(完整word版)微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度

一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，

求：

物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。

解：物体在某一位置所受的力有：重力G

，

弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f

总是与运动速度V 的方向相反，其数值

ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====

重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1

G

分解为两个分力：

1G

''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11

mg G G =='' ；1G

'是沿轨

迹

法

向

的

分

力

，

φαφcos sin cos 11

mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为

τma f G =-''1 （1） n ma G ='1

（2） 由（1），

)1(sin sin )sin sin sin (1

-=-=

φααφατg mg mg m a 而

,dt

dV

a =

τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）

式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到

φφ

d d ds V V dS dt 1==

（4） 而φ

d ds

表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，

ρ

φα2

cos sin V m

mg = （5）

由式（3）（4）（5），可得到

,)sec (φφφd tg

V dV

-= φφφφ

d tg V dV V V ??-=00)sec (，

积分，得到

)sin 1ln()ln(sec cos ln ln

φφφφ+-=+--=tg V V

， .sin 10

φ

+=

V V

运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求：

链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：设金属链条的线密度为.2

1L L m

+=

λ当一边长度为

x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛

顿运动定律，得出运动方程

,)()(11a x L T g x L λλ+=-+

.)()(22a x L g x L T λλ-=--

则.2)(2

121g L L x

L L a ++-=

因为dx

VdV

dt dx dx dV dt dV a =

==

，所以 ,2)(2

121g L L x L L dx VdV ++-= ?

?

++-=x

V

gdx L L x

L L VdV 0

2

1210

2)(

.)(22212

1x x L L L L g

V +-+=

令,2L x ≈可以求得链条滑离钉子时的速度大小

2

1212L L g

L L V +=

再由,dt

dx

V =

得到 2212

1)(2x x L L L L g

dt

dx +-+=

,20

2

10

2

21dt L L g

x x L L dx

t

x

?

?

+=+-）（

积分，得到

,2])(2)(2ln[2

1022121t L L g

x x L L L L x x

+=

+-+-+

,2)(2)(2ln

2

12

12

2121t L L g

L L x x L L L L x +=

-+-+-+

令x=2L ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为

.ln 22ln 22

1212

12

12

12121L L L L g

L L L L L L L L g L L t -++=-+++=

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2ρ的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21ρρ<，求：

棒下落过程中的最大速度。

解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G 和

浮力F

的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有

.dt

dV

m

F mg =- （1） 随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即mg F =时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L ，设棒的截面积为S ，则有

,211SLg g SL ρρ=

解得，

.1

2

1L L ρρ=

（2） 取x 坐标如图所示，则（1）式可以写为

.212dt

dV SL

Sxg SLg ρρρ=- 做变量代换，令,dx

dV

V dt dx dx dV dt dV ==代入上式，得到

;)1(2

1

VdV gdx L x =-

ρρ 两边积分，得到

??

=-11

00

2

1

)1(V L VdV gdx L x ρρ

得到，21212112

1)21(V L L g gL =-

ρρ 将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.1

2

1Lg V ρρ=

运用微分法求解阻尼平抛

质量为m 的物体，以初速为0V ，方向与地面成0θ角抛出。如果空气的阻力不能忽略，

并设阻力与速度成正比，即V k f

-=，k 为大于零的常数。求：

物体的运动轨道。

解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程

a m f g m =+

其分量式，,x x x ma kV f =-= （1）

y y ma kV mg =- （2）

将dt dV a x

x =

代入式（1），得 ,dt

dV m

kV x

x =- 改写成

,dt m

k

V dV x x -=??-=x

x V V t x x dt V dV 00,m k 两边积分，得到

.cos 00t m

k t m

k x x e

V e V V --?==θ

可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于

,dt

dx

V x =

再积分，并以t=0时x=0,代入得到 ).1(cos )1(0

00t m k

t m k

x e k

V e k m V x ---=-=θ （3）

同理，由于,dt

dV a y y =

式（2）转化为

),(y y y V k mg m k V m k g dt

dV -=-

=.dt m

k

V k

mg dV y y -=-

积分，并以t=0时，000sin θV V V y y ==代入，得到

.)sin (00k

mg

e k mg V V t m k

y -+=-θ

可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，

得到

.)1)(sin (00t k

mg

e k mg V k m y t m k

--+=-θ （4）

由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程

).cos 1ln()cos 1ln()cos (022*******x mV k k

g m x mV k k g m x kV mg tg y θθθθ-+-++=

显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨

道向左下方偏离，如图一。

例如：以初速620m/s,仰角0

45发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.

求解飞机的滑行距离

飞机以0V 的水平速度触地滑行着陆。滑行期

间受到空气的阻力为

2V C x ，升力为2

V C y ，其

中V 是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为μ，试求： 飞机从触地到停止所滑行的距离。

解：取飞机触地点为

坐标原点，取飞机滑行方向为x 轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力N f μ=，空气阻力

为2

V C f x ='；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力,2V C F y =如图一所示，应用

牛顿第二定律，得到

dt

dV

m

V C N x =--2μ .02=-+mg V C N y

由上两式消去N ，得到

.)(2V C C mg dt

dV

m

y x μμ---= 利用,dx dV V dt dx dx dV dt dV ==

得到.)(2V C C mg dx dV

mV y x μμ---=

分离变量，积分

??-=-+V

V x y x dx V C C mg mVdV

002)(μμ， 得到].)()(ln[)(22

2V C C mg V C C mg C C m

x y x y x y x μμμμμ-+-+--= 在飞机触地的瞬间，,0V V =支持力N=0,由运动方程，得到

.20mg V C y =

于是].)(ln[

)

(22

02

2020V C V C C V C C C g V C x x y x y y y y μμμ-+--

=

这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。 社5,/900==x

y C C h km V （升阻比）

，10.0=μ。代入数值计算后，得到 x=221m.

求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题

两小球的质量均为m ，小球1从离地面高度为h 处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0V 同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求：

两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。

解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为

,22mg kV dt

y

d m --= 它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故

,g V m

k

dt dV --= 分离变量

.dt g V m

k

dV

=--

对于小球1，初始条件为0=t 时，,,01010h y V ==故

,1

0?

?=--V t dt g V m

k

dV

).1(1t m k

e k

mg

V ---= (1)

对于小球2，初始条件是t=0时，,0,20020==y V V 故

??=--1

0,0V V t dt g m k dV

得到.02k

mg

e k mg V V t m k

-+=

-）（ （2） 由（1）式，得到

),1(1t m k

e k

mg

dt dy ---= dt e k

mg dy t m k

)1(1---=

?

?---=1

01)1(y h

t

t m k

dt e k

mg

dy

积分，得到

.)1(221t k mg

e k

g m h y t m k

--+=-

由式（2）得到

,)(02k mg

e k mg V dt dy t m k

-+=- dt k

mg e k mg V dy t m k

])[(02-+=-

dt k

mg

e k mg V dy t

t m k

y ??

-+=-000

2])[(2

积分，得到

t k

mg

e k mg V k m y t m k

-+=-)(02

两小球相遇时，,21y y =相遇时间为*

t ，由（3（4）两式，得到

)1(*0t m

k

e V k m h --=，,10

*mV kh e t m k

-=-

故),1ln(0

*

mV kh

k m t --

= 把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点

).1ln()1(0220*

mV kh

k

g m h kV mg y -++=

代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度

;)]1(1[0

0*1V gh mV kh k mg V -=---

=

.)()1)((0000*2m

kh

V gh V k mg mV kh k mg V V --=--+

= 讨论：（1）当阻力很小时，即当0→k 时，利用展开式

,2

)1ln(2

x x x --=-

上述结果简化为

.,;2;00*20*

12

0*0*V gh V V V gh V V gh h y V h t -=-=-==

这正是不考虑空气阻力时的结果。

（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下

,0kh mV >或者,0m

kh V >

两小球才有可能相遇。

在非惯性系中求解球环系统的运动情况

一轻绳的两端分别连接小球A 和小环B ，球与环的质量相等，小环B 可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：

小球摆离铅垂线的最大角度θ时小环和小球的加速度。

解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B 为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力

B ma F =惯的作用，如图二。其

加速度A a '沿圆弧的切线方向。在最大摆角为θ时的运动方程为

,

0cos sin =-+θθmg F T 惯

A

a m F mg '=+θθcos sin 惯

小环B 在水平方向的运动方程为B ma T =θsin . 解方程，得到

)

sin 1(sin 2,)sin 1(22sin 22θθ

θθ+='+=

g a g a A

B 。 小球

A

相对地的加速度

B A A a a a

+'=，取如图二所示的坐标系，

则有

,

)

sin 1(22sin cos 2g a a a B A Ax θθ

θ+=

-'=

.)

sin 1(sin 2sin 22g a a A Ay

θθ

θ+=

'= 旋转液体的液面

以等角速度ω旋转的液体，液面的形状如何求得？

解答：

假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以Y 轴为对称轴，此时在

液面会得到一正压力R，R可以同时提供向心力，，和重力

因此

其中、都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕Y轴的旋转面。

直接求sin(x)的导函数

从几何上如何找到sin(x)的微分呢？解答：

直接求

sin d

d

θ

θ

把θ变动△θ，sinθ从变到，我们要了解与△θ之比，△θ是

一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此与△θ之比之

比可以想成是cosθ

四只苍蝇飞行问题

有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1, -1﹚，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：

A苍蝇一直向着B苍蝇靠近，

B苍蝇一直向着C苍蝇靠近，

C苍蝇一直向着D苍蝇靠近，

D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：

﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？

﹙2﹚它们多久会相遇？

﹙3﹚找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。

﹙4﹚计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。

﹙5﹚苍蝇A会有什么样的生理反应？

解答：

﹙1﹚、﹙2﹚：

从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以1 单位/ 秒的等速

向B靠近，原来A、B的距离是 2 单位，因此需要秒的时间四只苍蝇会

相遇﹙，，的推论都一样，∴四只会一起相遇﹚

图一图二

图三

﹙3﹚：

我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式表达，，而

B的位置就是要注意

的是：和都是的函数

而A的速度是

此向量要与平行，于是﹙如果﹚

，初始值，，。

( ) 其轨迹如下图所示

事实上我们必须注意到，在的情形下会有的推论，

我们不妨用积分式算出时刻走了多少路：﹙等式

右边是速度乘上时间﹚，在的

时候，，" "。所以其实苍蝇A的轨迹应为

上述讨论要表达的是说，加上这一点是需要的，并且加上

那一点后，轨迹还是连续的﹙可以想一下如何定义在端点的连续性﹚

﹙4﹚：

由﹙3﹚

﹙5﹚：

由﹙3﹚得知在到 2 的时候，，换言之，在之前已转了无限多圈，

于是苍蝇会“头昏”。

雪球融化

假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪球完全融化需要多少时间？

解答：

假设此雪球在时间分钟时的半径为公分，由题意可知，

，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率，雪球的体积为，表面积为，所以有

为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知

为常数，由，，可解出，由此可看出雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时，

所以雪球在10分钟后完全融化。

雨中行车

若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着雨，假设所有雨滴皆以速度u 垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？

解答：

图一

假设每立方公尺中有α克的雨水，若车子以速度v 前进，以车子为标准坐标来看，则雨水以水平速度v，垂直速度u 朝车子而来,假设速度与水平夹角θ，

则对单位面积的挡风玻璃来说，在到间，落在其上的雨水正好是

时，单位面积上高为，倾斜角度θ的圆柱内的水﹙如图二﹚

图二

总共有克，所以单位时间内单位面积所接收的雨水为

，若甲到乙地距离，挡风玻璃总面积，则从甲以等速v 开车到乙挡风玻璃所接收的雨水共有

为一常数，与无关。

若并非以等速行车，结果又会是如何呢？假设v 为t 的函数，写成，

单位时间内单位面积接收的雨水为，假设在时间后从甲到达乙，则

。则从甲到乙所接收的总雨量为

依然是一个常数，与v 无关，也就是说不管怎么开，落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。

工人拉船

码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数是1/3，请问船尾受力多大？

解答：

在绳子与铁柱有的接触时，拉力会提供﹙接近﹚的

正压力给铁柱，所以有，积分得，其中就是10

公斤，，而，所以。

录音带

如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听﹙或者快转﹚的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。

现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？如果我知道录音带从一开始﹙左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上﹚转到一半(左方的磁带量＝右方的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？

解答：

如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听﹙或者快转﹚的时候，在1 处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在 2 的地方就会被一直带动，最后会绕到轮子 1 上。

现在我们想要考虑两个问题：

1.记为1号轮子在时刻所绕出的磁带的半径，为2号轮子在时

刻磁带形成圆形的半径，它们会随而变化，那么两半径的变化率之比

﹙即﹚为何？

2.如果我知道录音带从一开始﹙轮1 没有磁带，所有磁带都在轮2上﹚转

到一半﹙轮1的磁带量＝轮2的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟？

第一个问题其实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的，于是会有

常数，对微分后得到

第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定

﹙记为ω﹚，所以半径是和成正比，于是不妨令﹙比方说轮子每

秒转10圈，那么一秒后半径就多了10个磁带的厚度，两秒后半径就多了20个磁带的厚度﹚另外，我们同样是以圆面积代表磁带量，所以

﹙一分钟时转了总长的一半，是一比

例常数﹚欲解时的α值。

所以带子全部转完需要分钟。