北师大版数学高二-选修1教案 3.3 计算导数
第四课时 3.3 计算导数
教学过程
一、创设情景
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.
二、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=?
（2）求平均变化率
x
x f x x f x y ?-?+=??)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x
y x ??→?0lim 三、新课讲授 1.函数()y f x c ==的导数
根据导数定义,因为
()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00
lim lim 00x x y y x ?→?→?'===?
0y '=0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.
2.函数()y f x x ==的导数
因为()()1y f x x f x x x x x x x
?+?-+?-===??? 所以00
lim
lim 11x x y y x ?→?→?'===?
1y '=1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
3.函数2
()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==???222
2()2x x x x x x x x
+?+?-==+?? 所以00
lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=?
2y x '=表示函数y x =图像(图3.2-3)上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x .
4.函数1()y f x x
==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==??? 2()1()x x x x x x x x x x
-+?==-+??+?? 所以220011lim lim()x x y y x x x x x
?→?→?'==-=-?+??
5.函数(y f =因为()(
)y f x x f x x x ?+?-==??=
()x x x x =?+?+ 所以00lim lim 2x x y y x x x x x
?→?→?'===?+?+ 函数 导数
y x =
12y x
'= 推广: 若*()()n y f x x n Q ==∈,则1()n f x nx
-'=
注:这里n 可以是全体实数.
根据上面推导过程推导出基本初等函数的求导公式：
⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数)
⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '=
⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-
⑺ ()2x x '= 由⑶~⑹你能发现什么规律?
⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数）
⑼ ()ln (01)x x
a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlna
a a '=
=>≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
四、典例分析
利用定义求函数的导数
例1、求f (x )＝2x
＋x 的导函数f ′(x )，并利用导函数f ′(x )求导数值：f ′(－1)，f ′(2)，f ′(4)． 【思路点拨】 用定义求导函数f ′x →求增量Δy →求Δy Δx
→当Δx →0时取极限
→令x＝－1，2，4求函数值
【解】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝
2
x＋Δx
＋(x＋Δx)－(
2
x＋x)
＝
2
x＋Δx
－
2
x＋Δx＝
2[x－x＋Δx]
x＋Δx x
＋Δx
＝－2Δx
x＋Δx x
＋Δx，
∴Δy
Δx＝－
2
x2＋xΔx
＋1，∴当Δx→0时，
Δy
Δx→－
2
x2＋1，
即f′(x)＝lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0?
?
?
?
－
2
x2＋xΔx
＋1＝－
2
x2＋1.
分别将x＝－1,2,4代入可得：f′(－1)＝－2＋1＝－1；
f′(2)＝－2
4＋1＝
1
2；
f′(4)＝－2
16＋1＝
7
8.
点评 1.本例求导方法简记为：一差、二比、三趋近，求函数在一点处的导数，一般是先求函数的导数，再计算这点的导数值．
2.利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当Δx趋于0时，得到导函数
f′(x)＝lim
Δx→0f x＋Δx－f x
Δx.
利用导数公式求导数
例2、求下列函数的导数
(1)y＝π＋1；(2)y＝1
x2；(3)y＝x x；
(4)y＝2x；(5)y＝log1
2x；(6)y＝????
sin
x
2＋cos
x
22－1.
分析先观察或对原函数表达式进行适当变形，然后再用基本初等函数的导数公式求解．
【解】(1)y′＝(π＋1)′＝0.
(2)y ′＝???
?1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3. (3)y ′＝()x x ′＝(x 3
2)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝(2x )′＝2x ln2.
(5)y ′＝????log 12x ′＝1x ln 12
＝－1x ln2. (6)∵y ＝????sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2·cos x 2＋cos 2x 2
－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
点评：在求函数的导数时，要注意先将分式、根式转化为幂的形式，然后求导．
利用导数公式求切线方程
例3、求曲线y ＝x 过点(3,2)的切线方程．
分析 由于点(3,2)不在曲线y ＝x 上，因此可先设过点(3,2)与曲线y ＝x 相切的切线的切点为(x 0，y 0)，因为y ＝x ＝x 1
2，可根据幂函数的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出所求切线的方程．
【解】 ∵点(3,2)不在曲线y ＝x 上．
∴设过(3,2)与曲线y ＝x 相切的直线在曲线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0.
∵y ＝x ，∴y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x . ∴根据导数的几何意义，曲线在点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝12x 0
. ∵切线过点(3,2)，
∴2－y 03－x 0＝12x 0，2－x 03－x 0＝12x 0
， 整理得(x 0)2－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1，x 0＝9，
∴切点坐标为(1,1)或(9,3)．
(1)当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k ＝12
， ∴切线方程为y －2＝12
(x －3)，即x －2y ＋1＝0. (2)当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k ＝16
， ∴切线方程为y －2＝16
(x －3)，即x －6y ＋9＝0.
综上可知，曲线y ＝x 过点(3,2)的切线方程为x －2y ＋1＝0或x －6y ＋9＝0.
点评：求曲线的切线方程主要有两类题型：一是已知切点，这类可直接由切点处的导数求斜率，再由点斜式求切线方程．二是不知道切点坐标的题型，即待定切点型，首先应设出切点坐标，进而列出切线的点斜式方程，然后将条件代入，列出一个方程，即可求出切点，进而确定切线方程．
课堂小结
1．f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，它是一个确定的值，是函数f ′(x )的一个函数值．
2．对公式y ＝x α的理解：
(1)y ＝x α中，x 为自变量，α为常数；
(2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R 都成立． 课堂练习
1.求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2 012；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝5x ；(4)y ＝3x 2. 解：(1)y ′＝(x 2 012)′＝2 012x 2 011；
(2)y ′＝???
?3x 3′＝－9x －4； (3)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；
(4)y ′＝(3x 2)′＝23x '?? ???＝23
13x - . 2.．若f (x )＝x 2－e x ，则f ′(－1)＝________.
解析：f ′(x )＝2x －e x ，∴f ′(－1)＝－2－
1e -. 答案：－2－
1e -