高考数学选题压轴难题-指对幂比较大小6大题型
高考数学选题压轴难题-指对幂比较大小6大题型
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不小，方法无常，很受命题者的青睐。高考命题组，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可以从代数和几何这方面加以探寻，即利用函数的性质与图像解答。
指,对,幂函数专题
基本初等函数 一、指数与对数的运算及概念： 1．根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1* ∈>N n n 且， （1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； （2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数， 记作)0(>± a a n ②性质：（1）a a n n =)(； （2）当n 为奇数时，a a n n =； （3）当n 为偶数时，?? ?<-≥==) 0()0(||a a a a a a n 。 2.幂的有关概念 ①规定：（1）∈???=n a a a a n ( N *； （2）)0(10≠=a a ； n 个 （3）∈= -p a a p p (1Q ， （4）m a a a n m n m ,0(>= 、∈n N * 且)1>n ②性质：（1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； （2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ） ； （3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 3.对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 （1）以10为底的对数称常用对数，N 10 log 记作N lg ； （2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： （1）真数N 为正数（负数和零无对数）；（2）01log =a ； （3）1log =a a ；（4）对数恒等式：N a N a =log 。
高中数学指数式、对数式比较大小的问题专题训练精讲精练
高中数学指数式、对数式比较大小的问题 --------太原市交通学校 郝志隆 指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型： 一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。比如： 例1：已知 ，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______ A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 【解答】解：因为底数 3 015 <<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3， 故a ＞b ＞c ，故选：B ． 二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类 例2：比较12010 2019202012019 2020 log log log 2020a b c d ====、的大小 【解答】解：102019 2020 20201a =>=；即a>1 12 201920191log (2020)log 20202b == ，所以22019201911 log 2019log 201922 b << 故得： 1 12 b <<；
12 202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，1 02c <<； 1 12019 2019 log 2020log 10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。 三、两个式子的底数、指数或者真数都不相同时，通过化简变形变到有一个相同，再来利用单调性求解。如： 例3：比较a 、b 、c 的大小： 11135 22b 35 a c ===、、 这三个式子底数指数都不同，而且它们全都是大于1且小于2的数，不能直接利用函数单调性，所以需要先变形到有一些相同的形式，再来进行比较 【解答】解：先比较a 和b 的大小：311136 662 22[(2)]8a ====；121123666 33[(3)]9b ==== 因为幂函数16 y x =在(0,)+∞上是增函数，所以a
高考数学热点问题专题练习——指对数比较大小知识归纳及典型例题分析
指对数比较大小 一、技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞ （1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：111342 3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()() 1111114363 4212 12 12 33 ,44 ,55 ===，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1）n m m n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N -=
全国高考数学复习微专题：指对数比较大小
全国高考数学复习微专题：指对数比较大 小 在填空选择题中，我们经常会遇到一类比较大小的问题，其中包含三个指数和对数，需要进行排序。若两两进行比较，则需要花费较多的时间。因此，本文介绍处理此类问题的方法和技巧。 一、技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？我们可以使用“同区间正，异区间负”的八字真言来判断对数的符号。具体而言，需要关 注底数和真数，将区间分为(0,1)和(1,+∞)两部分。如果底数和 真数均在(0,1)或者均在(1,+∞)中，则对数的值为正数。如果底 数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+∞)中，则对数的值为负数。例如，log3 0.50，log2 3>0等。 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系。一旦作图，大小关系就会变得明显。
3、比较大小的两个理念： 1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可以通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系。因此，需要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。例如，比较3、4、5时，可以进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同。从而只需比较底数的大小即可。 2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中，通常可以优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较。有时可以简化比较的步骤。例如，对于log2 3，我们可以知道1=log2 2 高考数学指数、对数、幂函数专题综合训练100题含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设ln0.7a =，0.7e b =，7e c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．a b c << 2．函数 的定义域为 A ．(0,2) B ．(0,2] C ． D ．[2,)+∞ 3．设函数()122,0 1log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩ ，则()()1f f -=（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 4．在正项等比数列{}n a 中，，则 的值是 A ．10 B ．1000 C ．100 D ．10000 5．已知实数,a b 满足23a b =，下列五个关系式：①0b a <<；①0a b <<；①0a b <<；①0b a <<；①b a =，其中不可能成立的是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知幂函数()()21 33a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．1或2 7．若a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ． 11a b < B ．11()()22 a b < C ．22a b > D ．33a b < 8．已知112 3 ,,,,23log log 2a b a b c d c d ∈====R ，则（ ） A ．,a b c d << B ．,a b c d <> C ．,a b c d >< D ．,a b c d >> 9．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作 镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学 D ．丙同学和甲同学 重难点第四讲指对幂比较大小6大题型 ——每天30分钟7天掌握指对幂比较大小6大题型问题【命题趋势】 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 第1天认真研究满分技巧及思考热点题型 【满分技巧】 比较大小的常见方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 【热点题型】 专题01 玩转指对幂比较大小 【方法技巧与总结】 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小. （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； ②指数相同，底数不同，如1a x 和2a x 利用幂函数a y x =单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 【题型归纳目录】 题型一：直接利用单调性 题型二：引入媒介值 题型三：含变量问题 题型四：构造函数 题型五：数形结合 题型六：特殊值法、估算法 题型七：放缩法 题型八：不定方程 【典例例题】 题型一：直接利用单调性 例1．（2022·江西·二模（文））已知1 3 1sin ,74a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b c a >> 例2．（2022·陕西西安·一模（理））已知1ln 2 a =，()ln lg 2 b =，()lg ln 2 c =则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b c a >> 例3．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知 31 log 8 a =，(1 3b =-， 4 9log 4 2 c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 题型二：引入媒介值 例4．（2022·全国·高三专题练习）若2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c b a << 例5．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知实数a ，b ，c 满足1 36a =，756log 8log 49b =+，72425b b c +=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >> 例6．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1 3sin 2,ln 2,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a << 例7．（2022·全国·高三专题练习）已知1 ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b c a >>例8．（2022·北京通州·模拟预测）已知31 log 2 a =，ln b π=，a c b =，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 题型三：含变量问题 例9．（2022·全国·高三专题练习）已知π (0,)6θ∈，2222ln(2cos 1)(2cos 1)a θθ-=-，22ln(cos 1)(cos 1)b θθ-=-， 2 2 ln(sin 1)(sin 1)c θθ-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．a b c << D ．c a b << 例10．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x ，y ，R z ∈，且满足 ln e e e x y z x y z ==-，1y >，则x ，y ，z 大小关系为（ ） “六法”比较指数幂大小 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法． 1．转化法 例1 比较1 2(3-+与2 3 1)的大小． 解：∵2231)1)-+==， ∴11222(31)]1---+==． 又∵011<<， ∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数． 2 311)<，即2 1 3 2(31)-+<． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断． ２．图象法 例2 比较0.7a 与0.8a 的大小． 解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图． 当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0 x a ==时，0.80.7a a =． 评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．媒介法 例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵13 1 3 004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭， ∴13 1 3 4215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． ４．作商法 例４ 比较a b a b 与b a a b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭， 又∵0a b >>，∴1a b >，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b >．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数． 5．作差法 例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a -+与n n a a -+的大小． 解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+- (1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--． （1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a -->． 又∵1n a >，1m a -<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+． （2）当01a <<时，∵1m n a -<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a ->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+． 综上所述，m m n n a a a a --+>+． 评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小． 6．分类讨论法 例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小． 专题02 指数、对数及幂的大小比较问题 --------真题演练 指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。 本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。 1.常用的指对数变换公式： （1）n m m n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ； （2）log log log a a a M N MN += ； log log log a a a M M N N -=； （3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠>； （4）换底公式：log log log c a c b b a =； 进而有两个推论：1 log log a b b a =（令c b =）； log log m n a a n N N m =； 2.比较大小的基本思路： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性， 判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1 113 4 2 3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()() 111111436342 12 12 12 33 ,44 ,55 ===，从而只需比较底数的大小即可； （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较； （3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔< 高考《指对幂比较大小》专题 2020年（ ）月（ ）日 班级 姓名 2014—文数—辽宁卷 4.已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1log 52a y =，log 21log 3a a z =-，则（ ） A ．x y z >> B ．z y x >> C y x z >> D ．z x y >> 2006—文数—天津卷 4. 设)2(log log ,2log ,3log 3232===R Q P （A P Q R << （B ）Q R P <<（C ）P R Q << （D ）Q P R << 2014—文数—天津卷 4. 设a =log 2π，b =log π，c =π﹣2，则（ ） A ． a ＞b ＞c B ． b ＞a ＞c C ． a ＞c ＞b D ． c ＞b ＞a 【答案】C 【解析】log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b 2009—文数—天津卷 5. 设0.3113211log 2,log ,3 2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 A. a b c << B a c b << C. b c a << D.b a c << 【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<< 幂、指、对函数与函数与方程一轮复习题型归纳 题型一：幂函数的图像与性质 考点：图像分布、单调性、奇偶性 1. 已知幂函数()223()(22)n n f x n n x n Z -=+-∈的图像关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则n 的值为 2. （2020江苏7）已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，23()f x x =，则(8)f -的值是 ． 3. (2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____． 题型二：幂函数性质的应用 考点：比较大小、解不等式、值域与最值 4.已知幂函数()12f x x -=，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围是 5.已知点(),9m 在幂函数()(2)n f x m x =-的图像上，设13a f m -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1ln ,32b f c f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则,,a b c 的大小关系为 题型三：根式与分数指数幂的运算 6.化简)34的结果是 7.化简211511336622133a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 题型四：指数型函数图像与性质 考点：图像分布、指数型复合函数的定义域、值域、单调性、过定点 8：设d c b a ,,,都是不等于1的正数，x x x x y b y a y ==,,如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是 （ ） A .a b c d <<< B .a b d c <<< C .b a d c <<< D .b a c d <<< 9.（2013浙江）已知为正实数，则 A ． B ． C ． D ． 10. 函数24325x x y +=-⋅-在[]0,2x ∈上的值域 11. （2012山东）若函数在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数上是增函数，则a ＝ ． 题型五：指数型函数性质的应用 考点：比较大小、解指数方程与不等式、求参数范围、最值与恒成立问题 12.（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 A ．c a b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a << 13.（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 14.（2015江苏）不等式224x x -<的解集为_______． 15.（2020北京卷6）已知函数12)(--=x x f x ，则不等式()0f x >的解集是 （ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()0,1 D ．()(),01,-∞+∞ y x ,y x y x lg lg lg lg 222+=+lg()lg lg 222x y x y +=y x y x lg lg lg lg 222+=•lg()lg lg 222xy x y =()(0,1)x f x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞ 微专题17 指对运算及指对幂比较大小 【方法技巧与总结】 知识点一、指对幂比较大小 （1）单调性法 （2）中间量法 （3）分类讨论法 （4）比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A B <即可． 【题型归纳目录】 题型一：指对数互化 题型二：换底公式的应用 题型三：利用指对幂函数的单调性比较 题型四：利用中间值比较 题型五：利用换底公式转化后比较 题型六：利用两图像交点转化后比较 题型七：含变量指对幂大小比较 【典型例题】 题型一：指对数互化 例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设92a =，83b =，则log ()a ab =（ ） A ．28 1log 39+ B ．38 1log 29+ C ．28 1log 39 - D ．38 1log 29 - 例2．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知()328,0 log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()08f f a =，则实数 a 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 例3．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简2 9log 3x 的结果为（ ） A ．x B ．1x C ．x D ． 1|| x 变式1．（2022·全国·高一单元测试）若2log 31x =，则33x x -+=（ ） A ．52 B ．36 C ． 103 D ．32 变式2．（2022·全国·4100x y =，则lg lg x y ⋅的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 变式3．（2022·全国·高一单元测试）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．4 变式4．（2022·上海市建平中学高一期中）若正数a 满足lg24a =，则=a ___________． 变式5．（2022·全国·高一课时练习）()() 532log log log 0x =，则1 2x -=___________. 题型二：换底公式的应用 例4．（2022·全国·高一单元测试）化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________ 例5．（2022·上海·高一单元测试）已知182,1.52x y ==，则12x y -=______; 例6．（2022·上海·高一单元测试）已知1a b >>，若5log log ,2b a a b b a a b +==，则2+a b =___________. 变式6．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知23a b m ==且11 2a b +=，则m 等于（ ） A 6 B ．6 C ．12 D ．36 变式7．（2022·全国·高一课时练习）若23691 log 3log log 62 m ⨯⨯=，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．12 变式8．（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg3b =，则36log 5=（ ） §2.9 指、对、幂的大小比较 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一 直接法比较大小 命题点1 利用函数的性质 例1 设a ＝2 343⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3443⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝34 32⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >b >a D ．b >c >a 答案 C 解析 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x 是增函数， 所以2343⎛⎫ ⎪⎝⎭<34 43⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，即a b >a . 命题点2 找中间值 例2 (2023·上饶模拟)已知a ＝log 53，b ＝12 2，c ＝7－0.5 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >b >a 答案 C 解析 因为1＝log 55>log 53>log 55＝log 5125＝12， 即1 2 b ＝12 2>20＝1,7－0.5＝1 217⎛⎫ ⎪⎝⎭<12 14⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝12， 即0 第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结 【知识点梳理】 指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法． （1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可 （2）利用指数对数函数图象关系比较大小 （2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<， 12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<= （3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与 2 1 的大小等 （4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较． 例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；． （5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ， e a 2log 12ln = =，3 log 1 2log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ， ()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > （7）构造函数，利用函数的单调性比价大小 【题型目录】 题型一：直接利用单调性比较大小 题型二：比较与1,0的大小关系 题型三：取中间值比较大小 题型四：利用换底公式比较大小 题型五：分离常数再比较大小 题型六：利用均值不等式比较大小 题型七：乘倍数比较数的范围比较大小 题型八：构造函数比大小 【典型例题】 题型一：直接利用单调性比较大小 【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> 专题01 指对幂比较大小 【考点1】指数函数 1.定义：函数()1,0≠>=a a a y x 叫做指数函数，定义域为R . 2.性质： 【考点2】对数函数 1.定义：函数()1,0log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，定义域是()0,+∞. （1）定义域：R 2.性质： 【考点3】幂函数 1、幂函数定义 一般地，形如()f x x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2、五种常见幂函数 R R R {|0}x x ≥ {|0}x x ≠ 3 幂函数()f x x α =，在(0,)x ∈+∞ ①当0α>时，()f x x α =在(0,)+∞单调递增； ②当0α<时，()f x x α=在(0,)+∞单调递减； 方法一：放缩法 1 、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 2、指数和幂函数结合来放缩。 3、利用均值不等式等不等关系放缩 4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 方法二：作差法、作商法 1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小 2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法三：构造函数，运用函数的单调性比较 学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练. 构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律. 1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f （）外衣”比较大小； 2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小. 题型一:简单放缩比较大小 例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知0.7 2a =，0.7 13b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】 指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 第1天认真研究满分技巧及思考热点题型 【满分技巧】 一、指数幂运算的一般原则 1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； 4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 二、对数运算常用方法技巧 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式 log log m n a a n M b m = 化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）lg 2lg51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg5+，再应用公式 lg 2lg51+=进行化简； （2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =， log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。 三、指数型复合函数值域的求法 1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围 2、形如() =f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用=y a μ的单调性求出 高考幂指对三角函数比较大小10类题型 解题方法与技巧 目录 一、十大题型精讲 【题型一】临界值比较：0、1临界 【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点） 【题型三】差比法与商比法 【题型四】利用对数运算分离常数比大小 【题型五】构造函数：lnx/x型函数 【题型六】构造函数综合 【题型七】放缩（难点） 【题型八】函数奇偶性和单调性等综合 【题型九】三角函数值比较大小 【题型十】数值逼近 二、最新模拟试题精练 一、十大题型精讲 【题型一】 临界值比较：0、1临界 【典例分析】 1. 设0.2 515 log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. c a b << 【分析】 根据对数函数的单调性和对数的运算可得到01a <<，10b -<<；根据指数函数的单调性得到1c >，从而可得出答案. 【详解】 因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<； 因为 11555 log 4log 4log 4 b -===-，所以10b -<<； 又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<. 故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小. 【变式演练】 2. 已知1 2021 202220221 2022,log 2021,log 2021 a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a >b >c B. b >a >c C. c >a >b D. a >c >b 【分析】 利用指数函数及对数函数的性质即得.高考数学指数、对数、幂函数专题综合训练100题含答案
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