新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数 知识点考点重点难点归纳总结
第六章幂函数、指数函数和对数函数
6.1幂函数 (1)
6.2指数函数 (6)
第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)
第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)
6.3对数函数 (16)
第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)
第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)
6.1幂函数
知识点1幂函数的概念
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质
1．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
2．幂函数的性质
y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1
定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数
偶函数
单调性
在(－∞，
＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞) 上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)
(1,1)
考点
类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：
①y ＝x 3
；②y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝
a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m
2－2
＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．
(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧
m 2＋2m －2＝1，
2n －3＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝－3，n ＝3
2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝1，n ＝32.
所以m ＝－3或1，n ＝3
2.
1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；
(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．
2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.
类型2 比较大小
【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1
与⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－35－
1
； (3)0.25
与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；
(5)(－3)与(－2).
[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．
[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>1
4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭
⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－
1>⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35－
1
. (3)0.25
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝2，
6．25＝2.5.
∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25
<6.25.
(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单
调区间，则用奇偶性；
(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．
类型3 幂函数的图象及应用
【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问
当x 为何值时，有：
(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x ) 2， ∴α＝2，β＝－1， ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x ) 1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性； (2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象． 2．幂函数在第一象限的图象与性质 (1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 (1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小； (2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 类型4 幂函数性质的综合应用 【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1) <(3－2a ) 的a 的取值范围． 1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x >y 时，x 、y 与0的大小关系有多少种？ [提示] 0 [解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ) . ∵y ＝x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23 2或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 23，32. 1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步： 第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围； 第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围． 6.2指数函数 第1课时指数函数的概念、图象与性质 知识点1指数函数的概念 一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 知识点2指数函数的图象和性质 a>10 图象 性质 定义域R 值域(0，＋∞) 定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方 函数值 的变化 x>0时，y>1； x<0时，0 x>0时，0 x<0时，y>1 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函 数 在(－∞，＋∞)上是减函 数 奇偶性非奇非偶函数 1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ [提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母 a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0 2.为什么底数应满足a>0且a≠1? [提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1. 考点 类型1指数函数的概念 【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是() ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x. A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 (2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －32＝39，则f (－2)＝________. (1)D (2)1 9 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. (2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－ 2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝1 9.] 1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1. 2．求指数函数的解析式常用待定系数法． 类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8 与⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34－2.6 ；(2)⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫58与1； (3)0.6 －2 与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫130.3 与3 －0.2 ； (5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 25. [思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小． [解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 34x 在定义域R 内是减函数， －1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34－1.8 <⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34－2.6 . (2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 58x 在定义域R 内是减函数． 又∵－2 3<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫ 580 ＝1， ∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫58>1. (3)∵0.6－2 >0.60＝1，⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 43<⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 430 ＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 43. (4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫ 130.3 ＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数， 又∵－0.3<－0.2， ∴3 －0.3 <3 －0.2 ，∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 130.3 <3－0.2. (5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4. (6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为 增函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 25. 在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象． 类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1 ≤2； (2)已知ax 2－3x ＋10，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 ，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1 ≤⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12－1 . ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12x 在R 上是减函数， ∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论 ①当00，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0， 根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5. ②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1 1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论． 2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解． 类型4 图象变换及其应用 【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号) (2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限． (3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x 转化为y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13x . 题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解． (1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－ x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其 图象为②. (2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限． (3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．] 1．处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点． 第2课时 指数函数的图象与性质的应用 知识点 指数型函数 形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )． 考点 类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2 ；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12x 2－2x －3 ；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3. [解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}． 又 1 x －4 ≠0，即2≠1， 故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12x 2－2x －3 的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12 x 2－2x －3 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4 ＝16. 又∵⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12x 2－2x －3 >0， 故函数y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 12x 2－2x －3 的值域为(0,16]． (4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R . 设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)． 1．若将本例(2)中函数换为y ＝ ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13x －1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]． 2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域． [解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]． 1．对于y ＝a f (x )这类函数 (1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域； ②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域． 2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解． 类型2 指数型函数的应用题 【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示． [解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)． 2年后城市人口总数为： y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2， 同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， … 故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为： y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)． 故10年后该城市人口总数约为113万人． 解决实际应用题的步骤 (1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言； (2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括； (3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解； (4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答． 类型3 指数函数性质的综合应用 【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数． (1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域． [思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域． [解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧ f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b 2＋a ＝0，－2－ 1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ， ∴b ＝1，a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，