高二数学选修 导数的计算

导数的计算

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数

问题1：如何求函数()y f x c ==的导数？ 2．求函数()y f x x ==的导数 3．函数2

()y f x x ==的导数 4．函数1

()y f x x

==的导数 5

．函数y =

二

1.基本初等函数的导数公式表

分

几类 1、幂函数

2.三角函数 3指数函数 4.对数函数

补

充

1()f x x

=

'2

1()f x x =-

2公式的应用

典型题一、求导数

A x

y x y x

y x

y y x y cos )6(log )

5(ln )4(1

)3(5)2()1(125

====

==、求下列函数的导数

例 思考 求()f x '的方法有哪些？

3.导数的四则运算法则： 问题 x ?

推论：[]'

'()()cf x cf x = 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加

号, 商法则中间是减号.。

常见错误：[]'

''()()()()f x g x f x g x ?=

典型题二、导数的四则运算法则

例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）3

23y x x =-+ （2）sin y x x =?；

（3）2

(251)x

y x x e =-+?； （4）cos x

y x lnx =

-

A 变式练习1

cos x

y x

= +lnx 2

sin y x x = A 变式2.求下列函数的导数

（1）y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=

2

ln 1

x x + A 变式3．已知f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则f′（x ）=（ ） 解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ，

∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ，

已知函数f （x ）=2x lnx ，则f′（x ）等于（ ）

函数y=e x sinx 的导数等于（ ） A ． e x cosx B ． e x sinx

C ． ﹣e x cosx

D ． e x （sinx+cosx ）

分利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，sin ′x=cosx ．

析：

解答： 解：∵y=e x sinx ，

∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）?（sinx ）′

=e x sinx+e x cosx =e x （sinx+cosx ）． 故选D ．

4.函数的导数值为0时，x 等于（ ） 解：∵

=

，∴

令y ′=0，即，解得x=±a ．

A 变式练习4

若函数y=f （x ）的导数f ′（x ）=6x 2+5，则f （x ）可以是（ ） A ． 3x 2+5x B ． 2x 3+5x+6 C ． 2x 3+5 D ． 6x 2+5x+6 解答： 解：∵f'（x ）=6x 2+5

∴f （x ）=2x 3+5x+c （c 为常数）

故选B ．

函数f （x ）=xsinx+cosx 的导数是（ ） 解：∵f （x ）=xsinx+cosx

∴f ′（x ）=（xsinx+cosx ）′=（xsinx ）′+（cosx ）′ =x ′sinx+x （sinx ）′﹣sinx =sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx

若f ′（x ）=2e x +xe x （其中e 为自然对数的底数），则f （x ）可以是（ ） A ． x e x +x B ． （x+1）e x +1 C ． x e x D ． （x+1）e x +x 分析：

利用导数的运算法则即可得出． 解答： 解：利用导数的运算法则可得：A ．（xe x +x ）′=e x +xe x +1， B ．[（x+1）e x +1]=e x +（x+1）e x =（x+2）e x ，

C ．（xe x ）′=e x +xe x ，

D ．[（x+1）e x +x ]′=e x +（x+1）e x +1=（x+2）e x +1． 故选B ．

请默写出常见函数的导数 4、复合函数

问题 2

(21)y x =+求导是多少？

如果展开后求导，结果是 为什么会不同？

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==?????

上例中函数2

(21)y x =+可以看作函数2

y u =和21u x =+的复合函数。 x u x y y u '''=?=()2'

'

()(21)221.284

u x x x +=+=+

典型题三、复合函数求导

例题4 求下列函数的导数：

（1）0.051

x y e

-+=；

（2）sin()y x π?=+（其中,π?均为常数） （3） y ＝sin 4x ＋cos 4x (4)1

22sin -=

x x

y A 变式练习1 求下列函数导数

（1）

ln 2sin cos 22

x x

y x =-

（2）

bx

ax e

y +-=2

3函数的导函数是

解：对于函数

，

对其求导可得：f ′（x ）=

==；

A 变式2

1函数f （x ）=cos 2x 的导数f′（x ）=（ ） 2函数y=sin （2x 2+x ）导数是（ ）

3.求y =x

x sin 2

的导数. y ′=＿＿＿＿

B.变式1求下列函数的导数 （1）y=

x 21-cos x

423325x x y x -+-=

y=ln (x +2

1x

+) B 变式2函数

的导数为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：

简单复合函数的导数．

专题： 计算题． 分

析： 根据函数商的求导法则

再结合

函数和的求导法则f （x ）+g （x ）=f （x ）′+g （x ）′代入计算化简即可． 解

答： 解：∵

∴

∴=

故选D

2.求y =2

sin x x -

导数 典型题四、导数公式的应用

例题 某运动物体自始点起经过t 秒后的距离s 满足：234

1644

1t t t s +-=

，求此物体在什么时刻速度为零?

A.变式1函数f （x ）=x 2+ax+1，其导函数的图象过点（2，4），则a 的值为（ ） A 变式2 已知函数f （x ）=ax 2+c ，且f ′（1）=2，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． C ． ﹣1 D ． 0 考点：

导数的运算． 专题：

计算题． 分析：

先求出f ′（ x ），再由f ′（1）=2求出a 的值． 解答： 解：∵函数f （x ）=a x 2+c ，∴f ′（ x ）=2ax 又f ′（1）=2，

∴2a?1=2， ∴a=1

故答案为A ．

A 变式3函数f (x )＝a

x 若其导数过点（2，4），则a 的值是

典型题五、用导数方法求切线

例题 曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________ 过（1,1）的切线方程为________

A 变式1若曲线y=x 4的一条切线l 与直线x+4y ﹣8=0垂直，则l 的方程为（ ）

A ． 4x ﹣y ﹣3=0

B ． x +4y ﹣5=0

C ． 4x ﹣y+3=0

D ． x +4y+3=0

考点：

导数的几何意义；两条直线垂直的判定． 分析： 切线l 与直线x+4y ﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程． 解答：

解：设切点P （x 0，y 0） ∵直线x+4y ﹣8=0与直线l 垂直，且直线x+4y ﹣8=0的斜率为﹣，

∴直线l 的斜率为4，

即y=x 4在点P （x 0，y 0）处的导数为4， 令y ′

=4x 03=4，得到x 0=1，进而得到y 0=1

利用点斜式，得到切线方程为4x ﹣y ﹣3=0． 故选A ．

A 变式2函数f(x)=x 4-x?在点P 处的切线平行于直线3x-y=0,则此切线的方程为________

A 变式3过点（﹣1，0）作抛物线y=x 2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）

A ． 2x+y+2=0

B ． 3x ﹣y+3=0

C ． x +y+1=0

D ． x ﹣y+1=0 分析： 这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系

求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种． 解答： 解：y'=2x+1，设切点坐标为（x 0，y 0）， 则切线的斜率为2x 0+1，

且y 0=x 02+x 0+1

于是切线方程为y ﹣x 02﹣x 0﹣1=（2x 0+1）（x ﹣x 0）， 因为点（﹣1，0）在切线上，

可解得x 0=0或﹣2，当x 0=0时，y 0=1；x 0=﹣2时，y 0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D 正确． 故选D A 变式4已知直线1y x =+与曲线y ln(2)x a =+相切，则a 的值为（ ）

B 变式1 在f （x ）=x 3+3x 2+6x ﹣10的切线中，斜率最小的切线方程为（ ） A ． 3x+y ﹣11=0 B ． 3x ﹣y+6=0

C ． x ﹣3y ﹣11=0

D ． 3x ﹣y ﹣11=0

分析： 先对函数f （x ）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程． 解答： 解：∵f （x ）=x 3+3x 2+6x ﹣10∴f'（x ）=3x 2+6x+6=3（x+1）2+3 ∵当x=﹣1时，f'（x ）取到最小值3

∴f （x ）=x 3+3x 2+6x ﹣10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3 ∵f （﹣1）=﹣1+3﹣6﹣10=﹣14 ∴切点坐标为（﹣1，﹣14） ∴切线方程为：y+14=3（x+1），即3x ﹣y ﹣11=0 故选D ．

点评： 本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．

B 变式2设函数f （x ）=g （x ）+x+lnx ，曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为（ ） 典型题六、切线与最短距离

例题 曲线y=ln （2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ） B 变式.1 曲线y=

1

24

x +上的点到直线x+3y+4=0的最短距离是（ ）

B 变式2 曲线23

x y e +=上的点到直线x-2y+3=0的最短距离是（ ）

典型题七、()(),

,

0f

x f x 与的关系

例题 已知f （x ）=x 2+2xf ′（1），则f ′（1）等于（ ）

B 变式1已知f （x ）=3x -xf ′（3），则f ′（3）等于（ ）

B 变式2已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）=2xf ′（e ）+lnx ，则f ′（e ）=