分式方程与无理方程(非常规)
分式方程与无理方程（非常规）
例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解 例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 例3、解方程x x 1-
＋x
1-1=x 例4、解方程1-x +24-y +39-z =2
1
（x+y+z ） 例5、解方程x -5+x +2=5+2
例6、求方程的整数解2x +y 2=32 例7、已知实数x 1，x 2，???x n 满足
1+2
11
x x =
1
+2
22
x x =???=
1
+2
n n x x ，
x 1+x 2+???x n +
11x +2
1x +???+n x 1=310
。 求x 1
例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a
1
=x ， 试求x 的值
例9、已知关于x 的方程（a 2
-1）(1-x x )2-(2a+7)( 1
-x x
)+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围
（2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11
3
，求a 的值
练习： 1、方程 x -
x 4=x
x 3的实数根的个数为 个 2、如果a+b-21-a -42-b =33-c -
2
1
c-5，则a+b+c 的值为 3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是
4、若实数x ，y ，z 满足x+
y 1=4，y+z 1=1，z+x 1=3
7
，则xyz 的值为 5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对的个数
是
6、已知
a 1-a =1，那么代数式a
1
+a 的值为 7、对于x 的哪些实数值，等式12-+x x +1-2-x x =2成立？
8、解方程16+16x
+x
x +16=
416x
分式方程与无理方程
解分式方程与无理方程时，主要用到的技巧有观察法、配方法、换元法、数形结合法、韦达定理法、方程的不等式解法等。解题时，要注意从方法技巧的角度去提高分析问题、解决问题的能力。
例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解
解：显然x ≥2，观察方程两边，取???2
=2-4
=x x 得x=4
令y=2-x ，则原方程变形为y 2
＋y ―(2＋2)=0，此方程有两个异号
的实根，从而有唯一的非负根。 经检验知，x=4是原方程的实数解.
例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 解：显然有b ≤x ≤a ，
观察知，x 1=a ，x 2=b 是原方程的解. 当b ＜x ＜a 时，有x a -≥0，b x -≥0
以x a -、b x -为直角边作直角三角形，则斜边为b a - 由三角形任意两边之和大于第三边得，x a -+b x - ＞b a - 所以除x 1=a ，x 2=b 外，原方程再无实数解 经检验知，x 1=a ，x 2=b 是原方程的解
说明：观察法解方程的缺点是有时会减根，因此在用观察法初步得出方程
的解之后，还要全面考虑，找到方程的全部解。
例3、解方程x x 1-
＋x
1-1=x 解：显然x ≥1.方程两边乘以2后，移项配方，有 0=2x ―2x x 1-
―2x
1-1 =??????1+1-2-1-x x )x x (＋??
?
??
?1+1
-?
2-1-x x x )x ( =（x x 1-
-1）2+（1-x -x
1）2
由非负数的性质，得???
????1=
1-1=1
-x x x
x ，
平方得，x 2
-x-1=0，取不小于1的根，得x=
2
5
+1 经检验知，x=2
5
+1是原方程的解.
例4、解方程1-x +24-y +39-z =
2
1
（x+y+z ） 解：配方得，（1-x -1）2+（4-y -2）2+（9-z -3）2
=0
由非负数的性质得，???
????3=9-2=4-1=1-z y x ，得???
??18=8=2=z y x
经检验知， ??
?
??18=8=2
=z y x 是原方程的解.
例5、解方程x -5+x +2=5+2 解：平方得，x -5?x +2=10
∴x -5、x +2是二次方程t 2
-(5+2)t+10=0的两个根，
∴?????2=+25=-5x x 或?????5
=+22
=-5x x ∴x=0 或x=3 经检验知，它们是原方程的解
例6、求方程的整数解2x +y 2=32 ① 解：由2x ≤32，得0≤x ≤8 ②
又由①有y 2=32-2x ，平方后移项，得8x 2=16+2x-y ∵16+2x-y 为整数，∴x 2为整数，设x=2b 2
（b 为整数），代入②得，
0≤2b 2≤8，∴b 2
只能取0，1，4
当b 2
=0时，x 1=0,代入①，得y 1=16
当b 2
=1时，x 2=2,代入①，得y 2=4
当b 2
=4时，x 3=8,代入①，得y 3=0 经检验知，它们是原方程的解
例7、已知实数x 1，x 2，???x n 满足
1+2
11
x x =
1
+2
22
x x =???=
1
+2
n n x x ，
x 1+x 2+???x n +
11x +2
1x +???+n x 1=310
求x 1 解：∵
1+2
11
x x =
1
+2
22
x x =???=
1
+2
n n x x ，
∴12
11+x x =22
21+x x =???=n
n x x 1+2
∴x 1+11x =x 2+21x =???=x n +n x 1
又∵x 1+x 2+???x n +
11x +2
1x +???+n x 1=310
∴n(x 1+
11x )=310 ∴nx 12-3
10x 1+n=0
∵x 1为实数，∴△=（-310）2-4n 2≥0， 解得n ≤3
5
，又∵n ≥1 ∴取n=1 ∴x 1+
11x =310 解得x 1=3或3
1
经检验知，它们是原方程的解
例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a
1
=x ， 试求x 的值
解：∵b 1=x-a ， b=x-c 1 ∴(x-a)( x-c
1)=1
同理得(x-c)( x-a 1)=1 ∴(x-a)( x-c 1)=(x-c)( x-a
1
)
整理得，x+acx=a+c ① 又∵(x-a)( x-
c 1)=1 ∴x 2
-c x -ax+c
a =1 ② 把①代入②得，cx 2
=2c ∵c ≠0, ∴x 2
=2， x=±2
例9、已知关于x 的方程（a 2
-1）(1-x x )2-(2a+7)( 1
-x x )+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围
（2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11
3
，求a 的值
解：（1）若x ≠1，则原方程可转化为（a 2
-1）x 2
-(2a+7)x(x-1)+ (x-1)2
=0
整理得，（a 2-2a-7）x 2
+(2a+5)x+1=0
①若a 2
-2a-7=0，即a=1±22时，有x=-5
+21
a
显然2a+5=7±42≠0，同时x ≠1， ∴当a=1±22时，原方程有实数解
② 若a 2
-2a-7≠0，当△=（2a+5）2
-4(a 2
-2a-7）≥0，
即a ≥-28
53
且a ≠1±22时，原方程有实数解 由①、②知，当a ≥-28
53
时，原方程有实数解 （2）由题设知，
1-11x x ，1
-22x x 是方程（a 2-1）t 2
-(2a+7)t+ 1=0的两个根， 由韦达定理，得1-7+22
a a =113 ∴3a 2
-22a-80=0 解得a 1=10 a 2=-38 又由（1）知a ≥-2853，而-38＜-28
53
∴a 2=-3
8
应舍去，只取a=10
巩固练习： 1、方程 x -x 4=x
x
3的实数根的个数为 个 答：1
2、如果a+b-21-a -42-b =33-c -2
1
c-5，则a+b+c 的值为 答：20
3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 答：0≤p ＜
4
1
4、若实数x ，y ，z 满足x+y 1=4，y+z 1=1，z+x 1=3
7
，则xyz 的值为 答：1
5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对的个数是
答：2 6、已知
a 1-a =1，那么代数式a
1
+a 的值为 答：5
7、对于x 的哪些实数值，等式1+2+x x +1-2-x x =2成立？ 答：2
1
≤x ≤1 8、解方程
16+16x +x
x +16=
416x
答：x=9
256
12.易错专题：分式与分式方程中的易错题
易错专题：分式与分式方程中的易错题◆类型一分式值为0时求值，忽略分母不为0 1．若分式x2－16 x－4 的值为零，则x的值为( ) A．0 B．4 C．±4 D．－4 2．若分式 x2－9 x2＋x－12 ＝0，则x的值是( ) A．3或－3 B．－3 C．3 D．9 ◆类型二自主取值再求值时，忽略分母或除式不为0 3．先化简，再求值：x－2 x2－1 · x＋1 x2－4x＋4 ＋ 1 x－1 ，其中x是从－1、0、1、2 中选取的一个合适的数． 4．先化简x2－4 x2－9 ÷ ? ? ? ? ? 1＋ 1 x－3 ，再从不等式2x－3<7的正整数解中选出使原式 有意义的数代入求值．
◆类型三解分式方程不验根 5．解方程：1－x x－2 ＝ 1 2－x －2.【易错9】 ◆类型四无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况【易错10】 6．★若关于x的分式方程2m＋x x－3 －1＝ 2 x 无解，则m的值为( ) A．－1.5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 7．已知关于x的分式方程 a x＋1 － 2a－x－1 x2＋x ＝0无解，求a的值．
◆类型五已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值【方法18】 8．若关于x的分式方程 x x－2 ＝2－ m 2－x 的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为( ) A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3 9．已知关于x的分式方程a－x x＋1 ＝1的解为负数，求a的取值范围．
参考答案与解析 1．D 2.B 3．解：原式＝x －2（x ＋1）（x －1）·x ＋1（x －2）2＋1x －1＝1（x －1）（x －2） ＋1x －1＝x －1（x －1）（x －2）＝1x －2.当x ＝0时，原式＝－12 (x 不能取－1、1、2)． 4．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －2＝x ＋2x ＋3 .解不等式2x －3<7，得x<5，其正整数解为1，2，3，4.∵x＋3≠0且x －2≠0且x －3≠0，∴x≠－3且x≠2 且x≠3，∴x＝1或4.当x ＝1时，原式＝34；当x ＝4时，原式＝67 . 5．解：去分母，得1－x ＝－1－2(x －2)，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －2＝0.∴x＝2不是原分式方程的解，故原分式方程无解． 6．D 解析：分式方程化简得(2m ＋1)x ＝－6.当2m ＋1＝0，即m ＝－0.5时，原分式方程无解；当2m ＋1≠0时，x ＝－62m ＋1 ，当x ＝3时，原分式方程无解，即－62m ＋1＝3，解得m ＝－1.5；当x ＝0时，原分式方程无解，即－62m ＋1 ＝0，此方程也无解．综上所述，m 为－0.5或－1.5，故选D. 7．解：去分母，得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，∴x(x＋1)＝0，得x ＝－1或0.当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a ＝0；当x ＝0时，－2a ＋1＝0，解得a ＝12 . ②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a＋1＝0，a ＝ －1.综上可知，a ＝0或12 或－1. 8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m.由题意得???x ＞0，x －2≠0，即???4－m ＞0，4－m －2≠0， 解得m ＜4且m≠2，∴满足条件的正整数m
分式方程的增根与无解教学文案
分式方程的增根与无解 甲：增根是什么？ 乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程：。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲：原方程的解是。 乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？ 乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。 甲：那为什么会出现这种情况呢？ 乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？ 乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。 甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看： 例2、解方程， 去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。 乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看： 例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。 首先把原方程去分母，化为。③ 因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或 若增根为，代入方程③，得，； 若增根为，代入方程③，得，。 故当或时，原方程会有增根。 甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？
分式方程和无理方程
分式方程和无理方程 一. 解分式方程和无理方程必需检验 1. 方程01312=--+x x 的解是_________. 2.方程x x -=-2的解是 __________. 3. 方程x x =+2的解是 ___________. 4.方程 1415112-=--+-x x x x 的解是 __________. 5.方程 2x-332=+x 的解是 ( ) A. 21 和3 B. 21 C. -2 1 和3 D. 3 6. 关于x 的方程x k k x -=-的根为 ( ) A. x = k B. x 1 = k+1 , x 2 = k – 1 C. x 1 = k , x 2 = k + 1 D. x = 2k 7. 方程 4 42144122-=+++-x x x x x 的解是 ( ) A. x 1 = -2 , x 2 = 4 B. x 1 = 2, x 2 = – 4 C. x = 4 D. x = - 4 8.方程3 12)3(42+-=++x x x 的根的个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数多个 二. 与增根有关的填空与选择题. 1. 解分式方程 3 31+=--x m x x 时去分母一步产生了增根,那么m 的值是 ____________. 2. 当m = _____时 , 去分母解方程2 22-=--x m x x 时会产生增根. 3. 解关于x 的方程x m m x x -=--131得 x = 1 34-m m ,当m = ____时,此根是增根. 4. 使分式方程212-=-+x k x x 产生增根的k 的值是 ( ) A. k = 0 B. k = 0, k = 2 C. k = 1 D. k = 2 5. 解关于x 的方程1 3213+-=++x x ax x 有增根x = -1,则a 的值是 ( ) A. 0或1 B. 0 C. 3 D. –2 6. 方程011522=-?-+y y y 的解是 ( ) A. 3 B. 3或-5 C. –5或 –1 D. 3 , -5 ,1 7. 方程 0345=-?-x x 的解是 ( )
整式方程和分式方程-教师版
【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ） A ．343x y -= B ．24x - C ．32 2x x =- D ．22350x x --= 【难度】★ 【答案】D 【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念． 【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方 程? ① 23270x a x +-=； ②321 240(0)x x x a b a b +- =+≠+； ③1 3(0)1 x x x + =≠-； ④212(0)x x x +=-≠； ⑤2 13502 m xm x ?+-=-； ⑥ 352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★ 【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程． 【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程； 【总结】考察一元整式方程的概念． 【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________； （2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★ 【答案】（1）1a =-（2）3k = 【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用． 例题解析
【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≤； B ．0m <； C ．0m ≥； D ．0m >； 【难度】★ 【答案】D 【解析】因为42x m =-，所以41 2x m =-，若方程没有实数根，则0m >． 【总结】考察二项偶次方程有解的情况． 【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．1个或2个 D ．不确定 【难度】★★ 【答案】D 【解析】当0m =时，方程化为1 4104 x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次 方程，160m =+≥V ，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+ 分式及分式方程精典练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+- 分式方程与无理方程（非常规） 例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解 例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 例3、解方程x x 1- ＋x 1-1=x 例4、解方程1-x +24-y +39-z =2 1 （x+y+z ） 例5、解方程x -5+x +2=5+2 例6、求方程的整数解2x +y 2=32 例7、已知实数x 1，x 2，???x n 满足 1+2 11 x x = 1 +2 22 x x =???= 1 +2 n n x x ， x 1+x 2+???x n + 11x +21x +???+n x 1=3 10 。 求x 1 例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a 1 =x ， 试求x 的值 例9、已知关于x 的方程（a 2 -1）(1-x x )2-(2a+7)( 1 -x x )+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围 （2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11 3 ，求a 的值 练习： 1、方程 x - x 4=x x 3的实数根的个数为 个 2、如果a+b-21-a -42-b =33-c - 2 1 c-5，则a+b+c 的值为 3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 4、若实数x ，y ，z 满足x+ y 1 =4，y+z 1=1，z+x 1=37，则xyz 的值为 5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003 =2003的正整数对的个数是 6、已知 a 1-a =1，那么代数式a 1 +a 的值为 7、对于x 的哪些实数值，等式12-+ x x +1-2-x x =2成立？ 8、解方程16+16x +x x +16= 416x 北师版八年级数学下册 易错专题：分式与分式方程中的易错题 ◆类型一 分式值为0时求值，忽略分母不为0 1．若分式x 2－16x －4 的值为零，则x 的值为( ) A ．0 B ．4 C ．±4 D ．－4 2．若分式x 2－9x 2＋x －12 ＝0，则x 的值是( ) A ．3或－3 B ．－3 C ．3 D ．9 ◆类型二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不为0 3．先化简，再求值：x －2x 2－1·x ＋1x 2－4x ＋4＋1x －1 ，其中x 是从－1、0、1、2中选取的一个合适的数． 4．先化简x 2－4x 2－9÷? ???1＋1x －3，再从不等式2x －3<7的正整数解中选出使原式有意义的数代入求值． ◆类型三 解分式方程不验根 5．解方程：1－x x －2＝12－x －2.【易错9】 ◆类型四 无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况【易错10】 6．★若关于x 的分式方程2m ＋x x －3 －1＝2x 无解，则m 的值为( ) A ．－1.5 B ．1 C ．－1.5或2 D ．－0.5或－1.5 7．已知关于x 的分式方程a x ＋1－2a －x －1x 2＋x ＝0无解，求a 的值． ◆类型五 已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值【方法18】 8．若关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x 的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为( ) A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，3 9．已知关于x 的分式方程a －x x ＋1 ＝1的解为负数，求a 的取值范围． 2.2 分式方程和无理方程 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握 (1) 不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用” 去分母” 或” 换元法” 求方程的根，并会验根； (2) 了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用” 平方” 或” 换元法” 求根，并会验根． 一、可化为一元二次方程的分式方程 1 ．去分母化分式方程为一元二次方程 【例 1 】解方程． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 方程两边各项都乘以： 即，整理得： 解得：或． 检验：把代入，不等于 0 ，所以是原方程的解； 把代入，等于 0 ，所以是增根． 所以，原方程的解是． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ① 把各分式的分母因式分解；② 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③ 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④ 解一元二次方程；⑤ 验根． 26 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式 方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0 ．若为 0 ，即为增根；若不为 0 ，即为原方程的解． 2 ．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2 】解方程 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程 的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的 值的情况下，用去分母的方法解方程． 解：设，则原方程可化为：解得或． (1) 当时，，去分母，得； (2) 当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ． 所以，，都是原方程的解． 说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值． 【例 3 】解方程． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可 以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 27 天材教育学科教师辅导讲义 分式方程 【知识梳理】 A 1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式一叫做分式. B 2?分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3 .分式运算 4?分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程. 5. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根. 【思想方法】 1. 类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式） 2. 检验 【例题精讲】 八“x22x 1 x 1 1.化简：22 X 1 XX 2 x 2x 2x 4 卄亠小匚 2 ?先化简，再求值：2x 2 ，其中x 2 V2 . x24 x 2 1 x 3 ?先化简（1 ）2x，然后请你给x选取一个合适值，再求此时原式的值. x 1 x 1 「小 5 1 - x 2 x 2 16 4 ?解下列万程（1） 2 20 （2）2 x 3x x x x 2 x 2 x 4 则根据题意所列方程正确的是() 312 312 d312 312 , =1 _ = 1 A. x x—2& B.兀+ X 巫-匹=1 21L-竺" c.工X十% D. X—2戌X (二) 无理方程 【一】知识梳理： 1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数 方程. 3、解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程. 4、无理方程的增根：(解无理方程验根的必要性) 乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根. 1对3辅导教案 1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念； 2．理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法； 3．会解可化成一元二次方程的分式方程． （此环节设计时间在10-15分钟） 教法说明：首先回顾下上次课的预习思考内容 1．一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程． 2．一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程叫做一元n 次方程． 3．一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程． 4．（1）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的 方程就叫做二项方程． （2）二项方程的一般形式为0(0,0,)n ax b a b n +=≠≠是正整数 （3）二项方程根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根 当n 为偶数时，如果ab <0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数； 如果ab >0，那么方程没有实数根. 5．下面四个方程中是整式方程的是（ ）． A ．212x x x =+ B ．33x x x --= C ．100991x x x -=- D ．()71 10x x += 6．下面四个关于x 的方程中，次数和另外三个不同的是（ ）． A ．231ax x a +=- B ．32x x ax -= C ．3230ax a x x ++= D ．33x a = 7．下列方程中，是二项方程的是（ ） A . 230x x +=； B .42230x x +-=； C .41x =； D . 2 (1)80x x ++=. 参考答案：5．C ； 6．A ； 7．C （此环节设计时间在50-60分钟） 例题1：用适当的方法解下列方程 （1）()2 28x -= （2）22410x x --= （3）2699910x x --= （4）()()2 12115x x ---= 教法说明：首先回顾下解一元二次方程的四种方法：开平方法、因式分解法、配方法、公式法，要求灵活应用四种方法解一元二次方程，可以让学生观察四个方程分别用什么方法解比较简单。 强调：求根公式要求学生熟练掌握 参考答案：（1）开平方法：12222,222x x =+=-+； （2）公式法：122626 ,22 x x +-= = （3）配方法：12103,97x x ==-； （4）因式分解法：126,2x x ==- 例题2：解下列关于x 的方程 （1）(32)2(3)a x x -=- （2）2 2 11(1)bx x b -=-≠- 分式及分式方程综合练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+- 分式方程中的增根与无解 考点1解分式方程 (1)=＋1 （２）+= 考点２增根 1．若关于ｘ的方程有增根,试求k的值． 2．若关于x的方程+=2有增根，求增根和ｍ的值？ 3.解关于x的分式方程时不会产生增根，则m的取值是( ) A．ｍ≠１?B．ｍ≠﹣１C．m≠０? D.ｍ≠±１ 4.已知关于ｘ的方程﹣=0的增根是１，则字母a的取值为（) A．２B．﹣２?C．1 D.﹣1 1.当a＝时，关于ｘ的方程ax=1无解；当ｍ= 时,关于ｘ的方程（m-1)ｘ=5无解；当时，关于x的二元一次方程ax2+bx+c=0无解。 2．若关于x的方程=６+无解,求m的值? ３.当a为何值时,关于x的方程﹣=１无解? 考点4有解 1．当ａ= 时，关于x的方程ax＝1有解，解为;当ｍ=时，关于ｘ的方程(m－１)x=５有解，解为；当时,关于ｘ的二元一次方程ax２＋bx+c＝0有解,解为。 1.已知x=３是分式方程﹣＝2的解，那么实数ｋ的值为(） A．﹣1 Ｂ．0 C.１?Ｄ．2 2．已知关于ｘ的方程有正根，则实数a的取值范围是（） Ａ.a＜０且a≠﹣３? B.a＞０?C．a<﹣3 D．a＜3且a≠﹣3 3．若关于ｘ的分式方程+=１有非负数解,求m的取值范围. 1．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是(） A．ａ≤﹣1 B．a<﹣1?C．﹣2≤a＜﹣１ D.﹣2＜ａ≤﹣1 2.已知关于ｘ的不等式组有且只有１个整数解,则a的取值范围是() A.a>0 B.０≤ａ＜1 C．0＜a≤１ D.a≤1 ３.已知，关于x的分式方程有增根，且关于x的不等式组只有4个整数解,那么b的取值范围是(） A．﹣1 代数方程2---分式方程 无理方程 板块一、分式方程 1、用“去分母”的方法解分式方程 例题1. 解分式方程 12244212=-+-++x x x x 例题2、解分式方程 2123x x x ++- + 2226x x x -+-＝2632 x x x --+ 限时训练： 1、已知方程（1）11=+x x （2）6323=+x x （3）11182=+x （4）1=x x 中， 分式方程的个数是（ ） （A ） 1 （B ） 2 （c ）3 （D ）4 2、分式226232 x x x x +---的值等于零，则x 的值应是________________ 3、分式方程1 214--=+x x x 的根是______________ 4、分式方程14 1212=-++x x 的最简公分母是________________ 5、分式方程21 32=+-x x 去分母后化为整式方程是___________________ 压轴题： 1、已知方程 24k 2-x 12x 2x -=-+有增根，求k 的值。 2、已知关于x 的分式方程 () 02222=-++-+-x x k x x x x x 只有一个解，求k 的值。 2、用“换元法”解分式方程： 例1、解分式方程 012 1863222=+-+-+-x x x x 例2：解下列分式方程： 2 122112122=+++-+x x x x 限时训练： 1、 分式方程0101712=+?? ? ??--??? ??-x x x x ，若设y x x =??? ??-1，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________________________ 2、 在分式方程41 331122=+++++x x x x 中，可设____________=y ，则原方程化为关于y 的整式方程为__________________________ 3、 解分式方程12 222422=+-+ -x x x x ，宜用_______法来解，并且设____________=y 较合适。 4、 解分式方程组???????=++=-+871033y y x y y x 时，可设m=______________，n=_______________， 原方程组可化为整式方程组_________________ 压轴题： 1、已知：622122=+++ x x x x ，求x x 1+的值 2、解方程：22 356635620x x x x -+- += 分式和分式方程 专题复习讲义 中考考点知识梳理： 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成 B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 （1） ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? （2）);()(为整数n b a b a n n n = （3） ;c b a c b c a ±=± （4） bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程 的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 考点典例 一、分式的值 【例1】当x= 时，分式 x－2 2x＋5的值为0． 【答案】2. 【解析】 试题分析：∵x－2 2x＋5 的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式. 【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】 1.使分式 1 1 x- 有意义的x的取值范围是（） A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A． 考点：分式有意义的条件． 2.若分式 21 1 x x - + 的值为0，则x＝ 【答案】1 【解析】 试题分析：根据题意可知这是分式方程， 21 1 x x - + ＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0， 分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，分式方程无解和分式方程有增根决不是一回事。 （一）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． （二）原方程化去分母后的整式方程无解 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． （三）原分式方程无解，去分母后的整式方程的解就等于增跟 例3（2007湖北荆门）若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例． （四）分式方程在什么情况下会产生增根？产生无解？ 例4当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根． 把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值． 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即： 当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原方程无解，则有两种情形： （1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 初中数学知识点总结分式方程和无理方程 知识点总结 一．分式方程、无理方程的相关概念： 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2．无理方程：根号内含有未知数的方程。（无理方程又叫根式方程） 3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。 二．分式方程与无理方程的解法： 1．去分母法： 用去分母法解分式方程的一般步骤是： ①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。 2．换元法： 用换元法解分式方程的一般步骤是： ②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想； ③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解； ④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。 解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。 三．增根问题： 1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。 2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。 3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。 解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。 常见考法 （1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主； （2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。 误区提醒 2016-2017学年度第一学期八年级数学 期末复习专题分式及分式方程 姓名：_______________班级：_______________得分：_______________ 一选择题： 1.在式子、、、、、中，分式的个数有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.用科学记数法表示0.000 000 000 000 002 56为（） A.0.256×10﹣14 B.2.56×10﹣15 C.0.256×10﹣15 D.256×10﹣17 3.如果分式中的与都扩大为原来的2倍，那么分式的值（） A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的一半 C.不变 D.以上三种情况都有可能 4.下列各式变形正确的是（） A. B. C. D. 5.下列等式成立的是（） A.= B.= C.= D.=﹣ 6.下列关于分式的判断，正确的是（） A.当时，的值为零 B.无论为何值，的值总为正数 C.无论为何值，不可能得整数值 D.当时，有意义 7.x克盐溶解在克水中,取这种盐水m克,其中含盐( )克 A. B. C. D. 8.下列结论错误的是（） （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 9.用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（） A. B. C. D. 10.若分式的值为0，则b的值是（） A.1 B.﹣1 C.±1 D.2 11.已知x2－4xy＋4y2＝0，则分式的值为（） A. B. C. D. 12.在正数范围内定义一种运算☆,其规则为☆＝,根据这个规则☆的解为（） A. B. C.或1 D.或 13.解关于x的方程（m2-1）x=m2-m-2(m2≠1) 的解应表示为（） （A）x=（B）x=（C）x=（D）以上答案都不对 14.若，则、、的大小关系是( ) A. B. C. D. 15.若实数满足1 第15课分式方程与无理方程 目的：复习分式方程和无理方程的概念和解法． 中考基础知识 1．分式方程：分母含有_______的方程． 2．分式方程的解法： （1）分式方程转化为______方程来解； （2）分式方程转化为______方程为解． 3 （1）无理方程转化为_________方程来解； （2）无理方程转化为_________方程来解． 4x的取值范围扩大了，可能会出现_____根，因此在解无理方程和分式方程时必须______根，解分式方程是代入________去分母验根，解无理方程是代入______验根． 备考例题指导 例1．解方程31 1 x x - + - 2 1 x x - - =1+ 2 2 1 x- ． 解：分解分母：31 1 x x - + - 2 1 x x - - =1+ 2 (1)(1) x x -+ ， 方程两边同乘以（x+1）（x-1）（这一步是关键） 得（3x-1）（x-1）+（2-x）（x+1）=（x+1）（x-1）+2，化简得x2-3x+2=0， （x-2）（x-1）=0， x1=2，x2=1． 检验：把x1=2，x2=1分别代入（x+1）（x-1） 当x1=2时，它不等于0，当x2=1时，它等于0 ∴得x=1是原方程的增根，x=2是原方程的根． ∴原方程的解是x=2 （一定要验根） 例2．解方程 2 2(1) 1 x x + + + 2 6(1) 1 x x + + =7． 分析：直接去分母难度较大，宜用换元法． 解：设 21 1 x x + + =y，则原方程转化为方程： 2y+6 y =7，去分母得2y2-7y+6=0， 解之得y1=3 2 ，y2=2． 当y=3 2 时，有 21 1 x x + + = 3 2 ，解得x1= 3 4 + ，x2= 3 4 - ． 当y=2时，有 21 1 x x + + =2，解得x3x4=1 经检验：x1，x2，x3x4 例3-2x+1=0． =2x-1， （想一想为什么要这样移项） 平方，得4x+1=（2x-1）2， 解之得x1=0，x2=2． 把x1，x2代入原方程检验得，x1是原方程的增根，x2是原方程的根．∴原方程的解为x=2． 例4．解方程3x2-6x-+4=0． 分析：采用例3方法会出现难解的高次方程，因此可用换元法． 解：变形，3x2-8=0． =y，则原方程变为：3y2-2y-8=0， 解之得y1=2，y2=-4 3 （不合算术根定义，舍去） =2，解之得x1=0，x2=2． 经检验：x1，x2都是原方程的解； ∴原方程的根为：x1=0，x2=2． 注：这个方程也可用因式分解法降次求解：分式及分式方程精典练习题分析
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