分式求值中的整体思想

分式求值中的整体思想

在已知条件下求分式的值是从《分式》一章中的一类常见题型，本文介绍用整体思想求分式值，希望对同学们有所帮助。

例1 若分式7

3222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、-71 D 、5

1 分析：仔细观察发现，已知中的2y 2+3y 与所求式中的4y 2+6y 有联系，可以将所给条件进行适当变形，就可得到4y 2+6y ，然后整体代入即可求得所求式的值。 解：由已知73222++y y =4

1得2y 2+3y+7=8 2y 2+3y=1，4y 2+6y=2 所以16412-+y y =1

21-=1，故选A 。 点评：本题所给条件是关于y 的二次方程，目前我们还不会解，实际上，解出这个方程较繁，而用整体代换则使解题过程更简捷。

例2 已知a 1+b 1=4，则b

ab a b ab a 323434-+-++= 。 分析：由已知可得到a+b 与ab 的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b 与ab 的表达式，然后将a+b 用ab 代换即可求出所求式的值。 解：由已知得ab

b a +=4 ∴a+b=4ab b ab a b ab a 323434-+-++=ab b a ab b a 2)(33)(4++-++=ab ab ab ab 243344+?-+?=-10

19 点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab 得到

233344+--++a b a b =2)11(3)11(4++-++b

a b a 然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。

例3 已知a 2

-3a+1=0，求142

+a a 的值。 分析：将已知等式两边同除以a 可得到a+a 1=3，而所求式的倒数为241a

a +=a 2+21a =（a+a 1）2-2，将a+a

1=3整体代入便可求所求式的值。

解：由已知a 2-3a+1=0知a ≠0，将已知等式两边同除以a 得a-3+a 1=0，∴a+a

1=3 所以241a

a +=a 2+21a =（a+a 1）2-2=32-2=7 ∴142

+a a =7

1 点评：①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。

②a 2±

21a

=（a ±a 1）2 2这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。 例4 已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。 分析：将所求式分子、分母同除以abc 可得到c

b a 1111++，故只要将已知式变换出a 1+b 1+c

1即可。 解：因为a 1+b 1=61①，b 1+c 1=91②，a 1+c 1=15

1③，将①、②、③左、右分别相加，得

2（a 1+b 1+c 1）=61+91+151 ∴a 1+b 1+c 1=180

31 所以bc ac ab abc ++=a

b c 1111++=31180 点评：将已知式、所求式施行一些变换（如加、减、乘、除等），将它们联系起来整体代换求值是求分式值常用的一种方法。

例5 若x 、y 、z 满足方程组

???????=-+=-+211043173z

y x z y x 求z y x 111-+的值 分析：本题中有三个未知数，仅有两个方程，不可能求出x 、y 、z ，因此，只能把z

y x 111-+看成一个整体来变换。 解：设z

y x 111-+=k

则?????????=-+=-+=-+211043173111z

y x z

y x k

z y x

①-②×3+③×2得k=5 ∴z

y x 111-+=5 点评：已给方程个数少于未知数个数求分式值时，要把所求式看成一个整体设为一个未知数参与已知方程经过变换即可求出所求式的值。