v

第i 门考试课的学分为 α

考试课与考查课的比例 i C

第i 个同学的综合成绩

ij c 表示第i 个指标对于第j 个指标的相对重要性 λ

判断矩阵的特征值 max λ

判断矩阵的最大特征值 *W 判断矩阵的特征向量 CI

判断矩阵的一致性指标

ij w

j i 表示第层指标对于第层指标的权重

k λ

k 表示第个指标对于第1层指标的权重

G ij

表示第i 个学生在第j 项评定指标中的相对得分 h

表示相对优秀系数

ij z 表示第i 个同学在第j 项评定指标中的得分

j z 表示所有参加评定的学生中在第j 项评定指标中的最高得分 G i

表示第i 个学生综合素质得分

4.模型的分析

本文要在综合考虑每个同学成绩，学生卫生，学生工作，获奖情况，学生投票后，得到每个同学的综合成绩和排名，实现奖学金的合理分配。我们利用层次分析法，根据学校的侧重点和培养方向，求出每个评定奖学金指标的权重。定义了相对优秀系数，应用相对成绩的思想，我们将各个指标的评价级别量化为具体分数。根据相对成绩和和各个指标的权重，我们可以得到每个同学的综合成绩，从而得到他们的综合排名，对奖学金名额进行合理的分配。

在问题一中，需要选择合理的办法对学生的考试课和考查课两部分成绩进行综合评价，进行具体的排名，最主要是将考查课的等级利用权重关系转换成与考试课成绩有直接联系的分数，这样才可以进行科学、合理的排名。我们不能简单地认为考查课比考试课所占权重小，我们要与学校的培养方向结合起来。在计算学生的综合成绩的时候，考试课与考查课学分和课时不同，在学生的综合成绩中所占的比例也不同，重要程度不同，所以我们将学生的考试课和考查课按一定比例 分开考虑。

在问题二中，由于各个高校的培养目标不同，对于学生的综合能力的侧重点不同，各指标在对学生个人综合能力的评价中的重要性有所不同，所以评价体系中运用到实际指标的权重不同。我们不能人为地制定不同指标的权重，这样具有不合理性，不能对一个同学的综合能力进行客观的评价。通过对各个影响因素相对重要性进行比较，我们可以采用层次分析法（AHP），建立包括目标层、准则层以及子准则层三个层次的结构模型，通过模糊分析法对相同层次中指标进行相对重要性的判定。

在问题三中，我们应用相对成绩的思想，将部分学生的卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票的相关信息进行统一量化，然后再根据问题二所得到的权重关系即可得到学生评定奖学金的学生综合素质得分及排名，从而根据综合素质分数的排名对奖学金进行合理的分配。

在问题四中，要求我们制定关于综合奖学金评定的说明，所制定的说明应当使得计算简单并且能够全面反映学生的综合素质。因此，我们利用问题一、问题三的模型，对影响奖学金评定的各项指标进行标准量化，利用相对成绩计算出评定奖学金过程中各项指标的相对成绩，进而通过问题二的求解结果进行综合评定，利用各项指标的权重关系进行计算，最终可以求出学生的综合素质分数，最终制定出综合奖学金的评定说明。

5.模型的建立与求解

5.1模型的建立

5.1.1模型一的建立

针对问题学生的成绩是由考试课和考查课两部分组成，考试课有具体的分数，可以直接用来计算，而考查课是按等级来评分的，不能直接计算，我们应该选择合理的方法对考查课进行量化。

我们对部分同学进行排名的意义是区分同学们在一个阶段内的相对情况，我们将考查课的成绩换算成与考试课相同的百分制标准的相对成绩，具体公式为：

100ij ij ij

a S

b =

?

其中，ij a 为第i 个同学第j 门课程的自己的成绩；ij b 为第j 门课程的最高成绩；ij

S 为第i 个同学第j 门课程的相对成绩。

因为考试课与考查课学分和课时不同，重要程度也不一样，所以各成绩不能简单进行相加。求学生的综合成绩的时候，我们将学生的考试课和考查课按一定比例α进行考虑。

则学生的综合成绩计算方法如下：

()()1

11

1

11k k

i i i i

i i i k

k

i i

i i x u y v C u v αααα====+-=

+-∑∑∑∑

第i 门考试课的成绩为i x ，学分为i u ，1,2,...,i k =；第i 门考查课的成绩为i y ，学分为i v ，1,2,...,i k =；α为考试课与考查课的比例，i C 为第i 个同学的综合成绩。

5.1.2问题二模型的建立

综合评价体系具体到各高校，由于培养目标的不同，对于学生的综合能力的侧重点不同，各指标在对学生个人综合能力的评价中的作用有所不同，所以该评价体系运用到实际中各指标的权重不同。为使奖学金的综合评价体系在实际中应用，对各个影响因素相对重要性进行比较，我们采用了层次分析法（AHP ）。

AHP 是一种定量与定性相结合的评价方法，在判断目标结构复杂且缺乏必要的数据情况下，能把其他方法难以量化的评价因素通过两两比较加以量化，把复杂的评价因素构建为层次结构，有效确定多因素指标的相对重要程度，进而进行评价。但AHP 在进行总体评价时，缺乏统一的、具体的指标量化方法，而模糊综合评价正好可以解决此问题。因而，本文将AHP 和模糊综合评价相结合，把难以量化的定性判断化为可操作的重要度的比较上，建立了学生评优模型。

为了将奖学金的评定指标对奖学金的评定的相对影响状况综合反映出来，我们结合奖学金评定指标的特点，设计出综合评价的层次结构图，如图1所示。综合评价模型指标体系共分为三级：目标层、准则层和子准则层。

图1 综合奖学金的评定层次结构图

学生的综合成绩包括考试课成绩，考查课成绩，这两项指标可以准确地反映出来学生的综合成绩的相对优劣性。

学生的卫生情况有学生的个人卫生和集体卫生，可以基本反映出学生生活态度情况。

学生工作状况：按照学生所参加工作的性质和级别可分为班级一般工作职务（体育委员、劳动委员等）、班级重要工作职务（班长、团支书）、社团一般工作职务（社团委员等非重要的职务）、社团重要工作职务（社团部长、学生会主席等）。

对于学生的获奖情况，为了简化问题我们只考虑获奖级别的差异，而忽略获奖内容的不同，我们根据学生的获奖情况可分为学院级奖励；校、市级奖励；省级奖励；国家级奖励和国际级奖励，奖项中设有一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖。

学生民主测评，是班级所有同学根据自己的了解，为自己认为各方面表现良好的同学投票，为了简化问题，我们只考虑学生为班级做的贡献和学生的人际交往两个方面。

整体思路如下：

表1 1~9标度法

标度ij c 含义

1 i c 与j c 的影响相同 3 i c 比j c 的影响稍强 5 i c 比j c 的影响强 7 i c 比j c 的影响明显地强 9 i c 比j c 的影响绝对地强

2,4,6,8 i c 与j c 的影响之比在上述两个相邻等级之间

标度的倒数

i c 与j c 影响之比为上面ij c 的互反数

根据学生综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主测评对目标层的权重关系，可以建立Satty 提出的1~9标度法，则对应准则层A ，B 的判断矩阵可以表示为：

121314152123242531323435414243455152535411111c c c c c c c c R c c c c c c c c c c c c 轾犏犏犏犏=犏

犏犏犏犏臌

上式中，ij c 表示第i 个指标对于第j 个指标的相对重要性，具体数值按照表1来确定。

通过对以上判断矩阵的计算，可以得到判断矩阵的最大特征值，利用RW W λ=求出所有的λ值，其中max λ为λ的最大值，求出max λ对应的特征向量*W ，然后把特征向量

*W 规一化为向量W ，则()T

12,,

,m W w w w =为各个目标的权重。

当求出判断矩阵的最大特征值后，我们还需要进一步求出判断矩阵的一致性指标：

max 1

n CI n λ-=-

并与平均随机一致性RI 指标进行比较分析，以确定判断矩阵是否具有满意的一致性，以表明()T

1212345,,,,w λλλλλ=的各个分量作为相应的各个因素的权重值分配是合理的。其中，ij w 表示第j 层指标对于第i 层指标的权重，k λ表示第二层第k 个指标对于第一层指标的权重。

采用类似的方法求出子准则层C 对准则层B （包括12345B B B B B 、、、、）的判断矩阵

122()ij R c ′=，222()ij R c ′=，344()ij R c ′=，455()ij R c ′=，522()ij R c ′=。

用相同的方法求得每个判断矩阵的最大特征值并得到最大特征值对应的特征向量，最后通过判断矩阵的一致性指标的检验，以确定各个目标的权重的合理性。

最后通过以上计算出的结果进行层次总排序权向量并通过一致性指标的检验即可得到，第三层子准则层中所有评定指标对于目标层的权重系数为：

()

T ''''''131

2

3

4

12

13

,,,,...,,w λλλλλλ

=

因此准则层中指标相对目标层的权重系数为：

()T

12345,,,,W λλλλλ=

5.1.3问题三模型的建立

通过对问题二分析与求解，我们得到了高校综合奖学金评定的过程中综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。对于附件中给出的部分学生的考试课成绩、考查课成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票的相关信息，我们将上述信息进行量化，再根据问题二所得到的权重关系即可得到学生评定奖学金的学生综合素质的排名。

对于学生的考试课成绩、考查课成绩我们可以利用问题一求得的结果进行量化排名。

由于所给的学生的卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票信息并没有利用统一的标准进行评定，我们必须建立相关的量化标准，这样才可以统一地与学生的综合成绩

进行相关的计算，得出量化后的学生的综合素质排名。

为了统一不同指标的量化标准，我们查阅了几所高校的奖学金评定标准，每个学校对学生的培养方向有所不同，因此，我们假设该大学是一所综合性的大学，提倡学生培养自己的综合素质能力。为了更加突出对学生综合素质的体现，我们利用相对优秀系数来表示每个学生相对最好学生的差距，利用相对优秀系数可以使得每个学生了解自己与其他学生的优势与不足，明确自己处于劣势的方面，可以取长补短，综合提高、发展自己的能力。

相对优秀系数可定义为：

=学生某项指标中的得分

相对优秀系数所有参评学生中该指标中的最高得分

即

=1,2,...,1,2, (i)

j j

z i m j n z ，；h ==

其中，h 表示相对优秀系数，ij z 表示第i 个同学在第j 项评定指标中的得分，j z 表示所有参加评定的学生中在第j 项评定指标中的最高得分。

对于综合成绩方面，我们已经通过问题解决其量化问题，在求解的过程中直接与其它评定指标进行相关计算即可。

根据上述中的相对优秀系数j h 的定义，我们可以得到其它评定指标的得分情况。 我们用G ij 表示第i 个学生在第j 项评定指标中的相对得分，1,2,...,1,2,...,i m j n ；==。

卫生方面：

=1-100学生卫生扣分学生卫生相对得分分参评学生中最高的卫生扣分

骣÷?′÷?÷?桫 即

11G =100i h ′

学生工作方面：

=

100′学生工作加分

学生工作相对得分分学生工作最高分

即

22G =100i h ′

获奖情况方面：

=

100′学生获奖加分

学生获奖相对得分分学生获奖最高分

即

33G =100i h ′

学生民主投票方面：

=

100′学生投票所得票数

学生投票相对得分分学生投票中所得最多票数

即

44G =100i h ′

因此，我们根据以上公式及问题二的结果可以得到，学生综合素质得分公式模型：

学生综合素质得分=

5

1

i 学生各项评定指标的相对得分权重

=′

?

即

5

1

1

G=

i j j

j

G w

=

′

?

其中，G

i

表示第i个学生综合素质得分。

5.2模型的求解

5.2.1模型一的求解

考查课成绩的评定分为优秀、良好、中等、合格、不合格五个等级，我们将优秀、良好、中等、合格、不合格分别对应百分制里面的90分、80分、70分、60分、0分（表示该门课未得到学分）。

计算出来的每个同学考查课每门课的相对成绩如表2所示。

表2 学生考查课相对成绩表

姓名考查课1

（0.5）

考查课2

（2.0）

考查课3

（2.0）

考查课4

（1.0）

考查课5

（1.0）

考查课6

（3.5）

学生A 100 100 100 100 100 100 学生B 100 89 100 100 100 89 学生C 100 100 78 100 100 89 学生D 100 100 100 89 78 78 学生E 100 100 100 100 89 78 学生F 100 89 100 100 89 89 学生G 100 100 89 89 89 78 学生H 100 89 89 100 89 89 学生I 100 89 89 100 100 89 学生J 100 89 89 100 89 89 学生K 100 100 89 100 89 89 学生L 100 100 89 100 100 100 学生M 100 89 78 89 78 78 学生N 100 100 100 100 100 100

因此，可以计算出来的每个同学的综合成绩及排名如表3所示。

表3 学生综合成绩排名表

姓名 总成绩 排名 学生N 96.4437 1 学生A 94.8940 2 学生B 93.0132 3 学生L 90.2384 4 学生I 88.7748 5 学生F 87.7351 6 学生H 87.2318 7 学生J 86.4371 8 学生C 85.8146 9 学生K 84.1987 10 学生G 83.8609 11 学生D 79.3841 12 学生E 79.2715 13 学生M 75.1523

14

5.2.2模型二的求解

根据模型二级表可得对应准则层A ，B 的判断矩阵为：

19759175119991959

1777719791555517511999R 轾犏犏犏犏犏犏犏

=犏犏

犏

犏

犏犏犏犏臌

可以求出判断矩阵的最大值为：

max 5.000λ=

对应的权向量为：

()120.639,0.071,0.091,0.128,0.07w = max 01n CI n λ-==-， 1.120RI =，0CI CR RI

==

因此

0.1CR <，一致性通过检验。

同理可以求得采用类似的方法求出子准则层C 对准则层()12345B B B B B B 、、、、的

判断矩阵分别为：

学生的综合成绩1B ：

1312213R 轾犏犏=犏犏犏犏臌

可以求出判断矩阵的最大值为：

max 2.000λ=

对应的权向量为：

()210.600,0.400w =

max 01n CI n λ-==-，0RI =，0CI CR RI

==

因此

0.1CR <，一致性通过检验。

学生的卫生情况2B ：

211

11R 轾犏=犏臌

判断矩阵的最大值为：max 2.000λ=

对应的权向量为：

()220.500,0.500w = max 01n CI n λ-==-，0RI =，0CI CR RI

==

因此

0.1CR <，一致性通过检验。

学生工作3B ：

33

3315575511375511377771

35

5

R 轾

犏犏犏犏犏犏=犏

犏犏犏犏犏犏臌

判断矩阵的最大值为：

max 4.000λ=

对应的权向量为：

()230.150,0.250,0.350w =