中考数学专题坐标系中的几何问题

中考数学专题7 坐标系中的几何问题

【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。

第一部分 真题精讲

【例1】已知：如图1，等边ABC ?

的边长为，一边在x

轴上且()

10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．

（1）直接写出点B C 、的坐标；

（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；

（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：

① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

图2

图1

【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题就成功落入囊中了。 【解析】解：（1

）()

10B ；()13C ，．

（2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ．∵ABC ?是等边三角形，()

130A -，

．∴60EAO ∠=? ．在Rt EOA ?中，

90EOA ∠=?．∴()

tan 6013333EO AO =??=--?=-．∴

()

0,33

E -．∵E

F ∥AB 交BC 于F ，

()13C ，．∴331R ??

- ? ???

，． （就是四边形对角线的中点，横坐标

自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半）

∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分．∴直线1y kx =-必过点331R ??- ? ???

，．∴331k --=，∴53k -= （3）正确结论：①GNM CDM ∠=∠．

证明：可求得过A B C 、、的抛物线解析式为2

22y x x =-++ ∴()02D ，

．∵()20G -，．∴OG OD =． 由题意90GON DOM ∠=∠=?．

又

∵GNO DNH ∠=∠∴NGO MDO ∠=∠∴NGO ?≌MDO ?

∴GNO DMO ∠=∠，OM ON =

∴45ONM NMO ∠=∠=?

过点D 作DT CP ⊥于T ∴1DT CT ==∴45CDT DCT ∠=∠=?由题意可知

DT ∥AB

∴TDM DMO ∠=∠∴454545TDM DMO GNO ∠+?=∠+?=∠+?

∴TDM CDT GNO ONM ∠+∠=∠+∠即：

GNM CDM ∠=∠． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）

【例2】如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线214

10189

y x x =

--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两点同时

出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE ∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C 三点的坐标;

(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜

9

2

时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t _________时,△PQF 为等腰三角形?

-1

R Q

F E

C B

A O

x

y

G P

N

M H

T D C B

A O x

y

【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，QC 和PA 始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA 时候即可。第三问求△PQF 是否为定值，因为三角形的一条高就是Q 到X 轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF 是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF ，得解。第四问因为已经知道PF 为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P 点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ 就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.

【解析】解：(1) 2

1(8180)18

y x x =

--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+= ∴18x =或10x =-∴(18,0)A ； 在214

10189

y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -； 由

于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由214

1010189

x x -=--得8x =或0x =即(8,10)C - 于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --

（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可 ∵184,PA t CQ t =-=∴184t t -= 得185

t =

（3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故

1

44

QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d =

∴11

18109022

PQF S PF d ?==??=∴△PQF 的面积总为90

（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。构造直角三角形后易得

2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+，2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++

若FP=PQ ，即2

2

18(58)100t =-+，故2

25(2)224t +=，

∵22 6.5t +≤≤∴25t +=

=∴25

t =-

若QP=QF ，即2

2

(58)100(510)100t t -+=++，无0 4.5t ≤≤的t 满足条件；……………12′

若PQ=PF ，即2

2

(58)10018t -+=，得2

(58)224t -=，∴8 4.55t +=

>或805

t -=<

都不满足0 4.5t ≤≤，故无0 4.5t ≤≤的t 满足方程；

综上所述：当25

t =-时，△PQR 是等腰三角形。

【例3】如图，已知抛物线1C ：()522

-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在

点B 的左边），点B 的横坐标是1．

（1）求P 点坐标及a 的值；

（2）如图（1），抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，

将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式；

（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180?后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．

【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B （1,0）代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出M 坐标，然后设顶点式，继续代入点B 即可。第三问则需要设出N ，然后分别将NP ，PF,NF 三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大，务必细心。

解：⑴由抛物线1C ：()2

25y a x =+-得顶点P 的为(25)--， ∵点(10)，B 在抛物线1C 上∴ ()20125a =+-

解得，5

9

a =

⑵连接PM ，作⊥PH x 轴于H ，作⊥MG x 轴于G ∵点P 、M 关于点B 成中心对称

∴PM 过点B ，且=PB MB ∴PBH MBG △≌△∴5==MG PH ,3==BG BH

∴顶点M 的坐标为(45)， （标准答案如此，其实没这么麻烦，点M 到B 的横纵坐标之差都等于B 到P 的，直接可以得出（4,5））抛物线2C 由1C 关于x 轴对称得到，抛物线3C 由2C 平移得到∴抛物线3C 的表达式为()25

459

y x =-

-+ ⑶∵抛物线4C 由1C 绕点x 轴上的点Q 旋转180?得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称

由⑵得点N 的纵坐标为5。设点N 坐标为(5)，

m 作⊥PH x 轴于H ，作⊥NG x 轴于G

作⊥PK NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴26===EF AB BH

∴3=FG ，点F 坐标为(30)+，

m H 坐标为(20)，，K 坐标为(5)-，m ， 根据勾股定理得

22224104PN NK PK m m =+=++

22221050PF PH HF m m =+=++ 2225334NF =+=

①当90∠=?PNF 时，222PN NF PF +=，解得443m =，∴Q 点坐标为19

(0)3，

②当90∠=?PFN 时，222PF NF PN +=，解得103m =，∴Q 点坐标为2

(0)3

，

③∵10>=>PN NK NF ，∴90NPF ∠?≠

综上所得，当Q 点坐标为19(0)3，或2

(0)3

，时，以点P 、N 、F 为顶点三角形是直角三角形． 【例4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l1

：y =+交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点()

,M m n 是线段AB 上一动点，点C 是线段OA 的三等分点．

（1）求点C 的坐标；

（2）连接CM ，将ACM △绕点M 旋转180?，得到''A C M △．

①当1

2

BM AM =

时，连结'A C 、'AC ，若过原点O 的直线2l 将四边形''A CAC 分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

②过点'A 作'A H x ⊥轴于H ，当点M 的坐标为何值时，由点'A 、H 、C 、M 构成的四边形为梯形？ 【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C 点有两种可能,H 在C 点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.

【解析】（1）根据题意：()6,0A

，(0,B ∵C 是线段OA 的三等分点

∴()2,0C 或()4,0C

（2）①如图，过点M 作MN y ⊥轴于点N ，则

BMN BAO △∽△．∵1

2

BM AM =

． ∴13BM BA =∴1

3

BN BO =

∴(0,N ∵点M

在直线y =+上

∴(2,M - ∵''A C M △是由ACM △绕点M 旋转180?得到的

∴''A C AC ∥∴无论是1C 、2C 点，四边形A CAC ''是平行四边形且M 为对称中心 ∴所求的直线2l

必过点(2,M ．∴直线2l 的解析式为

:y = ② 当()12,0C 时，第一种情况：H 在C 点左侧若四边形1A HC M '是梯形

∵A M '与1HC 不平行∴A H '∥1MC

，此时(2,M 第二种情况：H 在C 点右侧，若四边形1'A C HM 是梯形，∵'A M 与1C H 不平行

∴1'A C HM ∥∵M 是线段'AA 的中点∴H 是线段1AC 的中点

∴()4,0H ，由6OA =

，OB =∴60OAB ∠=?∴点M 的横坐标为5

∴(5,M 当()24,0C 时，同理可得 第一种情况：H 在2C

点左侧时，(4,M - 第二种情况：H 在2C

点右侧时，112M ? ??

- 综上所述，所求M

点的坐标为：(2,M

，(M

，(4,M

或112M ? ??

． 【例5】在平面直角坐标系中，抛物线2

23y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 左侧）.

与y 轴交于点C ，顶点为D ，直线CD 与x 轴交于点E.

（1）请你画出此抛物线，并求A 、B 、C 、D 四点的坐标.

（2）将直线CD 向左平移两个单位，与抛物线交于点F （不与A 、B 两点重合），请你求出F 点坐标.

（3）在点B 、点F 之间的抛物线上有一点P ，使△PBF 的面积最大，求此时P 点坐标及△PBF 的最大面积.

（4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H 两点，以GH 为直径的圆与x

轴相切，求该圆

半径.

【思路分析】本题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C 到对称轴的距离刚好是1，所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F 直接写出为（-2,-3）第三问看似棘手，但是只要将△PBF 拆解成以Y 轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P 点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH 在X 轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。

解：（1）()()()()30100314A B C D ----，

，，，，，，. （2）()23F --， （3）过点P 作y 轴的平行线与BF 交于点M ，与x 轴交于点H 易得()23F --，

，直线BF 解析式为1y x =-． 设()

223P x x x +-，

，则()1M x x -，，∴22PM x x =--+ PM 的最大值是

9

4

.当PM 取最大值时PBF ?的面积最大 19273248

PBF PFM PBM

S S S ???=+=??=

PFB ?的面积的最大值为

27

8

. （4）如图，①当直线GH 在x 轴上方时，设圆的半径为()0R R >，则()1H R R -，，

代入抛物线的表达式，解得R =

. ②当直线GH 在x 轴下方时，设圆的半径为()0r r >， 则()1H r r --，，代入抛物线的表达式，

解得r ∴

. 【总结】 通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起

来十分复杂，但是只要一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借

助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。像例2最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为1分的

题失去了大量检查的时间。

第二部分 发散思考

【思考1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，

()

0,43C ，延长AC 到点D,使CD=

1

2

AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E.

（1）求D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，

先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.

解：（1）∵(60)A -，，(043)C ，，∴643OA OC ==，．设DE 与y 轴交于点M ．

由DE AB ∥可得DMC AOC △∽△．又1

2

CD AC =， ∴

1

2

MD CM CD OA CO CA ===．∴23CM =，3MD =． 同理可得3EM =．∴63OM =． ∴D 点的坐标为(363)，．

（2）由（1）可得点M 的坐标为(063)，．由DE AB EM MD =∥，，可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线．∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．

∴ED 与CF 互相垂直平分．∴CD DF FE EC ===． ∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．

作直线BM ．设BM 与CD EF 、分别交于点S 、点T ．可证FTM CSM △≌△．∴FT CS =．∵FE CD =，∴TE SD =． ∵EC DF =，∴TE EC CS ST SD DF FT TS +++=+++．

∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．

由点(60)B ，，点(063)M ，在直线y kx b =+上，可得直线BM 的解析式为363y x =-+．

y

D E

C B

O A x

1 1 H

S

M T

G F

（3）确定G 点位置的方法：过A 点作AH BM ⊥于点H ．则AH 与y 轴的交点为所求的G 点． 由663OB OM ==，，可得60OBM ∠=°，∴30BAH ∠=°．在Rt OAG △中，tan 23OG AO BAH =∠=∴G 点的坐标为(023)，

．（或G 点的位置为线段OC 的中点） 【思考2】抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，

连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM=3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问要算的比较多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N 坐标,然后联立抛物线与直线CN 即可求出点D.第三问考验对图形的理解,如果能巧妙的将△ACM 的面积看成是四边形ACEM 减去△AME,那么就会发现四边形ACEM 刚好也是△AOC 和梯形OCEM 之和,于是可以求出PM 的距离,然后分类讨论PM 的位置即可求解.

解：（1）设直线AC 的解析式为3-=kx y ，把A （－1，0）代入得3-=k . ∴直线AC 的解析式为33--=x y . 依题意知，点Q 的纵坐标是－6.

把6-=y 代入33--=x y 中，解得1=x ，∴点 Q （1，6-） ∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线1=x .

设抛物线的解析式为n x a y +-=2)1(，由题意，得?

??-=+=+30

4n a n a ，解得

?

??-==.4,

1n a ∴抛物线的解析式为4)1(2--=x y .

（2）如图①，过点C 作AC 的垂线交抛物线于点D ，

交x 轴于点N ，则ANC ACO ∠=∠

∴ACO ANC ∠=∠tan tan ，∴OC

OA

ON OC =

. ∵1=OA ，3=OC ，∴9=ON .

∴点N 的坐标为（9，0）

可求得直线CN 的解析式为331

-=x y . 图① 由??

???--=-=4)1(3312x y x y ，解得??

???-==92037y x ，即点D 的坐标为（37，920-）.………5分 （3）设抛物线的对称轴交x 轴于点E ， 依题意，得2=AE ，4=EM ，52=AM . ∵1=-+=???AME OCME AOC ACM S S S S 梯形，

且PM AE PM S PAM =?=

?2

1

， 又ACM PAM S S ??=3，∴3=PM .

设P （1，m ）， ①当点P 在点M 上方时，PM ＝m ＋4＝3， ∴1-=m ，∴P （1，－1）.

②当点P 在点M 下方时，PM ＝－4－m ＝3，

∴7-=m ，∴P （1，－7）.

综上所述，点P 的坐标为1P （1，－1），2P （1，－7）.

【思考3】如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32

-+=，与y 轴交于点C ，且

OA OC OB 3==．

（I ）求抛物线的解析式；

（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明

理由； （III ）直线13

1

+-

=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值

【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了X=0时Y=-3，于是C 点得出，然后利用给定的等式关系写出A,B

去求解析式。第二问中，因为AC 是固定的，所以构成的直角三角形根据P 的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系，发现∠CBE=∠DBO ，于是所求角度差就变成了求∠OBC 。 解：（I ）()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ，且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴．

代入32

-+=bx ax y ，得

{

{

12

30

339=-==--=-+∴

a b b a b a 322

--=∴x x y

（II ）①当190,P AC ∠=?时可证AO P 1?∽ACO ?

31tan tan 11=∠=∠?∴ACO AO P AO P Rt 中，．)3

1

,0(1P ∴

②同理: 如图当)0,9(9022P CA P 时，?=∠ ③当)0,0(9033P A CP 时，?=∠

综上，坐标轴上存在三个点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形，分别是

x

y

(1,m )

P 1C M A

O E A P2

P 1 C

)3

1

,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P ．

（III ）()1,0,13

1

D x y 得由+-=．()4,1322---=

E x x y ，得顶点由． ∴52,2,23===BE CE BC

． 为直角三角形

BCE BE ?∴=+,CE BC 222．

3

1

tan ==

∴CB CE β． 3

1

tan ==

∠?∴OB OD DBO DOB Rt 中 ．β∠=∠∴DBO ． ?=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．